Chương 7,8: BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC BIẾN ĐỔI FOURIER NHANH Giảng viên: Ths. Đào Thị Thu Thủy Chương 7,8: BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC BIẾN ĐỔI FOURIER NHANH 7.1 KHÁI NiỆM DFT 7.2 BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC (DFT) 7.3 CÁC TÍNH CHẤT DFT 7.4 BiẾN ĐỔI FOURIER NHANH (FFT) (BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG TRONG MIỀN TẦN SỐ RỜI RẠC) CNDT_DTTT 3 7.1 KHÁI NiỆM DFT X(ω) có các hạn chế khi xử lý trên thiết bị, máy tính: ► Tần số ω liên tục ► Độ dài x(n) là vô hạn: n biến thiên -∞ đến ∞ Biến đổi Fourier dãy x(n): jn n X( ) x (n)e ω ω +∞ − =−∞ = ∑ Khi xử lý X(Ω) trên thiết bị, máy tính cần: ► Rời rạc tần số ω -> ω K ► Độ dài x(n) hữu hạn là N: n = 0 ÷ N -1 ⇒ Biến đổi Fourier của dãy có độ dài hữuhạntheotần số rờirạc, gọitắtlàbiến đổiFourierrờirạc–DFT (Discrete Fourier Transform) 7.2 BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC - DFT ► DFT của x(n) có độ dài N định nghĩa: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −≤≤ = ∑ − = − : 0 10:)( )( 1 0 2 k Nkenx kX N n kn N j π còn lại r N r N jmNr N j mNr N WeeW === −+− + ππ 2 )( 2 )( ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −≤≤ = ∑ − = : 0 10:)( )( 1 0 k NkWnx kX N n kn N còn lại N j N eW π 2 − = ► W N tuần hòan với độ dài N: ► X(k) biểu diễn dưới dạng modun & argument: )( )()( kj ekXkX ϕ = Trong đó: )(kX -phổ rời rạc biên độ )](ar g [)( k X k = ϕ -phổ rời rạc pha ► IDFT: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −≤≤ = ∑ − = : 0 10:)( 1 )( 1 0 2 n NnekX N nx N k kn N j π còn lại ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ −≤≤= −≤≤= ∑ ∑ − = − − = 10:)( 1 )( 10: )()( 1 0 1 0 NnWkX N nx NkWnxkX N k kn N N n kn N ► Cặp biến đổi Fourier rời rạc: Ví dụ 7.1: Tìm DFT của dãy: { } 4,3,2,1 )( ↑ =nx ∑ = = 3 0 4 )()( n kn WnxkX jWWjeW j =−=−== − 3 4 2 4 4 2 1 4 ;1; π 10)3()2()1()0()()0( 3 0 0 4 =+++== ∑ = xxxxWnxX n 22)3()2()1()0()()1( 3 4 2 4 1 4 3 0 4 jWxWxWxxWnxX n n +−=+++== ∑ = 2)3()2()1()0()()2( 6 4 4 4 2 4 3 0 2 4 −=+++== ∑ = WxWxWxxWnxX n n 22)3()2()1()0()()3( 9 4 6 4 3 4 3 0 3 4 jWxWxWxxWnxX n n −−=+++== ∑ = [...]... X(4) W4 W2 -1 Xm(p) Xm(q) W3 W0 x(3) x (7) W2 W6 -1 W1 W4 -1 W0 Xm+1(p) WrN -1 Xm+1(q) Lưu đồ DFT dãy x(n) sau 3 lần phân chia với N =8 x(0) X(0) x(4) X(1) x(2) Đảo bít x(6) -1 W2 -1 ► X(3) -1 W0 W1 -1 x(3) x (7) X(2) -1 x(1) x(5) ► W0 W2 -1 W2 W0 -1 -1 W3 -1 -1 -1 -1 Với N=2M -> M lần phân chia Số phép nhân = số phép cộng = NM/2=(N/2)log2N X(4) X(5) X(6) X (7) Ví dụ : Hãy vẽ lưu đồ và tính FFT cơ số 2 phân... x(6) x (7) W0 -1 -1 -1 -1 -1 W2 -1 -1 X(6) X(1) W1 W2 W3 X(2) W0 -1 -1 -1 X(5) X(3) W2 -1 X (7) Đảo bít Ví dụ 4.4.2: Hãy vẽ lưu đồ và tính FFT cơ số 2 phân theo t/s x(n) = {1 , 2 , 3 , 4 } ↑ x(0) X(0) x(1) X(2) x(2) x(3) W0 -1 -1 -1 X(1) W1 -1 X(3) ► k=0: X(0) = [x(0) + x(2)] + [x(1) + x(3)] = 10 ► k=2: X(2) = [x(0) + x(2)] - [x(1) + x(3)] = - 2 ► k=1: X(1) = [x(0) - x(2)] + W1[x(1) - x(3)] = - 2 + j2 ►... X(0) x(2) X(1) -1 x(1) x(3) W0 W1 -1 -1 -1 X(2) X(3) k=0: X(0) = [x(0) + x(2)] + W0[x(1) + x(3)] = 10 k=1: X(1) = [x(0) - x(2)] + W1[x(1) - x(3)] = - 2 + j2 k=2: X(2) = [x(0) + x(2)] - W0[x(1) + x(3)] = - 2 k=3: X(3) = [x(0) - x(2)] - W1[x(1) - x(3)] = - 2 - j2 Bảng mơ tả qui luật đảo bít: Chỉ số Số nhò phân chưa Số nhò phân đảo Chỉ số tự nhiên đảo (n2,n1,n0) (n0,n1,n2) đảo 0 1 2 3 4 5 6 7 000 001 010... } ~ Xác định x2(-m)4: x2 (−m )4 = x2 (−m )4 rect4 (n) = 1,4,3,2 ↑ x2(m) x2(-m) 4 3 2 1 4 3 2 1 m 0 1 2 ~ x 2(−m) -3 -2 -1 0 3 m -3 -2 -1 0 ~ x2 ( − m )4 = x2 ( − m )rect4 ( n) 4 3 2 1 m 1 2 3 4 4 3 2 1 0 m 1 2 3 Xác định x2(n-m) là dịch vòng của x2(-m) đi n đơn vị n>0: dịch vòng sang phải, n 2 DFT- N/2 điểm; X0(0) x(0) n chẵn x(2) x(4) x(6) DFT N/2 điểm n lẽ x(5) x (7) X0(2) W1 X0(3) W2 W3 X1(0) x(1) x(3) X0(1) W0 DFT N/2 điểm X1(1) X1(2) X1(3) W4 W5 W6 W7 X(0) X(1) X(2) X(3) X(4) X(5) X(6) X (7) Qui ước cách tính X(k) theo lưu đồ: - Nhánh ra của 1 nút... ]W n N X(2r) – DFT của N/2 điểm ứng với chỉ số k chẵn X(2r+1) – DFT của N/2 điểm ứng với chỉ số k lẽ rn N/2 Phân chia DFT N =8 điểm -> 2 DFT N/2= 4 điểm g(0) x(0) g(1) x(1) g(3) x(3) x(5) x(6) x (7) DFT N/2 điểm g(2) x(2) x(4) X(0) h(0) -1 -1 -1 -1 W0 h(1) W1 h(2) W2 h(3) W3 X(2) X(4) k chẵn X(6) X(1) DFT N/2 điểm X(3) X(5) X (7) k lẽ ► Sau đó đánh lại chỉ số theo thứ tự các mẫu X(k), tiếp tục phân chia... ĐỔI FOURIER NHANH FFT Vào những năm thập kỷ 60, khi cơng nghệ vi xử lý phát triển chưa mạnh thì thời gian xử lý phép tóan DFT trên máy tương đối chậm, do số phép nhân phức tương đối lớn DFT của x(n) có độ dài N: X ( k ) = N −1 ∑ x ( n )W Nkn : 0 ≤ k ≤ N −1 n= 0 Để tính X(k), với mỗi giá trị k cần có N phép nhân và (N1) phép cộng, vậy với N giá trị k thì cần có N2 phép nhân và N(N-1) phép cộng Để khắc... x(3) x (7) DFT N/4 DFT N/4 DFT N/4 DFT N/4 Lưu đồ DFT 2 điểm: X00(0) X00(1) X01(0) X01(1) X10(0) W0 W0 W2 W1 W4 W2 W6 W3 X10(1) W0 W4 X11(0) W2 W5 W6 W6 X11(1) W4 W7 x(0) X00(0) W0N = 1 x(4) WNN/2 =-1 X00(1) X(0) X(1) X(2) X(3) X(4) X(5) X(6) X (7) Lưu đồ DFT dãy x(n) sau 3 lần phân chia với N =8 x(0) x(4) x(2) x(6) W0 W2 x(1) x(5) W5 W4 -1 Xm+1(p) WrN Xm+1(q) WN(r+N/2) = - WNr X(2) X(3) X(6) W7 X (7) Xm(p)... phép cộng Để khắc phục về mặt tốc độ xử lý của phép tính DFT, nhiều tác giả đã đưa ra các thuật tóan riêng dựa trên DFT gọi là FFT (Fast Fourier Transform) 7. 4.2 THUẬT TỐN FFT CƠ SỐ 2 a THUẬT TĨAN FFT CƠ SỐ 2 PHÂN THEO THỜI GIAN ► Giả thiết dãy x(n) có độ dài N=2M, nếu khơng có dạng lũy thừa 2 thì thêm vài mẫu 0 vào sau dãy x(n) ► Thuật tóan dựa trên sự phân chia dãy vào x(n) thành các dãy nhỏ, do biến . Chương 7, 8: BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC BIẾN ĐỔI FOURIER NHANH Giảng viên: Ths. Đào Thị Thu Thủy Chương 7, 8: BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI. FOURIER NHANH 7. 1 KHÁI NiỆM DFT 7. 2 BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC (DFT) 7. 3 CÁC TÍNH CHẤT DFT 7. 4 BiẾN ĐỔI FOURIER NHANH (FFT) (BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG