KÕT QU¶ NGHI£N CøU Vµ øNG DôNG T¹p chÝ khoa häc c«ng nghÖ x©y dùng Sè 13/8-2012 7 XÂY DỰNG HÀM DẠNG CỦA PHẦN TỬ DẦM CHỊU UỐN CÓ NHIỀU VẾT NỨT VÀ ỨNG DỤNG VÀO PHÂN TÍCH CÁC DẠNG DAO ĐỘNG RIÊNG CỦA KẾT CẤU HỆ THANH Trần Văn Liên 1 , Trịnh Anh Hào 2 Tóm tắt: Việc đánh giá sự làm việc của kết cấu có vết nứt cũng như việc xác định vết nứt trong kết cấu là một vấn đề quan trọng, cần thiết, thu hút sự quan tâm của các nhà nghiên cứu trên thế giới và ở Việt Nam. Bài báo trình bày các kết quả nghiên cứu về việc xác định hàm dạng dao động của phần tử dầm đàn hồi chịu uố n có nhiều vết nứt theo mô hình lò xo bằng phương pháp độ cứng động lực kết hợp với phương pháp ma trận chuyển. Từ đó đã xây dựng thuật toán và chương trình phân tích sự thay đổi các dạng dao động riêng của kết cấu hệ thanh khi xuất hiện vết nứt. Các kết quả nghiên cứu nhận được là mới, là cơ sở cho việc xây dựng một phương pháp hiệu quả để xác định vết nứt trong các kết cấu hệ thanh dựa trên phân tích các đặc trưng dao động. Từ khóa: Vết nứt, độ cứng động lực, tần số dao động riêng, dạng dao động riêng Abstract: Assessment of the behavior of damaged structures as well as determination of the location and the depth of cracks in multiple cracked structures are very important and have attracted attention many researchers. This article presents some results on the determination of the vibration shape function of a multiple cracked elastic beam element, which is modeled as an assembly of intact sub-segments connected by massless rotational springs, by using the combination of dynamic stiffness and transfer matrix methods. Algorithms and computer programs to analyse changes of natural mode shapes of multiple cracked beams have been determined. Numerical analysis of natural mode shapes of multiple cracked cantilever beams using the obtained expression shows a good agreement in comparison with the well-known analytical methods. The methodology approach and results presented in this article are new and are the basis for building an efficient method to identify cracks in frame structures. Keywords: cracked beam, transfer matrix, natural frequency, mode shape. Nhận ngày 06/6/2012, chỉnh sửa ngày 28/6/2012, chấp nhận đăng 30/8/2012 1. Đặt vấn đề Sự hình thành và phát triển vết nứt hay hư hỏng trong các kết cấu xây dựng làm giảm khả năng làm việc và tuổi thọ của công trình, do đó, việc đánh giá chính xác sự xuất hiện vết nứt hay hư hỏng trong các kết cấu công trình là một vấn đề quan trọng, cần thiết, đã và đang thu hút sự quan tâm của các nhà nghiên cứu và xây dựng công trình trên thế giới và ở Việt Nam. Nhữ ng nghiên cứu hiện nay về việc xác định vết nứt hay hư hỏng trong kết cấu công trình bằng các phương pháp kiểm tra không phá hủy phát triển chủ yếu theo hướng sử dụng các đặc trưng động lực học của kết cấu như tần số dao động riêng, dạng dao động riêng, hàm 1 PGS.TS, Khoa Xây dựng DD&CN, Trường Đại học Xây dựng. E-mail: lientv@hotmail.com 2 ThS, Công ty cổ phần đầu tư, tư vấn và thi công xây dựng Việt Nam. KếT QUả NGHIÊN CứU Và ứNG DụNG Số 13/8-2012 Tạp chí khoa học công nghệ xây dựng 8 ph phn ng [1,2,3,5,6,9,13]. Mt u im ca hng nghiờn cu ny l s tham s cn o c xỏc nh s lng, v trớ v sõu ca vt nt hay h hng trong cỏc kt cu cú th l ớt hn s tham s cn xỏc nh nh gii bi toỏn cc tr [2]. Do cỏc phng phỏp gii tớch ch gii hn trong cỏc kt cu dm n gin [1,6,9] v khụng ỏp d ng c cho cỏc kt cu h thanh phc tp nh dm liờn tc nhiu nhp hay kt cu khung, nờn cho n nay vic xỏc nh cỏc c trng ng lc hc ca kt cu ch yu da vo phng phỏp phn t hu hn v s phỏt trin gn õy ca nú l phng phỏp cng ng lc: - Theo phng phỏp phn t hu hn, i v i cỏc kt cu h thanh cú vt nt, thanh c chia thnh nhiu phn t thanh nguyờn vn liờn kt vi nhau ti cỏc vt nt. Nhm khc phc vn ny, Sato H. [12] ó kt hp gia phng phỏp ma trn chuyn v phng phỏp phn t hu hn. Do phng phỏp phn t hu hn l mt phng phỏp gn ỳng nờn cỏc c trng ng lc hc xỏc nh theo phng phỏp ny l gn ỳng, c bit l i vi cỏc tn s v dng dao ng bc cao [2]. - Theo phng phỏp cng ng lc, i vi cỏc kt cu dng thanh cú vt nt, thanh cng c chia thnh nhiu phn t thanh nguyờn vn liờn kt vi nhau ti cỏc vt nt [7]. Kt hp phng phỏp cng ng lc v phng phỏp ma trn chuyn, trong cỏc cụng trỡnh [2,8], tỏc gi ó xõy dng c mụ hỡnh phn t thanh thng 3 chiu cú nhiu vt nt chu kộo, nộn, un, xon theo phng phỏp cng ng lc. Mụ hỡnh ny ó c ng dng xỏc nh s lng, v trớ v sõu ca thanh cú nhiu vt nt da trờn cỏc tn s riờng o c t thc nghim. Tuy vy, vic xỏc nh dng dao ng riờng ng vi cỏc tn s riờng o c cũn cha c gi i quyt. xỏc nh c cỏc dng dao ng riờng thỡ cn thit phi xỏc nh hm dng dao ng cho phn t dm chu un cú nhiu vt nt vi v trớ v sõu bt k, ng thi cú k n cỏc h s cn khỏc nhau. Vn ny khỏ phc tp v cha thy cụng b trong cụng trỡnh no. Bi bỏo ny trỡnh by cỏc kt qu nghiờn cu v vic xỏc nh cỏc hm dng dao ng c a phn t dm n hi chu un cú nhiu vt nt theo mụ hỡnh lũ xo bng phng phỏp cng ng lc kt hp vi phng phỏp ma trn chuyn. T ú ó xõy dng thut toỏn v chng trỡnh phõn tớch s thay i dng dao ng riờng ca cỏc kt cu h thanh khi cú s xut hin ca cỏc vt nt. Cỏc kt qu nhn c l mi, l c s cho vic phõn tớch s lm vic ca kt cu cú vt nt v cng l c s cho vic xut mt phng phỏp hiu qu xỏc nh cỏc vt nt trong kt cu da trờn phõn tớch cỏc c trng dao ng. 2. Hm dng ca phn t dm nguyờn vn chu un Trong phng phỏp phn t hu hn [4], hm dng ca phn t dm nguyờn vn chu un l nghi m phng trỡnh cõn bng tnh khi khụng cú ti trng ngoi (hỡnh 1) Hỡnh 1. Phn t dm nguyờn vn chu un 0 4 4 = dx wd EI z (1) cựng vi cỏc iu kin biờn ( ) ( ) ( )() () () () () () () () () () () () () 0 1; 0 0; 0; 0 (2 ) 00;01; 0; 0(2) 00;00; 1; 0(2) 0 0; 0 0; 0; 1 (2 ) ww wLwL a wwwLwLb ww wLwLc ww wLwLd === = ==== ==== ==== Nghim ca cỏc bi toỏn biờn ny l cỏc hm dng N 1 , N 2 , N 3 , N 4 , gi l cỏc hm Hermit: P 2 u 3 nh 4 P 4 u 1 u 4 P 3 x P 1 y L u 2 KÕT QU¶ NGHI£N CøU Vµ øNG DôNG T¹p chÝ khoa häc c«ng nghÖ x©y dùng Sè 13/8-2012 9 () () () () 2 32 4 32 3 2 32 2 32 1 ;23;2;231 L x L x xN L x L x xN L x L x xxN L x L x xN +−= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =+−= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −= (3) Khi cho trước các giá trị ;;; 1234 uu uu tại hai đầu nút phần tử dầm thì chuyển vị ngang của dầm là: () () () ( ) ( ) 44332211 uxNuxNuxNuxNxw + + += (4) Trong phương pháp độ cứng động lực, Leung A.Y.T [10] chọn hàm dạng của phần tử dầm nguyên vẹn chịu uốn là nghiệm phương trình dao động tự do không cản 0 ),( 2 2 4 4 = ∂ ∂ + ∂ ∂ t w A x txw EI z ρ (5) cùng với các điều kiện biên (2a-d). Nghiệm của bài toán biên này là các hàm dạng N 1 , N 2 , N 3 , N 4 dưới đây: ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − −−+ −−+− −− ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 3 3 3 5 3 4 3 6 2 1 2 3 2 2 2 4 3 3 3 5 3 4 3 6 2 1 2 3 2 2 2 4 4 3 2 1 2/2/2/2/2/ 2/2/2/2/2/1 2/2/2/2/2/ 2/2/2/2/2/1 sinhcoshsincos λλλλλ λλλλ λλλλλ λλλλ λλλλ LF F LFL F F F LF F LF F LFL F F F LF F L x L x L x L x N N N N (6) trong đó EI AL 4 24 ρ ωλ = là tham số động lực; ω là tần số dao động (rad/s); F i (i=1, ,6) là các hàm số: 1coscosh )cossinhsin(cosh;/)sin(sinh /)sin(sinh;/)cos(cosh )cossinhsin(cosh;/)sin(sinh 3 6 3 5 2 4 2 3 21 −= +−=+= =−−= − − = −−= λ λ δ δλλλλλδλλλ δλλλδλλλ δ λ λ λ λ λ δ λ λ λ FF FF FF (7) Khi ω = 0, tương ứng với bài toán tĩnh, từ các hàm dạng (6) ta nhận được các hàm dạng Hermit (3). Nếu như trong trường hợp dầm nguyên vẹn chịu uốn, việc xác định các hàm dạng là bước đầu tiên để thành lập ma trận độ cứng động lực của phần tử thì trong trường hợp dầm chịu uốn có nhiều vết nứt theo mô hình lò xo, việc xác định hàm dạng là khá phức tạp, ph ải dựa vào kết quả xây dựng ma trận độ cứng động lực theo phương pháp ma trận chuyển. 3. Ma trận độ cứng động lực của phần tử dầm chịu uốn có nhiều vết nứt Xét dầm chịu uốn trong mặt phẳng Oxy có chiều dài L, diện tích tiết diện A, mômen quán tính I z , môđun đàn hồi E, mật độ khối lượng ρ . Phương trình dao động tự do của dầm có dạng [11]: 0 ),(),( 2 2 2 4 5 1 4 4 = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂∂ ∂ + ∂ ∂ t w t w A tx txw x txw EI z μρμ (8) với μ 1 là hệ số cản nhớt của vật liệu, μ 2 là hệ số cản của môi trường. Đặt ti extxw ω ω ),(),( Φ= với Φ (x, ω ) là biên độ của chuyển vị ngang trên dầm, ta có: KÕT QU¶ NGHI£N CøU Vµ øNG DôNG Sè 13/8-2012 T¹p chÝ khoa häc c«ng nghÖ x©y dùng 10 0),( ),( 4 4 4 =Φ− Φ ωλ ω x dx xd (9) trong đó: 1;1 ˆ 2 24 −= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −= i i IE A z ω μ ρ ωλ là tham số động lực học ( ω là tần số dao động, rad/s), nếu λ = 0 tức ω = 0 ta có trường hợp biến dạng tĩnh, với ω ≠ 0 thì Φ (x, ω ) là biên độ chuyển vị động; )1( ˆ 1 ωμ iEE += là modul đàn hồi phức, dưới đây để cho dễ theo dõi ta vẫn dùng ký hiệu E như khi không có cản. Giả sử dầm bị nứt tại các điểm x j , j=1,2, ,n trong đó 0 012 1 x xx xx L n n = << << < = + với các độ sâu a j . Sử dụng mô hình lò xo của vết nứt, ta có mô hình dầm như hình 2 với các độ cứng lò xo k z j được tính theo công thức quy đổi [1,2]. Như vậy, cùng với phương trình (9) ta có các quan hệ tương thích tại các vị trí vết nứt x j ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ()() njk ; x xEIx xx; xx; xx z jjjjjzj jjjjjj , ,2,1;1000 000000 ==+Φ ′ =−Φ ′′ +−Φ ′ + Φ ′ ′ ′ = − Φ ′ ′ ′ + Φ ′ ′ = − Φ ′′ +Φ=−Φ αα (10) Hình 2. Phần tử dầm có nhiều vết nứt chịu uốn Ta đưa vào các chuyển vị nút { } 4321 uuuuU = tại 0 = x và L x= () () ( ) ( ) 0 ; 0 ; ; 12 34 uuuLuL ′′ =Φ =Φ =Φ =Φ (11) và các lực nút tương ứng () () ( ) ( ) Lu; Lu; u ; u Φ ′ = Φ = Φ ′ =Φ= 4321 00 (12) Sử dụng các ký hiệu {} () {} () 1n1,2, ,j ; )0();0();0();0(,,,Z n1, ,,0j ; )0();0();0();0(,,,Z 4,3,2,1, 4,3,2,1, +=−Φ ′′ −Φ ′′′ −−Φ ′ −Φ== =+Φ ′′ −+Φ ′′′ +Φ ′ +Φ== −−−− − ++++ + T jzjzjj T jjjj j T jzjzjj T jjjj j xEIxEIxxZZZZ xEIxEIxxZZZZ (13) khi đó 44,133,142,131,1 24,013,022,011,0 )(;)(;)(;)( )0(;)0(;)0(;)0( PLEIZPLEIZuLZuLZ PEIZPEIZuZuZ znznnn zz =Φ ′′ ==Φ ′′′ −==Φ ′ ==Φ= =Φ ′′ −==Φ ′′′ ==Φ ′ ==Φ= − + − + − + − + ++++ (14) và các hàm Krylov k 1 x 1 k 2 x 2 k n x n Biên x=0 u 3 P 4 P 3 x u 2 u 1 P 1 P 2 u 4 y Biên x=L L KÕT QU¶ NGHI£N CøU Vµ øNG DôNG T¹p chÝ khoa häc c«ng nghÖ x©y dùng Sè 13/8-2012 11 cosh cos cosh cos sinh sin sinh sin () ; () ; () ; () 1324 2222 x xxxxxxx Kx Kx K x Kx +−+− ==== (15) Nghiệm tổng quát của phương trình (9) trên đoạn j=1,2, ,n+1 với x ∈ (x j-1 , x j ) có dạng 14,1 2 3 3,1 3 4 2,1 2 1,11 )( )()( )()( − + − + − + − + − −=−++=Φ jj z j z jjj xxx; Z EI xK Z EI xK Z xK ZxKx λ λ λ λ λ λ λ (16) Tại đầu phải − j Z của đoạn thanh j, ta có + − − = 1j j j ZTZ với j =1,2, ,n+1 (17) trong đó ma trận T j được gọi là ma trận chuyển của đoạn dầm nguyên vẹn ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −−− − − = − − )()()()( )()()()( )()()()( )()()()( ),( 12 1 43 2 413 2 2 3 2 2 314 2 3 3 42 1 1 llll llll llll llll l λλλλλλλ λλλλλλλ λλλλλλλ λλλλλλλ λ KKKEIKEI KKKEIKEI EIKEIKKK EIKEIKKK T zz zz zz zz j (18) với 1− −= jjj xxl . Sử dụng các véc tơ +− jj Z,Z , ta viết lại điều kiện (10) dưới dạng ma trận −+ = j j j ZJZ với j = 1,2, n (19) trong đó ma trận )( jjj JJ α = được gọi là ma trận chuyển tại vị trí vết nứt ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = 1000 0100 010 0001 )( j jj J α α (20) Từ (19), (17) ta có: + − + = 1j jj j ZTJZ với j=1, ,n (21) dẫn đến : + −− + = 0 1111 ZTJTJTJZ nnnn n (22) Nhân cả hai vế của phương trình này với ma trận 1+n T và áp dụng (17), ta nhận được ++ −+ − + == 00 112211 1 ZQZTJTJJTJTZ nnnn n (23) trong đó ma trận Q được gọi là ma trận chuyển của dầm có n vết nứt bên trong 112211 TJTJJTJTQ nnnn −+ = (24) Ta viết ma trận Q dưới dạng [ ] [ ] [][] ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 43 21 QQ QQ Q với [] [] [] [] ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 4443 3433 4 4241 3231 3 2423 1413 2 2221 1211 1 ; ; ; QQ QQ Q QQ QQ Q QQ QQ Q QQ QQ Q (25) KÕT QU¶ NGHI£N CøU Vµ øNG DôNG Sè 13/8-2012 T¹p chÝ khoa häc c«ng nghÖ x©y dùng 12 và chú ý các ký hiệu đã đưa vào ở trên, từ (23) cho ta các quan hệ [] [] [] [] ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 2 1 4 2 1 3 4 3 2 1 2 2 1 1 4 3 ; P P Q u u Q P P P P Q u u Q u u (26) Từ đó có thể rút ra quan hệ giữa các lực nút P và chuyển vị nút U của phần tử dầm chịu uốn có nhiều vết nứt như sau: [] {} {} PUK e = (27) trong đó: [] [][] [ ] [][][][][][] ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = −− −− 1 241 1 243 1 21 1 2 QQQQQQ QQQ K e (28) Ma trận [K e ] 4x4 được gọi là ma trận độ cứng động lực của phần tử dầm có n vết nứt. 4. Xác định hàm dạng và dạng dao động riêng của phần tử dầm chịu uốn có nhiều vết nứt 4.1 Xác định hàm dạng Dựa vào biểu thức nghiệm tổng quát (16) và biểu thức (27), ta có thể xác định được hàm dạng dao động của phần tử dầm chịu uốn có nhiều v ết nứt như sau: a. Để tìm hàm dạng N 1 , từ điều kiện biên (2a), ta xác định ứng lực P 1 và P 2 dựa vào (27): () ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 21 11 24232221 14131211 2 1 0001 k k kkkk kkkk P P T Như vậy, các thông số của đoạn thứ nhất (j=1) là { } 214113210 )0(;)0(;0)0(;1)0( kZkZZZZ ===== +++++ (29) nên hàm dạng N 1 cho đoạn này có dạng 0 )( )( )( 21 2 3 11 3 4 1 )1( 1 −=−+= xx; k EI xK k EI xK xKN zz λ λ λ λ λ (30) Sử dụng (21) và (16), ta xác định được thông số của hàm dạng N 1 trên đoạn kế tiếp. Trường hợp dầm không có vết nứt, ta nhận được hàm dạng xK KKK KKK xK KKK KKKK xKN )( ~~~ ~~~ )( ~~~ ~~~~ )( 3 42 2 3 31 2 2 4 42 2 3 4321 11 λλλ − − − − − += trong đó )( ~ LKK ii λ = . Khi các hệ số cản 0 21 = = μ μ , ta nhận lại được hàm dạng N 1 theo (6). b. Để tìm hàm dạng N 2 , từ điều kiện biên (2b), ta xác định ứng lực P 1 và P 2 dựa vào (27): () ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 22 12 24232221 14131211 2 1 0010 k k kkkk kkkk P P T Như vậy, các thông số của đoạn thứ nhất (j=1) là { } 224123210 )0(;)0(;1)0(;0)0( kZkZZZZ ===== +++++ (31) KÕT QU¶ NGHI£N CøU Vµ øNG DôNG T¹p chÝ khoa häc c«ng nghÖ x©y dùng Sè 13/8-2012 13 nên hàm dạng N 2 cho đoạn này có dạng: 0 )( )()( 22 2 3 12 3 42 )1( 2 −=−+= xx; k EI xK k EI xKxK N zz λ λ λ λ λ λ (32) Sử dụng (21) và (16), ta xác định được thông số của hàm dạng N 2 trên đoạn kế tiếp. Trường hợp dầm không có vết nứt, ta nhận được hàm dạng xK KKK KKKK xK KKK KKK xK N )( ) ~~~ ( ~~~~ )( ) ~~~ ( ~~~ )( 3 42 2 3 4132 4 42 2 3 31 2 2 2 2 λ λ λ λ λ λ − − − − − += trong đó () K KL ii λ = % . Khi các hệ số cản 0 21 = = μ μ , ta nhận lại được hàm dạng N 2 theo (6). c. Để tìm hàm dạng N 3 , từ điều kiện biên (2c), ta xác định ứng lực P 1 và P 2 dựa vào(27) () ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 23 13 24232221 14131211 2 1 0100 k k kkkk kkkk P P T Như vậy, các thông số của đoạn thứ nhất (j=1) là { } 234133210 )0(;)0(;0)0(;0)0( kZkZZZZ ===== +++++ (33) nên hàm dạng N 3 cho đoạn này có dạng 0 )( )( 23 2 3 13 3 4 )1( 3 −=−= xx; k EI xK k EI xK N zz λ λ λ λ (34) Sử dụng (21) và (16), ta xác định được thông số của hàm dạng N 3 trên đoạn kế tiếp. Trường hợp dầm không có vết nứt, ta nhận được hàm dạng xK KKK K xK KKK K N )( ~~~ ~ )( ~~~ ~ 3 42 2 3 3 4 42 2 3 2 3 λλ − + − −= trong đó () K KL ii λ = % . Khi các hệ số cản 0 21 = = μ μ , ta nhận lại được hàm dạng N 3 theo (6). d. Để tìm hàm dạng N 4 , từ điều kiện biên (2d), ta xác định ứng lực P 1 và P 2 dựa vào (27) () ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 24 14 24232221 14131211 2 1 1000 k k kkkk kkkk P P T Như vậy, các thông số của đoạn thứ nhất (j=1) là { } 244143210 )0(;)0(;0)0(;0)0( kZkZZZZ ===== +++++ (35) nên hàm dạng N 4 cho đoạn này có dạng 0 )( )( 24 2 3 14 3 4 )1( 4 −=−= xx; k EI xK k EI xK N zz λ λ λ λ (36) Sử dụng (21) và (16), ta xác định được các thông số của hàm dạng N 4 trên các đoạn kế tiếp. Trường hợp dầm không có vết nứt, ta nhận được hàm dạng KÕT QU¶ NGHI£N CøU Vµ øNG DôNG Sè 13/8-2012 T¹p chÝ khoa häc c«ng nghÖ x©y dùng 14 )( ) ~~~ ( ~ )( ) ~~~ ( ~ 3 42 2 3 4 4 42 2 3 3 4 xK KKK K xK KKK K N λ λ λ λ − − − = trong đó () K KL ii λ = % . Khi các hệ số cản 0 21 = = μ μ , ta nhận lại được hàm dạng N 4 theo (6). 4.2 Xác định dạng dao động riêng Việc lắp ghép ma trận độ cứng động lực của từng phần tử dầm (28) vào ma trận độ cứng động lực của cả kết cấu )( ˆ ω K thực hiện tương tự như trong phương pháp phần tử hữu hạn. Khi đó, bài toán dao động riêng của cả kết cấu dẫn đến bài toán tìm tần số và dạng dao động riêng từ hệ phương trình: ˆ () 0KU ω = (37) trong đó các tần số riêng ω j được xác định từ phương trình 0)( ˆ det = ω K (38) và các chuyển vị nút U tương ứng với tần số riêng ω j được tìm từ (37). Sau khi xác định được các chuyển vị nút 4321 ;;; uuuu (chính xác đến một hệ số tỷ lệ), ta xác định dạng dao động riêng của phần tử dầm chịu uốn có nhiều vết nứt dựa vào (4). 5. Phân tích dao động của kết cấu hệ thanh có nhiều vết nứt 5.1 Dầm đơn giản Xét dầm đơn giản có chiều dài nhịp L = 0.8m, tiết diện chữ nhật b×h = 0.02×0.02m 2 , khối lượng riêng ρ = 7800kg/m 3 , môđun đàn hồi Young E=2.1×10 11 N/m 2 , hệ số poisson ν =0.3 [12]. Hình 3a-b chỉ ra sự thay đổi 2 dạng dao động đầu tiên (là hiệu số của dạng dao động riêng dầm có vết nứt và dạng dao động riêng của dầm không có vết nứt tương ứng) của dầm đơn giản hai đầu liên kết khớp có 1 vết nứt tại vị x=0.3m từ bên trái với độ sâu 30% tính theo phương pháp giải tích (đường , [2]) và theo phương pháp đề nghị ( đường - * -). Rõ ràng các dạng dao động riêng nhận được theo phương pháp đề xuất là trùng khớp với các dạng dao động riêng nhận được theo phương pháp giải tích. 5.2 Dầm liên tục nhiều nhịp Xét dầm liên tục có chiều dài nhịp L 1 =0.8m, L 2 =1.1m, L 3 =0.6m, tiết diện chữ nhật b×h=0.04×0.02m 2 , khối lượng riêng ρ =7850kg/m 3 , môđun đàn hồi Young E=2.1×10 11 N/m 2 , hệ số poisson ν =0.3 (hình 4). Hình 5-7 thể hiện sự thay đổi ba dạng dao động riêng đầu tiên do sự thay đổi vị trí vết nứt trên các nhịp khác nhau của dầm liên tục có Hình 3: So sánh sự thay đổi 2 dạng riêng đầu tiên a) b) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 x 10 -3 Comparison of DSM and Analytic Method:Single crack Span(m) Amplitude Mode 2 - Analytic mode 2 -DSM 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x 10 -3 Comparis on of DSM and Analytic Method: Single c rack Span(m) Ampli tude Mode 1 - Analytic mode 1 -DSM Hình 4. Dầm liên tục nhiều nhịp b h L 1 =0.8m L 2 =1.1m L 3 =0.6m KÕT QU¶ NGHI£N CøU Vµ øNG DôNG T¹p chÝ khoa häc c«ng nghÖ x©y dùng Sè 13/8-2012 15 1 vết nứt tại các vị trí: - 0.2m (hình 5a, 6a, 7a), 0.4m (hình 5b, 6b, 7b), 0.6m (hình 5c, 6c, 7c) từ đầu nhịp thứ nhất; Hình 5. Sự thay đổi dạng dao động riêng đầu tiên của dầm liên tục có 1 vết nứt a) b) c) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 Comparision of the eigenmodes: 1 Three-Span(m) Amplitude 10 % 20% 30% 40% 50% 60% 0 0.5 1 1.5 2 2.5 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 Comparision of the eigenmodes: 1 Three-Span(m) Amplitude 10 % 20% 30% 40% 50% 60% 0 0.5 1 1.5 2 2.5 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Comparision of the eigenmodes : 1 Three-Span(m) Amplitude 10 % 20% 30% 40% 50% 60% d) e) f) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 Comparision of the eigenmodes: 1 Three-Span(m) Amplitude 10 % 20% 30% 40% 50% 60% 0 0.5 1 1.5 2 2.5 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 Comparision of the eigenmodes: 1 Three-Span(m) Amplitude 10 % 20% 30% 40% 50% 60% 0 0.5 1 1.5 2 2.5 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 Comparision of the eigenmodes : 1 Three-Span(m) Amplitude 10 % 20% 30% 40% 50% 60% g) h) i) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 Comparision of the eigenmodes : 1 Three-Span(m) Amplitude 10 % 20% 30% 40% 50% 60% 0 0.5 1 1.5 2 2.5 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 Comparision of the eigenmodes : 1 Three-Span(m) Amplitude 10 % 20% 30% 40% 50% 60% 0 0.5 1 1.5 2 2.5 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 Comparision of the eigenmodes : 1 Three-Span(m) Amplitude 10 % 20% 30% 40% 50% 60% d) e) f) a) b) c) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 Comparision of the eigenmodes : 2 Three-Span(m) Amplitude 10 % 20% 30% 40% 50% 60% 0 0.5 1 1.5 2 2.5 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 Comparision of the eigenmodes : 2 Three-Span(m) Amplitude 10 % 20% 30% 40% 50% 60% 0 0.5 1 1.5 2 2.5 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 Comparision of the eigenmodes : 2 Three-Span(m) Amplitude 10 % 20% 30% 40% 50% 60% 0 0.5 1 1.5 2 2.5 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 Comparision of the eigenmodes: 2 Three-Span(m) Amplitude 10 % 20% 30% 40% 50% 60% 0 0.5 1 1.5 2 2.5 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 Comparision of the eigenmodes: 2 Three-Span(m) Amplitude 10 % 20% 30% 40% 50% 60% 0 0.5 1 1.5 2 2.5 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 Comparision of the eigenmodes: 2 Three-Span(m) Amplitude 10 % 20% 30% 40% 50% 60% g) h) i) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 Comparision of the eigenmodes: 2 Three-Span(m) Amplitude 10 % 20% 30% 40% 50% 60% 0 0.5 1 1.5 2 2.5 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 Comparision of the eigenmodes: 2 Three-Span(m) Amplitude 10 % 20% 30% 40% 50% 60% 0 0.5 1 1.5 2 2.5 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Comparision of the eigenmodes: 2 Three-Span(m) Amplitude 10 % 20% 30% 40% 50% 60% Hình 6. Sự thay đổi dạng dao động riêng thứ hai của dầm liên tục có 1 vết nứt KÕT QU¶ NGHI£N CøU Vµ øNG DôNG Sè 13/8-2012 T¹p chÝ khoa häc c«ng nghÖ x©y dùng 16 - 0.2m (hình 5d, 6d, 7d), 0.5m (hình 5e, 6e, 7e), 0.8m (hình 5f, 6f, 7f) từ đầu nhịp thứ hai; - 0.1m (hình 5g, 6g, 7g), 0.3m (hình 5h, 6h, 7h), 0.5m (hình 5i, 6i, 7i) từ đầu nhịp thứ ba. với các độ sâu tăng dần từ 6% đến 72%. Hình 8 thể hiện sự thay đổi 3 dạng dao động riêng đầu tiên của dầm liên tục khi số lượng vết nứt trên dầm liên tục tăng dần từ 1 đến 6 với khoảng cách đều nhau 0.15m tại nhịp th ứ hai và cùng độ sâu 30%. Ta có một số nhận xét: - Tại vị trí vết nứt, dạng dao động riêng có sự thay đổi đột ngột (đỉnh nhọn) nhưng độ lớn của sự thay đổi dạng dao động riêng tại vị trí vết nứt không phải là lớn nhất. - Độ lớn của sự thay đổi dạng dao động riêng tăng lên khi độ sâu vết n ứt tăng lên. - Tại nhịp xuất hiện vết nứt dạng dao động riêng có sự thay đổi đột ngột. Tại các nhịp khác sự thay đổi này lại là liên tục, sự thay đổi cũng là tương đối lớn ở các nhịp liền kề. - Có những vị trí vết nứt không làm thay đổi dạng dao động riêng. Ví dụ: vết nứt tại vị trí 0.8m từ đầu nhịp thứ hai (hay 1.6m từ đầu ngàm của dầm liên tục) không làm thay đổi cả 3 dạng dao động riêng (hình 5f, 6f, 7f); vết nứt tại vị trí 0.2m làm thay đổi 2 dạng dao động riêng đầu tiên nhưng không làm thay đổi dạng dao động riêng thứ ba (hình 7a). Các điểm như vậy Hình 7. Sự thay đổi dạng dao động riêng thứ ba của dầm liên tục có 1 vết nứt d) e) f) a) b) c) g) h) i) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 Comparision of the eigenmodes : 3 Three-Span(m) Amplitude 10 % 20% 30% 40% 50% 60% 0 0.5 1 1.5 2 2.5 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 Comparision of the eigenmodes : 3 Three-Span(m) Amplitude 10 % 20% 30% 40% 50% 60% 0 0.5 1 1.5 2 2.5 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 Comparision of the eigenmodes : 3 Three-Span(m) Amplitude 10 % 20% 30% 40% 50% 60% 0 0.5 1 1.5 2 2.5 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 Comparision of the eigenmodes : 3 Three-Span(m) Amplitude 10 % 20% 30% 40% 50% 60% 0 0.5 1 1.5 2 2.5 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 Comparision of the eigenmodes : 3 Three-Span(m) Amplitude 10 % 20% 30% 40% 50% 60% 0 0.5 1 1.5 2 2.5 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 Comparision of the eigenmodes : 3 Three-Span(m) Amplit ude 10 % 20% 30% 40% 50% 60% 0 0.5 1 1.5 2 2.5 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 Comparision of the eigenmodes : 3 Three-Span(m) Amplitude 10 % 20% 30% 40% 50% 60% 0 0.5 1 1.5 2 2.5 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 Comparision of the eigenmodes : 3 Three-Span(m) Amplitude 10 % 20% 30% 40% 50% 60% 0 0.5 1 1.5 2 2.5 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 Comparision of the eigenmodes : 3 Three-Span(m) Amplitude 10 % 20% 30% 40% 50% 60% Hình 8. Sự thay đổi 3 dạng dao động riêng đầu tiên khi số lượng vết nứt tăng lên từ 1-6 a) b) c) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 Comparision of the eigenmodes : 2 Three-Span(m) Amplitude 1 Crack 2 Cracks 3 Cracks 4 Cracks 5 Cracks 6 Cracks 0 0.5 1 1.5 2 2.5 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 Comparision of the eigenmodes : 1 Three-Span(m) Amplitude 1 Crack 2 Cracks 3 Cracks 4 Cracks 5 Cracks 6 Cracks 0 0.5 1 1.5 2 2.5 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 Comparision of the eigenmodes : 3 Three-Span(m) Amplitude 1 Crack 2 Cracks 3 Cracks 4 Cracks 5 Cracks 6 Cracks [...]... tích Từ chương trình này, các tác giả đã có các phân tích chi tiết về sự thay đổi dạng dao động riêng của kết cấu hệ thanh có nhiều vết nứt, cụ thể là dầm liên tục nhiều nhịp có nhiều vết nứt Các kết quả nghiên cứu nhận được là mới, là cơ sở cho việc xây dựng một phương pháp hiệu quả để phân tích sự làm việc của kết cấu khi có vết nứt và cũng là cơ sở để xây dựng một phương pháp hiệu quả xác định vết. .. NGHI£N CøU Vµ øNG DôNG gọi là các điểm bất biến của dạng dao động riêng để phân biệt với các điểm nút của dạng dao động riêng, tại đó dạng dao động riêng bằng 0 6 Kết luận Trong bài báo này, các tác giả đã trình bày các kết quả nghiên cứu về việc xác định hàm dạng dao động của phần tử dầm đàn hồi chịu uốn có nhiều vết nứt theo mô hình lò xo bằng phương pháp độ cứng động lực kết hợp với phương pháp ma... Trên cơ sở đó, các tác giả đã xây dựng một chương trình phân tích sự thay đổi của các dạng dao động riêng cho kết cấu hệ thanh có nhiều vết nứt theo phương pháp độ cứng động lực trên nền MatLab Độ chính xác và tin cậy của kết quả nghiên cứu được thể hiện qua ví dụ so sánh các dạng dao động riêng của dầm công xôn có vết nứt tính theo phương pháp đề xuất là trùng khớp với các dạng dao động riêng tính theo... một phương pháp hiệu quả xác định vết nứt trong các kết cấu hệ thanh dựa trên phân tích các đặc trưng dao động Tài liệu tham khảo 1 Trần Thanh Hải (2011), Chẩn đoán vết nứt của dầm bằng phương pháp đo rung động, Luận án Tiến sỹ kỹ thuật, Viện Cơ học 2 Trần Văn Liên (2003), Bài toán ngược trong cơ học và một số ứng dụng, Luận án Tiến sỹ kỹ thuật, Trường Đại học Xây dựng 3 Adams R.D., Cawley P., Pie C.J... Institute of Applied Mechanics 8 N T Khiem, T V Lien (2001), “A simplified method for frequency analysis of multiple cracked beam”, Journal of Sound and Vibration, 245, 737-751 9 Nguyen Tien Khiem and Dao Nhu Mai (1997), “Natural frequency analysis of cracked beam”, Vietnam Journal of Mechanics, NCNST of Vietnam, 19(2), 28-38 10 Leung Y.T (1993), Dynamic Stiffness and Substructures, Springer-Verlag, . 13/8-2012 7 XÂY DỰNG HÀM DẠNG CỦA PHẦN TỬ DẦM CHỊU UỐN CÓ NHIỀU VẾT NỨT VÀ ỨNG DỤNG VÀO PHÂN TÍCH CÁC DẠNG DAO ĐỘNG RIÊNG CỦA KẾT CẤU HỆ THANH Trần. định dạng dao động riêng của phần tử dầm chịu uốn có nhiều vết nứt dựa vào (4). 5. Phân tích dao động của kết cấu hệ thanh có nhiều vết nứt 5.1 Dầm