ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM Chuyên đề 11: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Tóm tắt giáo khoa Định nghóa: Cho hàm số y = f (x) xác định khoảng (a;b) [f đồng biến (tăng) (a; b) ] • [f nghịch [ ] [ • ] đn ⇔ ∀ x , x ∈ (a; b ) : x < x ⇒ f ( x ) < f ( x ) 2 đn biến (giảm) (a; b) ] ⇔ ∀ x , x ∈ ( a ; b ) : x < x ⇒ f ( x ) > f ( x ) 2 y y f ( x2 ) f ( x1 ) (C ) : y = f ( x) a x1 x2 b f ( x1 ) f ( x2 ) x x x2 a x1 O b Điều kiện cần tính đơn điệu: Định lý 1: Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng (a;b) • • [f đồng biến (tăng) khoảng (a; b)] ⇒ ⎡⎢⎣f ' (x) ≥ ∀x ∈ (a; b)⎤⎥⎦ [f nghịch biến (giảm) khoaûng (a; b)] ⇒ ⎡⎢⎣f ' ( x) ≤ ∀x ∈ (a; b)⎤⎥⎦ Điều kiện đủ tính đơn điệu: Định lý 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng (a;b) ⎡ ' ⎤ • ⎢f (x) > ∀x ∈ (a; b)⎥ ⇒ f đồng biến (tăng) (a; b) ⎣ ⎦ ⎡ ' ⎤ • ⎢f (x) < ∀x ∈ (a; b)⎥ ⇒ f nghịch biến (giảm) (a; b) ⎣ ⎦ ⎡ ' ⎤ • ⎢f (x) = ∀x ∈ (a; b)⎥ ⇒ f không đổi (a; b) ⎣ ⎦ [ [ [ x f ' ( x) a ] ] ] b x + f ' ( x) f (x ) f (x ) 69 a b − Định lý 3: Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng (a;b) ⎡ ' ⎤ ⎢f (x) ≥ ∀x ∈ (a; b) ⎥ ⎢đẳng thức xảy số ⎥ ⇒ f ⎢ ⎥ ⎢ hữu hạn điểm (a; b) ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ ' ⎤ ⎢f (x) ≤ ∀x ∈ (a; b) ⎥ ⎢đẳng thức xảy số ⎥ ⇒ f ⎢ ⎥ ⎢ hữu hạn điểm (a; b) ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ [ đồng biến (tăng) (a; b) ] [ nghịch biến (giảm) (a; b)] Minh họa định lý: x x0 a f ' ( x) + x b + − f ' ( x) Định lý 4: Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng (a;b) • • b − f ( x) f (x ) • x0 a [f đồng biến (tăng) (a; b)] [f nghịch biến (giảm) (a; b)] [f không đổi (a; b)] ⎡ ' ⎤ ⎢f (x) ≥ ∀x ∈ (a; b)⎥ ⎦ ⎣ ⎡ ' ⎤ ⎢f (x) ≤ ∀x ∈ (a; b)⎥ ⎦ ⎣ ⎡ ' ⎤ ⎢f (x) = ∀x ∈ (a; b)⎥ ⎦ ⎣ ⇔ ⇔ ⇔ Phương pháp xét chiều biến thiên hàm số: Muốn xét chiều biến thiên hàm số y = f (x) ta thực sau: Bước 1: Tìm miền xác định hàm số : D=? Bước 2: Tính f ' ( x) xét dấu f ' ( x) Bước 3: Dựa vào định lý điều kiện đủ để kết luận BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Khảo sát biến thiên hàm số: x+3 x2 +1 ex 1) y = x − x 2) y = 4) y = e − x + x 5) y = x 7) y = ln x 8) y = x − + − x x 70 3) y = x2 x2 −1 6) y = x − ln x 9) y = x + − x Bài 2: Cho hàm số y = f ( x ) = − x + x + (2a + 1) x − 3a + (1) Tìm a để hàm số nghịch biến R Bài 3: Tìm m để hàm soá y = − x + ( m − 1) x + ( m + 3) x − đồng biến khoảng (0;3) Bài 4: Cho hàm số y = f ( x) = x + (m − 1) x + (2m − 3) x − (1) 3 a) Với giá trị m, hàm số (1) đồng biến R b) Với giá trị m, hàm số (1) đồng biến khoảng (1;+∞) m Bài 5: Cho hàm số y = f ( x) = x + + (1) x −1 Tìm a để hàm số (1) đồng biến khoảng xác định − x + (m + 2) x − 3m + Bài 6: Cho hàm số y = f ( x) = (1) x −1 Tìm a để hàm số (1) nghịch biến khoảng xác định − x + (1 − m) x + m + Bài 7: Cho hàm số : y = Định m để hàm số đồng biến khoảng (1; +∞ ) x−m ⎛ π⎞ Bài 8: Chứng minh rằng: sin x + tgx > x với x ∈ ⎜ 0; ⎟ ⎝ 2⎠ x ⎛ π⎞ Bài 9: Chứng minh rằng: tgx > x + với x ∈ ⎜ 0; ⎟ ⎝ 2⎠ ⎡ π⎤ Bài 10: Chứng minh rằng: tgx ≤ x với x ∈ ⎢0; ⎥ π ⎣ 4⎦ Bài 11: Cho hàm số y = x − ax + (2a − 1) x − a + Tìm a để hàm số nghịch biến khoảng (-2;0) Bài 12: Cho hàm số y = x − mx + x + (1) Tìm giá trị m để hàm số (1) nghịch biến khoảng (1;2) x + mx − Bài 13: Cho hàm số y = x −1 Tìm m để hàm số đồng biến khoảng (- ∞ ;1) (1;+ ∞ ) x2 − 2x + m Bài 14: Cho hàm số y = x −2 Xác định m để hàm số nghịch biến [-1;0] x + 5x + m2 + Bài 15: Cho hàm số y = x +3 Tìm m để hàm số đồng biến khoảng (1;+ ∞ ) x + (2m − 3) x + m − Bài 16: Cho hàm số y = x − (m − 1) Tìm m để hàm số đồng biến khoảng (0;+ ∞ ) 71 ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH - HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH ******** Cơ sở để giải vấn đề dùng đạo hàm để xét tính đơn điệu hàm số dựa vào chiều biến thiên hàm số để kết luận nghiệm phương trình , bất phương trình, hệ phương trình CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN -I Định nghóa : Cho hàm số y = f(x) xác định khoảng (a,b) a) f tăng ( hay đồng biến ) khoảng (a,b) ⇔ ∀ x1, x2 ∈ (a,b) : x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2) b) f giảm ( hay nghịch biến ) khoảng (a,b) ⇔ ∀ x1, x2 ∈ (a,b) : x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2) II Các tính chất : 1) Tính chất 1: Giả sử hàm số y = f(x) tăng (hoặc giảm) khoảng (a,b) ta có : f(u) = f(v) ⇔ u = v (với u, v ∈ (a,b) ) 2) Tính chất 2: Giả sử hàm số y = f(x) tăng khoảng (a,b) ta có : f(u) < f(v) ⇔ u < v (với u, v ∈ (a,b) ) 3) Tính chất 3: Giả sử hàm số y = f(x) giảm khoảng (a,b) ta có : f(u) < f(v) ⇔ u > v (với u, v ∈ (a,b) ) 4) Tính chất 4: Nếu y = f(x) tăng (a,b) y = g(x) hàm hàm số giảm (a,b) phương trình f(x) = g(x) có nhiều nghiệm thuộc khỏang (a,b) *Dựa vào tính chất ta suy : Nếu có x0 ∈ (a,b) cho f(x0) = g(x0) phương trình f(x) = g(x) có nghiệm (a,b) BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài : Giải phương trình sau : 1) 4x − + 4x − = 2) ( − ) x + ( + ) x = x 3) log (1 + x ) = log x Baøi : Giải phương trình sau: 1) x −1 − x −x = ( x − 1) 72 2) log ( x2 + x +3 ) = x + 3x + 2x + 4x + Bài : Giải hệ : ⎧cot gx − cot gy = x − y 1) ⎨ với x, y ∈ (0, π ) ⎩5x + 8y = 2π ⎧2 x − y = ( y − x ).( xy + 2) ⎪ 2) ⎨ ⎪x + y = ⎩ Bài 4: Giải bất phương trình sau 1) 5x + 12x > 13x 2) x (x8 + x2 +16 ) > ( - x2 ) Baøi : Chứng minh bất đẳng thức sau : với x > 1) ex > 1+x 2) ln (1 + x ) < x với x > 3) sinx < x với x > 4) - x2 < cosx với x ≠ Hết - 73 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Tóm tắt giáo khoa I Định nghóa: Cho hàm số y=f(x) xác định khoảng (a;b) x0∈(a;b) y O y (C ) : y = f ( x) f ( x0 ) f (x) a x (x x ) b x a ( x x0 ) O b f (x) f ( x0 ) • ⎡x ⎢ ⎣ điểm CỰC ĐẠI • ⎡ ⎢x ⎣ điểm CỰC TIỂU đn hàm số f ⎤ ⎥ ⎡ ⎢ f(x) ⎣ ⇔ ⎦ ñn ⇔ hàm số f ⎤ ⎥ ⎦ II.Điều kiện cần cực trị: Định lý Fermat : Giả sử y=f(x) liên tục khoảng (a;b) ⎡f ⎢ ⎢f ⎢ ⎣ có đạo hàm x đạt cực trị taïi x 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ ⇒ (C ) : y = f ( x) ⎡ ⎢ f(x) ⎣ < f(x > f(x ∀ x ∈ V \ ⎧x ⎨ ) ⎩ ∀ x ∈ V \ ⎧x ⎨ ) ⎩ ⎫⎤ ⎬⎥ ⎭⎦ ⎫⎤ ⎬⎥ ⎭⎦ x ∈ (a; b) f '( x ) = ⎤ ⎥ ⎦ Ý nghóa hình học định lý: Nếu hàm số y = f ( x) có đạo hàm điểm x0 đạt cực trị điểm tiếp tuyến đường cong (C): y = f ( x) điểm M(x0,f(x0)) phải phương với Ox III Điều kiện đủ để hàm số có cưcï trị: 1) Định lý 1: Giả sử hàm số y=f(x) có đạo hàm lân cận điểm x0 ( trừ điểm x0) ⎡ Nếu x qua x mà ⎤ • ⎢ ⎥ ⎤ ⎡ ⎢ ⎢f ⎣ • ' ( x ) đổi dấu từ ⎡ Nếu ⎢ ⎢ ' ⎢f ( x ) ⎣ ⎥ + sang -⎥ ⎦ x ñi qua x mà ⎤ ⎥ ⎥ đổi dấu từ − sang + ⎥ ⎦ ⇒ ⇒ ⎢ ⎣ f đạt CỰC ⎡ ⎢f ⎣ ĐẠI x đạt CỰC TIỂU ⎥ ⎦ x ⎤ ⎥ ⎦ Bảng tóm tắt: x f ' ( x) f ( x) x0 a + x b − f ' ( x) x0 a − f ( x) CD CT 74 b + 2) Định lý 2: Giả sử hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục tới cấp hai x0 f'(x0)=0, f''(x0)≠0 • • ⎡ ⎢ Neáu ⎣ ⎡ ⎢ Neáu ⎣ f '' ( x ) < ⎤ ⎥ ⎦ ⇒ f '' ( x ⇒ ) > 0⎤ ⎥ ⎦ ⎡f ⎢ ⎣ đạt CỰC ĐẠI ⎡ ⎢f ⎣ đạt CỰC TIỂU x x ⎤ ⎥ ⎦ ⎤ ⎥ ⎦ BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Tìm cực trị hàm số: 1) y = x 4− x 4) y = e−x + x 5) 7) y= x ln x y = x+3 x +1 x y=e x 2) 8) y = x−2 + 4− x 3) 6) y= x2 x −1 y = x − ln x 9) y = x + − x y = x3 + 2(m − 1) x + (m − 4m + 1) x − 2(m + 1) Tìm m để y đạt + = (x + x ) cực đại, cực tiểu hai điểm x1, x2 thỏa mãn điều kiện x x 2 x + mx − Xác định m để hàm số có cực đại, cực tiểu Bài 3: Cho hàm số y = mx − với hoành độ thỏa mãn x + x = x x 2 x + mx + đạt cực đại x = Bài 4: Tìm m để hàm số y = x+m Bài 2: Cho hàm số Bài 5: Giả sử hàm số v'(x ) ≠ 0 f ( x) = u ( x) v( x ) đạt cực trị x0 Chứng minh u'(x ) f (x ) = v'(x ) y = x + 3x + x+2 f ( x) = ax + bx + cx + d Chia f(x) cho f'(x), ta được: f ( x) = f ' ( x).( Ax + B) + αx + β Áp dụng : Tìm giá trị cực trị hàm số: Bài 6: Cho hàm số f ( x ) = αx + β 0 y = x − 3x − 3x + Giaû sử f(x) đạt cực trị x0 Chứng minh : Áp dụng : Tìm giá trị cực trị hàm số: 75 Bài 7: Gọi (Cm) đồ thị hàm số y = mx + x (1) Tìm m để hàm số (1) có cực trị khoảng cách từ điểm cực tiểu (Cm) x + (m + 1) x + m + y= x +1 đến tiệm cận xiên (Cm) Bài 8: Gọi (Cm) đồ thị hàm số (1) Chứng minh với m bất kỳ, đồ thị (Cm) luôn có điểm cực đại, điểm cực tiểu khoảng cách hai điểm 20 x + mx + Bài 9: Cho hàm số y = Tìm m cho hàm số đạt cực đại x = -1 x+m Bài 10: Cho hàm số y = x − mx + ( 2m − 1) x − m + Tìm m cho hàm số có hai cực trị có hoành độ dương x2 + x + m Bài 11: Cho hàm số y = (1) x +1 Xác định m cho hàm số (1) có hai giá trị cực trị trái dấu Bài 12: Cho hàm soá y = x − 3mx + (m + 2m − 3) x + (1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại cực tiểu hai phía trục tung Bài 13: Cho hàm số : y = ( x − m )3 − x Xác định m để hàm số đạt cực tiểu điểm có hoành độ x = Bài 14: Cho hàm số : y = mx + (m − 9) x + 10 Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị Bài 15: Cho hàm số : y = − x + 3mx + 3(1 − m ) x + m − m Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số x + mx Bài 16: Cho hàm số y = 1− x Tìm m để hàm số có cực đại ,cực tiểu Với giá trị m khoảng cách hai điểm cực trị đồ thị hàm số 10 x + mx − Bài 17: Cho hàm số y = mx − Xác định m để hàm số có cực đại , cực tiểu với hoàng độ thoả mãn x1 + x2 = x1.x2 76 GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ Tóm tắt giáo khoa Định nghóa: • • Cho hàm số y = f (x) xác định D Số M gọi GTLN hàm số nếu: ⎧ f ( x) ≤ M ∀x ∈ D ⎪ ⎨ ⎪Toàn taïi x ∈ D cho f(x ) = M ⎩ Ký hiệu: M = Max y x∈D Số m gọi GTNN hàm số nếu: ⎧ f ( x) ≥ m ∀x ∈ D ⎪ ⎨ ⎪Tồn x ∈ D cho f(x ) = m ⎩ Ký hiệu: m = y y x∈D M Minh hoïa: f (x) x x0 x0 x O m (C ) : y = f ( x) D Các phương pháp tìm GTLN & GTNN hàm số y = f (x) D a) Phương pháp 1: Sử dụng bất đẳng thức với x > x y = x−2 + 4− x Ví dụ 1: Tìm GTLN nhỏ hàm số : Ví dụ 2: Tìm GTNN hàm số : y = x+ b) Phương pháp 2: Sử dụng điều kiện có nghiệm pt hệ phương trình Ví dụ: Tìm GTLN GTNN hàm số: x2 + y= x2 + x + b) Phương pháp 2: Sử dụng đạo hàm, lập BBT hàm số f D suy kết qua Ví dụ 1: Tìm GTLN hàm số : Ví dụ 2: Tìm GTNN hàm số : y = x3 − x y = x + với x > x 77 Ví dụ 3: Tìm GTLN GTNN hàm số : y = x−2 + 4− x Ví dụ 4: Tìm GTLN GTNN hàm số : y = sin 2x - x Ví dụ 5: Tìm GTLN GTNN hàm số : y= Ví dụ 6: Tìm GTLN GTNN hàm số : y = x + − x2 y = sin x − cos2 x + Ví dụ 7: Tìm GTLN GTNN hàm số : Ví dụ 8: Tìm GTLN GTNN hàm số : sinx + cosx ⎡ π π⎤ treân ⎢− ; ⎥ ⎣ 2⎦ treân [0;π ] y = 2(1 + sin x.cos x) − (cos x − cos 8x) BAØI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Tìm GTLN GTNN hàm số: y = x − 3x − x + x Bài 2: Tìm GTLN GTNN hàm số : y = sin 2x − x với x ∈[−2;2] ⎡ π π⎤ ⎢− ; ⎥ ⎣ 2⎦ Bài 3: Tìm GTLN GTNN hàm số : y = x 2.e x [−3;2] Bài 4: Tìm GTLN GTNN hàm số : y = 5cosx − cos5x Bài 5: Tìm GTLN GTNN hàm số: [− π ; π ] 4 x2 + y= x2 + x + Bài 6: Tìm GTLN GTNN hàm số: Bài 7: Tìm GTLN GTNN hàm số: treân y = x + 12 − 3x y = ( x + 2) − x Baøi 8: Tìm GTLN GTNN hàm số: y = (3 − x) x + với x ∈[0;2] Bài 9: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số : Bài 10: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số Bài 11: Tìm 2cos2 x + cos x + y= cos x + y = 2sin x − sin3 x đoạn ⎡ 0;π ⎤ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ GTNN hàm số : y = x − x treân đoạn ⎢− ;3⎥ ⎣ ⎦ 78 Bài 12: Cho phương trình x + (2a − 6) x + a − 13 = với a ≥ Tìm a để nghiệm lớn phương trình đạt giá trị lớn Bài 13: Cho hàm số y= x − (m + 1) x − m + 4m − x −1 (1) Xác định giá trị m để hàm số có cực trị Tìm m để tích giá trị cực đại cực tiểu đạt giá trị nhỏ Bài 14: Tìm GTLN GTNN hàm số : f ( x) = cos 2 x + 2(sin x + cos x) − 3sin x Bài 15: Tìm giá trị lớn bé hàm số sau : y = 4cos2 x + 3 sin x + 7sin2 x sin x + Bài 16: Tìm GTLN GTNN hàm số : y = sin x + sin x + Bài 17: Tìm GTLN GTNN hàm số: y = 2(1+ sin2 x cos4 x ) − (cos4 x − cos8x) Bài 18: Tìm GTLN GTNN hàm số: y = 2(sin3 x + cos3 x ) + 8sin x.cos x ≤ (1 − sin x) + sin x ≤ 17 ∀x∈ R Bài 19: Chứng minh bất đẳng thức sau : Heát 79 ... 13: Cho hàm số y = x −1 Tìm m để hàm số đồng biến khoảng (- ∞ ;1) (1;+ ∞ ) x2 − 2x + m Bài 14: Cho hàm số y = x −2 Xác định m để hàm số nghịch biến [-1 ;0] x + 5x + m2 + Bài 15: Cho hàm số y =... x +3 Tìm m để hàm số đồng biến khoảng (1;+ ∞ ) x + (2m − 3) x + m − Bài 16: Cho hàm số y = x − (m − 1) Tìm m để hàm số đồng biến khoảng (0;+ ∞ ) 71 ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ CHỨNG MINH... ĐẲNG THỨC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH - HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH ******** Cơ sở để giải vấn đề dùng đạo hàm để xét tính đơn điệu hàm số dựa vào chiều biến thi? ?n hàm số để kết luận nghiệm phương