Đang tải... (xem toàn văn)
Ứng dụng tích phân để giải các bài toán tổ hợp - Sáng kiến kinh nghiệm Một phương pháp mới lạ và hay.
Sở gdđt quảng bình TRƯờNG THPT Số Bố TRạCH - - SáNG KIếN KINH NGHIệM Đề TàI ứng dụng tích phân để giải toán tổ hợp Giáo viên thực hiện: Nguyễn Hữu Quyết Tổ: Toán Năm häc: 2012-2013 Bố Trạch, tháng năm 2013 MỤC LỤC Trang PHẦN MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài 2 Đối tượng nghiên cứu phạm vi nghiên cứu ….2 Phương pháp nghiên cứu NỘI DUNG Nhị thức Newton Các dấu hiệu nhận biết sử dụng phương pháp tích phân 3 Các dạng tốn tổ hợp ứng dụng tích phân 3.1 Tính tích phân dựa vào hàm đa thức 3.2 Giải tốn tổ hợp dựa vào tích phân cho trước 3.3 Tính tích phân dựa vào hàm đa thức sau nhân thêm hàm số vắng 12 Bài tập đề nghị 14 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 16 Kết từ thực tiễn 16 Kết thực nghiệm 16 KẾT LUẬN 19 TÀI LIỆU THAM KHẢO 20 PHẦN MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Trong năm gần đây, toán Đại số tổ hợp thường xuất đề thi tuyển sinh vào Đại học Cao đẳng nhiều Trong nội dung có số tốn ứng dụng tích phân để giải Tuy nhiên, tích phân học chương trình lớp 12, cịn tổ hợp học chương trình lớp 11 Hệ thống tập sách giáo khoa sách tập ứng dụng tích phân để giải tốn tổ hợp khơng trình bày, học sinh khơng rèn luyện kỹ lớp Do đó, gặp toán đề thi Đại học Cao đẳng, học sinh phần lớn không làm Nhằm giúp học sinh vận dụng tích phân để giải toán tổ hợp, chuẩn bị tốt cho kỳ thi tuyển sinh vào Đại học Cao đẳng tới, chọn đề tài “Ứng dụng tích phân để giải tốn tổ hợp” làm sáng kiến kinh nghiệm Đối tượng nghiên cứu phạm vi nghiên cứu - Học sinh lớp 12A1, 12A2, 12A3 trường THPT số Bố Trạch, Quảng Bình - Các tốn Đại số tổ hợp có sử dụng tích phân để giải Phương pháp nghiên cứu Trong trình nghiên cứu, sáng kiến kinh nghiệm sử dụng phương pháp sau: nghiên cứu lý luận, điều tra quan sát thực tiễn, thực nghiệm sư phạm Trên sở phân tích kỹ nội dung chương trình Bộ giáo dục Đào tạo, cấu trúc đề thi tuyển vào Đại học Cao đẳng năm, phân tích kỹ đối tượng học sinh mà giảng dạy (đặc thù, trình độ tiếp thu, khả tự đọc, tự tìm kiếm tài liệu học tập,…) Từ lựa chọn tập cụ thể giúp học sinh vận dụng hoạt động lực tư kỹ vận dụng kiến thức để đưa lời giải cho tốn Do khuôn khổ sáng kiến, phần xin không nhắc lại kiến thức đại số tổ hợp tích phân kiến thức trình bày chi tiết sách giáo khoa trung học phổ thông, mà nhắc lại công thức khai triển nhị thức Newtơn trọng tập tổ hợp có sử dụng tích phân để giải NỘI DUNG Nhị thức Newton Cho n số nguyên dương, a b hai số thực n n k a b n C0 a n C1 a n 1b Cn a n 2b Cn bn Cn a n k b k n n k 0 Nhận xét: n - Trong khai triển a b có n + số hạng n - Tổng số mũ số hạng khai triển a b n - Các hệ số số hạng có tính chất đối xứng: Ck Cn k k , k n n n a b n Cn a n Cn 1a n 1b C2 a n 2b C0 b n n n n n - Nếu xếp theo lũy thừa giảm dần a số hạng tổng quát thứ k + n khai triển a b Ck a n k b k n Chú ý: n 1) a b C0 a n C1 a n 1b C2 a n 2b C3 a n 3b3 (1) n Cn bn n n n n n n 2) 2n Cn C1 Cn C3 Cn n n n 3) C0 C1 Cn C3 (1)n Cn n n n Các dấu hiệu nhận biết sử dụng phương pháp tích phân 1 1 Nếu tổng dãy tổ hợp, số hạng chứa phân số 1; ; ; ; ; ; n mẫu số xếp theo thứ tự tăng giảm theo quy luật đó, ta nghĩ đến việc sử dụng tích phân Khi đó, ta thực theo bước sau: Bước 1: Tìm hàm để tính tích phân với cận thích hợp Bước 2: Tính tích phân hai vế: vế chưa khai triển nhị thức Newton vế khai triển Bước 3: Cho hai kết kết luận Chú ý: Khi hệ số tổ hợp có dạng b k a k , ta chọn cận từ a đến b, tức b f x dx a Trước vào toán cụ thể, ta cần nhớ đẳng thức tích phân sau: b 1) 1 x n b n dx C0 C1 x Cn x Cn x n dx n n a a b b 1 x n 1 x2 x n 1 x C0 x C1 Cn Cn n n n n 1 n 1 a a b 2) 1 x n a b n dx C0 C1 x C2 x 1 Cn x n dx n n n n a b b n 1 1 x n 1 n n x x x C n x C n Cn 1 Cn n 1 n 1 a a b 3) x 1 n b n dx C0 x n C1 x n 1 Cn x n 2 Cn dx n n a a b b n 1 x 1n 1 x n 1 xn x C0 C1 Cn Cn n n n n n 1 n 1 a n 1 a b b a 4) a n n n n n 1 n 2 x 1 dx Cn x Cn x Cn x 1 Cn dx b b n 1 x 1n 1 x n 1 xn n x C0 C1 Cn 1 Cn n n n n n 1 n 1 a n 1 a n n Ta gọi hàm số y x 1 y x 1 hàm đa thức Các dạng toán tổ hợp ứng dụng tích phân 3.1 Tính tích phân dựa vào hàm đa thức Bài Cho n * Tính tổng: S C0 n 2n 1 n 22 1 23 Cn Cn Cn n 1 (ĐH Khối B-2003) Phân tích: Vế trái có chứa phân số, mẫu số xếp theo thứ tự tăng đơn vị, ta nghĩ đến việc sử dụng tích phân Bây giờ, ta suy nghĩ hàm lấy tích phân, cận số thay vào cho biến Vì số hạng cuối có hệ số nên ta biết cận từ đến tổng không đan dấu nên ta sử dụng 1 x n 2n 1 n 1 dx Giải n n Ta có 1 x C0 C1 x C n x C3 x Cn x n n n n 2 n n Suy 1 x dx C0 C1 x Cn x C3 x Cn x n dx n n n 1 1 x n 1 n 1 n 1 n 1 2 n 1 Vậy S C0 n 2 1 Cn x C1 x C2 x Cn x n 1 n n n n 1 1 C0 n 22 1 23 2n 1 n Cn Cn Cn n 1 22 1 23 2n 1 n 3n 1 2n 1 Cn Cn Cn n 1 n 1 Bài Cho n * Chứng minh rằng: C0 n 1 2n 1 n Cn Cn Cn n 1 n 1 (ĐH Sư phạm TPHCM Khối D-2000) Phân tích: Vế trái có chứa phân số, ta nghĩ đến việc sử dụng tích phân Tổng khơng đan dấu, ta sử dụng 1 x n dx Giải n Xét 1 x C0 C1 x C2 x C3 x Cn x n n n n n n n 1 1 1 x 1 x n dx n 1 0 2n 1 n 1 Cn Cn x Cn x 2 (1) n C3 x Cn x n dx n 1 C0 x C1 x Cn x Cn x n 1 n n n n 1 0 1 Cn C C1 C n n n n n 1 (2) n 2n 1 1 Cn Từ (1) (2) suy C0 C1 Cn n n n 1 n 1 Bài Cho n * Chứng minh rằng: n n 2Cn C1 22 Cn 23 1 Cn 2n 1 1 n n n 1 n 1 (ĐH Giao thơng Vận tải - 1996) Phân tích: Vế trái có chứa phân số, ta nghĩ đến việc sử dụng tích phân Vì 2n 1 số hạng cuối có hệ số nên ta biết cận từ đến tổng đan dấu nên ta sử n 1 dụng 1 x n dx Giải n n n Xét 1 x C C1 x C n x C3 x 1 Cn x n n n n 2 1 x n 1 x n 1 n dx 1 n 1 n 1 0 Cn C n x C n x 2 n (3) C3 x 1 Cn x n dx n n 1 n C0 x C1 x C2 x 1 Cn x n 1 n n n n n 1 0 1 n Cn 2n 1 C0 C1 22 Cn 23 1 n n n n 1 Từ (3) (4) suy 1 n n n 2C0 C1 22 Cn 23 1 Cn 2n 1 1 n n n 1 n 1 (4) Bài Cho n * Chứng minh rằng: n n 1 2 3 n n -1 + C n + C n + C n + + Cn= n+1 n+1 Phân tích: Vế trái có chứa phân số, ta nghĩ đến việc sử dụng tích phân Vì số n nên ta nghĩ hàm số để n 1 hạng cuối có hệ số tính tích phân Bằng cách phân tích số hạng tổng quát k k k Cn = 1 Cn , cho ta k+1 k+1 1 n 1 n Cn tổng C1 +C n +C + +C n - C1 + C n + C + + n n n n n+1 2 n n Từ đó, ta sử dụng 1 x dx Giải Cách 1: Xét số hạng tổng quát vế trái k k k Cn = 1 Cn với k = 0, 1, 2,…,n k+1 k+1 Do đó, 1 2 3 n n C n = C1 +C +C + +C n C n + C n + C n + + n n n n n+1 - C 2 1 n + C n + C n + + n C n+1 n n 2n+1 -1 n-1 +1 = = - 1+x dx=2 n+1 n+1 n n n n Cách 2: Xét 1+x =C +C1 x+C x +C x + +C n x n n n n n n Lấy đạo hàm hai vế ta được: n 1+x n-1 =C1 +2C x+3C x + +nC n x n-1 n n n n 1 Ta có nx 1+x n-1 n-1 n n-1 dx= n 1+x-11+x dx =n 1+x - 1+x dx 1+x n+1 1+x n n-1 2n +1 (5) n = n+1 -1 - n -1 = = n n n+1 n+1 n+1 0 C n +2C nx+3C nx 2 n n + +nC n x n-1 dx= C1 + C + C + + Cn n n n n n+1 (6) n 1 2 3 n n n -1 + Từ (5) (6) suy C n + C n + C n + + Cn= n+1 n+1 Bài Cho n * Chứng minh rằng: 1 2n 1 22n C2n C2n C2n C2n 2n 2n (ĐH khối A - 2007) Giải Xét khai triển 1 x 2n C0 C1 x C2n x C3 x C2n x 2n 2n 2n 2n 2n (7) 2n 1 x 2n C0 C1 x C2n x C3 x3 C2n x 2n 2n 2n n (8) Trừ vế theo vế (7) (8) ta được: 2n 1 x 2n 1 x 2n C1 x C3 x C2n 1x 2n 1 2n 2n 1 x 2n 1 x 2n Suy C1 x C3 x C2n 1x 2n 1 2n 2n 2n 1 x 2n 1 x 2n dx C2n x C2n x 3 2n C2n 1x 2n 1 dx 1 1 x 2n 1 1 x 2n 1 1 2n 1 2n C1 x C3 x C2n x 2n 2n 2(2n 1) 2n 2 0 0 1 2n 1 22n C2n C2n C2n C2n 2n 2n 1 Nhận xét: Nếu phải tính tổng C + C + C 2n + + C 2n ta xét 2n 2n 2n 2n+1 P x 1+x = 2n 2n + 1-x 2n =C +C x2 + +C 2n x 2n 2n 2n Sau tính tích phân P x dx Cịn phải tính tổng 1 C 2n ta lại xét C 2n + C 2n + C 2n + + 2n 2n+2 2 Q x =x.P x =C x+C 2n x + +C 2n x 2n+1 2n 2n Sau tính tích phân Q x dx Ta gặp dạng phần Bài Cho n * Chứng minh rằng: 2C0 2n 2 22n 1 2n C2n C2n C2n 2n 2n Giải Xét 1 x 2n 2n C0 C1 x C2n x C3 x C2n x 2n 2n 2n 2n 1 1 x 1 2n 1 x 2n 1 22n 1 dx n 1 2n 1 (9) 1 C2n C2n x C2n x 1 C3 x C2n x 2n dx 2n 2n 1 1 C0 x C1 x C2 x C3 x C2n x 2n 1 2n 2n 2n 2n 2n 2n 1 2 2C0 C2n C2n C2n 2n 2n 2n (10) 22n 1 2 Từ (9) (10) suy 2C2n C2n C2n C2n 2n 2n 2n 3.2 Giải tốn tổ hợp dựa vào tích phân cho trước Đối với dạng này, thông thường câu có hai ý: ý thứ u cầu tính tích phân ý thứ hai chứng minh đẳng thức tổ hợp tính tổng Khi đó, ta linh hoạt sử dụng ý trước để làm ý sau Bài Cho n a) Tính I x x n dx 1 1 2 n 1 n b) Chứng minh rằng: Cn Cn Cn Cn 3(n 1) 3(n 1) (ĐH Mở Hà Nội - 1999) Giải a) Đặt t x dt x 2dx Đổi cận x t ; x t 2 t n 1 2n 1 1 n Khi đó, I t dx 31 n 1 3(n 1) (11) 1 n b) Xét I x C0 C1 x Cn x C3 x Cn x 3n dx n n n n C0 x C1 x C3 x8 C5 x11 Cn x3n dx n n n n 1 1 1 C0 x C1 x C2 x Cn x 3n 3 n n n n 3n 3 0 1 n Cn C C1 C n n n 3(n 1) (12) 1 2n 1 n Từ (11) (12) suy C0 C1 Cn Cn n n 3(n 1) 3(n 1) Bài Cho n * a) Tính tích phân x 1 -x n dx n -1 C n = 1 1 b) Chứng minh rằng: C n - C n + C n - C n + + n 2(n+1) 2(n+1) (ĐH Luật, ĐH Bách Khoa Hà Nội - 1997) Giải a) Đặt t x dt xdx Đổi cận x t ; x t 1 t n 1 1 n Khi đó, I t dx 21 n 1 2(n 1) (13) n b) Xét I x C0 C1 x Cn x C3 x 1 Cn x 2n dx n n n n 10 n n C0 x C1 x Cn x C3 x 1 Cn x 2n 1 dx n n n 1 1 1 C0 x C1 x C1 x C1 x 2n 2 n n n n 2n 2 0 1 1 n C0 C1 C 1 Cn n n n n 2(n 1) (14) n -1 C n = 1 1 Từ (13) (14) suy C n - C n + C n - C n + + n 2(n+1) 2(n+1) Bài Cho n * a) Tính tích phân I n = 1-x n dx n 1 -1 C n = 2n !! b) Chứng minh rằng: 1- C1 + C - C + + n n n 2n+1 n 2n+1!! Giải u x a) Đặt dv dx n du 2nx x v=x n 1 dx Khi đó, In x x n 1 2 2nx x 0 n 1 1 n 1 2n x dx- 1-x x 0 2n I n 1 I n Do đó, In I n 1 Suy I n In I n 1 dx n 1 dx 2n 2n 2n !! I n 1 I 2n n 1 In I 2n 2n 2n 1!! 2n !! I 2n !! 2n 1!! 2n 1!! (15) 11 b) Xét I= 1-x n n dx C0 C1 x Cn x C3 x 1 Cn x 2n dx n n n n 0 1 1 n C x C1 x C x C x 1 C n x 2n 1 n n n n n 2n 0 n -1 C n 1 1- C1 + C n - C3 + + n n n 2n+1 (16) n -1 C n = 2n !! 1 Từ (15) (16) suy 1- C1 + C - C + + n n n n 2n+1 2n+1!! 3.3 Tính tích phân hàm đa thức sau nhân thêm hàm số vắng Khi toán cho mà số hạng tổng quát k k Cn mà Cn ta k+1 k+2 phải nhân thêm x vào hàm đa thức trước tính tích phân, cịn k Cn ta phải nhân thêm x2 vào hàm đa thức trước tính tích phân,… k+3 Bài Cho n * Chứng minh rằng: 1 1 n2n 1 n Cn Cn Cn Cn n2 n 1 n Phân tích: Vế trái có chứa phân số, ta nghĩ đến việc sử dụng tích phân Vì số hạng cuối có hệ số k Cn ta phải nhân thêm x vào hàm số trước k+2 n tính tích phân Khi đó, ta sử dụng x 1 x dx Giải n n Xét x 1 x x C0 C1 x C2 x C3 x Cn x n n n n n x 1 x n dx 1 x n 1 n dx 1 x dx 1 x n 1 x n 1 n2 n 1 0 12 n2n 1 2n 2n 1 n2 n 1 n 1 n x 1 x n 17 dx x C0 C1 x Cn x C3 x3 Cn x n dx n n n n 0 n C0 x C1 x Cn x C3 x Cn x n 1 dx n n n 1 1 Cn x C1 x Cn x Cn x n n n n2 2 0 1 1 n Cn C0 C1 Cn n n n2 Từ (17) (18) suy (18) 1 1 n2n 1 Cn Cn Cn Cn n n2 n 1 n Bài Cho n * Chứng minh rằng: 1 1 n Cn Cn Cn 1 Cn n n2 n 1 n Phân tích: Vế trái có chứa phân số, ta nghĩ đến việc sử dụng tích phân Vì số hạng cuối có hệ số k Cn ta phải nhân thêm x vào hàm số trước k+2 n tính tích phân Vì tổng đan dấu nên ta sử dụng x 1 x dx Giải n n Xét x 1 x x C0 C1 x C2 x C3 x 1 Cn x n n n n n n Đặt u x du dx Đổi cận x u ; x u Khi đó, x 1 x n 1 u n 1 u n dx 1 u u dx n 1 n 0 n 1 n n n 1 n 13 19 x 1 x n n dx x C0 C1 x C2 x C3 x 1 Cn x n dx n n n n n 0 n C0 x C1 x C2 x C3 x 1 Cn x n 1 dx n n n n n 1 n 1 Cn x C1 x Cn x 1 Cn x n n n n2 2 0 1 n Cn C0 C1 C2 1 n n n n n2 (20) 1 n Từ (19) (20) suy C0 C1 Cn 1 Cn n n n n 1 n 1 n Bài tập đề nghị Bài Cho n * Chứng minh rằng: 1 n C0 C1 C2 1 Cn n n n n n 1 n 1 HD: Vì tổng đan dấu hệ số gắn với Cn nên sử dụng n n 1 1 x n dx Bài Cho n * Chứng minh rằng: n 1 1 n C0 C1 C2 1 Cn n n n n n n 1 n 1 n 1 HD: Vì tổng đan dấu hệ số gắn với C0 nên sử dụng n n 1 x 1 n Bài Cho n * Chứng minh rằng: 1 3n 1 1 2C0 C1 22 C2 23 n Cn 2n 1 n n n n n 1 n 1 (ĐH Đà Nẵng - 2001) HD: Sử dụng 1 x n dx 1 1 Cn Bài Tính tổng: S C0 C1 C2 n n n n n3 14 dx n HD: Sử dụng x 1 x dx Bài Chứng minh rằng: a) 1+e n+1 + n+1 k 2n+1 n k k 1 k+1 Cn n+1 + k+1 Cn e k=0 k=0 n n 22n+2 3n+1 k Ck Cn k 1 n n+1 2n 1 k=0 k+1 k=0 k+1 n b) Bài Đặt Sn 1 1 Chứng minh rằng: n 1 n 1 n a) Sn C1 C2 C3 C4 1 Cn n n n n n b) Sn C1 Sn 1 CnSn n Bài Tính tổng S 1.C0 n A1 1 2.C1 n A1 3.Cn A1 n n Cn 1S1 1n 1 n n 1.Cn , biết C0 C1 C2 211 n A1 1 n n n n 1 n HD: Phân tích S C0 C1 Cn C3 Cn C1 Cn Cn n n n n n n 1 2 15 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM Kết từ thực tiễn Trước dạy thực nghiệm, tiến hành khảo sát ba lớp mà đảm nhiệm Qua kết khảo sát, thấy phần lớn học sinh khơng làm tốn nêu Học sinh khơng làm tất nhiên lý sau: + Hệ thống tập sách giáo khoa sách tập ứng dụng tích phân để giải tốn tổ hợp khơng trình bày + Các kiến thức Đại số tổ hợp chương trình lớp 11, học sinh quên + Học sinh chưa định hình cách giải Tuy nhiên, trước bắt đầu dạy thực nghiệm, yêu cầu học sinh ôn tập lại kiến thức Đại số tổ hợp Trong giảng dạy, hướng dẫn học sinh tỉ mỉ cách nhận biết tốn tổ hợp vận dụng tích phân, phân tích yếu tố có tốn để từ đưa hàm lấy tích phân, cận tích phân thay số tương ứng để đến lời giải Sau hướng dẫn học sinh yêu cầu học sinh giải số tốn có sử dụng tích phân để giải em thận trọng tìm hàm lấy tích phân trình bày lời cho tốn đặt Kết thực nghiệm Sáng kiến áp dụng năm học 2012-2013 Thực nghiệm sư phạm tiến hành nhằm mục đích kiểm nghiệm tính khả thi hiệu đề tài Thực nghiệm sư phạm tiến hành lớp 12A1, 12A2, 12A3, trường THPT số Bố Trạch, Quảng Bình + Lớp 12A1 ( 46 học sinh), 12A2( 44 học sinh), áp dụng sáng kiến + Lớp 12A3 ( 46 học sinh) không áp dụng sáng kiến Sau dạy thực nghiệm cho lớp 12A1, 12A2, cịn khơng dạy thực nghiệm lớp 12A3, cho lớp làm kiểm tra Với kết sau: 16 Sáng kiến kinh nghiệm 2012-2013 Xếp loại Giỏi Đối tượng www.VNMATH.com Khá Tb Yếu Kém 12A1 10,9% 26,1% 34,8% 15,2% 13,0% 12A2 9,1% 22,7% 36,4% 18,2% 13,6% 12A3 0% 0% 13,6% 25,0% 61,4% Vì nêu nên đa số em lớp 12A3 làm khơng được, tính tích phân Bài Còn lớp 12A1, 12A2, em trang bị kiến thức phương pháp giải vấn đề nên phần lớn em biết cách làm Do đó, kết kiểm tra cho ta khác biệt lớp dạy thực nghiệm lớp không dạy thực nghiệm Đề kiểm tra khảo sát 45 phút SỞ GDĐT QUẢNG BÌNH KIỂM TRA KHẢO SÁT THỰC NGHIỆM TRƯỜNG THPT SỐ BỐ TRẠCH Thời gian làm bài: 45 phút Họ tên:………………………………………………………………………….Lớp: 12A… Bài (2,0 điểm) Chứng minh rằng: 1 22013 C0 C2 C4 C2012 2013 2013 2013 2013 2013 2014 Bài (2,0 điểm) Tính tổng: S 1 n1 C0 C1 C2 1 Cn n n n n n2 n 1 n3 Bài (4,0 điểm) Cho n * a) Tính tích phân x 1 + x n dx 1n n+1 -1 1 1 Cn = C n + C n + C n + C n + + b) Chứng minh rằng: n 2(n+1) 2(n+1) n Bài (2,0 điểm) Tìm hệ số chứa x khai triển x , biết n số x nguyên dương thỏa mãn 2C0 n 2 23 2n 1 n 6560 Cn Cn Cn n 1 n 1 17 Hướng dẫn: Bài Sử dụng 1 x 2013 dx 1 n Bài Sử dụng x x 1 dx Bài a) Đặt u x n b) Từ câu a), ta khai triển x 1 + x tính tích phân hai vế Ta rút gọn sử dụng 2 Bài Sử dụng 1 x n 1 x n dx dx Kết quả: Hệ số cần tìm 18 21 KẾT LUẬN Trong đề thi Đại học Cao đẳng có nhiều dạng tốn mà chương trình sách giáo khoa khơng giới thiệu, sở kinh nghiệm thân q trình dạy học lớp 12, tơi mạnh dạng đưa số tập Đại số tổ hợp có ứng dụng tích phân để giới thiệu cho em lớp hy vọng vấn đề năm học học sinh biết đến lớp nội dung chương trình học Do hạn chế thời gian kinh nghiệm giảng dạy nghiên cứu, sáng kiến khơng thể tránh khỏi thiếu sót Tơi mong góp ý, bổ sung q thầy cô bạn để sáng kiến hoàn thiện 19 TÀI LIỆU THAM KHẢO Đồn Quỳnh (tổng chủ biên), Giải tích 12 nâng cao, Nhà xuất giáo dục 2009 Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên), Đại số Giải tích 11 nâng cao, Nhà xuất giáo dục 2009 Phạm Trọng Thư, Tuyển chọn 36 đề thử sức Đại học mơn Tốn, Nhà xuất Đại học Sư phạm 2012 Nguyễn Đức Hồng, Giới thiệu nhanh đề thi tốn học, Tốn, Nhà xuất Đại học Sư phạm 2010 Võ Thanh Văn (chủ biên), Chuyên đề ứng dụng nguyên hàm, tích phân giải tốn THPT, Nhà xuất Đại học Sư phạm 2009 Trần Phương, Tuyển tập chuyên đề kỹ thuật tính tích phân, Nhà xuất tri thức 2006 - HẾT - 20 ... Các dấu hiệu nhận biết sử dụng phương pháp tích phân 3 Các dạng tốn tổ hợp ứng dụng tích phân 3.1 Tính tích phân dựa vào hàm đa thức 3.2 Giải tốn tổ hợp dựa vào tích phân. .. vận dụng tích phân để giải tốn tổ hợp, chuẩn bị tốt cho kỳ thi tuyển sinh vào Đại học Cao đẳng tới, chọn đề tài ? ?Ứng dụng tích phân để giải tốn tổ hợp? ?? làm sáng kiến kinh nghiệm Đối tượng nghiên... tập lại kiến thức Đại số tổ hợp Trong giảng dạy, hướng dẫn học sinh tỉ mỉ cách nhận biết tốn tổ hợp vận dụng tích phân, phân tích yếu tố có tốn để từ đưa hàm lấy tích phân, cận tích phân thay