Thông tin tài liệu
Nguy
˜
ên H
˜
u
,
u Ðiê
,
n
OLYMPIC TO
´
AN C
´
AC NU
,
´
O
,
C
1999 – 2000
53 Ð
`
Ê THI V
`
A L
`
O
,
I GI
,
AI
(T
.
âp 6)
NH
`
A XU
´
ÂT B
,
AN GI
´
AO D
.
UC
2
L
`
o
,
i n
´
oi
¯
dâ
`
u
Ðê
,
th
,
u
,
g
´
oi l
.
ênh phông ch
˜
u
,
tôi biên so
.
an m
.
ôt sô
´
¯
dê
`
to
´
an thi Olympic, m
`
a c
´
ac h
.
oc
tr
`
o c
,
ua tôi
¯
d
˜
a l
`
am b
`
ai t
.
âp khi h
.
oc t
.
âp L
A
T
E
X. Ðê
,
ph
.
u v
.
u c
´
ac b
.
an ham h
.
oc to
´
an tôi
thu th
.
âp v
`
a gom l
.
ai th
`
anh c
´
ac s
´
ach
¯
di
.
ên t
,
u
,
, c
´
ac b
.
an c
´
o thê
,
tham kh
,
ao. M
˜
ôi t
.
âp tôi s
˜
e
gom kho
,
ang 50 b
`
ai v
´
o
,
i l
`
o
,
i gi
,
ai.
Râ
´
t nhiê
`
u b
`
ai to
´
an d
.
ich không
¯
du
,
.
o
,
c chuâ
,
n, nhiê
`
u
¯
diê
,
m không ho
`
an to
`
an ch
´
ınh
x
´
ac v
.
ây mong b
.
an
¯
d
.
oc t
.
u
,
ng
˜
âm ngh
˜
ı v
`
a t
`
ım hiê
,
u lâ
´
y. Nhu
,
ng
¯
dây l
`
a nguô
`
n t
`
ai li
.
êu
tiê
´
ng Vi
.
êt vê
`
ch
,
u
¯
dê
`
n
`
ay, tôi
¯
d
˜
a c
´
o xem qua v
`
a ngu
,
`
o
,
i d
.
ich l
`
a chuyên vê
`
ng
`
anh To
´
an
phô
,
thông. B
.
an c
´
o thê
,
tham kh
,
ao l
.
ai trong [1],[2].
Râ
´
t nhiê
`
u
¯
do
.
an v
`
ı m
´
o
,
i h
.
oc TeX nên câ
´
u tr
´
uc v
`
a bô
´
tr
´
ı c
`
on xâ
´
u, tôi không c
´
o th
`
o
,
i
gian s
,
u
,
a l
.
ai, mong c
´
ac b
.
an thông c
,
am. Cuô
´
n s
´
ach n
`
ay c
´
o c
´
ach không cho sao ch
´
ep
ch
˜
u
,
Vi
.
êt, c
´
ac b
.
an th
,
u
,
xem nh
´
e.
H
`
a N
.
ôi, ng
`
ay 20 th
´
ang 9 n
˘
am 2013
Nguy
˜
ên H
˜
u
,
u Ðiê
,
n
51
GD-05
89/176-05 M
˜
a sô
´
: 8I092M5
M
.
uc l
.
uc
L
`
o
,
i n
´
oi
¯
dâ
`
u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
M
.
uc l
.
uc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Chu
,
o
,
ng 47. Ðê
`
thi olympic to
´
an Rumania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
47.1. Ðê
`
b
`
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
47.2. L
`
o
,
i gi
,
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Chu
,
o
,
ng 48. Ðê
`
thi olympic to
´
an Nga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
48.1. Ðê
`
b
`
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
48.2. L
`
o
,
i gi
,
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Chu
,
o
,
ng 49. Ðê
`
thi olympic to
´
an Slovenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
49.1. Ðê
`
b
`
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
49.2. L
`
o
,
i gi
,
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Chu
,
o
,
ng 50. Ðê
`
olympic to
´
an Thô
,
Nh
˜
ı K
`
y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
50.1. Ðê
`
b
`
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
50.2. L
`
o
,
i gi
,
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Chu
,
o
,
ng 51. Ðê
`
thi olympin to
´
an Ukraina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
51.1. Ðê
`
b
`
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
51.2. L
`
o
,
i gi
,
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Chu
,
o
,
ng 52. Ðê
`
thi olympin to
´
an Ukraina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
52.1. Ðê
`
b
`
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
52.2. L
`
o
,
i gi
,
ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
T
`
ai li
.
êu tham kh
,
ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4
CHU
,
O
,
NG 47
Ð
`
Ê THI OLYMPIC TO
´
AN RUMANIA
47.1. Ðê
`
b
`
ai
B
`
ai 47.1. a. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang trong 39 sô
´
nguyên du
,
o
,
ng liên tiê
´
p, tô
`
n t
.
ai m
.
ôt
sô
´
v
´
o
,
i tô
,
ng c
´
ac ch
˜
u
,
sô
´
chia hê
´
t cho 11.
b. T
`
ım 38 sô
´
nguyên du
,
o
,
ng liên tiê
´
p m
`
a không c
´
o sô
´
n
`
ao c
´
o tô
,
ng c
´
ac ch
˜
u
,
sô
´
chia
hê
´
t cho 11.
B
`
ai 47.2. Cho ABC l
`
a tam gi
´
ac nh
.
on v
´
o
,
i c
´
ac
¯
du
,
`
o
,
ng phân gi
´
ac BL v
`
a CM. Ch
´
u
,
ng
minh r
`
˘ang ∠A = 60
0
khi v
`
a ch
,
ı khi tô
`
n t
.
ai
¯
diê
,
m K trên BC(K ≤ B, C) sao cho
KLM
¯
dê
`
u.
B
`
ai 47.3. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang v
´
o
,
i m
˜
ôi sô
´
nguyên du
,
o
,
ng n bâ
´
t k
`
ı
S
n
= C
0
2n+1
.2
2n
+ C
2
2n+1
.2
2n−2
.3 + ···+ C
2n
2n+1
.3
n
l
`
a tô
,
ng c
,
ua hai b
`
ınh phu
,
o
,
ng liên tiê
´
p.
B
`
ai 47.4. Cho x
1
, x
2
, ··· , x
n
l
`
a c
´
ac sô
´
th
.
u
,
c du
,
o
,
ng th
,
oa m
˜
an x
1
x
2
···x
n
= 1. Ch
´
u
,
ng
minh r
`
˘ang
1
n − 1 + x
1
+
1
n − 1 + x
2
+ ···+
1
n − 1 + x
n
1.
B
`
ai 47.5. Cho x
1
, x
2
, ··· , x
n
l
`
a c
´
ac sô
´
th
.
u
,
c du
,
o
,
ng phân bi
.
êt. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang
x
2
1
+ x
2
2
+ ···+ x
2
n
(2n + 1)(x
1
+ x
2
+ ···x
n
)
3
.
B
`
ai 47.6. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang v
´
o
,
i bâ
´
t k
`
y sô
´
nguyên n, n > 3, tô
`
n t
.
ai n sô
´
nguyên
du
,
o
,
ng a
1
, a
2
, ··· , a
n
l
.
âp th
`
anh câ
´
p sô
´
c
.
ông v
`
a n sô
´
nguyên du
,
o
,
ng b
1
, b
2
, ··· , b
n
l
.
âp
th
`
anh câ
´
p sô
´
c
.
ông sao cho
b
1
< a
1
< b
2
< a
2
< ··· < b
n
< a
n
.
Ðu
,
a ra v
´
ı d
.
u a
1
, a
2
, ··· , a
n
v
`
a b
1
, b
2
, ··· , b
n
c
´
o
´
ıt nhâ
´
t n˘am phâ
`
n t
,
u
,
.
6 Chu
,
o
,
ng 47. Ðê
`
thi olympic to
´
an Rumania
B
`
ai 47.7. Cho a l
`
a sô
´
th
.
u
,
c du
,
o
,
ng v
`
a x
n
(n 1) l
`
a d
˜
ay c
´
ac sô
´
th
.
u
,
c sao cho x
1
= a v
`
a
x
n+1
(n + 2)x
n
−
n−1
k=1
kx
k
,
v
´
o
,
i m
.
oi a 1. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang tô
`
n t
.
ai m
.
ôt sô
´
nguyên du
,
o
,
ng n sao cho x
n
> 1999!
B
`
ai 47.8. Cho O, A, B, C l
`
a ba
¯
diê
,
m thay
¯
dô
,
i trên m
.
˘at ph
,
˘ang sao cho OA = 4, OB =
2
√
3 v
`
a OC =
√
22. T
`
ım di
.
ên t
´
ıch l
´
o
,
n nhâ
´
t c
,
ua ABC.
B
`
ai 47.9. Cho a, n l
`
a sô
´
nguyên v
`
a cho p l
`
a sô
´
nguyên tô
´
sao cho p > |a|+ 1. Ch
´
u
,
ng
minh r
`
˘ang
¯
da th
´
u
,
c f (x) = x
n
+ ax + p không thê
,
biê
,
u di
˜
ên nhu
,
l
`
a t
´
ıch c
,
ua hai
¯
da
th
´
u
,
c kh
´
ac h
`
˘ang v
´
o
,
i h
.
ê sô
´
nguyên.
B
`
ai 47.10. Hai
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on giao nhau tai A v
`
a B. Ðu
,
`
o
,
ng th
,
˘ang l qua A v
`
a c
´
˘at hai
¯
du
,
`
o
,
ng tr
`
on t
.
ai C v
`
a D. Ð
.
˘at M v
`
a N l
`
a hai trung
¯
diê
,
m c
,
ua cung BC v
`
a BD, không
ch
´
u
,
a A v
`
a
¯
d
.
˘at K l
`
a trung
¯
diê
,
m c
,
ua CD. Ch
´
u
,
ng minh r
`
˘ang ∠MKN = 90
0
.
47.2. L
`
o
,
i gi
,
ai
L
`
o
,
i gi
,
ai 47.1. G
.
oi m
.
ôt sô
´
nguyên l
`
a "deadly" nê
´
u tô
,
ng c
´
ac ch
˜
u
,
sô
´
c
,
ua n
´
o chia hê
´
t
cho 11 v
`
a
¯
d
.
˘
at d(n) b
`
˘
ang tô
,
ng ch
˜
u
,
sô
´
nguyên du
,
o
,
ng n. Nê
´
u n t
.
ân c
`
ung b
`
˘
ang 0 th
`
ı
tô
,
ng n, n + 1, , n + 9 ch
,
ı kh
´
ac nhau ch
˜
u
,
sô
´
¯
do
,
n v
.
i t
`
u
,
1
¯
dê
´
n 9.
Do
¯
d
´
o d(n), d(n + 1), , d(n + 9) l
`
a câ
´
p sô
´
c
.
ông v
´
o
,
i công sai 1. Do
¯
d
´
o nê
´
u
d(n) ≡ 1(mod11) th
`
ı m
.
ôt trong nh
˜
u
,
ng sô
´
n
`
ay l
`
a "deadly".
Gi
,
a s
,
u
,
r
`
˘
ang nê
´
u n t
.
ân c
`
ung l
`
a k 0 th
`
ı d(n + 1) = d(n) + 1 − 9k, ch
˜
u
,
sô
´
k t
.
ân
c
`
ung c
,
ua n + 1 l
`
a 0 thay v
`
ı 9 v
`
a ch
˜
u
,
sô
´
tiê
´
p theo
,
o
,
bên tr
´
ai l
`
a l
´
o
,
n ho
,
n 1 v
`
a tu
,
o
,
ng
´
u
,
ng
v
´
o
,
i ch
˜
u
,
sô
´
trong n.
Cuô
´
i c
`
ung, gi
,
a s
,
u
,
n t
.
ân c
`
ung l
`
a 0 v
`
a d(n) ≡ d(n + 10) ≡ 1(mod11). T
`
u
,
d(n) ≡
1(mod11) ta s
˜
e c
´
o d(n + 9) ≡ 10(mod11). Nê
´
u n + 9 t
.
ân c
`
ung l
`
a 9 th
`
ı ta c
´
o 2 ≡
d(n + 10) − d(n + 9) ≡ 1 −9k suy ra k ≡ 6(mod11)
a. Gi
,
a s
,
u
,
ta c
´
o 39 sô
´
nguyên liên tiê
´
p, không c
´
o sô
´
n
`
ao l
`
a "deadly". M
.
ôt trong 10
sô
´
¯
dâ
`
u tiên ph
,
ai c
´
o t
.
ân c
`
ung l
`
a 0, g
.
oi l
`
a n. Không sô
´
n
`
ao c
,
ua n, n + 1, , n + 9
l
`
a "deadly" nên ph
,
ai c
´
o d(n) ≡ 1(mod11).
Nguy
˜
ên H
˜
u
,
u Ðiê
,
n, http://nhdien.wordpress.com 7
Tu
,
o
,
ng t
.
u
,
, d(n + 10) ≡ 1(mod11) v
`
a d(n + 20) ≡ 1(mod11).
T
`
u
,
l
´
y lu
.
ân th
´
u
,
3
,
o
,
trên, ph
,
ai c
´
o c
,
a n + 9 v
`
a n + 19 c
´
o t
.
ân c
`
ung
´
ıt nhâ
´
t l
`
a s
´
au
ch
˜
u
,
sô
´
9 (vô l
´
y) v
`
ı n + 10 v
`
a n + 20 không thê
,
l
`
a b
.
ôi c
,
ua m
.
ôt tri
.
êu.
b. Gi
,
a s
,
u
,
ta c
´
o 38 sô
´
liên tiê
´
p N, N + 1, , N + 37 không c
´
o sô
´
n
`
ao l
`
a "deadly".
Tu
,
o
,
ng t
.
u
,
nhu
,
phâ
`
n a, trong ch
´
ın sô
´
¯
dâ
`
u tiên không t
.
ân c
`
ung b
`
˘
ang 0. Do
¯
d
´
o N + 9 t
.
ân c
`
ung b
`
˘
ang 0, N + 19 v
`
a N + 29 c
˜
ung thê
´
. Nên d(N + 9) ≡
d(N + 19) ≡ 1(mod11). V
`
ı v
.
ây d(N + 18) ≡ 10(mod11). Ngo
`
ai ra, nê
´
u
N +18 t
.
ân c
`
ung l
`
a k9 th
`
ı k ≡ 6(mod11). C
´
o thê
,
l
`
a 999981, 999982, , 100018.
Cuô
´
i c
`
ung, không c
´
o nh
˜
u
,
ng sô
´
l
`
a "deadly": tô
,
ng c
´
ac ch
˜
u
,
sô
´
l
`
a
¯
dô
`
ng du
,
v
´
o
,
i
1, 2, , 10, 1, 2, , 10, 1, 2, , 10, 2, 3 , 9 v
`
a10(mod11).
L
`
o
,
i gi
,
ai 47.2. Ð
.
˘
at I l
`
a giao
¯
diê
,
m c
,
ua BL v
`
a CM. Th
`
ı ∠BIC = 180
0
−∠ICB−∠CBI =
180
0
−
1
2
(∠C + ∠B) = 180
0
−
1
2
(180
0
− ∠A) = 90
0
+ ∠A v
`
a do
¯
d
´
o ∠BIC = 120
0
nê
´
u
v
`
a ch
,
ı nê
´
u ∠A = 60
0
.
(⇒) Gi
,
a s
,
u
,
r
`
˘
ang ∠A = 60
0
,
¯
d
.
˘
at K l
`
a giao c
,
ua BC v
`
a
¯
du
,
`
o
,
ng phân gi
´
ac trong c
,
ua
∠BIC; ch
´
ung ta gi
,
ai th
´
ıch r
`
˘
ang KLM l
`
a
¯
dê
`
u. T
`
u
,
∠BIC = 120
0
ta biê
´
t ∠MIB =
∠KIB = 60
0
. T
`
u
,
¯
d
´
o ∠IBM = ∠IBK v
`
a IB = IB suy ra IBM = IBG(g.c.g) suy ra
IM = IK.
Tu
,
o
,
ng t
.
u
,
: IL = IK.
T
`
u
,
∠KIL = ∠LI M = ∠MIK = 120
0
th
`
ı KLM
¯
dê
`
u.
(⇐) Gi
,
a s
,
u
,
K ∈ BC v
`
a KLM
¯
dê
`
u. X
´
et BLK v
`
a BLM :
BL = BL
LM = LK
∠MBL = ∠KBC
suy ra BLK = BLM(c.g.c)
suy ra ∠LKB + ∠BML = 180
0
ho
.
˘
ac ∠LKB = ∠BML.
T
`
u
,
∠KBM < 90
0
v
`
a ∠MLK = 60
0
nên ∠LKB + ∠BML > 210
0
.
Do
¯
d
´
o ∠LKB = ∠BML nên BLK BLM suy ra BK = BM suy ra IK = IM.
Tu
,
o
,
ng t
.
u
,
IL = IK v
`
a I l
`
a tr
.
ong tâm c
,
ua KLM.
8 Chu
,
o
,
ng 47. Ðê
`
thi olympic to
´
an Rumania
Do
¯
d
´
o ∠LIM = 2∠LKM = 120
0
nên ∠BIC = ∠LIM = 120
0
v
`
a ∠A = 60
0
.
L
`
o
,
i gi
,
ai 47.3. Ð
.
˘
at α = 1 +
√
3, β = 1 −
√
3 v
`
a T =
1
2
(α
2n+1
+ β
2n+1
).
Ta thâ
´
y αβ = −2,
α
2
2
= 2 +
√
3 v
`
a
β
2
2
= 2 −
√
3.
´
Ap d
.
ung khai triê
,
n nh
.
i th
´
u
,
c
¯
dô
´
i v
´
o
,
i (1 +
√
3)
n
v
`
a (1 −
√
3)
n
, ta c
´
o
T
n
=
n
k=0
C
2k
2n+1
3
k
v
´
o
,
i m
.
oi sô
´
nguyên n bâ
´
t k
`
y.
´
Ap d
.
ung khai triê
,
n nh
.
i th
´
u
,
c
¯
dô
´
i v
´
o
,
i (2 +
√
3)
2n+1
v
`
a (2 −
√
3)
2n+1
thay v
`
ao ta
¯
du
,
.
o
,
c
S
n
=
α
2
2
2n+1
+
β
2
2
2n+1
4
=
α
4n+2
+ β
4n+2
2
2n+3
=
α
4n+2
+ 2(αβ)
2n+1
+ β
4n+2
2
2n+3
+
1
2
=
(α
2n+1
+ β
2n+1
)
2
2
2n+3
+
1
3
=
T
2
n
2
2n+1
+
1
2
.
Do
¯
d
´
o 2
2n+1
S
n
= T
2
n
+ 2
2n
.
Do
¯
d
´
o 2
2n
|T
2
n
nhu
,
ng 2
2n+1
T
2
n
suy ra T
n
≡ 2
n
(mod2
n+1
).
V
`
ı v
.
ây
S
n
=
T
2
n
2
2n+1
+
1
2
=
T
n
− 2
n
2
n+1
2
+
T
n
+ 2
n
2
n+1
2
.
L
`
o
,
i gi
,
ai 47.4. Ð
.
˘
at a
1
=
n
√
x
1
, a
2
=
n
√
x
2
, ··· , a
n
=
n
√
x
n
, do
¯
d
´
o
a
1
a
2
···a
n
= 1 v
`
a
1
n − 1 + x
k
=
1
n − 1 + a
n
k
=
1
n − 1 +
a
n−1
k
a
1
a
2
···a
k−1
a
k+1
···a
n
Nguy
˜
ên H
˜
u
,
u Ðiê
,
n, http://nhdien.wordpress.com 9
1
n − 1 +
(n − 1)a
n−1
k
a
n−1
1
+ ···+ a
n−1
k−1
+ a
n−1
k+1
+ ···+ a
n−1
n
.
Theo BÐT AM-GM,
1
n − 1 + x
k
a
n−1
1
+ ···+ a
n−1
k−1
+ a
n−1
k+1
+ ···+ a
n−1
n
(n − 1)(a
n−1
1
+ ···+ a
n−1
n
)
.
Do
¯
d
´
o
n
k=1
1
n − 1 + x
k
1.
L
`
o
,
i gi
,
ai 47.5. Không mâ
´
t t
´
ınh tô
,
ng qu
´
at ta gi
,
a s
,
u
,
x
1
< x
2
< ··· < x
n
. Ta s
˜
e ch
´
u
,
ng
minh
3x
2
k
2(x
1
+ x
2
+ ···+ x
k−1
+ (2k + 1)x
k
).
C
.
ông tô
,
ng c
´
ac bâ
´
t
¯
d
,
˘
ang th
´
u
,
c v
´
o
,
i k = 1, 2, ··· , n ta
¯
du
,
.
o
,
c
¯
diê
`
u ph
,
ai ch
´
u
,
ng minh.
Ta c
´
o
x
1
+ x
2
+···+ x
k−1
(x
k
−(k −1) +(x
k
−(k −2)) +···+(x
k
−1)) = (k −1)x
k
−
k(k − 1)
2
.
Do
¯
d
´
o 2(x
1
+ x
2
+ ···+ x
k−1
) + (2k + 1)x
k
(4k − 1)x
k
− k(k − 1).
Ta c
´
o
3x
2
k
− [(4k − 1)x
k
− k(k − 1)] = x
k
(3x
k
− 4k + 1) + k(k − 1)
v
´
o
,
i
¯
d
´
anh gi
´
a thâ
´
p nhâ
´
t t
.
ai x
k
=
2
3
k.
T
`
u
,
x
k
k,
x
k
(3x
k
− 4k + 1) + k(k − 1) k(3k − 4k − 1) + k(k − 1) = 0
nên
3x
2
k
(4k − 1)x
k
(k − 1) 2(x
1
+ x
2
+ ···x
k−1
) + (2k + 1)x
k
,
ta
¯
du
,
.
o
,
c
¯
diê
`
u ph
,
ai ch
´
u
,
ng minh.
L
`
o
,
i gi
,
ai 47.6. Chiê
´
n lu
,
.
o
,
c c
,
ua ch
´
ung ta l
`
a t
`
ım câ
´
p sô
´
m
`
a b
n
= a
n−1
+ 1 v
`
a b
n−1
=
a
n−2
+ 1. Viê
´
t d = a
n−1
− a
n−2
. Do
¯
d
´
o v
´
o
,
i m
.
oi 2 i, j n − 1 ta c
´
o b
i+1
− b
i
10 Chu
,
o
,
ng 47. Ðê
`
thi olympic to
´
an Rumania
b
n
− b
n−1
= d nên b
j
= b
n
+
n−1
i= j
(b
i
− b
i+1
) > a
n−1
+ (n − j)d = a
j−1
ch
´
ung ta
¯
d
,
am
b
,
ao r
`
˘
ang b
1
< a
1
, do
¯
d
´
o
b
j
= b
1
+
j−1
i=1
(b
i+1
− b
i
) a
1
+ ( j − 1)d = a
j
v
´
o
,
i m
.
oi j.
V
`
ı thê
´
chu
˜
ôi biê
,
u th
´
u
,
c
¯
du
,
.
o
,
c th
,
oa m
˜
an.
Ð
.
˘
at b
1
, b
2
, ··· , b
n
b
`
˘
ang k
n−1
, k
n−2
(k + 1), ··· , k
0
(k + 1)
n−1
, v
´
o
,
i k l
`
a gi
´
a tr
.
i nhâ
´
t
¯
d
.
inh.
Ð
.
˘
at a
n−1
= b
n
− 1 v
`
a a
n−2
= b
n−1
− 1.
Do d = a
n
− a
n−1
= b
n
− b
n−1
= (k + 1)
n−2
v
`
a a
1
= (k + 1)
n−2
(k + 3 − n) − 1.
Do
¯
d
´
o ta ch
,
ı câ
`
n ch
.
on k sao cho
(k + 1)
n−2
(k + 3 − n) − 1 −k
n−1
> 0.
Vê
´
tr
´
ai l
`
a
¯
da th
´
u
,
c c
,
ua k c
´
o h
.
ê sô
´
c
,
ua k
n−1
b
`
˘
ang 0 nhu
,
ng h
.
ê sô
´
c
,
ua k
n−1
b
`
˘
ang 1. V
`
ı
v
.
ây n
´
o du
,
o
,
ng v
´
o
,
i k
¯
d
,
u l
´
o
,
n v
`
a ta câ
`
n t
`
ım d
˜
ay a
1
, a
2
, ··· , a
n
v
`
a b
1
, b
2
, ··· , b
n
.
Cho n = 5, ta t
`
ım k th
,
oa m
˜
an
(k + 1)
3
(k − 2) − 1 − k
4
> 0.
T
´
ınh to
´
an ta
¯
du
,
.
o
,
c,
625 < 647 < 750 < 863 < 900 < 1079 < 1080 < 1295 < 1296 < 1511.
L
`
o
,
i gi
,
ai 47.7. Ta s
˜
e ch
´
u
,
ng minh r
`
˘
ang quy n
.
ap v
´
o
,
i n 1,
x
n+1
>
n
k=1
kx
k
> a.n!.
V
´
o
,
i n = 1 ta c
´
o x
2
3x
1
> x
1
= a.
[...]... = x u ¯ y o ¯ ` Chu,o,ng 47 Ðê thi olympic to´ n Rumania a 12 , ´ ˘ ˘ duong thang NH v` PQ cat nhau tai R, do d´ MHN a ¯ ,`, ¯o MRN, ta c´ o MN 1 2 = (x + 16) NH 4 T`, MN⊥(MPQ) ta c´ MN⊥PQ, t`, MH⊥(NPQ) ta duoc MH⊥PQ Do d´ u o u ¯ , , ¯o , vây MR l` duong cao trong MPQ V` vây MR.PQ = ,`, PQ⊥(MNHR), nhu a ¯ ı 2[MPQ] = MP.MQ v` a MR = MH √ √ √ (x2 + 16)2 − (x2 + 16) x2 + 12 + x2 + 22 = x2 + 12 x2... a o , , CHUONG 49 ` ´ ÐÊ THI OLYMPIC TOAN SLOVENIA ` ` 49.1 Ðê bai , ` Bai 49.1 Cho d˜ y c´ c sô thu,c a1 , a2 , a3 , thoa m˜ n diêu kiên a1 = 2, a a ´ a ¯ ` a2 = 500, a3 = 2000 v` hê thu,c a ´ an+2 + an+1 an+1 + an−1 , , , ` ´ ` ´ trong d´ n = 2, 3, 4, Chu,ng minh rang tât ca c´ c phân tu, cua d˜ y dêu l` c´ c sô ˘ a a ¯` a a ´ ¯o ´ nguyên du,o,ng v` 22000 chia hêt cho a2000 a , , ´ ` Bai 49.2... ´ a a ¯` a a ´ , hê th´,c trên, ngo` i ra ta c` n c´ an+1 l` sô nguyên chan v´,i moi sô nguyên duong ,, ˜ o ´ ˘ T` u u a o o an a ´ n a1999 a a2000 = a2000 a1998 a2 a1 a1 1999 ´ ¯` ´ ´ 1999 phân sô dêu chia hêt cho 2 v` a1 = 2 nên a2000 chia hêt cho 22000 a , , ` Loi giai 49.2 Cho x = 0, y = 1 ta c´ f (− f (1)) = 0 o Cho y = − f (1) ta duoc f (x) = 1 + f (1) − x ¯ , , ˘ Ðat a = 1 + f (1) v` f... PQ⊥(MNHR), nhu a ¯ ı 2[MPQ] = MP.MQ v` a MR = MH √ √ √ (x2 + 16)2 − (x2 + 16) x2 + 12 + x2 + 22 = x2 + 12 x2 + 22 16 ˘ Ðat 4y = x2 + 16 ta duoc ¯ , , (y2 − 4y)(8y + 2) = (4y − 4)(4y + 6)( y − 6)( 4y2 + y − 2) = 0 √ 1 T`, y = (x2 + 16) > 4, y = 6 suy ra x = 8 u 4 √ √ √ ´ u ` ı Do d´ MN = 24, MP = 20, MQ = 30 ta t`m duoc khôi t´, diên cân t`m ı ¯ , , ¯o 1 MN.PQ.MQ 1 = Do d´ [MNPQ] = MH.[MPQ] = MN.MP.MQ nên [NPQ]... bôn m` u Chu,ng ı ¯ , , , ` ` ´ minh rang tôn tai môt ô c´ c` ng m` u vo,i c´ c ô o, trên, o, du,o,i, bên tr´ i, bên phai ˘ o u a ´ a a , , ´ ´ ` ` ´ o cua n´ (không nhât thi t phai liên kê vo,i n´ ) o 16 ` Chu,o,ng 48 Ðê thi olympic to´ n Nga a , , ` i giai 48.2 Lo , , , ` a ´ ` Loi giai 48.1 Không tôn tai c´ c sô nguyên nhu vây , ` , , ,, ˘ Ta giai bang phuong ph´ p phan ch´,ng Trung b`nh cua... Mathematical Association of America, 2000 [2] Titu Andreescu, Zuming Feng, and George Lee, Jr Mathematical Olympiads 1999 2000, Problems and Solutions From Around the World, The Mathematical Association of America, 2001 , ˜ [3] Nguyên H˜,u Ðiên, Phu,o,ng ph´ p Ðirichle v` u,ng dung, NXBKHKT, 1999 u a a´ , ˜ [4] Nguyên H˜,u Ðiên, Phu,o,ng ph´ p Quy nap to´ n hoc, NXBGD, 2000 u a a , , , , ˜ [5] Nguyên... (1800 − ∠ABM) + (1800 − ∠NBA) = ∠MCA + ∠ADN = ∠M DA + ∠ADN = ∠M DN MBN v` MN = M N a , ´ V` vây NK l` trung tuyên cua tam gi´ c cân MN M ı a a V` vây NK⊥MK ı Do d´ M DN ¯o 13 , , CHUONG 48 ` ´ ÐÊ THI OLYMPIC TOAN NGA ` ` 48.1 Ðê bai , , ´ ` Bai 48.1 C´ hay không 19 sô tu, nhiên kh´ c nhau m` tông cua ch´ ng l` 1999 v` o a a u a a , , ` c´ c sô c´ tông cua c´ c ch˜, sô bang nhau a ´ o a u ´ ˘ , ,... tuyên v´ ¯ a ´ o ´ a AKD = KLD = K MD = DK M; ,, , tuong tu ta c˜ ng c´ : AMD = DMK u o , ,ong tr` n nôi tiêp tam gi´ c AMK v` l` tâm cua S , Vây, D l` tâm du ` a o ´ a a a ¯ 1 ` Chu,o,ng 48 Ðê thi olympic to´ n Nga a , , ,, , , Tuong tu nhu vây, E l` trung tâm cua S 2 v` F l` trung tâm cua S 3 a a a , , , ´ ´ Theo kêt qua d˜ ch´,ng minh ta c´ tâm O cua duong tr` n nôi tiêp cua tam gi´ c KLM... giai 49.4 Không mât t´nh tông qu´ t gia su sô bi trong c´ c hôp l` a, b v` c v´,i a a a a o ´ a ≤ b ≤ c Viêt b = qa + r trong d´ 0 ≤ r < a v` q ≥ 1 Sau d´ phân t´ch q a ı ¯o ¯o 24 ` Chu,o,ng 49 Ðê thi olympic to´ n Slovenia a q = m0 + 2m1 + = 2k mk ,, ˜ trong d´ mi ∈ {0, 1} v` mk = 1 Môi i = 0, 1, , k thêm 2i viên bi o hôp th´, nhât: nêu a u ´ ´ ¯o ´ ´ u mi = 1 lây bi kh´ c t`, hôp th´, hai, không... D’ Do d´ ANB = BNC ⇐⇒ BA N = BC N ⇐⇒ A D = D C ⇐⇒ ¯o , ` Chu,o,ng 50 Ðê olympic to´ n Thô Nh˜ K` a ı y 28 AD BA.BD = DC BD.BC ⇐⇒ AD.BC = BA.DC ,, , Tuong tu, BLA = DLA ⇐⇒ AD.BC = BA.DC T`, d´ ANB = BNC ⇐⇒ BLA = DLA, ngh˜a l` BD chia dôi ANC th` AC chia dôi u ¯o ı a ı ¯ ¯ , ,ng minh BLD, diêu phai ch´ u ¯ ` , , CHUONG 51 ` ´ ÐÊ THI OLYMPIN TOAN UKRAINA+ UNITED KINHDOM ` ` 51.1 Ðê bai , ´ ´ ´ ` Bai . Nguy
˜
ên H
˜
u
,
u Ðiê
,
n
OLYMPIC TO
´
AN C
´
AC NU
,
´
O
,
C
1999 – 2000
53 Ð
`
Ê THI V
`
A L
`
O
,
I GI
,
AI
(T
.
âp 6)
NH
`
A XU
´
ÂT B
,
AN GI
´
AO. v
`
a
(x
2
+ 16)
2
16
− (x
2
+ 16).
√
x
2
+ 12 + x
2
+ 22 =
√
x
2
+ 12.
√
x
2
+ 22.
Ð
.
˘
at 4y = x
2
+ 16 ta
¯
du
,
.
o
,
c
(y
2
− 4y)(8y + 2) = (4y − 4)(4y + 6)( y
Ngày đăng: 03/03/2014, 05:52
Xem thêm: tuyển tập đề thi olympic toán năm 2000 (tập 6), tuyển tập đề thi olympic toán năm 2000 (tập 6)