HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Chuyên đề 15: A KIẾN THỨC CƠ BẢN: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN TỌA ĐỘ ĐIỂM - TỌA ĐỘ VÉC TƠ z I Hệ trục toạ độ ĐỀ-CÁC không gian x' x'Ox : trục hoành y'Oy : trục tung z'Oz : trục cao O : gốc toạ độ e1 , e2 , e3 : véc tơ đơn vị • • • • • e3 y' O x e1 y e2 z' Quy ước : Không gian mà có chọn hệ trục toạ độ Đề-Các vuông góc Oxyz gọi không gian Oxyz ký hiệu : kg(Oxyz) II Toạ độ điểm véc tơ: Định nghóa 1: Cho M ∈ kg(Oxyz) Khi véc tơ OM biểu diển cách theo z e , e , e hệ thức có dạng : OM = xe + ye + ye với x,y,z ∈ 3 Bộ số (x;y;z) hệ thức gọi toạ độ điểm M y Ký hiệu: M(x;y;z) M ( x: hoành độ điểm M; y: tung độ điểm M, z: cao độ ñieåm M ) O x M ( x; y; z) ñ/n ⇔ OM = xe1 + ye2 + ze3 YÙ nghóa hình học: • z M2 R z M3 O M y p x = OP Q x x y M1 117 ; y= OQ ; z = OR Định nghóa 2: Cho a ∈ kg(Oxyz) Khi véc tơ a biểu diển cách theo e1 , e2 , e3 hệ thức có daïng : a = a1 e1 + a2 e2 + a3 e3 với a1 ,a2 ∈ Bộ số (a1;a2;a3) hệ thức gọi toạ độ véc tơ a a = (a1; a2 ) Ký hiệu: a=(a1;a2 ;a3 ) đ/n a = a1 e1 + a2 e2 + a3 e3 ⇔ II Các công thức định lý toạ độ điểm toạ độ véc tơ : Định lý 1: Nếu A( x A ; y A ; zA ) vaø B(x B ; yB ; zB ) AB = ( xB − x A ; yB − y A ; zB − zA ) Định lý 2: Nếu a = (a1; a2 ; a3 ) vaø b = (b1; b2 ; b3 ) ⎧a1 = b1 ⎪ * a = b ⇔ ⎨a2 = b2 ⎪a = b ⎩ * a + b = (a1 + b1; a2 + b2 ; a3 + b3 ) * a − b = (a1 − b1; a2 − b2 ; a3 − b3 ) * k a = (ka1; ka2 ; ka3 ) (k ∈ ) III Sự phương hai véc tơ: Nhắc lại • Hai véc tơ phương hai véc tơ nằm đường thẳng nằm hai đường thẳng song song • Định lý phương hai véc tơ: Định lý : Cho hai véc tơ a b với b ≠ a phương b ⇔ ∃!k ∈ cho a = k b Neáu a ≠ số k trường hợp xác định sau: k > a hướng b k < a ngược hướng b a k = b Định lý : A, B, C thẳng hàng ⇔ AB phương AC 118 Định lý 5: Cho hai véc tơ a = (a1; a2 ; a3 ) vaø b = (b1; b2 ; b3 ) ta coù : ⎧a1 = kb1 ⎪ ⇔ ⎨a2 = kb2 ⇔ a : a2 : a3 = b1 : b2 : b3 ⎪a = kb ⎩ a phương b IV Tích vô hướng hai véc tơ: Nhắc lại: a.b = a b cos(a, b) a =a ⇔ a.b = a⊥b Định lý 6: Cho hai véc tơ a = (a1; a2 ; a2 ) vaø b = (b1; b2 ; b3 ) ta coù : a.b = a1b1 + a2 b2 + a3b3 Định lý 7: Cho hai véc tơ a = (a1; a2 ; a3 ) ta có : a = a12 + a22 + a32 Định lý 8: Nếu A( x A ; y A ) B(x B ; yB ) AB = ( xB − x A )2 + ( yB − y A )2 + (zB − zA )2 Định lý 9: Cho hai véc tơ a = (a1; a2 ; a3 ) b = (b1; b2 ; b3 ) ta có : ⇔ a1b1 + a2 b2 + a3b3 = a⊥b Định lý 10: Cho hai véc tơ a = (a1; a2 ; a3 ) vaø b = (b1; b2 ; b3 ) ta coù : cos(a, b) = a.b a.b = a1b1 + a2 b2 + a3b3 a12 + a22 + a32 b12 + b22 + b32 V Điểm chia đoạn thẳng theo tỷ số k: Định nghóa : Điểm M gọi chia đoạn AB theo tỷ số k ( k ≠ ) : MA = k.MB • • • A M B 119 Định lý 11 : Nếu A( x A ; y A ; zA ) , B(x B ; yB ; zB ) vaø MA = k.MB ( k ≠ ) x A − k x B ⎧ ⎪ xM = − k ⎪ y A − k y B ⎪ ⎨ yM = 1− k ⎪ zA − k zB ⎪ ⎪ zM = − k ⎩ Đặc biệt : x A + xB ⎧ ⎪ xM = ⎪ y +y ⎪ M laø trung điểm AB ⇔ ⎨ yM = A B ⎪ zA + zB ⎪ ⎪ zM = ⎩ BÀI TẬP ỨNG DỤNG: Bài 1: Trong Kg(Oxyz) cho ba điểm A(3;1;0), B(-1;2;-1), C(2;-1;3) Tìm điểm D cho tứ giác ABCD hình bình hành Bài 2: Trong Kg(Oxyz) cho ba điểm A(2;-1;6), B(-3;-1;-4), C(5;-1;0) a.Chứng minh tam giác ABC vuông b Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC c Tính độ dài đường trung tuyến kẻ từ A VI Tích có hướng hai véc tơ: Định nghóa: Tích có hướng hai véc tơ a = (a1; a2 ; a3 ) vaø b = (b1; b2 ; b3 ) laø véc tơ ký hiệu : ⎡ a; b ⎤ có tọa độ : ⎣ ⎦ ⎛a ⎡ a; b ⎤ = ⎜ ⎣ ⎦ ⎝ b2 a3 a3 ; b3 b3 a1 a1 a2 ⎞ ; ⎟ b1 b1 b2 ⎠ Cách nhớ: a = (a1; a2 ; a3 ) b = (b1; b2 ; b3 ) Tính chất: • • • ⎡ a; b ⎤ ⊥ a vaø ⎡ a; b ⎤ ⊥ b ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ SΔABC = ⎡ AB; AC ⎤ ⎦ ⎣ S ABCD A B C D = ⎡ AB; AD ⎤ ⎣ ⎦ A' A • VABCD A' B'C ' D' = ⎡ AB; AD ⎤ AA' ⎣ ⎦ D' C B C' B' D C A 120 B • • • VABCD = ⎡ AB; AC ⎤ AD ⎦ ⎣ a phương b D C A ⇔ ⎡ a; b ⎤ = ⎣ ⎦ B a, b, c đồng phẳng ⇔ ⎡ a, b ⎤ c = ⎣ ⎦ BÀI TẬP ỨNG DỤNG: Bài 1: Cho bốn điểm A(-1;-2;4), B(-4;-2;0), C(3;-2;1), D(1;1;1) a Chứng minh bốn điểm A,B,C,D không đồng phẳng b Tính diện tích tam giác ABC c Tính thể tích tứ diện ABCD Bài 2: Tính thể tích tứ diện ABCD biết A(-1;-2;0), B(2;-6;3), C(3;-3;-1), D(-1;-5;3) ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN I Các định nghóa: Véc tơ phương đường thẳng: VTCP đường thẳng : đn ⎧ a ≠ ⎪ a VTCP đường thẳng ( Δ ) ⇔ ⎨ ⎪a có giá song song trùng với (Δ) ⎩ a ( Δ) a Chú ý: • Một đường thẳng có vô số VTCP, véc tơ phương với • Một đường thẳng ( Δ ) hoàn toàn xác định biết điểm thuộc VTCP Cặp VTCP mặt phẳng: a b a α b Cho mặt phẳng α xác định hai đường thẳng cắt a b Gọi a VTCP đường thẳng a b VTVP đường thẳng b Khi : Cặp (a,b) gọi cặp VTCP mặt phẳng α Chú ý : • Một mặt phẳng α hoàn toàn xác định biết điểm thuộc cặp VTCP 121 Véc tơ pháp tuyến ( VTPT) mặt phẳng : n α đn ⎧ n ≠ ⎪ n VTPT mặt phẳng α ⇔ ⎨ ⎪n có giá vuông góc với mpα ⎩ Chú ý: • Một mặt phẳng có vô số VTPT, véc tơ phương với • Một mặt phẳng hoàn toàn xác định biết điểm thuộc cặp VTPT Cách tìm tọa độ VTPT mặt phẳng biết cặp VTCP nó: ⎧a = (a1; a2 ; a3 ) ⎪ Định lý: Giả sử mặt phẳng α có cặp VTCP : ⎨ mp α có VTPT : b = (b1; b2 ; b3 ) ⎪ ⎩ ⎛a n = ⎡ a; b ⎤ = ⎜ ⎣ ⎦ ⎝ b2 a3 a3 ; b3 b3 a1 a1 ; b1 b1 a2 ⎞ ⎟ b2 ⎠ n = [a , b ] a b α BÀI TẬP ỨNG DỤNG: Tìm VTPT mặt phẳng α biết α qua ba điểm A(-2;0;1), B(0;10;3), C(2;0;-1) II Phương trình mặt phẳng : Định lý 1: Trong Kg(Oxyz) Phương trình mặt phẳng α qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) có VTPT n = ( A; B; C ) laø: n = ( A; B ; C ) α M ( x0 ; y ; z ) A( x − x0 ) + B( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = z Định lý 2: Trong Kg(Oxyz) Phương trình dạng : n = ( A; B ; C ) α M0 y Ax + By + Cz + D = với A2 + B2 + C ≠ phương trình tổng quát mặt phẳng 122 x Chú ý : • Neáu (α ) : Ax + By + Cz + D = (α ) có VTPT n = ( A; B; C ) • M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) ∈ (α ) : Ax + By + Cz + D = ⇔ Ax + By0 + Cz0 + D = Các trường hợp đặc biệt: Phương trình mặt phẳng tọa độ: • (Oxy):z = • (Oyz):x = • (Oxz):y = Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: (Oyz ) z y O (Oxz ) x ⎧ A(a; 0; 0) ⎪ • Phương trình mặt phẳng cắt trục Ox, Oy, Oz ⎨ B(0; b; 0) ⎪C (0; 0; c) ⎩ x y z laø: + + =1 a b c (Oxy ) (a,b,c ≠ 0) C c O a b B BAØI TẬP ÁP DỤNG: A Bài 1: Trong Kg(Oxyz) cho ba điểm A(3;1;0), B(-1;2;-1), C(2;-1;3) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) Bài 2: Cho điểm A(1;3;2), B(1;2;1), C(1;1;3) Viết phương trình tham số đường thẳng (d) qua trọng tâm tam giác ABC vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác III Vị trí tương đối hai mặt phẳng - Chùm mặt phẳng : Một số quy ước ký hiệu: ⎧a1 = tb1 ⎪a = tb ⎪ (a1 , a2 , , an ) ⎧ ⎪ Hai n số : ⎨ gọi tỷ lệ với có số t ≠ cho ⎨ ⎩(b1 , b2 , , bn ) ⎪ ⎪ ⎪an = tbn ⎩ an a1 a2 Ký hiệu: a1 : a2 : : an = b1 : b2 : : bn hoaëc = = = b1 b2 bn Vị trí tương đối hai mặt phẳng: Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai mặt phẳng α , β xác định phương trình : (α ) : A1 x + B1y + C1z + D1 = coù VTPT n1 = ( A1; B1; C1 ) ( β ) : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = coù VTPT n2 = ( A2 ; B2 ; C2 ) n1 n2 n1 α n1 n2 β α α β β 123 n2 (α ) caét (β ) ⇔ A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B2 : C2 (hay: ⇔ A1 B1 C1 D1 = = ≠ A B2 C2 D2 (α ) ≡ (β ) ⇔ A1 B1 B C C A hoaëc ≠ hoaëc ≠ ) ≠ B2 C2 C2 A2 A B2 A1 B1 C1 D1 = = = A B2 C2 D2 (α ) // (β ) Đặc biệt: α ⊥ β ⇔ A1 A2 + B1B2 + C1C2 = Chùm mặt phẳng : α β γ a Định nghóa: Tập hợp mặt phẳng qua đường thẳng gọi chùm mặt phẳng • Δ gọi trục chùm • Một mặt phẳng hoàn toàn xác định biết i Trục chùm ii Hai mặt phẳng chùm b Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai mặt phẳng α , β cắt xác định phương trình : (α ) : A1 x + B1y + C1z + D1 = ( β ) : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = Khi : Mỗi mặt phẳng qua giao tuyến α β có phương trình dạng: (γ ) : λ ( A1 x + B1y + C1z + D1 ) + μ ( A2 x + B2 y + C2 z + D2 ) = (λ + μ ≠ 0) Chú ý: λ = μ ≠ γ ≡ β λ ≠ μ = γ ≡ α Đặc biệt : Nếu λ ≠ μ ≠ γ ≠ α β trường hợp phương trình γ viết dạng sau: m(A1 x + B1y + C1z + D1 ) + (A x + B2 y + C2 z + D2 ) = hoaëc (A1 x + B1y + C1z + D1 ) + n(A x + B2 y + C2 z + D2 ) = 124 α β γ ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN I Phương trình đường thẳng: 1.Phương trình tham số đường thẳng: Định lý: Trong Kg(Oxyz) Phương trình tham số đường thẳng (Δ ) qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) nhận a = (a1; a2 ; a3 ) làm VTCP laø : z ⎧ x = x0 + ta1 ⎪ (Δ) : ⎨ y = y0 + ta2 ⎪ z = z + ta ⎩ a (Δ) M0 M ( x, y , z ) y (t ∈ ) O x Phương trình tắc đường thẳng: Định lý: Trong Kg(Oxyz) Phương trình tắc đường thẳng (Δ ) qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) nhận a = (a1; a2 ; a3 ) laøm VTCP laø : (Δ ) : x − x0 y − y0 z − z0 = = a1 a2 a3 Phương trình tổng quát đường thẳng : Trong không gian ta xem đường thẳng giao tuyến hai mặt phẳng ⎧(α ) : A1 x + B1y + C1z + D1 = Xem (Δ ) = α ∩ β với ⎨ ta có định lý sau ⎩( β ) : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = Định lý: Trong Kg(Oxyz) hệ phương trình: ⎧ A1 x + B1y + C1z + D1 = với A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B2 : C2 ⎨ A2 x + B2 y + C2 z + D2 = ⎩ phương trình tổng quát đường thẳng ⎧(α ) : A1 x + B1y + C1z + D1 = ( nα = ( A1; B1; C1 )) ⎪ Chú ý: Nếu (Δ): ⎨ ( Δ ) có VTCP : ( β ) : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = ( n β = ( A2 ; B2 ; C2 )) ⎪ ⎩ ⎛B a = ⎡ nα , n β ⎤ = ⎜ ⎣ ⎦ ⎝ B2 C1 C1 ; C2 C2 125 A1 ; A1 A2 A2 B1 ⎞ ⎟ B2 ⎠ II Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng : 1.Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng : M (Δ ) a n (Δ ) n n M α a M α α a (Δ ) Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho : x − x0 y − y0 z − z0 coù VTCP a = (a1; a2 ; a3 ) vaø qua M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) đường thẳng (Δ ) : = = a1 a2 a3 coù VTPT n = ( A; B; C ) mặt phẳng (α ) : Ax + By + Cz + D = Khi : (Δ) cắt (α ) ⇔ Aa1 + Ba2 + Ca3 ≠ ⎧Aa1 + Ba2 + Ca3 = ⇔ ⎨ ⎩ Ax0 + By0 + Cz0 + D ≠ ⎧Aa1 + Ba2 + Ca3 = ⇔ ⎨ ⎩ Ax0 + By0 + Cz0 + D = (Δ) // (α ) (Δ) ⊂ (α ) a Đặc biệt: (Δ ) ⊥ ( α ) ⇔ a1 : a2 : a3 = A : B : C n α ⎧ pt(Δ) Chú ý: Muốn tìm giao điểm M ( Δ ) ( α ) ta giải hệ phương trình : ⎨ tìm x,y,z ⎩ pt(α ) Suy ra: M(x,y,z) Vị trí tương đối hai đường thẳng : Δ1 M ' a M0 b M0 u' Δ2 M Δ1 u Δ2 M0 ' Δ1 M M ' u u' Δ2 ' M0 Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng : x − x0 y − y0 z − z0 (Δ1 ) : có VTCP u = (a; b; c) qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) = = a b c x − x0 y − y0 z − z0 ' ' ' (Δ ) : coù VTCP u' = (a' ; b' ; c' ) vaø qua M'0 ( x0 ; y0 ; z0 ) = = ' ' ' a b c 126 u Δ1 u' Δ2 ' • (Δ1 ) (Δ ) đồng phẳng ⇔ ⎡u, u' ⎤ M0 M0 = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ • (Δ1 ) cắt (Δ ) ⎧ ⎡u, u' ⎤ M M ' = ⎪⎣ ⎥ 0 ⎦ ⇔ ⎨⎢ ⎪ a : b : c ≠ a' : b' : c ' ⎩ • (Δ1 ) // (Δ ) ' ' ' ⇔ a : b : c = a' : b' : c' ≠ ( x0 − x0 ) : ( y0 − y0 ) : ( z0 − z0 ) • (Δ1 ) ≡ (Δ ) ' ' ' ⇔ a : b : c = a' : b' : c' = ( x0 − x0 ) : ( y0 − y0 ) : ( z0 − z0 ) ' ⇔ ⎡ u, u ' ⎤ M M ≠ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ • (Δ1 ) (Δ ) chéo ⎧ pt(Δ1 ) Chú ý: Muốn tìm giao điểm M (Δ1 ) (Δ ) ta giải hệ phương trình : ⎨ tìm x,y,z ⎩ pt(Δ2 ) Suy ra: M(x,y,z) III Góc không gian: Góc hai mặt phẳng: Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai mặt phẳng α , β xác định phương trình : (α ) : A1 x + B1y + C1z + D1 = ( β ) : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = n = ( A2 ; B ; C ) Goïi ϕ góc hai mặt phẳng (α ) & ( β ) ta có công thức: cos ϕ = A1 A2 + B1 B2 + C1C2 2 A12 + B12 + C12 A2 + B2 + C2 α 0 ≤ ϕ ≤ 90 β Góc đường thẳng mặt phẳng: Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho đường thẳng (Δ ) : n1 = ( A1 ; B1 ; C1 ) x − x0 y − y0 z − z0 = = a b c mặt phẳng (α ) : Ax + By + Cz + D = Gọi ϕ góc hai mặt phẳng ( Δ ) & (α ) ta có công thức: (Δ ) a = ( a ; b; c ) n = ( A; B ; C ) α sin ϕ = Aa + Bb + Cc A2 + B + C a + b + c 3.Góc hai đường thẳng : Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thaúng : x − x0 y − y0 z − z0 = = (Δ1 ) : a b c x − x0 y − y0 z − z0 = = (Δ ) : a' b' c' 127 0 ≤ ϕ ≤ 90 a1 = ( a; b; c ) Gọi ϕ góc hai mặt phẳng (Δ1 ) & (Δ ) ta có công thức: Δ1 aa ' + bb ' + cc ' cos ϕ = Δ2 a + b + c a '2 + b '2 + c '2 a = (a ' ; b' ; c' ) 0 ≤ ϕ ≤ 90 IV Khoảng cách: Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho mặt phẳng (α ) : Ax + By + Cz + D = vaø điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) Khoảng cách từ điểm M0 đến mặt phẳng (α ) tính công thức: M ( x0 ; y ; z ) d ( M0 ; Δ) = α H Ax0 + By0 + Cz0 + D A2 + B2 + C 2 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho đường thẳng ( Δ ) qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) có VTCP u = (a; b; c ) Khi khoảng cách từ điểm M1 đến (Δ ) tính công thức: M1 u ⎡ M0 M1; u ⎤ ⎣ ⎦ d ( M1 , Δ) = u (Δ ) M ( x0 ; y0 ; z ) H Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng chéo : (Δ1 ) coù VTCP u = (a; b; c) vaø qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) ' ' ' (Δ ) coù VTCP u' = (a' ; b' ; c' ) vaø qua M'0 ( x0 ; y0 ; z0 ) Khi khoảng cách (Δ1 ) (Δ ) tính công thức Δ1 u M0 ' M0 u' ⎡ u, u' ⎤ M M ' ⎢ ⎥ 0 ⎣ ⎦ d (Δ1 , Δ ) = ⎡ u, u ' ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ Δ2 128 BÀI TẬP RÈN LUYỆN -*** Baøi 1: Trong Kg(Oxyz) cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' với A(0;0;0), B(1;0;0), D(0;1;0), A'(0;01) Gọi M, N trung điểm AB CD Tính khoảng cách hai đường thẳng A'C MN Viết phương trình mặt phẳng chứa A'C tạo với mặt phẳng Oxy góc α biết cos α = Bài 2: Trong Kg(Oxyz) cho điểm A(0;1;2) hai đường thẳng : ⎧x = + t x y −1 z +1 ⎪ d1 : = & d : ⎨ y = −1 − 2t = −1 ⎪z = + t ⎩ Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, đồng thời song song với d1 d2 Tìm tọa độ điểm M thuộc d1, N thuộc d2 cho ba điểm A,M,N thẳng hàng Bài 3: Trong Kg(Oxyz) cho điểm A(1;2;3) hai đường thẳng : x−2 y +2 z −3 x −1 y −1 z +1 = = = = & d2 : d1 : −1 −1 1 Tìm tọa độ điểm A' đối xứng với điểm A qua đường thẳng d1 Viết phương trình đường thẳng Δ qua A, vuông góc với d1 cắt d2 Bài 4: Trong Kg(Oxyz) cho điểm A(0;1;0), B(2;3;1), C(-2;2;2), D(1;-1;2) Chứng minh tam giác ABC, ABD, ACD tam giác vuông Tính thể tích tứ diện ABCD Gọi H trực tâm tam giác BCD, viết phương trình đường thẳng AH Bài 5: Trong Kg(Oxyz) cho điểm A(1;1;2), B(-2;1;-1), C(2;-2;1) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) Xác định tọa độ hình chiếu vuông góc điểm O mặt phẳng (ABC) Tính thể tích tứ diện OABC Bài 6: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng: ⎧x = 1+ t ⎧x − 2y + z − = ⎪ Δ1 : ⎨ vaø Δ : ⎨ y = + t ⎩ x + y − 2z + = ⎪ ⎩ z = + 2t Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng Δ1 song song với đường thẳng Δ2 Cho điểm M(2;1;4) Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng Δ2 cho đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ Bài 7: Trong Kg(Oxyz) cho mặt phẳng (P) : 2x-y+2=0 đường thẳng ⎧(2m + 1) x + (1 − m)y + m − = dm : ⎨ ⎩mx + (2m + 1)z + 4m + = Xác định m để đường thẳng dm song song với mặt phẳng (P) Bài 8: Trong Kg(Oxyz) cho mặt phẳng (P) :x-y+z+3=0 hai điểm A(-1;-3;-2), B(-5;7;12) Tìm tọa độ điểm A’ điểm đối xứng với điểm A qua mặt phẳng (P) Giả sử M điểm chạy mặt phẳng (P) Tìm giá trị nhỏ biểu thức : MA+MB ⎧2 x + y + z + = Baøi 9: Trong Kg(Oxyz) cho đường thẳng Δ : ⎨ mặt phẳng (P): 4x-2y+z-1=0 ⎩x + y + z + = 129 Viết phương trình hình chiếu vuông góc đường thẳng Δ mặt phẳng (P) ⎧ x − az − a = ⎧ax + 3y − = Bài 10: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng: d1 : ⎨ vaø d : ⎨ ⎩y − z + = ⎩ x − 3z − = Tìm a để hai đường thẳng d1 d2 cắt Với a=2, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d2 songsong với đường thẳng d1 Tính khoảng cách d1 d2 a=2 Bài 11: Trong Kg(Oxyz) cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có A trùng với gốc tọa độ, B(a;0;0).D(0;a;0), A’(0;0;b) (a>0,b>0) Gọi M trung điểm cạnh CC’ Tính thể tích khối tứ diện BDA’M theo a b a Xác định tỷ số để hai mặt phẳng (A’BD) (MBD) vuông góc với b Bài 12: Trong Kg(Oxyz) cho tứ diện ABCD với A(2;3;2), B(6;-1;-2), C(-1;-4;3), D(1;6;-5) Tính góc hai đường thẳng AB CD Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng CD cho tam giác ABM có chu vi nhỏ Bài 13: Trong không gian với hệ tọa dộ Đề vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng ⎧3 x − z + = x y +1 z vaø d2 : ⎨ = d1 : = ⎩2 x + y − = Chứng minh d1, d2 chéo vuông góc với Viết phương trình tổng quát đường thẳng d cắt hai đường thẳng d1, d2 song song x −4 y −7 z−3 với đường thẳng Δ : = = −2 Bài 14: Trong không gian với hệ trục tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz cho tứ diện OABC với A(0;0; a ), B(a;0;0), C(0; a ;0) (a>0) Gọi M trung điểm BC Tính khoảng cách hai đường thẳng AB OM Bài 15: Trong không gian với hệ trục tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz cho hai điểm A(2;1;1), ⎧3 x − y − 11 = B(0;-1;3) đường thẳng d : ⎨ ⎩ y + 3z − = Viết phương trình mặt phẳng (P) qua trung điểm I AB vuông góc với AB Gọi K giao điểm đường thẳng d mặt phẳng (P), chứng minh d vuông góc với IK Viết phương trình tổng quát hình chiếu vuông góc d mặt phẳng có phương trình x + y − z +1 = Baøi 16: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng : ⎧x + y − z + = x −1 y + z (d1 ) : = = vaø (d ) : ⎨ 1 ⎩x +1 = Laäp phương trình đường thẳng Δ qua M(0;1;1) cho Δ vuông góc với (d1) cắt (d2) Bài 17: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng : ⎧3 x − y − = x +1 y + z − (d1 ) : = = vaø (d ) : ⎨ −2 −1 ⎩5 x + +2 z − 12 = Chứng minh d1 d2 chéo Tính khoảng cách hai đường thẳng Lập phương trình đường thẳng Δ qua M(-4;-5;3) cho Δ cắt d1 d2 Bài 18: Trong Kg(Oxyz) cho đường thẳng (d) mặt phẳng (P) có phương trình : x +1 y −1 z − = = (d ) : vaø (P):x-y-z-1=0 2 130 Lập phương trình đường thẳng Δ qua A(1;1;-2) cho Δ ⊥ d vaø Δ//(P) Bài 19: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng : ⎧ x − 2y + z − = x −1 y +1 z (d1 ) : = = vaø (d ) : ⎨ −1 ⎩2 x − y + z + = vaø mặt phẳng ( P ) : x + y + z − = Lập phương trình đường thẳng Δ cho Δ ⊥ ( P ) Δ cắt hai đường thẳng d1 d2 Bài 20: Trong Kg(Oxyz) cho đường thẳng : x −1 y − z điểm I(2;-1;3) = = (d ) : −1 Gọi K điểm đối xứng I qua (d) Tìm toạ độ điểm K Bài 21: Trong Kg(Oxyz) cho đường thẳng : x y −1 z + điểm A(1;2;1) = (d ) : = Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng (d) Bài 22: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng : ⎧2 x + y + = ⎧3 x + y − z + = (d1 ) : ⎨ vaø (d ) : ⎨ ⎩x-y+z-1=0 ⎩2 x − y + = Chứng minh d1 d2 cắt Tìm toạ độ giao điểm I d1 d2 Lập phương trình mặt phẳng (P) qua d1 d2 Tính thể tích phần không gian giới hạn (P) mặt phẳng toạ độ Bài 23: Trong Kg(Oxyz) cho hai điểm A(1;2;1) , B(2;1;3) mặt phẳng (P): x-3y+2z-6 = Lập phương trình mặt phẳng (Q) qua A, B vuông góc với (P) Viết phương trình tắc giao tuyến (P) (Q) Gọi K điểm đối xứng A qua (P) Tìm toạ độ điểm K ⎧2 x + y − = Bài 24: Trong Kg(Oxyz) cho hai điểm A(1;2;-1) B(7;-2;3) đường thẳng (d): ⎨ ⎩y + z − = Chứng minh (d) AB đồng phẳng Tìm toạ độ giao điểm I0 đường thẳng (d) với mặt phẳng trung trực đoạn AB Tìm I ∈ (d ) cho tam giác ABI có chu vi nhỏ Bài 25: Trong Kg(Oxyz) cho hai điểm A(0;0;-3) , B(2;0;-1) mặt phaúng (P): 3x - 8y + 7z -1 = Tìm toạ độ giao điểm I đường thẳng AB mặt phẳng (P) Tìm điểm C thuộc mặt phẳng (P) cho tam giác ABC Bài 26: Trong Kg(Oxyz) cho hai điểm A(1;2;3) , B(4;4;5) mặt phẳng (P): z = Tìm M ∈ (P) cho MA+MB nhỏ Tìm N ∈ (P) cho NA − NB lớn Bài 27: Trong Kg(Oxyz) cho hai điểm A(3;1;0) , B(-9;4;9) mặt phẳng (P): 2x - y + z + = Tìm M ∈ (P) cho MA − MB lớn Bài 28: Trong Kg(Oxyz) cho đường thẳng (d) mặt phẳng (P) có phương trình : x y − z +1 = (d ) : = (P):x-y+3z+8=0 Viết phương trình hình chiếu (d) lên (P) Bài 29: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng : 131 (d1 ) : ⎧ x + 3z − = x − y −1 z = = vaø (d ) : ⎨ −1 ⎩y − = Chứng minh d1 d2 chéo Lập phương trình đường vuông góc chung hai đường thẳng d1 d2 Bài 30: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thaúng : x −1 y z + x y −1 z − = = = (d1 ) : vaø (d ) : = 1 −2 Chứng minh d1 d2 chéo Tìm toạ độ điểm A, B đường vuông góc chung AB d1 d2 Bài 31: Cho tam giác ABC có toạ độ đỉnh : A(0;1;0); B(2;2;2); C(-2;3;4) x −1 y + z + đường thẳng (d ) : = = 2 −1 Tìm toạ độ điểm M nằm (d) cho AM ⊥ AB Tìm toạ độ điểm N nằm (d) cho VNABC = Baøi 32: Trong Kg(Oxyz) cho O(0;0;0), A(6;3;0), B(-2;9;1) S(0;5;8) Chứng minh SB ⊥ OA Chứng minh hình chiếu cạnh SB lên mặt phẳng (OAB) vuông góc với OA Gọi K giao điểm hình chiếu với OA Tìm toạ độ điểm K Gọi P, Q trung điểm cạnh OS AB.Tìm toạ độ M thuộc SB cho PQ KM cắt Bài 33: Cho hai đường thẳng : =0 ⎧ x + 2y − z x −1 y − z − (d1 ) : = = vaø (d ) : ⎨ ⎩ x − y + 3z − = Tính khoảng cách hai đường thẳng (d1) (d2) Bài 34: Viết phương trình tham số đường thẳng nằm mặt phẳng y+2z=0 cắt hai đường thẳng : ⎧x = 1− t ⎧x = − t ⎪ ⎪ (d1 ) : ⎨ y = t vaø (d ) : ⎨ y = + 2t ⎪ z = 4t ⎪z = ⎩ ⎩ Baøi 35: Cho bốn điểm A(-4;4;0), B(2;0;4), C(1;2;-1), D(7;-2;3) Chứng minh bốn điểm A,B,C,D nằm mặt phẳng Tính khoảng cách từ C đến đường thẳng AB Tìm đường thẳng AB điểm M cho tổng MC+MD nhỏ Bài 36: Cho hình tứ diện ABCD biết tọa độ đỉnh A(2,3,1) ; B(4,1,-2) ; C(6,3,7) ; D(-5,-4,8) Tính độ dài đường cao hình tứ diện xuất phát từ D Bài 37: Trong không gian Oxyz cho điểm A(-1,2,3) hai mặt phẳng (P):x-2 = , (Q):y-z-1=0 Viết phương trình mặt phẳng (R) qua A vuông góc với hai mặt phẳng (P) , (Q) Bài 38: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P) qua ba điểm A(1,3,2) , B(1,2,1) C(1,1,3) Viết phương trình tham số đường thẳng (d) qua trọng tâm tam giác ABC vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác Bài 39: Lập phương trình đường thẳng (d) qua điểm A(1,2,3) vuông góc với hai đường ⎧2x + y − = ⎧x − y + 4z + 10 = thẳng (d1 ) : ⎨ (d ) : ⎨ ⎩2x − 4y − z + = ⎩2x + z − = Bài 40: Lập phương trình đường thẳng (d) qua điểm A(3,2,1) song song với mặt phẳng 132 ⎧x + y − = (P): x+y+z-2 = vuông góc với đường thẳng (d) : ⎨ ⎩4y + z + = ⎧x − 3z − = có khoảng cách Bài 41:Lập phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng (d): ⎨ ⎩y + 5z − = đến điểm A(1,-1,0) Bài 42: Cho hai đường thẳng (d1) (d2) có phương trình : ⎧x + 8z + 23 = ⎧x − 2z − = vaø (d ) : ⎨ (d1 ) : ⎨ ⎩y − 4z + 10 = ⎩y + 2z + = Chứng tỏ (d1) (d2) chéo Tính khoảng cách (d1) (d2) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d1) , mặt phẳng (Q) chứa (d2) cho (P)//(Q) Viết phương trình đường thẳng (d) song song với Oz cắt (d1) (d2) MẶT CẦU TRONG KHÔNG GIAN I Phương trình mặt cầu: Phương trình tắc: Định lý : Trong Kg(Oxyz) Phương trình mặt cầu (S) tâm I(a;b;c), bán kính R : z (S) : ( x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2 (S ) I R M ( x; y; z ) O y (1) Phương trình (1) gọi phương trình tắc mặt cầu Đặc biệt: Khi I ≡ O (C ) : x + y + z2 = R2 x Phương trình tổng quát: Định lý : Trong Kg(Oxyz) Phương trình : x + y + z2 − 2ax − 2by − 2cz + d = với a2 + b2 + c2 − d > phương trình mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c), bán kính R = a2 + b2 + c2 − d BÀI TẬP ỨNG DỤNG: Cho điểm A(-1;-2;0), B(2;-6;3), C(3;-3;-1), D(-1;-5;3) Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm A, B, C, D Xác định tâm bán kính mặt cầu II Giao mặt cầu mặt phẳng: Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho mặt phẳng (α ) mặt cầu (S) có phương trình : (α ) : Ax + By + Cz + D = (S ) : ( x − a)2 + ( y − b)2 + ( z − c)2 = R2 Gọi d(I; α ) khoảng cách từ tâm mặt cầu (S) đến mặt phẳng α 133 Ta có : (α ) cắt mặt cầu (S) ⇔ d(I;α ) < R (α ) tiếp xúc mặt cầu (S) ⇔ d(I;α ) =R (α ) không cắt mặt cầu (S) ⇔ d(I;α ) > R (S ) (S ) I (S ) I R R R α H α M H α Chú ý : Khi α cắt mặt cầu (S) cắt theo đường trịn (C) Đường trịn (C) có: • • • (C ) I M ⎧ Ax + By + Cz + D = ⎪ ⎨ 2 2 ⎪( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = R ⎩ Tâm hình chiếu vng góc tâm mặt cầu mặt phẳng α Bán kính r = R2 − d (I ,α ) Phương trình là: -Heát 134 M r H ... A(2,3,1) ; B(4,1 ,-2 ) ; C(6,3,7) ; D (-5 ,-4 ,8) Tính độ dài đường cao hình tứ diện xuất phát từ D Bài 37: Trong không gian Oxyz cho điểm A (-1 ,2,3) hai mặt phẳng (P):x-2 = , (Q):y-z-1=0 Viết phương... tứ diện ABCD Bài 2: Tính thể tích tứ diện ABCD biết A (-1 ;-2 ;0), B(2 ;-6 ;3), C(3 ;-3 ;-1 ), D (-1 ;-5 ;3) ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN I Các định nghóa: Véc tơ phương đường thẳng: VTCP đường... DỤNG: Bài 1: Trong Kg(Oxyz) cho ba điểm A(3;1;0), B (-1 ;2 ;-1 ), C(2 ;-1 ;3) Tìm điểm D cho tứ giác ABCD hình bình hành Bài 2: Trong Kg(Oxyz) cho ba điểm A(2 ;-1 ;6), B (-3 ;-1 ;-4 ), C(5 ;-1 ;0) a.Chứng