Bài 4.1: Cực trị của hàm số của hàm số – Khóa Giải tích 12 – Thầy Nguyễn Thượng Võ Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1 BTVN BÀI CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ (TIẾT 1) Bài 1: Tìm m ñể hàm số 3 2 y x mx = + + ñạt cực tiểu tại x=1. Giải: a) ðiều kiện cần: ðể hàm số ñạt cực tiểu tại x=1 thì: 0 0 '( ) '(1) 0 ''( ) ''(1) 0 f x f f x f = =   = >  3 0 3 6.1 0 m m + =  ⇔ ⇔ = −  >  b) ðiều kiện ñủ: Khi m 3 = − ta có: 3 2 2 3 2 ' 3 3 0 1 1 y x x y x x x = − + ⇒ = − = ⇔ = ⇔ = ± Lập bảng biến thiên ta có: x=1 là ñiểm cực tiểu. Vậy với m 3 = − thì thõa mãn ñiều kiện bài toán. Bài 2: Tìm m ñể hàm số 3 2 1 1 3 y x mx x m = − − + + ñạ t C ð , CT và kho ả ng cách gi ữ a chúng nh ỏ nh ấ t. Giải: Ta có: 2 ' 2 1 ( ) y x mx g x = − − = . Ta có: ' 2 1 1 0 g ∆ m = + ≥ > . V ậ y hàm s ố luôn có C ð , CT. G ọ i 2 ñ i ể m C ð , CT có t ọ a ñộ l ầ n l ượ t là: ( ) 1 1 2 2 ; ; ( ; ) A x y B x y Ta chia y cho y’ thì ta ñượ c: ( ) ( ) 2 1 1 2 1 2 2 2 1 1 3 3 2 2 1 1 3 3 y x m m y x m m  = − + + +     = − + + +   V ậ y ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 4 1 1 9 AB x x y y x x m   = − + − = − + +     Theo Viet ta l ạ i có: ( ) ( ) 1 2 2 2 1 2 1 2 2 4 1 1 b x x m a x x m c x x a  + = − =   ⇒ − = +   = = −   ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 4 4 52 4 1 1 1 . 0 4 1 9 9 9 AB m m Do m AB     ⇒ = + + + ≥ ⇒ ≥ + =         Bài 4.1: Cực trị của hàm số của hàm số – Khóa Giải tích 12 – Thầy Nguyễn Thượng Võ Page 2 of 3 V ậ y min 52 3 AB = . D ấ u “=” x ả y ra khi m=0 Bài 3: Tìm m ñể hàm s ố 3 2 3 2 y x x = − + có C ð , CT n ằ m v ề 2 phía c ủ a ñườ ng tròn có ph ươ ng trình: 2 2 2 4 5 1 0 x y mx my m + − − + − = Giải: Ta d ễ dàng tìm ñượ c 2 ñ i ể m c ự c tr ị c ủ a hàm s ố 3 2 3 2 y x x = − + là: ( ) ( ) 0;2 à 2; 2 v − ðể 2 c ự c tr ị n ằ m v ề 2 phía trong và ngoài c ủ a ñườ ng tròn thì ta g ọ i: ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 (0; 2) 3 3 ( , ) 2 4 5 1 (2; 2) 9 7 (0;2). (2; 2) 3 3 9 7 0 1 9 7 0 2 5 5 1 0 5 5 1 0 7 ; 1; 9 f m f x y x y mx my m f m f f m m m m x m y m m m R m m m = −  = + − − + − ⇒  − = +  − = − + <  − + >    ⇒ ⇔   − + − = − + = > − + >       ⇔ ∈ −∞ − ∪ +∞     V ậ y v ớ i ( ) 7 ; 1; 9 m   ∈ −∞ − ∪ +∞     thì thõa mãn ñ i ề u ki ệ n bài toán. Bài 4: Cho hàm s ố : ( ) ( ) ( ) 3 2 2 cos 3sin 8 1 cos2 1 3 f x x a a x a x = + − − + + a) CMR: Hàm s ố luôn có C ð , CT. b) Gi ả s ử hàm s ố ñạ t c ự c tr ị t ạ i x 1 , x 2 . CMR: 2 2 1 2 18 x x + ≤ Giải: a) Xét ph ươ ng trình: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 cos 3sin 8 1 cos2 0 f x x a a x a ′ = + − − + = Ta có: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 cos 3sin 16 1 cos2 cos 3sin 32cos 0 a a a a a a a ′ ∆ = − + + = − + ≥ ∀ N ế u 2 2 0 cos 3sin cos 0 sin cos sin cos 0 a a a a a a a ′ ∆ = ⇔ − = = ⇔ = ⇒ + = (vô lý) V ậ y ∆′ > 0 ∀a ⇒ f ′ ( x ) = 0 có 2 nghi ệ m phân bi ệ t x 1 , x 2 và hàm s ố có C ð , CT b) Theo Viet ta có: ( ) 3sin cos ; 4 1 cos 2 1 2 1 2 x x a a x x a + = − = − + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3sin cos 8 1 cos2 1 2 1 2 1 2 2 9 8cos 6sin cos x x x x x x a a a a a a + = + − = − + + = + − ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 9 9 sin cos 3sin cos 18 3sin cos 18 a a a a a a = + + − + = − + ≤ Bài 4.1: Cực trị của hàm số của hàm số – Khóa Giải tích 12 – Thầy Nguyễn Thượng Võ Page 3 of 3 Bài 5: Cho hàm s ố ( ) ( ) ( ) 3 2 1 1 1 3 2 3 3 f x mx m x m x = − − + − + . Tìm m ñể hàm s ố ñạ t c ự c tr ị t ạ i x 1 , x 2 tho ả mãn 1 2 2 1 x x + = . Giải: Hàm s ố có C ð , CT ⇔ ( ) ( ) ( ) 2 2 1 3 2 0 f x mx m x m ′ = − − + − = có 2 nghi ệ m phân bi ệ t ⇔ ( ) ( ) 0 2 1 3 2 0 m m m m      ≠ ′ ∆ = − − − > ⇔ 6 6 1 0 1 2 2 m− < ≠ < + (*) V ớ i ñ i ề u ki ệ n (*) thì ( ) 0 f x ′ = có 2 nghi ệ m phân bi ệ t x 1 , x 2 và hàm s ố f ( x ) ñạ t c ự c tr ị t ạ i x 1 , x 2 . Theo ñị nh lý Viet ta có: ( ) ( ) 2 1 3 2 ; 1 2 1 2 m m x x x x m m − − + = = Ta có: ( ) ( ) 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 3 4 2 1 1 ; m m m m m x x x x m m m m m − − − − − + = ⇔ = − = = − = ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 3 4 2 3 4 3 2 m m m m m m m m m m − − − ⇒ ⋅ = ⇔ − − = − 2 2 3 m m =   ⇔ =   C ả 2 giá tr ị này ñề u tho ả mãn ñ i ề u ki ệ n (*). V ậ y 1 2 2 1 x x + = 2 2 3 m m ⇔ = ∨ = ………………….Hết……………… Nguồn: Hocmai.vn