Ước lượng trong chứng minh bất đẳng thức

13 758 1
Ước lượng trong chứng minh bất đẳng thức

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN FECMA-ƯỚC LƯỢNG Tiếp tuyến: Với tính nhất hình học dễ thấy rằng khi tiếp tuyến ( ) tt d tại một ñiểm trên ñồ thị ( ) xfy = ngoại trừ ñiểm uốn, thì luôn luôn tồn tại lân cận ( ) β α , sao cho ( ) tt dxf ≥ khi lân cận ñó nằm trong giới hạn lồi và ( ) tt dxf ≤ lân cận ñó nằm trong giới hạn lõm. Trong trường hớp với ý ñồ ta giải bằng cách b a x = và hiển nhiên trong những bài toán mà ñẳng thức xảy ra khi cba = = thì rõ ràng ta viết phương trình tiếp tuyến tại ( ) ( ) 1;1 f .Để chứng tỏ những ưu ñiểm của cách giải này, chúng ta xét những ví dụ sau ñây [Ví dụ]. Cho cba ,, là các số thực dương.Chứng minh rằng . 2 222 22 2 22 2 22 2 cba acac c cbcb b baba a ++ ≥ ++ + ++ + ++ Giải Ta sẽ chứng minh 0 > x thì. 16 311 12 2 2 − ≥ ++ x xx x thật vậy . Nếu 11 3 0 << x thì bất ñẳng thức hiển nhiên ñúng . Nếu 11 3 ≥ x thì ta có . ( ) ( ) 2 24 31112256 −++≥ xxxx ( ) ( ) 0939141 2 2 ≥−+− xxx luôn luôn ñúng 11 3 ≥x Từ ñó ta chọn x lần lượt là a c c b b a ,, vào bất ñẳng thức trên và cộng vế theo vế ta ñược. ∑∑ − ≥ ++ cycliccyclic ba baba a 16 311 2 22 2 2 2 22 2 cba baba a cyclic ++ ≥ ++ ⇒ ∑ Vậy bài toán chứng minh xong . [Ví dụ]. Cho cba ,, là các số thực dương.Chứng minh rằng . ( ) cba c ca ac b bc cb a ab ba ++≤ + − + + − + + − 4 6 29 6 29 6 29 2 33 2 33 2 33 Giải Ta sẽ chứng minh 0 > x thì. 15 6 129 2 3 −≤ + − x x x x thật vậy . Bất ñẳng ñẳng thức viết lại . ( ) ( ) ( ) 00 6 11 15 6 129 2 2 2 3 >∀≤ + +−− =+− + − x xx xx x xx x Từ ñó ta chọn x lần lượt là a c c b b a ,, vào bất ñẳng thức trên và cộng vế theo vế ta ñược. ( ) ∑∑ −≤ + − cycliccyclic ba aab ba 5 6 29 2 33 ( ) cba aab ba cyclic ++≤ + − ⇒ ∑ 4 6 29 2 33 Vậy bài toán chứng minh xong . [Ví dụ]. Cho cba ,, là các số thực dương.Chứng minh rằng . 3 22 3 22 3 22 3 cba a ca c c c bc b b b ab a a ++ ≥ ++ + ++ + ++ Giải Ta sẽ chứng minh 0 > x thì. 3 12 1 2 3 − ≥ ++ x x x x thật vậy . Bất ñẳng ñẳng thức viết lại . ( ) ( ) ( ) 0 13 11 3 12 1 2 2 2 3 ≥ ++ +− = − − ++ xx xxx xx x Từ ñó ta chọn x lần lượt là a c c b b a ,, vào bất ñẳng thức trên ta ñược. ∑∑ − ≥ ++ cycliccyclic ba baba a 3 2 22 3 3 22 3 cba baba a cyclic ++ ≥ ++ ⇒ ∑ Vậy bài toán chứng minh xong . [Ví dụ]. Cho các số thực không âm cba ,, thoả 1 = + + cba .Chứng minh rằng . 3211113 222 +≤++++++++≤ ccbbaa Giải Áp dụng bất ñẳng thức Mincowsky ta có . 2 22 2 2 3 3 2 3 4 3 2 1 1         +       +++≥+       +=++ ∑∑ cbaaaa cycliccyclic 131 2 ≥++⇒ ∑ cyclic aa Đẳng thức xảy ra khi 3 1 === cba Ta lại có [ ] 1,0 ∈ ∀ a thì ( ) 1131 2 +−≤++ aaa thật vậy, ta viết lại như sau ( ) ( ) 01223 ≥−−⇔ aa Tương tư ta có ( ) ( ) 1131,1131 22 +−≤+++−≤++ cccbbb Cộng vế theo vế ta ñược 321 2 +≤++ ∑ cyclic aa Đẳng thức xảy ra khi 1,0 = = = cba và các hoán vị [Lê Khánh Sỹ]. Cho các số thực 7 ,, 321 ≤ n xxxx và 2 2 1 n x n k k = ∑ ≥ = . Chứng minh rằng . 5 6 1 1 1 1 1 1 1 1 22 3 3 2 2 2 2 1 1 n x x x x x x x x n n ≤ + + ++ + + + + + + + + Giải Với 7 ≤ x ta luôn có : ( ) ( ) ( ) 0 125 127 25 432 1 1 2 2 2 ≤ + −− = − − + + x xxx x x 25 432 1 1 2 x x x − ≤ + + ⇒ ∑∑ == −≤ + + ⇒ n k n k k k x n x x 11 2 25 4 25 32 1 1 5 6 1 1 1 2 n x x n k k k ≤ + + ⇒ ∑ = Vậy bài toán chứng minh xong . [Ví dụ]. Cho các số thực dương cba ,, .Chứng minh rằng . ( ) ( ) ( ) ( ) cba ba c ac b cb a ++ ≥ + + + + + 4 9 222 Giải Bất ñẳng thức trên là thuần nhất vì ( ) ( ) cbafttctbtaf ,,,, 1− = Do ñó không mất tính tổng quát của bài toán ta chuẩn hóa 9 = + + cba . Vậy bài toán ñược viết lại . ( ) 4 1 9 2 ≥ − ∑ cyclic a a với 9 = + + cba Dễ thấy . ( ) ( ) 9,0 12 1 18 9 2 ∈∀−≥ − a a a a ( ) ( ) 4 1 9 12 3 18 9 2 2 ≥ − ⇒ − + + ≥ − ⇒ ∑ ∑ cyclic cyclic a a cba a a Vậy bài toán chứng minh xong . [Ví dụ]. Cho các số thực dương cba ,, thoả 1 2222 =+++ dcba .Chứng minh rằng . ( ) 6 1111 ≥+++−       +++ dcba dcba Giải Từ hệ thức ( ) 001620 2 1 2 >∀≥+       − xxx Suy ra 4 11 5 1 , 4 11 5 1 22 +−≥−+−≥− bb b aa a , 4 11 5 1 , 4 11 5 1 22 +−≥−+−≥− dd d cc c Cộng vế theo vế ta ñược ñiều phải chứng minh. [Ví dụ]. Cho các số thực dương dcba ,,, thoả 1 = + + + dcba .Chứng minh rằng . ( ) 8 1 6 22223333 ++++≥+++ dcbadcba Giải Bài toán trên có thể viết lại như sau. Với các số thực dương t z y x , , , thoả mãn ñiều kiện 4 = + + + tzyx thì ta có ( ) ( ) 846 22223333 ++++≥+++ tzyxtzyx Thật vậy từ hệ thức. ( ) ( ) 0,0861 2 >∀≥+− mmm ta thay m lần lượt cho các biến thì ( ) 1010246 23 −++≥ ⇒ xxx Và ( ) 1010246 23 −++≥ yyy ( ) 1010246 23 −++≥ zzz ( ) 1010246 23 −++≥ ttt Cộng vế theo vế ta ñược ñiều phải chứng minh.Đẳng thức xảy ra khi 1 = = = = tzyx hay 4 1 ==== dcba . Ước lượng ñánh giá Bằng cách phân hoạch ñều của bất ñẳng thức , và ñẳng thức xảy ra khi nào ? lúc ñó ta sẽ nhận xét và ñánh giá nó , tuy nhiên chúnh ta cũng có thể sai lầm do nó không phải là tổng quát của một cách giải nào. [Lê Khánh Sỹ]. Cho ba số dương cba ,, thoả 1 = abc . Chứng minh rằng. 1 111 444444 ≤ ++ + ++ + ++ b a c a c b c b a Giải Ta chọn số thực α sao cho ααα α c b a a c b a ++ ≤ ++ − 1 44 1 ( ) 441 cbacb +≤+⇔ − ααα ( ) ( ) 44 1 cbbccb +≤+⇔ − α αα Do tính ñồng bậc của bất ñẳng thứcbất ñẳng thức hoán vị , vậy ta chọn 234 − = α ta tìm ñược ngay 2 = α do ñó ta có 22244 22244 22244 1 1 1 c b a c b a c cba b acb cba a cba + + ≤ + + ++ ≤ ++ ++ ≤ ++ Ta lại có cbacba ++≥++ 222 với 1 = abc Vậy bài toán chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi 1 = = = cba [Lê Khánh Sỹ]. Cho các số thực dương n aaaa , ,,, 321 thoả 1,3,;1,,1, , 321 ≥≥=∀= knnjiaaaa n . Chứng minh rằng. 1 1 1, ,1 ≤               + ∑ ∑ = ≠= n ii n jii k ij aa Giải Ta chọn số thực α sao cho ∑∑ = − ≠= ≤ + n i i j n jii k ij a a aa 1 1 ,1 1 α α         +≤⇔ ∑∑ ≠= − = n jii k ijj n i i aaaa ,1 1 1 αα ∑∑ ≠= − ≠= ≤⇔ n jii k ij n jii i aaa ,1 1 ,1 αα ∑∑ ∏ ≠=≠= − ≠= ≤         ⇔ n jii k i n jii i n jii i aaa ,1,1 1 ,1 α α Do tính ñồng bậc của bất ñẳng thứcbất ñẳng thức hoán vị , vậy ta chọn ( ) ( ) kn = + − − α α 11 ta tìm ñược ngay n nk 1 − + = α do ñó ñể bất ñẳng thức ñúng thì ta cần chứng minh ∑∑ = − −+ = −+ ≥ n i n nk i n i n nk i aa 1 1 1 1 1 Bất ñẳng thức trên luôn ñúng vì theo bất ñẳng thức hoán vị thì ∑ ∏ ∑ = − −+ = = −+ ≥ n i n nk i n n I i n i n nk i aaa 1 1 1 1 1 1 và 1 1 = ∏ = n I i a [Ví dụ]. Cho ba số thực dương cba ,, thoả 1 = abc . Chứng minh rằng. 1 111 442442442 ≤ ++ + ++ + ++ b a c a c b c b a Giải Ta chọn số thực α sao cho ααα α c b a a c b a ++ ≤ ++ −2 442 1 ( ) 442 cbacb +≤+⇔ − ααα ( ) ( ) 44 2 cbbccb +≤+⇔ − α αα Do tính ñồng bậc của bất ñẳng thứcbất ñẳng thức hoán vị , vậy ta chọn 434 − = α ta tìm ñược ngay 3 8 = α do ñó ta có 3 8 3 8 3 8 3 2 442 3 8 3 8 3 8 3 2 442 3 8 3 8 3 8 3 2 442 1 1 1 cba c bac cba b acb cba a cba ++ ≤ ++ ++ ≤ ++ ++ ≤ ++ Vậy ta cần chứng minh 3 2 3 2 3 2 3 8 3 8 3 8 cbacba ++≥++ Bất ñẳng thức trên luôn ñúng vì ta có ( ) ( ) 1, 222 2 888 =++≥++ xyzzyxxyzzyx Vậy bài toán chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi 1 = = = cba [Ví dụ]. Cho ba số thực dương cba ,, . Chứng minh rằng. 2 3 22 2 22 2 22 2 ≥ + + + + + b a c a c b c b a Giải Thật ra ñây chỉ là biến thể của Nesbitt mà ta chứng minh rồi ! Ta chọn số thực α sao cho         ++ ≥ + ααα α cba a cb a 2 3 22 2 ( ) 222 3222 cbacba +≥++ − αααα Ta lại có 3 2 3 3 αα ααα babba ≥++ 3 2 3 3 αα ααα cacca ≥++ Cộng vế theo vế và ñồng nhất với giả thiết ta ñược 3 = α do ñó ta có         ++ ≥ +         ++ ≥ +         ++ ≥ + 333 3 22 2 333 3 22 2 333 3 22 2 2 3 2 3 2 3 cba a ba c cba b ac b cba a cb a Cộng vế theo vế thì bài toán chứng minh xong. [Lê Khánh Sỹ]. Cho ba số dương cba ,, thoả 1 = abc . Chứng minh rằng. 1 333333 ≤ + + + + + + + + b a c c a c b b c b a a Giải Ta chọn số thực α sao cho ααα α c b a a c b a a + + ≤ + + 33 ( ) 441 cbacb +≤+⇔ − ααα ( ) ( ) 33 1 cbbccb +≤+⇔ − α αα Do tính ñồng bậc của bất ñẳng thứcbất ñẳng thức hoán vị , vậy ta chọn 233 − = α ta tìm ñược ngay 3 5 = α do ñó ta có 3 5 3 5 3 5 3 5 33 3 5 3 5 3 5 3 5 33 3 5 3 5 3 5 3 5 33 cba c bac c cba b acb b cba a cba a ++ ≤ ++ ++ ≤ ++ ++ ≤ ++ Cộng vế theo vế ta ñược ñiều phải chứng minh. [Ví dụ]. Cho ba số thực dương cba ,, . Chứng minh rằng. ( ) ( ) ( ) 1 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ≥ ++ + ++ + ++ bac c acb b cba a Giải Ta chọn số thực α sao cho ( ) ααα α cba a cba a ++ ≥ ++ 3 3 3 Bất ñẳng thức ñúng thì hiển nhiên ñúng với 1 = = cb do ñó suy ra ( ) ( ) 82 32 2 3 +≥+ aaaa αα ( ) ( ) ( ) 2212 332 334: 2: aaaaf aaaaf +++−= ′ ++−= +− + αα αα αα Ta cần có ( ) ( ) 20334:1 = ⇔ = + + + − = ′ α α α f Với 2 = α ta ñược ( ) 222 2 3 3 3 cba a cba a ++ ≥ ++ 2 2 22 3 11         + +≤       + + ⇒ a cb a cb 2 3 2 1 11             + +≤       + + ⇒ a cb a cb ( ) 02 2 2 ≥− ⇒ tt với a cb t + = luôn luôn ñúng . Tóm lại ta ñược ( ) 222 2 3 3 3 cba a cba a ++ ≥ ++ Xây dựng tương tự các bất ñẳng thức còn lại và cộng vế theo vế thì bài toán chứng minh xong. [Turkey 2007]. Cho ba số thực dương cba ,, thoả 1 = + + cba . Chứng minh rằng. ca bc ab b b ca a a bc c c ab ++ ≥ ++ + ++ + ++ 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 222 Giải ( ) ( ) abcabccbaabcaccb cabcab ab ccab 222 22 1 22222 2 2 +≥++++ ++ ≥ ++ 22222 2 abcaccb ≥+ luôn luôn ñúng Xây dựng tương tự các bất ñẳng thức còn lại và cộng vế theo vế thì bài toán chứng minh xong. [Moldova]. Cho các số thực [ ] 1,0, ,, 21 ∈ n xxx .Chứng minh rằng. 3 1 12 1212 33 2 2 3 1 1 ≤ −++ ++ −++ + −++ n n xSn x xSn x xSn x Trong ñó 33 1 3 1 n xxxS +++= Giải Bài toán chứng minh xong khi ta chứng minh ñược bất ñẳng thức sau [ ] ( ) nii xxxxSnnix +++≥−++=∈∀ , ,312,;1,1,0 21 3 Do ñó ta xây dựng bài toán như sau ( ) ( ) ( ) ( ) i nn xnS nS xxxxxx −++≤ += ++++++≤+++ 12 2 2 22, ,3 33 2 3 121 Vậy bài toán chứng minh xong . [Crux-Mathematicorum]. Cho các số thực [ ] 1,0, ,, 621 ∈ xxx . Chứng minh rằng. 5 3 5 55 5 6 3 6 5 2 3 2 5 1 3 1 ≤ +− ++ +− + +− xS x xS x xS x Trong ñó 5 6 5 5 5 4 5 3 5 2 5 1 xxxxxxS +++++= Giải Bài toán chứng minh xong khi ta chứng minh ñược bất ñẳng thức sau [ ] ( ) 3 6 3 2 3 1 5 3 5 5,6;1,1,0 xxxxSix ii +++≥+−=∈∀ Do ñó ta xây dựng bài toán như sau ( ) ( ) ( ) ( ) 5 4 3 2 2323 3 5 5 5 6 5 2 5 1 3 6 3 2 3 1 +−≤ += ++++++ ≤+++ i xS S xxx xxx Vậy bài toán chứng minh xong . [Lê Khánh Sỹ]. Cho các số thực [ ] 1,0, ,, 21 ∈ n xxx , ni ,1=∀ và hai số tự nhiên 1 ≥ ≥ β α . Chứng minh rằng. ( ) ( ) ( ) α β β βα β βα β βα α β α β α β ≤ −+ − + ++ −+ − + + −+ − + n n x n S x x n S x x n S x 1 11 2 2 1 1 Trong ñó ααα n xxxS +++= 21 Giải Áp dụng GMAM − cho α số dương ta có β βαβ ααα α xxxx ≥+++++++ − 434 2144 344 21 1 11 ( ) βα αβαβ xx ≥−+ Do ñó ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) βββ βββααα βα β α β βα αβαβ αβαβ n nn xxx n S xxxnxxx xx +++≥ − + +++≥−++++ ≥−+ 21 2121 Vì [ ] 1,0, ,, 21 ∈ n xxx nên ta suy ra ( ) ( ) ββββ β α β β α ni xxxx n S +++≥−+ − + 1 21 Hay ( ) ( ) βββ β α β α β β βα n i i i xxx x x n S x +++ ≤ −+ − + 1 21 Cho i chạy từ n ,1 và cộng theo vế ta ñược ñiều phải chứng minh. Bài tập hướng dẫn. [Ví dụ]. Cho cba ,, là các số thực dương.Chứng minh rằng . 3 2 2 2 22 3 22 3 22 3 cba a c c c b b b a a ++ ≥ + + + + + Hướng dẫn : 0 > ∀ x thì ta luôn có . 9 47 2 2 3 − ≥ + x x x [Ví dụ]. [...]... trên ta ñi ch ng minh b ñ sau (3 − 2 x )2 2 3 x 2 + (3 − x ) (7 x 2 ( ≥ )( ) 1 7 x 2 − 44 x + 44 v i 0 < x < 3 49 ) − 44 x + 44 4 x 2 − 6 x + 9 − 49(3 − 2 x ) ≤ 0 2 (x − 1)2 (28 x 2 − 126 x − 45) ≤ 0 [Ví d ] Cho ba s th c dương a, b, c Ch ng minh r ng a b+c + b c+a + c a+b ≥ 3 (a + b + c ) 2 Hư ng d n : B t ñ ng th c trên là thu n nh t do ñó ta chu n hóa a + b + c = 6 khi ñó ta c n ch ng minh 0 < x < 6... th c không âm a, b, c tho mãn a 2 + b 2 + c 2 = 1 Ch ng minh r ng a b c + + ≤ 2 1 + bc 1 + ca 1 + ab Hư ng d n : Ư c lư ng a 2a ≤ 1 + bc a + b + c [Ví d ] Cho ba s th c dương a, b, c tho mãn abc = 1 và n ≥ 1 Ch ng minh r ng a ≤ a + bn + c n n+2 3 a b n+ 2 3 +b n+2 3 +c n+2 3 [Ví d ] Cho ba s th c dương a, b, c tho mãn abc = 1 và 0 < n ≤ 1 Ch ng minh r ng 1 ≤ a +b+c a n a 1+ 2 n 3 +b 1− n 3 1+ 2 n 3... 54  1 1 + x 2 ≤  10   1 ≥ 2−x 1 + x 2 2  [Olympic BaLan] 3 và tho a + b + c = 1 Ch ng minh r ng 4 a b c 9 + + ≤ 2 2 2 1+ a 1+ b 1+ c 10 Cho các s th c a, b, c ≥ − Hư ng d n : x 36 x + 3  3 5 ≤ x ∈ − ;  thì ta luôn có 2 1+ x 50  4 2 [Ví d ] Cho a, b, c là ñ dài ba c nh c a m t tam giác Ch ng minh r ng 1 1 1 9 1 1   1 + + + ≥ 4 + +  a b c a+b+c a+b b+c c+a Hư ng d n : B t ñ ng th... ta chu n hóa a + b + c = 3 khi ñó quay v bài ti p tuy n quen thu c [Ví d ] Cho ba s dương a, b, c tho a + b + c = 3 Ch ng minh r ng 1 2a + 1 2 1 + 2b + 1 2 1 + 2c 2 + 1 ≥ 3 Hư ng d n : 1 0 < x < 3 thì ta có 2x + 1 2 ≥ − 2 3x + 5 3 9 [Ví d ] Cho a, b, c là các s th c dương.Ch ng minh r ng (b + c − a )2 + (a + c − b )2 + (a + b − c )2 2 2 2 3a 2 + (b + c ) 3b 2 + (a + b ) 3c 2 + (a + b ) ≥ 9 a2 + b2...Cho a, b, c là các s th c dương.Ch ng minh r ng 3 3 a b c a2 + 3 b2 + 3 c2 + + ≥ 3 2 a+b 3 b+c 3 c+a Hư ng d n : ∀x > 0 thì ta luôn có 3 3 2x3 x3 + 1 ≥ 5x 2 − 1 4 [Ví d ] Cho hai b s dương a1 , a2 , a3 , , an ; b1 , b2 , b3 , , bn tho a1 + a2 + a3 + + an = b1 + b2 + b3 + + bn = 1 Ch ng minh r ng 2 2 2 a12 a2 a3 an 1 + + + + ≥ a1 + b1 a 2 + b2 a3 + b3 a n + bn... a n + bn 2 Hư ng d n : x > 0 thì ta có x2 3x + 1 ≥ x +1 4 [Ví d ] Cho ba s dương a, b, c Ch ng minh r ng 5b 3 − a 3 5c 3 − b 3 5a 3 − c 3 + + ≤ a+b+c ab + 3b 2 bc + 3c 2 ac + 3c 2 Hư ng d n : x > 0 thì ta có 5 x 3 − 13 ≤ 2x − 1 x + 3x 2 [Ví d ] Cho các s th c a, b, c ∈ [0,1] và tho a + b + c = 1 Ch ng minh r ng 5 1 1 1 27 ≤ + + ≤ 2 2 2 2 1+ a 1+ b 1+ c 10 Hư ng d n : Ta luôn có ∀x ∈ [0,1] thì : . phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi 1 = = = = tzyx hay 4 1 ==== dcba . Ước lượng ñánh giá Bằng cách phân hoạch ñều của bất ñẳng thức , và ñẳng thức. 1212 33 2 2 3 1 1 ≤ −++ ++ −++ + −++ n n xSn x xSn x xSn x Trong ñó 33 1 3 1 n xxxS +++= Giải Bài toán chứng minh xong khi ta chứng minh ñược bất ñẳng thức sau [ ] ( ) nii xxxxSnnix

Ngày đăng: 01/03/2014, 15:59

Hình ảnh liên quan

Với tính nhất hình học dễ thấy rằng khi tiếp tuyến )d tt tại một ñiểm trên ñồ thị ( )x - Ước lượng trong chứng minh bất đẳng thức

i.

tính nhất hình học dễ thấy rằng khi tiếp tuyến )d tt tại một ñiểm trên ñồ thị ( )x Xem tại trang 1 của tài liệu.

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan