CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI CHỨA THAM SỐ – ĐỊNH LÝ VIETE (PHẦN 1) Bài Giải biện luận phương trình sau theo tham số m  m   x   m   x   m m  m  x  2mx    m   x  1  m  x   mx   m   x  4m   mx  1  m  x  m  Bài Cho hai số a b khác thỏa mãn 1   Chứng minh phương trình ẩn x sau ln ln có nghiệm a b x  ax  b x  bx  a     Bài Chứng minh phương trình ẩn x sau ln có nghiệm với giá trị tham số x  x  1  x  x  b    x  a  x  b   x   a  b  x   a  ab  b  3 x   a  b  c  x  ab  bc  ca   x  a  x  b    x  a  x  c    x  c  x  b   c  x  a  x  b   b  x  a  x  c   a  x  c  x  b   Bài Cho hai phương trình x  2mx  n  1 (m, n, k tham số thực) 1 1   x   k   mx  n  k     2 k k   Chứng minh (1) có nghiệm phương trình (2) có nghiệm Bài Cho ba số thực a , b, c thỏa mãn a  ab  ac  Chứng minh phương trình ax  bx  c  ln có hai nghiệm phân biệt  c  0, Bài Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn hệ điều kiện   c  a   ab  bc  2ac  Chứng minh phương trình ax  bx  c  ln có nghiệm Bài Cho phương trình ax  bx  b  (1), với a b tham số thực  a  0, b  0 Giả sử phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 Chứng minh tồn số thực 1 ,  cho x1 x b  1    x2 x1 a Bài Cho phương trình ẩn x : x  ax  b   (1); với a, b tham số thực Tìm a b để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1  2; x2  Giả sử (1) có nghiệm kép   , tìm giá trị nhỏ biểu thức T  a  b Tìm b cho (1) có nghiệm  a Cho b  Tìm giá trị a để (1) có hai nghiệm lớn 1 CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN – SƯ ĐOÀN – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH Bài Cho phương trình: x  mx  n   (1); với m n tham số thực Với n  , tìm m để (1) có hai nghiệm phân biệt  x1  x2  1, Tìm m n để (1) có hai nghiệm x1 , x2 cho  2  x1  x2  Tìm nghiệm phương trình (1) m n thỏa mãn: 5m  6n  mn  10m  48n  135  Tìm giá trị nguyên m n để (1) có hai nghiệm nguyên m n Bài 10 Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm:  a  1 x   a  b  x  b   (a b tham số thực) Bài 11 Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn a  b  c  Chứng minh ba phương trình sau có nghiệm x  ax   x  bx   1  2  3 x  cx   Bài 12 Cho ba số thực không âm a, b, c thỏa mãn a  2b  3c  Chứng minh hai phương trình sau có nghiệm x   2a  1 x  4a  192abc   x   2b  1 x  4b  96abc   Bài 13 Cho ba số thực a, b, c khác hai số thực p , q; p  x; q  x Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm a2 b2  c x p xq Bài 14 Cho hai số thực m n thỏa mãn 19 m  n  2000 Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm: 20mx  5nx  100  m  Bài 15 Cho ba số thực a , b, c đơi phân biệt Chứng minh phương trình sau ln có hai nghiệm phân biệt 1    x a xb xc Bài 16 Cho phương trình x  ax  b  (a b tham số thực) Gọi x0 nghiệm phương trình Chứng minh x0  a  b  Bài 17 Cho bốn phương trình ẩn x với a , b, c, d tham số thực ax  2bx  c  bx  2cx  d  cx  2dx  a  1  2  3  4 dx  ax  b  Chứng minh bốn phương trình cho có nghiệm Bài 18 Cho phương trình: x  ax   (1); với a tham số thực 2a Gọi b c hai nghiệm phân biệt (1) Chứng minh b4  c   Bài 19 Cho phương trình x   a  b  x  ab  (1); với a b tham số thực Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình (1) Tìm x1 , x2 biết a b thỏa mãn đẳng thức x12  x2    x1  x2  x1 x2  CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN – SƯ ĐOÀN – QN ĐỒN BỘ BINH Bài 20 Cho phương trình ax   b  a  1 x  m   (1); với a, b, m tham số thực Cho a  1; b  Tìm m để (1) có hai nghiệm x1 , x2 cho biểu thức M  x12  x2 đạt giá trị nhỏ Chứng minh 2a  b  2ab  6a  2b   (1) có hai nghiệm đối Bài 21 Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình x  px  q  (1) Gọi x3 , x4 hai nghiệm phương trình x  rx  s  (2) q  p Chứng minh x1 x4  x2 x3    s r Bài 22 Cho phương trình  x  ax  b  1 x  bx  a  1  (1); với a b tham số thực Chứng minh phương trình cho ln có nghiệm với a b Bài 23 Cho hai phương trình ẩn x: x   a  d  x  ad  bc  x   a  d  3abc  3bcd  c   ad  bc   1  2 ( a, b, c, d tham số thực) Gọi p q hai nghiệm phương trình (1) Chứng minh p q hai nghiệm phương trình (2) Bài 24 Cho phương trình: ax   ab  1 x  b  (1); với a b tham số thực Chứng minh (1) ln có nghiệm với giá trị a b Xác định giá trị a b để phương trình có nghiệm x  Bài 25 Chứng minh với a  c  b phương trình ax  bx  c  ln có nghiệm Bài 26 Chứng minh hai phương trình sau có nghiệm ax  bx  c  1 (với a, b, c tham số thực) ax  bx  c   2 Bài 27 Chứng minh ba phương trình ẩn x sau có nghiệm x  2ax  bc  1 x  2bx  ca   2 3 (với a , b, c tham số thực khác 0) x  2cx  ab  Bài 28 Giả dụ a , b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh phương trình  a  b  c  x  4abx  a  b  c  ln có nghiệm Chứng minh phương trình b x   b  c2  a  x  c  vô nghiệm Chứng minh phương trình x   a  b  c  x  ab  bc  ca  vơ nghiệm Bài 29 Cho phương trình ax  bx  c  (a khác 0) Chứng minh phương trình ln có nghiệm tham số a, b, c thỏa mãn điều kiện sau 5a  2c  b 2b c  4 a a b  a  c,   a  a  a  2b  4c   5a  3b  2c  CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN – SƯ ĐOÀN – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH Bài 30 Cho ba số thực dương a, b, c cho a  b  c  Chứng minh ba phương trình ẩn x sau có nghiệm x  2a x  b  1 y  2b y  c3   2 3 z  2c z  a  Bài 31 Cho ba số thực dương a, b, c cho a  b  c  Chứng minh ba phương trình ẩn x sau có nghiệm x  2ax  abc  1 y  2by  abc   2  3 z  2cz  abc  Bài 32 Cho ba số thực dương a , b, c Chứng minh ba phương trình ẩn x sau có nghiệm 16  b  c  x  16ax  b  c  1  2  3 16  a  c  y  16by  a  c  16  a  b  z  16cz  a  b  Bài 33 Cho a, b, c, d bốn số thực dương thỏa mãn a  b  c  d  Chứng minh bốn phương trình ẩn x sau có nghiệm ax  x  ab  1 bx  x  bc   2 3  3 cx  x  cd  dx  x  da  Bài 34 Chứng minh ba phương trình ẩn x sau có nghiệm x  4a ax  b c  1 x  4b bx  c a   2 3 (với a , b, c tham số thực dương) x  4c cx  a 2b  Bài 35 Chứng minh ba phương trình ẩn x sau có nghiệm x  2ax  ac  1 x  2cx  c    (với 3 a , b, c tham số thực) x  2bx  ab  c Bài 36 Chứng minh ba phương trình ẩn x sau có nghiệm x  ax  b   1 x  bx  c   x  cx  a   c  2  3 (với a , b, c tham số thực) Bài 37 Giả dụ a1a2   b1  b2  Chứng minh hai phương trình ẩn x sau có nghiệm x  a1 x  b1  x  a2 x  b2  CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN – SƯ ĐOÀN – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH Bài 38 Cho phương trình  x  2ax  2b  1 x  2bx  2a  1  (1); với a b tham số thực Chứng minh phương trình cho ln có nghiệm với a b Bài 39 Cho ba phương trình ẩn x với a, b, c tham số thực ax  2bx  c  bx  2cx  a  cx  2ax  b  Chứng minh ba phương trình cho có nghiệm 1  2  3 a  b  c ,  Bài 40 Cho phương trình ẩn x : a x   a  b  c  x  b  với tham số thực a, b, c thỏa mãn   a  b  c  Chứng minh phương trình cho vơ nghiệm Bài 41 Cho ba phương trình ẩn x với a , b, c tham số thực ax   a  b  c  x  b  1 bx   a  b  c  x  c   2 cx   a  b  c  x  a   3 Chứng minh ba phương trình cho có nghiệm Bài 42 Cho hai phương trình ẩn x với a, b, c tham số thực: x  ax  b  c  1 x  bx  a  c   2 Giả sử phương trình (1) vơ nghiệm Chứng minh phương trình (2) có nghiệm Bài 43 Cho hai phương trình ẩn x với a, b, c, d tham số thực: x  ax  b  1 x  cx  d   2 a  a  c  c c  a    d  b   Giả sử a, b, c, d thỏa mãn bất đẳng thức: Chứng minh hai phương trình cho có nghiệm Bài 44 Cho a, b, c, d tham số thực, a b thỏa mãn a  b  Chứng minh phương trình ẩn x sau có nghiệm:  a  b  1 x  1  ac  bd  x  c  d   Bài 45 Chứng minh phương trình ẩn x sau ln có nghiệm:  a  b  x   a  b3  x  a  b  Bài 46 Cho hai phương trình ẩn x với tham số thực m: x2  2x  m   m  1  x  x  m    m  1  x  1 1  2 Giả sử (1) có hai nghiệm phân biệt Chứng minh phương trình (2) vơ nghiệm Bài 47 Cho hai phương trình ẩn x với tham số thực a, b, c, m, n, p : ax  bx  c  1  2 mx  nx  p  Giả dụ hai phương trình (1) (2) vơ nghiệm Chứng minh phương trình sau ln ln có nghiệm  an  mb  x   ap  mc  x  bp  nc  CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN – SƯ ĐOÀN – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH Bài 48 Cho ba số thực x, y, z Đặt a  x  y  z; b  xy  yz  xz; c  xyz Chứng minh phương trình ẩn t sau ln có nghiệm t  2at  3b  1 at  2bt  3c  Bài 49 Cho hai phương trình bậc hai ẩn x với a tham số thực x  ax   x  xa 0 Xác định a để (1) (2) có nghiệm chung Bài 50 Cho hai phương trình ẩn x tham số m x2  2x  m   2 1  2 1  2 x  mx   Tìm m để hai phương trình có nghiệm chung Xác định m để hai phương trình tương đương với Tìm m để hai phương có hai nghiệm phân biệt lớn m Bài 51 Cho hai phương trình ẩn x tham số m x  mx   x2  x  m  Tìm m để hai phương trình cho có nghiệm chung Tìm m để hai phương trình cho tương đương với Định m để hai phương trình có hai nghiệm phân biệt nhỏ Bài 52 Cho hai phương trình ẩn x tham số m x2   m  2 x   1 x  mx  m    2 Giải phương trình (1) với m  Xác định m để (1) (2) có nghiệm chung Xác định m để (1) có nghiệm phân biệt trái dấu với nghiệm phân biệt phương trình (2) Bài 53 Cho hai phương trình ẩn x với tham số m x   3m   x  1 x   m  15  x  19  2 Xác định m để (1) (2) có nghiệm chung Tìm m để hai phương trình tương đương với Xác định m để (1) có hai nghiệm phân biệt nhỏ 1, đồng thời (2) có hai nghiệm nhỏ Bài 54 Cho hai phương trình bậc hai ẩn x với tham số m x2   m  4 x  m   1 x2   m  2 x  m   Tính tổng nghiệm hai phương trình m  Định m để (1) (2) có nghiệm chung Tìm m để hai phương trình cho tương đương với Bài 55 Cho hai phương trình ẩn x với tham số thực m x   2m  3 x    2 1  2 x2  x  m   Xác định m để hai phương trình cho có nghiệm chung Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt dương đồng thời (2) có hai nghiệm âm Định giá trị m để hai phương trình (1) (2) tương đương với CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN – SƯ ĐOÀN – QUÂN ĐỒN BỘ BINH Bài 56 Tìm a b để hai phương trình sau tương đương với x   3a  2b  x  x   2a  3b  x  2b  Bài 57 Tìm giá trị nguyên m để hai phương trình sau có nghiệm chung x   3m  1 x  1 x   2m   x   2 Bài 58 Giả sử hai phương trình (1) (2) có nghiệm chung nghiệm lại (1) (2) nghiệm phương trình x  x  ab  x  ax  2b  1 (với a b hai tham số thực khác nhau) x  bx  2a   2 Bài 59 Cho hai phương trình ẩn x x  ax  bc  1 (với a, b c tham số thực khác khác đôi một) x  bx  ca   2 Giả sử phương trình (1) (2) có nghiệm chung Tìm nghiệm cịn lại phương trình Chứng minh nghiệm lại thỏa mãn phương trình: x  cx  ab  Bài 60 Cho hai phương trình ẩn x với tham số thực m 3x  x  m   1 x  2mx    2 Định m để (1) (2) tương đương Tìm giá trị nguyên m để (1) (2) có nghiệm chung Xác định m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt 3x2  x  m   x2  2mx  5  Bài 61 Cho hai phương trình ẩn x với tham số thực m x  mx   1  2 mx  x   Tìm m để (1) (2) có nghiệm chung Tìm tất giá trị nguyên m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt  x2  m  x2  mx 1 mx2  x    Bài 62 Cho hai phương trình bậc hai ẩn x, tham số a b x  ax   x  bx  12  Giả dụ hai phương trình có nghiệm chung Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức M  a  b Bài 63 Cho hai phương trình bậc hai ẩn x với tham số m, n x2  mx   x2  nx   Giả sử hai phương trình cho có nghiệm chung Tìm giá trị nhỏ biểu thức T  m  n Bài 64 Giả sử hai phương trình ẩn x sau có nghiệm chung x  ax  b  x  cx  d  Chứng minh đẳng thức  b  d    a  c  ad  bc   CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN – SƯ ĐOÀN – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH Bài 65 Cho hai phương trình ẩn x với tham số a, b, c x  bx  c  1  2 x  b x  bc  Biết (1) có hai nghiệm x1 , x2 ; (2) có hai nghiệm x3 , x4 cho x3  x1  x4  x2  Tìm b c Bài 66 Cho hai phương trình ẩn x ax  bx  c  1 cx  dx  a   2 2 Biết (1) có hai nghiệm x1 , x2 ; (2) có hai nghiệm x3 , x4 Chứng minh rằng: x12  x2  x3  x4  Bài 67 Cho hai phương trình ẩn x với tham số a1 , b1 , c1 , a2 , b2 , c2 a1 x  b1 x  c1  1 a2 x  b2 x  c2   2 Giả sử (1) (2) có nghiệm chung Chứng minh  a1c2  a2 c1    a1b2  a2b1  b1c2  b2c1  Bài 68 Cho hai phương trình ẩn x với tham số m x  mx  2m   1  2 x2   m2  m   x   Định m để hai phương trình có nghiệm chung Tìm m để hai phương trình cho tương đương Xác định m để (1) (2) có hai nghiệm dương phân biệt Bài 69 Xác định tham số m n để hai phương trình ẩn x sau tương đương với x2   m  n  x   1 x  x  3m  n   Bài 70 Tìm m n để hai phương trình ẩn x sau tương đương x   2m  n  x  3m   2 1  2 x   m  3n  x   Bài 71 Cho hai phương trình ẩn x với tham số m n x  mx  2m   1  2 mx   2m  1 x  1 Tìm m để hai phương trình có nghiệm chung Định m để hai phương trình tương đương Bài 72 Cho hai phương trình ẩn x với tham số m x2  2x  m  x  x  3m  Tìm m để hai phương trình cho có nghiệm chung Định m để hai phương trình cho tương đương với Bài 73 Cho hai phương trình ẩn x với p q tham số x  px   1 x  qx    2 Giả dụ (1) có hai nghiệm phân biệt a1 , a2 ; (2) có hai nghiệm phân biệt b1 , b2 Chứng minh rằng:  a1  b1  a2  b1  a1  b2  a2  b2   q  p Bài 74 Cho a, b, c số nguyên lẻ Chứng minh phương trình bậc hai sau khơng có nghiệm hữu tỷ ax  bx  c  CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN – SƯ ĐOÀN – QN ĐỒN BỘ BINH Bài 75 Tìm m để hai phương trình sau có nghiệm chung x   3m   x  12  1 (m tham số thực)  2 x   9m   x  36  Bài 76 Cho bốn phương trình bậc hai ẩn x x   a  1 x   1 x   b  1 x    2  3  4 x2  x  a   ( a, b, c tham số thực) x  cx  b   Biết (1) (2) có nghiệm chung; (3) (4) có nghiệm chung 2004a Tính giá trị biểu thức T  bc Bài 77 Cho bốn phương trình bậc hai ẩn x x  ax   1 x  bx  c  x2  x  a   2  3  4 ( a , b, c tham số thực) x  cx  b  Biết (1) (2) có nghiệm chung; (3) (4) có nghiệm chung Tính giá trị biểu thức A  a  b  c Bài 78 Cho x thỏa mãn phương trình x  2ax   ;a  Cho y thỏa mãn phương trình y  2by   ;b  1 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức f  a; b    x  y      giá trị a, b tương ứng x y Bài 79 Cho hai phương trình ẩn x x  px   1 (p q tham số thực) x  qx    2 Giả sử (1) có hai nghiệm a b; phương trình (2) có hai nghiệm b c Chứng minh hệ thức  b  a  b  c   qp  Bài 80 Cho hai phương trình (với ẩn x y; p q tham số thực) x  px   1 y  qy    2 Biết phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt a b; phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt c d Chứng minh đẳng thức:  a  c  a  d  b  c  b  d    p  q  Bài 81 Tìm tất số ngun khơng âm m cho phương trình sau có nghiệm nguyên x   m  1 x  m  Bài 82 Cho phương trình bậc hai ẩn x: x  px  q  (1); với p q tham số thực Chứng minh p  q  (1) có hai nghiệm thỏa mãn nghiệm gấp đơi nghiệm Cho p q số nguyên Chứng minh phương trình có nghiệm hữu tỷ nghiệm phải số nguyên Bài 83 Giả dụ phương trình ẩn x: ax  bx  c  (a khác 0) có nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1  x2 Chứng minh hệ thức: b3  a c  ac  3abc CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN – SƯ ĐOÀN – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH Bài 84 Chứng minh phương trình ẩn x sau vô nghiệm: c x   a  b  c  x  b  x2  4x Bài 85 Giả sử x1 , x2 hai nghiệm phương trình ẩn x:  3x  m 1 x Tìm giá trị thực tham số m để biểu thức M  x1  x2 đạt giá trị nhỏ Bài 86 Cho phương trình bậc hai ẩn x: ax  bx  c  ( a, b, c tham số thực; a b khác 0) Chứng minh điều kiện cần đủ để phương trình cho có hai nghiệm mà nghiệm gấp ba lần nghiệm 3b  16ac  Cho phương trình bậc hai ẩn x: ax  bx  c  ( a, b, c tham số thực; a khác 0) Chứng minh điều kiện cần đủ để phương trình cho có nghiệm k lần nghiệm 1  k  ac  kb  k  1 Bài 89 Cho phương trình: x   a  1 x   (1); với a tham số thực Giải phương trình cho với a  Tìm a để (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 cho a) x12  x2  3x1 x2  34 b) x15  x2  211 Bài 90 Cho tam thức bậc hai f  x   ax  bx  c Giả dụ phương trình f  x   vô nghiệm Chứng minh phương trình af  x   bf  x   c  x vô nghiệm Bài 91 x12 x2 Tìm a để phương trình x   ax  có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn bất đẳng thức  7 x2 x1 2 Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình ẩn x: x  2kx  a   a   ; với k a tham số thực x  x  Xác định k theo a để        x2   x1  Bài 92 Cho phương trình bậc hai ẩn x: 12 x  6mx  m   12  (1); với m tham số thực m2 Giải phương trình cho với m  Khi (1) có hai nghiệm x1 , x2 Hãy tìm giá trị m cho a) Biểu thức P  x13  x2 đạt giá trị lớn b) Biểu thức P  x13  x2 đạt giá trị nhỏ Bài 93 Cho hai phương trình bậc hai ẩn x x  ax  b  1 ( a , b, c, d tham số thực) x  cx  d   2 Giả sử (1) có hai nghiệm x1 , x2 ; (2) có hai nghiệm x3 , x4 Chứng minh 2  x1  x2  x1  x4  x2  x3  x3  x4    b  d    a  c   b  d    a  c   b  d  Bài 94 Cho hai phương trình bậc hai ẩn x, tham số thực m x2  x  m  1  2 x  3x  m  Tìm m để hai phương trình vơ nghiệm Tìm m để nghiệm khác phương trình (2) hai lần nghiệm phương trình (1) CREATED BY HỒNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM 10 TRUNG ĐOÀN – SƯ ĐOÀN – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH Bài 95 Tìm a để phương trình sau có nghiệm thuộc khoảng  0;1 : 1  a  x   8a  1 x  6a  Bài 96 Cho hai phương trình bậc hai ẩn x, tham số a x2  2x  a2   1 x   a  1 x  a  a   2 Với giá trị a nghiệm phương trình (1) nằm nghiệm phương trình (2) ? Bài 97 Cho hai phương trình bậc hai ẩn x, tham số s x  3x  2s  1 x  x  5s   2 Tìm s để hai phương trình có hai nghiệm phân biệt cho khoảng hai nghiệm (1) có nghiệm phương trình (2) ngược lại Bài 98 Cho phương trình ẩn x: ax  bx  c  (1); với a, b, c tham số thực a b c Giả sử tồn số thực m cho    Chứng minh (1) có nghiệm thuộc khoảng  0;1 m  m 1 m  km  l ,  Giả sử tồn số thực k , l , m cho  a b c     k l m Chứng minh (1) có nghiệm thuộc khoảng  0;1 Bài 99 Giả dụ x1  nghiệm phương trình ax  bx  c  x2  nghiệm phương trình  ax  bx  c  a Chứng minh phương trình x  bx  c  có nghiệm nằm khoảng  x1 ; x2  Bài 100 Giả sử phương trình ax  bx  c  tam thức   x    x   x  c có nghiệm Các nghiệm đa thức   x    x   x  c tạo thành miền chứa khoảng  0;  Chứng minh phương trình a   x  b 1 x  c    có nghiệm Bài 101 Cho phương trình bậc hai ẩn x: x   2sin   1 x  6sin 2  sin    (1); với  góc lượng giác Tìm  để phương trình có nghiệm Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức M  x12  x2 Bài 102 Tìm giá trị nguyên a b để phương trình sau có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn 2  x1  1  x2  x  ax  b  Bài 103 Cho hai phương trình bậc hai ẩn x x  3x  a  x  12 x  b  1 (a b tham số thực)  2 Giả sử (1) có hai nghiệm x1 , x2 ; (2) có hai nghiệm x3 , x4 cho x2 x3 x4   Xác định giá trị a b x1 x2 x3 Bài 104 Cho phương trình bậc hai ẩn x: x   3sin   cos  x   cos 2  (1); với  góc lượng giác Tìm  để phương trình có nghiệm Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức Z  x12  x2 CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM 11 TRUNG ĐOÀN – SƯ ĐOÀN – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH Bài 105 Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức F  x1 x2  x1  x2 biết x1 , x2 nghiệm phương trình x  mx   m    Bài 106 Tìm m để hai phương trình sau có nghiệm chung x  mx   1 (m tham số thực) mx  x    2 Bài 107 Tìm giá trị nguyên m để phương trình  m  1 x   m   x  m   có hai nghiệm x1 , x2 cho biểu thức x1  x2  x1 x2 số nguyên Tìm giá trị nguyên m để x  2ax  a   có nghiệm nguyên Bài 108 Định m để phương trình  m  1 x2   m   x  m   có hai nghiệm bé 2 Tìm m để phương trình mx   m   x  m   có hai nghiệm nghiệm lớn nghiệm bé Với giá trị m để x    m  x   m  có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn 2  x1   x2        x2   x1  Bài 109 Tìm tất số dương a, b, c, d cho ba điều kiện sau thỏa mãn Phương trình ax  bdx  x  có hai nghiệm x1 , x2 Phương trình bx  cdx  a  có hai nghiệm x2 , x3 Phương trình cx  adx  b  có hai nghiệm x1 , x3 Bài 110 Cho phương trình ax  bx  c  có hai nghiệm thuộc đoạn  0;1 Tìm giá trị lớn biểu thức P   a  b  2a  b  a a  b  c Bài 111 Giả sử x1 , x2 hai nghiệm phương trình x  1  m  x  m2  2m   Tìm giá trị m để biểu thức sau đạt giá trị bé nhất: P  x12  x2 Giả sử x1 , x2 hai nghiệm phương trình x   m  1 x  2m  8m   Tìm giá trị m để biểu thức sau đạt giá trị bé nhất: P  x1 x2   x1  x2  Bài 112 Giả dụ phương trình x   m   x  m  3m   có hai nghiệm x1 , x2 Chứng minh 1 mx12 mx12 121  8   x1  x1 Bài 113 Cho phương trình bậc hai ax  bx  c  có nghiệm dương x1 Chứng tỏ phương trình cx  bx  a  có nghiệm dương x2 đồng thời x1  x2  Cho phương trình bậc n ẩn x: a0 x n  a1 x n 1   an  , nghiệm có có giá trị tuyệt đối không vượt giá trị biểu thức M   max ak ; kn  1; 2;3; ; n a0 Bài 114 Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm với  : x   cos  1 x   sin   Tìm  để biểu thức P  x12  x2 đạt giá trị lớn nhất, đạt giá trị nhỏ CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM 12 TRUNG ĐOÀN – SƯ ĐOÀN – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH Bài 115 Tìm k để số nằm hai nghiệm phương trình kx  1  k  x  k   Tìm m để phương trình mx   m  3 x  m  có nghiệm dương Bài 116 Cho bốn phương trình ẩn x với a b tham số thực x  ax  4b  1 x  2bx  4a  x  4ax  b   2 3  4 x  4bx  a  Chứng minh bốn phương trình ln có hai phương trình có nghiệm Bài 117 1 Lập phương trình bậc hai với hệ số nguyên có hai nghiệm ; 10  72 10  72 x x 13 Lập phương trình bậc hai ẩn x có hai nghiệm thỏa mãn x1  x2  1;   x1  x2  Bài 119 Tìm giá trị nguyên m để phương trình sau có nghiệm ngun x  4mx  2m2  2m   Tìm giá trị nguyên m để phương trình sau có nghiệm số nguyên  m  1 x   m  1 x  m   Bài 121 Gọi  ,  hai nghiệm phân biệt phương trình x  x  k   Đặt an  n n với n số tự nhiên Tìm k để a9 a10  a8 a11    Bài 122 Cho phương trình x  ax  b  có hai nghiệm hai số nguyên dương Biết a b hai số thực thỏa mãn 5a  b  22 Tìm hai nghiệm Cho phương trình x  mx  2n   (x ẩn số; m n số ngun) Giả dụ phương trình có nghiệm số nguyên Chứng minh m2  n2 hợp số Bài 123 Cho a , b, c ba số thực đôi thỏa mãn đồng thời ma  na  p  mb  nb  p  mc  mc  p  Bài 124 Cho số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện  a  b phương trình ax  bx  c  vô nghiệm a bc Chứng minh  ba Bài 125 Cho phương trình x  2mx   (1) Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình (1) 2 Tìm m để biểu thức X  x12  x12  2012   x2  x2  2012  đạt giá trị nhỏ Bài 126 Cho biểu thức P  x   x8  12 x  12  3x Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình x  x   Chứng minh P  x1   P  x2  Bài 127 Cho phương trình x  mx  2m  (1); với m tham số thực Tìm giá trị ngun dương m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 cho A  CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM 13 x1 x2 nhận giá trị nguyên x1  x2 TRUNG ĐOÀN – SƯ ĐOÀN – QN ĐỒN BỘ BINH Bài 128 Cho phương trình x  x   có hai nghiệm x1 , x2 x12 x2  x1  x2  2 Lập phương trình bậc hai theo t có hai nghiệm t1  x1  ; t2  x2  x1 x2 Bài 129 Cho hai phương trình ẩn x; với a , b, c tham số thực cho ca  Không giải phương trình; tính giá trị biểu thức P  ax  bx  c  1  2 cx  bx  a  Gọi  ,  tương ứng nghiệm lớn hai phương trình Chứng minh:     Bài 130 Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình x  x   10 10 8 Chứng minh S  x1  x2  x19  x2   x1  x2   Tính S  x17  x2 Bài 131 Tìm giá trị nguyên m để phương trình sau có nghiệm ngun: x  2mx  3m2  8m   Cho a, b, c số dương thỏa mãn a  b  ab  c Chứng minh phương trình sau có hai nghiệm phân biệt: x  x   a  c  b  c   Tìm p để phương trình x  x  p  có hai nghiệm x1 , x2 cho  x14  x2  x15  x2  Max Cho phương trình x   m  1 x  2m   (1);với m tham số thực Tìm giá trị nguyên m để (1) có hai nghiệm dương phân biệt x1 , x2 cho P  1  đạt giá trị nguyên x1 x2 Bài 132 Cho phương trình x   m  1 x  m   (1); với m tham số thực Giải phương trình với m  Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình cho Tìm giá trị nhỏ P  x1  x2 x1  x2 Bài 133 Cho phương trình x  x  m2  3m  (1); với m tham số thực Tìm m để phương trình cho có nghiệm 2 Giả sử x1 , x2 hai nghiệm phương trình (1) Tìm giá trị m cho x1   x2  x2 Bài 134 Cho a b hai nghiệm phương trình x  x   Tính giá trị biểu thức A   a 2011  a 2012  a 2008  a   b  b 2011  b 2012  b 2008  b 2009  b   a  Bài 135 Cho phương trình ax  bx  c  có hai nghiệm thuộc đoạn  0;   a  b  2a  b  a  2a  b  c  x   m   x  2m   Tìm giá trị lớn biểu thức P  Bài 136 Cho phương trình (1); với m tham số thực Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 tương ứng độ dài hai cạnh góc vng tam giác vng có độ Bài 137 Cho phương trình x  x  có nghiệm x1 , x2 Lập phương trình bậc hai ẩn y (với hệ số nguyên) có hai nghiệm 1 y1   ; y2   x1 x2 dài đường cao ứng với cạnh huyền CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM 14 TRUNG ĐOÀN – SƯ ĐOÀN – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH Bài 138 Cho tam thức bậc hai f  x   ax  bx  c có hệ số a , b, c số nguyên; a khác Biết f   ; f 10  số lẻ, chứng minh phương trình f  x   khơng có nghiệm ngun Bài 139 Cho số thực a khác 1 Lập phương trình bậc hai mà nghiệm số x1 , x2 thỏa mãn hệ thức sau  x1 x2    x1  x2  ,    x1  1 x2  1  1 a  Bài 140 Cho phương trình bậc hai ẩn x: x   a  b  x  ab  (1); với a b tham số thực Giải phương trình cho với a  2; b   Chứng minh phương trình (1) ln ln có nghiệm với giá trị a b 3 x  x  2a , Tìm a b để (1) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn  8 x1 x2  3a  b Bài 141 Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình x  x   2001 2003 Chứng minh biểu thức P  x12  x2  x14  x2 Q  x12001  x2  x12003  x2 chia hết cho Bài 142 Cho phương trình  m  1 x   2m  1 x  m   (1); với m tham số thực Tìm m để tập hợp nghiệm phương trình có phần tử Định m để (1) có hai nghiệm phân biệt nhỏ 3 Cho số thực a khác Trong trường hợp (1) có hai nghiệm x1 , x2 , tìm giá trị a để biểu thức sau không phụ thuộc vào tham số m: R   x1  a  x2  a  Bài 143 Cho phương trình x  x  m  (1); với m tham số thực x x Gọi x1 , x2 hai nghiệm (1) Tính theo m biểu thức M   x1  x2  Bài 144 Giả sử phương trình x  ax  b   có hai nghiệm nguyên dương Chứng minh a  b hợp số Bài 145 Cho phương trình x  mx   (1); m tham số nguyên dương Gọi x1 , x2 hai nghiệm (1) Chứng minh x15  x2 số nguyên Tìm số nguyên dương m nhỏ để x15  x2 bội 25 Bài 146 Cho ba phương trình ẩn x, với a , b, c tham số thực x  ax   x  bx   1  2  3 x  cx   Giả sử: Tích nghiệm phương trình (1) với nghiệm phương trình (2) nghiệm phương trình (3) Chứng minh a  b  c  abc  Bài 147 Cho phương trình bậc hai ax  bx  c  (1); với a, b c tham số thực n n Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình (1) Đặt S n  x1  x2 Chứng tỏ aS n  bSn 1  cS n  Bài 148 Gọi x1 , x2 hai nghiệm x  x   Tính S  x17  x2 Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình x  x   n Chứng minh S n  x1n  x2 chia hết cho Tìm đa thức bậc có hệ số nguyên nhận p  CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM 75 nghiệm  15 TRUNG ĐOÀN – SƯ ĐOÀN – QN ĐỒN BỘ BINH Bài 149 Cho phương trình x  x   Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 n Đặt S n  x1n  x2 Chứng minh hệ thức S n   S n 1  S n  Chứng minh S n số nguyên với số nguyên dương n Chứng minh S n số nguyên chẵn với số nguyên dương n Bài 150 Cho phương trình x  mx   Chứng minh phương trình cho ln có hai nghiệm x1 , x2 với giá trị m 2x  2x  Tìm giá trị lớn biểu thức A  22 x1  x2 Tìm giá trị m cho hai nghiệm phương trình số nguyên Bài 151 Cho phương trình ẩn x: x  5mx   (1); với m tham số nguyên Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình (1) n Chứng minh S n  x1n  x2 số nguyên với số tự nhiên n 2008 Tìm số dư phép chia S 2008  x12008  x2 cho Bài 152 Tìm tất số nguyên p cho phương trình x   p  1 x  p  2008  có nghiệm số nguyên Bài 153 Tìm số thực a b để phương trình sau có nghiệm số kép x0  :  a  b  x   2a   x  3b  Bài 154 Cho phương trình x  x   Gọi hai nghiệm phương trình x1 , x2 Chứng minh x15  x2 số nguyên n x1n  x2 với n số nguyên dương Chứng minh an số nguyên với n Bài 155 Cho tam thức f  x   x  20 x  11 Đặt an  Tìm tất số hữu tỷ x cho f  x  số hữu tỷ Tìm tất số nguyên dương x cho f  x  số nguyên dương Bài 156 Tìm giá trị thực b để có x thỏa mãn: x  bx   x  x  b Bài 157 Cho phương trình x  ax  b  , có hai nghiệm x1 , x2  x1  x2  Đặt un  n x1n  x2 (n số tự nhiên) x1  x2 n Tìm giá trị a b cho đẳng thức un 1un   unun 3   1 với số tự nhiên n, từ suy un  un1  un  Bài 158 Cho phương trình bậc hai: x   m  1 x  m  m   (1); với m tham số thực Tìm m để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt âm Tìm tất giá trị m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 cho x1  x2  Định giá trị m để tập giá trị hàm số y  x   m  1 x  m  m  chứa đoạn  2;3 Bài 159 Cho a b hai số thực thỏa mãn a  b  Chứng minh hai phương trình có nghiệm x  2a 2bx  b  x  2ab x  a  Bài 160 Cho phương trình bậc hai ax  bx  c  ; với a, b, c hệ số hữu tỷ, a khác Giả sử phương trình có nghiệm vơ tỷ x1  m  n  m; n    Chứng minh phương trình có nghiệm thứ hai x2  m  n  m; n    CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM 16 TRUNG ĐOÀN – SƯ ĐOÀN – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH Bài 161 Cho phương trình bậc n  n   có hệ số hữu tỷ nghiệm vô tỷ x1  m  n  m; n    Chứng minh x2  m  n  m; n    nghiệm phương trình cho Bài 162 Chứng minh phương trình bậc hai khơng thể có nghiệm hữu tỷ hệ số bậc hai Bài 163 Cho hai số dương a b Ký hiệu f  a; b  nghiệm dương phương trình Xét tập hợp M   a; b  a  b  0; ab   a  b  x   ab  1 x  a  b ab  Tìm giá trị nhỏ f  a; b   a; b   M b c  Bài 164 Gọi x0 nghiệm phương trình bậc hai ax  bx  c  Đặt M  max  ;  a a Chứng minh x0   M 2 Bài 165 Giả dụ phương trình  x  a    x  b    x  y   c có nghiệm Chứng minh a  b  c Bài 166 Cho f  x   x  x  Giải phương trình  f  x    f  x    x   Bài 167 Cho tam thức bậc hai f  x   ax  bx  c thỏa mãn f  x   1x   1;1 Tìm giá trị lớn biểu thức T  4a  3b  f  3  10,  Bài 168 Cho tam thức bậc hai f  x   ax  bx  c thỏa mãn  f  1  0,   f 1  1 Hãy xác định dấu hệ số a Bài 169 Cho tam thức bậc hai f  x   ax  bx  c thỏa mãn f  x   1x   1;1 Chứng minh a  b  c  b  Bài 170 Cho tam thức bậc hai f  x   ax  bx  c với a khác Chứng minh f  m   f  m    m    a  Bài 171 Tìm giá trị nguyên m để phương trình mx   m   x  m   có hai nghiệm x1 , x2 cho biểu thức sau nhận giá trị nguyên S  1  x1 x2 Tìm giá trị m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt nguyên: y  x    m  x  2m  Định m để phương trình x  m   mx có nghiệm gấp đôi nghiệm Bài 172 Cho hai phương trình ẩn x: x  mx  n  0; x  px  q  2 Biết  m  p    n  q   Chứng minh hai phương trình có nghiệm chung hai nghiệm cịn lại hai số hữu tỷ phân biệt Bài 173 Chứng minh phương trình  n  1 x  x  n  n   n  3  có nghiệm hữu tỷ với số nguyên n Bài 174 Cho phương trình ax  bx  c  2  a   có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn ax1  bx2  c  Tính giá trị biểu thức P  a c  ac  b  3abc CREATED BY HOÀNG MINH THI; XYZ1431988@GMAIL.COM 17 TRUNG ĐOÀN – SƯ ĐOÀN – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH ... Chứng minh bốn phương trình ln có hai phương trình có nghiệm Bài 117 1 Lập phương trình bậc hai với hệ số nguyên có hai nghiệm ; 10  72 10  72 x x 13 Lập phương trình bậc hai ẩn x có hai nghiệm... chung Xác định m để hai phương trình tương đương với Tìm m để hai phương có hai nghiệm phân biệt lớn m Bài 51 Cho hai phương trình ẩn x tham số m x  mx   x2  x  m  Tìm m để hai phương trình. .. Bài 62 Cho hai phương trình bậc hai ẩn x, tham số a b x  ax   x  bx  12  Giả dụ hai phương trình có nghiệm chung Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức M  a  b Bài 63 Cho hai phương trình bậc