HÀM SỐ MŨ - HÀM SỐ LÔGARÍT PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA MŨ VÀ LOGARÍT Chuyên đề : TRỌNG TÂM KIẾN THỨC I KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ MŨ Các định nghóa: • an = a.a a (n ∈ Z+ , n ≥ 1, a ∈ R) n thừa số • • a = a ∀a • a− n = • m an • a0 = a − a ∀a ≠ (n ∈ Z+ , n ≥ 1, a ∈ R / { 0}) n n = am m n = m an ( a > 0; m, n ∈ N ) = n m a Caùc tính chất : • • am an = am+ n am n = a m− n • a (am )n = (an )m = am.n • (a.b)n = an b n • a an ( )n = n b b Hàm số mũ: Dạng : y = ax ( a > , a ≠ ) • Tập xác định : D = R • Tập giá trị : T = R + ( a x > ∀x ∈ R ) • Tính đơn điệu: *a>1 : y = ax đồng biến R • * < a < : y = ax nghịch biến R Đồ thị hàm số mũ : y y=ax y y=ax 1 x x a>1 0 log a N = M Điều kiện có nghóa: dn ⇔ log a N có nghóa aM = N ⎧a > ⎪ ⎨a ≠ ⎪N > ⎩ Các tính chất : • • log a = log a a = • log a aM = M • • aloga N = N log a (N1 N ) = log a N1 + log a N • log a ( • log a N α = α log a N N1 ) = log a N1 − log a N N2 Đặc biệt : log a N = log a N Công thức đổi số : • log a N = log a b log b N • log b N = * Hệ quả: • log a b = log a N log a b log b a vaø log ak N= log a N k Hàm số logarít: Dạng y = log a x ( a > , a ≠ ) Tập xác định : D = R + Tập giá trị T=R Tính đơn điệu: *a>1 : y = log a x đồng biến R + • • • * < a < : y = log a x nghịch biến R + Đồ thị hàm số lôgarít: • y y y=logax O a>1 Minh hoïa: 3.5 y 0 0;N > : loga M = loga N ⇔ M = N Định lý 5: Với < a N (nghịch biến) Định lý 6: Với a > : loga M < loga N ⇔ M < N (đồng biến) 2.5 3.5 4.5 x III CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ THƯỜNG SỬ DỤNG: Dạng bản: ax = m (1) • m ≤ : phương trình (1) vơ nghiệm • m > : ax = m ⇔ x = loga m Phương pháp 1: Biến đổi phương trình dạng : aM = aN (Phương pháp đưa số) Ví du : Giải phương trình sau : 1) x + = 27 x + 2) 2x −3x + =4 1 3) 3.4 x + x + = 6.4x +1 − 9x +1 Ví du 2ï : Giải phương trình sau x + 10 x+ 1) 16 x −10 = 0,125.8 x −15 x+5 x +17 2) 32 x − = 0,25.128 x −3 Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển phương trình đại số Ví dụ : Giải phương trình sau : 1) 2x + − 4.3 x + + 27 = 2) 6.9 x − 13.6 x + 6.4 x = 3) 5.2 x = 10x − 2.5x 4) ( − )x + ( + )x = 5) ( 5+2 ) ( x + 5−2 ) = 10 x 6) x − x − 2+ x − x = 7) 3.8 x + 4.12 x − 18 x − 2.27 x = 8) 2.2 x − 9.14 x + 7.7 x = 2 9) 4x + x −2 − 5.2x −1+ x −2 − = 10) 43+2cosx − 7.41+ cosx − = Baøi tập rèn luyện: 1) (2 + ) x + (2 − ) x = 2) x + 18 x = 2.27 x 3) 125 x + 50 x = x +1 4) 25 x + 10 x = 2 x +1 ( x ± 1) (x=0) (x=0) (x=0) 5) ( + )x + ( − )x = ( x = ±2) 6) 27 + 12 = 2.8 (x=0) x x x Phương pháp 3: Biến đổi phương trình dạng tích số A.B=0, Ví dụ : Giải phương trình sau : 1) 8.3x + 3.2x = 24 + 6x 2 2) x + x − 4.2 x − x − 2 x + = 3) 52x +1 + 7x +1 − 175x − 35 = 4) x 2 x −1 + x −3 + = x 2 x −3 + + x +1 5) 4x +x + 21− x = 2( x +1) +1 Phương pháp 4: Lấy lơgarít hai vế theo số thích hợp (Phương pháp lơgarít hóa) Ví dụ : Giải phương trình 1) 3x −1.2x = 8.4x −2 2) x.8 x −1 x = 500 Phương pháp 5: Nhẩm nghiệm sử dụng tính đơn điệu để chứng minh nghiệm (thường sử dụng công cụ đạo hàm) * Ta thường sử dụng tính chất sau: • Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( giảm ) khỏang (a;b) phương trình f(x) = C có không nghiệm khỏang (a;b) ( tồn x0 ∈ (a;b) cho f(x0) = C nghiệm phương trình f(x) = C) • Tính chất : Nếu hàm f tăng khỏang (a;b) hàm g hàm hàm giảm khỏang (a;b) phương trình f(x) = g(x) có nhiều nghiệm khỏang (a;b) ( tồn x0 ∈ (a;b) cho f(x0) = g(x0) nghiệm phương trình f(x) = g(x)) Phương pháp chiều biến thiên hàm số Ví dụ : Giải phương trình sau : 1) 3x + 4x = 5x x 2) 2x = 1+ 3) ( )x = 2x + 4) 3− x = − x + 8x − 14 5) 3.25x −2 + ( 3x − 10 ) 5x −2 + − x = Bài tập rèn luyện: 1) 2.2 x + 3.3 x = x − 2) x = − x (x=2) (x=1) IV CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT THƯỜNG SỬ DỤNG: Dạng bản: loga x = m (1) • ∀m ∈ : loga x = m ⇔ x = am Phương pháp 1: Biến đổi phương trình dạng : log a M = log a N (đồng số) Ví dụ : Giải phương trình sau : 1) log2 = log (x − x − 1) x 2) log2 [ x(x − 1)] = 3) log2 x + log2 (x − 1) = Ví dụ : Giải phương trình sau : 1) log x (x + 6) = 2) log (4 x + 4) = x − log (2 x +1 − 3) 3) log ( x − 1) + log ( x + 4) = log (3 − x) 2 1 log ( x + 3) + log4 ( x − 1) = log2 ( 4x ) 3 5) log ( x + ) − = log ( − x ) + log ( x + ) 4 4) ( x = − 11; x = −1 + 14 ) ( x = 3; x = −3 + ) ( x = 2; x = − 33 ) Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển phương trình đại số Ví dụ : Giải phương trình sau : 1) + =3 log2 2x log2 x 2 2) log x + log x + − = 3) log4 log2 x + log2 log4 x = 4) logx + log3 x = log x + log3 x + 5) logx (125x ) log2 x = 25 6) logx 2.log x = log x 16 7) log5x + log2 x = x 8) ( x − ) log3 9( x − ) 64 = ( x − 2) 3 Phương pháp 3: Biến đổi phương trình dạng tích số A.B=0, Ví dụ : Giải phương trình sau : log x + log x = + log x log x 2 Phương pháp 4: Nhẩm nghiệm sử dụng tính đơn điệu để chứng minh nghiệm (thường sử dụng công cụ đạo hàm) * Ta thường sử dụng tính chất sau: • Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( giảm ) khỏang (a;b) phương trình f(x) = C có không nghiệm khỏang (a;b) ( tồn x0 ∈ (a;b) cho f(x0) = C nghiệm phương trình f(x) = C) • Tính chất : Nếu hàm f tăng khỏang (a;b) hàm g hàm hàm giảm khỏang (a;b) phương trình f(x) = g(x) có nhiều nghiệm khỏang (a;b) ( tồn x0 ∈ (a;b) cho f(x0) = g(x0) nghiệm phương trình f(x) = g(x)) Phương pháp chiều biến thiên hàm số Ví dụ : Giải phương trình sau : 1) log (x − x − 6) + x = log (x + 2) + ( ) 2) log2 x + 3log6 x = log6 x ( ) 3) log2 + x = log3 x V CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ THƯỜNG SỬ DỤNG: Phương pháp 1: Biến đổi phương trình dạng : aM < aN ( ≤, >, ≥ ) Ví dụ : Giải bất phương trình sau : 1) 23−6x > −4x −11 ⎛1⎞ 2) ⎜ ⎟ > x + 6x + ⎝2⎠ Ví dụ : Giải bất phương trình sau : x − x −1 1) x − x ≥ ( ) 2) ≥ x −1 x2 − x 2 Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển bất phương trình đại số Ví dụ : Giải bất phương trình sau : 1) x < 2.3x + 2) 52x +1 > 5x + Ví dụ : Giải phương trình sau : 1) 2 x − 3.(2 x + ) + 32 < 2) x + − x ≤ 3) 32x + + 45.6x − 9.2x + ≤ 1 +1 4) ( ) x + 3.( ) x > 12 3 5) + 21+ x − x + 21+ x > 6) 15.2 x +1 + ≥ x − + x +1 ( x ≤ ) ( < x ≤ 2) VI CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT THƯỜNG SỬ DỤNG: Phương pháp 1: Biến đổi phương trình dạng : loga M < loga N ( ≤, >, ≥ ) Ví dụ : Giải bất phương trình sau : 1) log2 (x + x − 2) > log2 (x + 3) 2) log0,5 (4x + 11) < log0,5 (x + 6x + 8) 3) log (x − 6x + 5) + log3 (2 − x) ≥ 4) log x + log ( x − 1) + log2 ≤ x +1 5) log log3 ≥0 x −1 Ví dụ : Giải bất phương trình sau : 1) log x (5x − 8x + 3) > 2) log log x − < 3) log 3x − x2 (3 − x) > 4) log x (log (3 x − 9)) ≤ ( ) 5) logx log3 ( 9x − 72 ) ≤ 6) log (4 + 144) − log < + log (2 x − + 1) x 7) log ( 4x + ) ≥ log ( 22x +1 − 3.2x ) 2 Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển bất phương trình đại số Ví dụ : Giải bất phương trình sau : 1) log2 x + log2 x − ≤ 2) x log2 x + 3) 4) + x ≤ 12 log x + log4 x − > log2 x 6 < 32 log x Ví dụ : Giải phương trình sau : 1) log (3 x + 2) + log 3x + 2 − > 2) log x 64 + log x2 16 ≥ (log x) + >2 3) log x + 1 ( 2) x2 −2 x − x x − x3 +1 ⎛1⎞ 3) ⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎛1⎞ 4) ⎜ ⎟ ⎝4⎠ − 7.3 3x ⎛1⎞ −⎜ ⎟ ⎝8⎠ x − x − x −1 6) (x=1,x=2,x=4) ( x = ,x = 2) ( x = ,x = 2) (x=2,x=8) (x>5) (− ≤ x ≤ 0∨ x ≥ ) ≤2 1− x ⎛1⎞ ) x −1 − 128 ≥ 5) log (1 − x) < + log (x=1) (x= ) ( x + 1) − log x > log x 7) log x log (3 x − 9) < 1 8) < log ( x + x) log (3x − 1) (x≤− ) (− < x < ) ( ≤ x < 2) ( x > log 10 ) ( < x < 1) log ( x + 3) − log ( x + 3) 9) x +1 >0 (-2 < x ⎧x > ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ x + > ⇔ ⎪x > − ⇔ < x < ⎪ Điều kiện: ⎨ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪7 − x > ⎪x < ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ Khi đó: (1) ⇔ log ( x − 1) + log (x + 1) − log (7 − x ) = 2 ⎡1 2⎤ ⇔ log (x − 1) = log ⎢ (7 − x ) ⎥ ⎢ ⎥⎦ 2 ⎣2 ⇔ x − = (7 − x ) ⇔ 2x − = 49 − 14x + x ⇔ x + 14x − 50 = ⎡x = ⇔ ⎢⎢ ⎢⎣ x = −17 So với điều kiện ta có nghiệm pt(1) x = Bài 2: Giải phương trình: 3 log ( x + 2) − = log (4 − x ) +log (x + 6) 4 (1) Bài giải: ⎧x + ≠ ⎧x ≠ −2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎧−6 < x < ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪4 − x > ⇔ ⎪x < ⇔ ⎨ ⎪ Điều kiện: ⎨ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ x ≠ −2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪x + > ⎪x > −6 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ Khi đó: (1) ⇔ log x + − = log (4 − x ) + log (x + 6) 4 ⇔ log x + − = log (4 − x ) + log (x + 6) 4 ⇔ log (4 x + ) = log [(4 − x )(x + 6)] 4 ⇔ x + = (4 − x )(x + 6) ⎡ x2 + 6x − 16 = ⎡ ( x + 2) = (4 − x )( x + 6) ⎢ ⎢ ⇔⎢ ⇔⎢ ⇔ ⎢⎣ x − 2x − 32 = ⎢⎣ ( x + 2) = − (4 − x )( x + 6) So với điều kiện ta có nghiệm pt(1) x = ∨ x = − 33 ⎡ x = ∨ x = −8 ⎢ ⎢ x = ± 33 ⎣⎢ Bài 3: Giải phương trình: log2 ( x + 2) + log (x − 5)2 + log = (1) Bài giải: ⎧ ⎧ x > −2 ⎪x + > ⎪ ⇔⎪ Điều kiện: ⎪ ⎨ ⎨ ⎪x − ≠ ⎪x ≠ ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ Khi đó: (1) ⇔ log2 ( x + 2) + log2 x − = log2 ⇔ log2 [(x + 2) x − ] = log2 ⇔ ( x + 2) x − = ⎡⎧x > ⎡⎧x > ⎪ ⎢⎪ ⎪ ⎢⎪ ⎢⎨x − 3x − 18 = ⎢⎨(x + 2)( x − 5) = ⎪ ⎢⎪ ⎢⎪ ⎪ ⎩ ⎢⎪ ⎢⎩ ⇔ ⇔ ⇔ ⎢⎧−2 < x < ⎢⎧−2 < x < ⎪ ⎪ ⎢⎪ ⎢⎪ ⎪ ⎢⎨ ⎢⎨(x + 2)(5 − x) = ⎪ ⎪ ⎢⎪x − 3x − = ⎢⎣⎪ ⎩ ⎩ ⎣⎪ ⎡x = ⎢ Vậy nghiệm phương trình (1) ⎢ ⎢ x = ± 17 ⎢ ⎣ Bài 4: Giải phương trình: log2 x − + log2 x + + log = ⎡⎧x > ⎪ ⎢⎪ ⎢⎨x = −3 ∨ x = ⎢⎪ ⎪ ⎢⎩ ⇔ ⎢⎧−2 < x < ⎪ ⎢⎪ ⎪ ⎢⎨ ⎢⎪x = ± 17 ⎢⎪ ⎪ ⎩ ⎣⎪ ⎡x = ⎢ ⎢ ± 17 ⎢ ⎢x = ⎣ (1) Bài giải: ⎧ ⎧ ⎪x − ≠ ⎪x ≠ ⎪ ⎪ Điều kiện: ⎨ ⇔⎨ ⎪x + ≠ ⎪ x ≠ −5 ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ Khi đó: (1) ⇔ log2 ( x − 2)(x + 5) = log2 ⇔ ( x − 2)(x + 5) = ⎡ x + 3x − 18 = ⎡( x − 2)( x + 5) = ⎢ ⇔⎢ ⇔ ⎢⎢ ⇔ ( x − 2)( x + 5) = −8 ⎢⎣ x − 3x + = ⎢⎣ ⎡ x = −3 ∨ x = ⎢ So với điều kiện ta có nghiệm pt(1) ⎢ ⎢ x = ± 17 ⎢ ⎣ ⎡ x = −3 ∨ x = ⎢ ⎢ ⎢ x = ± 17 ⎢ ⎣ Bài 5: Giải phương trình: log (x − 1) + log2x+1 = + log2 x + 2 (1) Bài giải: ⎧x > ⎪ ⎧x − > ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪x > − ⎪2x + > ⎪ ⎪ ⎪ ⇔ x>1 Điều kiện: ⎨ ⇔⎪ ⎨ ⎪2x + ≠ ⎪x ≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪x + > ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ x > −2 ⎩ Khi đó: 1 1 log2 (x − 1) + log2 (2x + 1) = + log2 (x + 2) 2 2 ⇔ log2 [( x − 1)(2x + 1)] = log2 [2 ( x + 2)] (1) ⇔ ⇔ (x − 1)(2x + 1) = ( x + 2) ⎡ x = −1 ⎢ ⇔ 2x − 3x − = ⇔ ⎢ ⎢x = ⎢⎣ 2 So với điều kiện ta có nghiệm pt(1) x = Bài 6: Giải phương trình: log2 2x − x log2 = 2.3log2 4x (1) Bài giải: Điều kiện: x > Khi đó: log2 2x − x log2 = 2.3log2 4x ⇔ 41+log2 x − x log2 = 2.32(1+log2 x) Đặt t = log2 x ⇒ x = 2t , phương trình (2) trở thành: log2 41+t − (2t ) t = 2.32(1+t) ⇔ 4.4 t − (2log2 ) = 18.9t t ⎡⎛ ⎞t ⎤ ⎛3⎞ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⇔ 4.4 − = 18.9 ⇔ − ⎜ ⎟ = 18 ⎢⎜ ⎟ ⎥ ⎢⎝ ⎠ ⎥ ⎝2⎠ ⎣ ⎦ t t t t ⎡⎛ ⎞t ⎤ ⎛ 3⎞ ⎟ ⎟ ⎢⎜ ⎟ ⎥ + ⎜ ⎟ − = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⇔ 18 ⎢⎝ ⎠ ⎥ ⎝2⎠ ⎣ ⎦ ⎡⎛ ⎞ ⎟ ⎢⎜ ⎟ = ⎜2⎠ ⎟ ⎢⎝ ⇔⎢ t ⇔ t = −2 ⎢⎛ ⎞ ⎢⎜ ⎟ = − (loai) ⎟ ⎢⎣⎜ ⎠ ⎝ ⎟ t Với t = −2 ta nghiệm phương trình (1) : x = Bài 7: Giải phương trình: (2 − log x ).log9x − 4 =1 − log3 x (1) Bài giải: ⎧x > ⎪ ⎧x > ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪9x ≠ Điều kiện: ⎨ ⇔ ⎪x ≠ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪log x ≠ ⎪x ≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎩ Khi đó: − log3 x − log3 x (1) ⇔ − =1⇔ − = (2) log3 (9x ) − log x + log3 x − log x Đặt t = log3 x (t ≠ −2; t ≠ 1) , phương trình (2) trở thành: ⎡ t = −1 2−t − = ⇔ t2 − 3t − = ⇔ ⎢⎢ + t 1− t ⎢⎣ t = • Với t = −1 ta pt : log x = −1 ⇔ x = • Với t = ta pt : log x = ⇔ x = 81 So với điều kiện ta nghiệm pt(1) x = ; x = 81 Bài 8: Giải phương trình: log ( 3x - 1) log ( 3x+1 - ) = (1) Bài giải: Điều kiện: 3x − > ⇔ 3x > ⇔ x > Khi đó: (1) ⇔ log ( 3x - 1) ⎡1 + log ( 3x − 1) ⎤ = ⎣ ⎦ ⎡t = Đặt: t = log ( 3x − 1) , pt trở thành: t ( t + 1) = ⇔ t2 + t − = ⇔ ⎢ ⎢ t = −3 ⎣ 28 28 • Với t = −3 : log ( 3x − 1) = −3 ⇔ 3x − = ⇔ 3x = ⇔ x = log 27 27 27 x x x • Với t = : log ( − 1) = ⇔ − = ⇔ = 10 ⇔ x = log 10 Các nghiệm tìm thỏa điều kiện 28 Vậy pt(1) có hai nghiệm x = log ; x = log 10 27 Bài 9: Giải phương trình: log x 7x log7 x = (1) Bài giải: ⎧x > ⎪ Điều kiện: ⎨ ⎪x ≠ ⎩ Khi đó: (1) ⇔ log x ( 7x ).log7 x = ⇔ 1⎛ ⎞ ⎜1 + ⎟.log7 x = 2⎝ log7 x ⎠ ⎧t > 1⎛ 1⎞ ⎪ Đặt t = log7 x , pt trở thành: ⇔ ⎜ + ⎟.t = ⇔ ⎨ ⎛ 1⎞ 2⎝ t⎠ ⎪ ⎜ + t ⎟ t = ⎠ ⎩ ⎝ • Với t = : log7 x = ⇔ x = (thỏa điều kiện) Vậy pt(1) có nghiệm x = ⎧t > ⎪ ⇔ t=1 ⎨ ⎪t + t − = ⎩ Bài 10: Giải phương trình: log2x −1 ( 2x + x − 1) + log x +1 ( 2x − 1) = (1) Bài giải: ⎧ x < −1 ∨ x > ⎪ ⎧2x + x − > ⎪ ⎪ ⎪x > ⎪2x − > ⎧x > ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ Điều kiện: ⎨2x − ≠ ⇔ ⎨x ≠ ⇔⎨ ⎪ ⎪ ⎪x ≠ ⎩ ⎪x + > ⎪ x > −1 ⎪x + ≠ ⎪x ≠ ⎩ ⎪ ⎪ ⎩ Khi đó: (1) ⇔ log2x −1 [( 2x − 1) ( x + 1)] + log x +1 ( 2x − 1) = ⇔ + log2x −1 ( x + 1) + log2x −1 ( x + 1) =4 ⎡t = = ⇔ t2 − 3t + = ⇔ ⎢ t ⎢t = ⎣ • Với t = : log2x −1 ( x + 1) = ⇔ x + = 2x − ⇔ x = (thỏa điều kiện) ⎡ x = (loai) 2 • Với t = : log2x −1 ( x + 1) = ⇔ x + = ( 2x − 1) ⇔ 4x − 5x = ⇔ ⎢ ⎢x = ⎢ ⎣ Vậy pt(1) có tập nghiệm S = 2; Đặt t = log2x −1 ( x + 1) , pt trở thành: t + { } x − 3x + Bài 11: Giải bất phương trình: log ≥ (1) x Bài giải: Điều kiện: ⎡0 < x < x2 − 3x + >0⇔⎢ x ⎢x > ⎣ Khi đó: x − 3x + ≥ log 1 (1) ⇔ log x 2 x − 3x + ≤1 x x − 4x + ⇔ ≤0 x ⎡x < ⇔⎢ ⎢2 − ≤ x ≤ + ⎣ ⇔ ⎡2 − ≤ x < So với điều kiện ta nghiệm bpt(1) ⎢ ⎢2 < x ≤ + ⎣ ⎛ x2 + x ⎞ Bài 12: Giải bất phương trình: log 0,7 ⎜ log6 0 >0 ⎪ ⎪ ⎡ −4 < x < −2 x2 + x x2 − ⎪ x+4 ⎪x+4 Điều kiện: ⎨ ⇔⎨ ⇔ >1⇔ >0⇔⎢ x+4 x+4 ⎢x > ⎪log x + x > ⎪x + x > ⎣ ⎪ ⎪x+4 x+4 ⎩ ⎩ Khi đó: ⎛ x2 + x ⎞ x2 + x < log 0,7 ⇔ log6 >1 (1) ⇔ log 0,7 ⎜ log6 x+4 ⎟ x+4 ⎝ ⎠ x2 + x x2 + x ⇔ log6 > log6 ⇔ >6 x+4 x+4 ⎡ −4 < x < −3 x2 − 5x − 24 ⇔ >0⇔⎢ x+4 ⎢x > ⎣ ⎡ −4 < x < −3 So với điều kiện ta nghiệm bpt(1) ⎢ ⎢x > ⎣ Bài 13: Giải bất phương trình: log ( 4x − ) + log ( 2x + ) ≤ (1) Bài giải: ⎧x > ⎧4x − > ⎪ ⎪ ⇔⎨ Điều kiện: ⎨ ⎪2x + > ⎪x > ⎩ ⎩ Khi đó: (1) ⇔ log ( 4x − )2 − ⇔x> ≤ + log ( 2x + ) ⇔ log3 ( 4x − ) ≤ log [9 ( 2x + )] ⇔ ( 4x − ) ≤ ( 2x + ) ⇔ 16x2 − 42x − 18 ≤ ⇔− ≤x≤3 So với điều kiện ta nghiệm bpt(1) Bài 14: Giải bất phương trình: x2 −2x − 2⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝3⎠ 0) , bpt trở thành: t2 − 2t − ≤ ⇔ −1 ≤ t ≤ Do t > nên ta nhận < t ≤ Với < t ≤ : < 3x −2x ≤ ⇔ x − 2x ≤ ⇔ x − 2x − ≤ ⇔ − ≤ x ≤ + Vậy bpt(1) có tập nghiệm S = ⎡1 − 2;1 + ⎤ ⎣ ⎦ x2 −2x Bài 15: Giải bất phương trình: log5 ( x + 144 ) − log5 < + log5 ( 2x −2 + 1) (1) Bài giải: Ta có: (1) ⇔ log5 ( x + 144 ) − log2 16 < log5 ⎡5 ( 2x −2 + 1) ⎤ ⎣ ⎦ ⇔ log5 ( x + 144 ) < log5 ⎡80 ( 2x −2 + 1) ⎤ ⎣ ⎦ ⇔ x + 144 < 80 ( 2x −2 + 1) ⇔ x − 20.2x + 64 < ⇔ < 2x < 16 ⇔ < x < Vậy bpt(1) có tập nghiệm S = ( 2; ) BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Giải bất phương trình: 2x + ⎞ log ⎛ log2 ⎜ ⎟≥0 x +1 ⎠ ⎝ Bài 2: Giải phương trình: 3+ Bài 3: Giải phương trình: = log x ⎛ 9x − ⎞ ⎜ ⎟ log x x⎠ ⎝ log2 ( 2x + ) + log ( 9x − 1) = Bài 4: Giải bất phương trình: 32x +1 − 22x +1 − 5.6x ≤ Bài 5: Giải bất phương trình: 2 22x −4x −2 − 16.22x − x −1 − ≤ Heát ... 1.5 0.5 1 x x 0.5 x x -4 .5 -4 -3 .5 -3 -2 .5 -2 -1 .5 -1 -0 .5 0.5 -0 .5 O 1.5 2.5 3.5 4.5 -4 .5 -4 -3 .5 -3 -2 .5 -2 -1 .5 -1 -0 .5 0.5 -0 .5 -1 -1 -1 .5 -1 .5 -2 -2 -2 .5 -2 .5 -3 -3 -3 .5 -3 .5 O 1.5 2.5 3.5... 3.5 2.5 -4 .5 x x O y=logax 1 1.5 2.5 3.5 0.5 4.5 x -4 .5 -4 -3 .5 -3 -2 .5 -2 -1 .5 -1 -0 .5 O -1 0.5 -0 .5 1 1.5 -1 -1 .5 -1 .5 -2 -2 -2 .5 -2 .5 -3 -3 -3 .5 CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN: Định lý 1: Với < a ≠ : a... hàm số lôgarít: • y y y=logax O a>1 Minh hoïa: 3.5 y 0