Thông tin tài liệu
HC VIN CÔNG NGH BU CHÍNH VIN THÔNG
GII TÍCH 1
(Dùng cho sinh viên h đào to đi hc t xa ngành QTKD)
Lu hành ni b
HÀ NI - 2007
=====(=====
HC VIN CÔNG NGH BU CHÍNH VIN THÔNG
GII TÍCH 1
Biên son : TS. V GIA TÊ
5
LI NÓI U
Gii tích (Toán cao cp A1) là hc phn đu tiên ca chng trình toán dành cho sinh viên
các nhóm ngành Qun tr kinh doanh. hc tt môn Toán cao cp theo phng thc ào to t
xa, bên cnh các hc liu: sách, giáo trình in, bng đa hình, , sách hng dn cho ngi hc
toán cao cp là rt cn thit. Tp sách hng dn này đc biên son là nhm mc đích trên. Tp
sách đc biên son theo chng trình qui đnh nm 2001 ca B Giáo dc
ào to và theo đ
cng chng trình đc Hc vin Công ngh BC-VT thông qua nm 2007.
Sách hng dn hc toán cao cp A1 bám sát các giáo trình ca các trng đi hc đang
ging dy chuyên ngành Qun tr kinh doanh, giáo trình dành cho h chính qui ca Hc vin
Công ngh BC-VT biên son nm 2001 và kinh nghim ging dy nhiu nm ca tác gi. Chính
vì th, tài liu này có th dùng đ hc tp và tham kho cho sinh viên ca tt c các trng, các
ngành đi hc và cao đng.
Cách trình bày trong sách thích hp cho ngi t hc, đc bit phc v đc lc trong công
tác đào to t xa. Trc khi nghiên cu các ni dung chi tit, ngi đc nên xem phn gii thiu
ca mi chng đ thy đc mc đích, yêu cu chính ca chng đó. Trong mi chng, mi
ni dung, ngi đc có th t đc và hiu đc thông qua các ví d
minh ho. Sau các chng,
ngi đc phi t tr li đc các câu hi ôn tp di dng trc nghim. Nh các ví d minh ho
đc đa ra t đn gin đn phc tp, ngi đc có th coi đó là bài tp mu đ t gii các bài
tp có trong tài liu. Ngi đc có th t kim tra, đánh giá kin thc, kh nng thu nhn d
a
vào phn hng dn và đáp s đc cung cp nhng trang cui sách.
Cng cn nhn mnh rng, ni dung chính ca toán cao cp là phép tính vi phân và phép
tính tích phân mà nn tng ca nó là phép tính gii hn ca hàm s. Chính vì th chúng tôi trình
bày khá t m hai chng đu ca tài liu đ ngi hc t đc cng có th có đc các kin thc
vng vàng đ đc tip các chng sau. Trong quá trình t
đc và hc qua mng, tu theo kh
nng tip thu, hc viên có th ch cn nh các đnh lý và b qua phn chng minh ca nó.
Nhân đây tác gi cng lu ý rng bc trung hc ph thông ca nc ta, chng trình
toán cng đã bao hàm các kin thc v vi, tích phân. Tuy nhiên các ni dung đó ch mang tính
cht gii thiu do lng thi gian hn ch, do cu to chng trình. Vì th n
u không t đc mt
cách nghiêm túc các đnh ngha, đnh lý cng s vn ch nm đc mt cách hi ht và nh vy
rt gp khó khn trong vic gii các bài tp toán cao cp.
Sách gm 5 chng tng ng vi hc phn gm 45 đn 60 tit:
Chng I: Hàm s và gii hn
Chng II: o hàm và vi phân.
Chng III: Hàm s nhiu bin s
Chng IV: Phép tính tích phân.
Chng V: Phng trình vi phân
6
Tuy rng tác gi đã c gng rt nhiu, song thi gian b hn hp.Vì vy các thiu sót còn
tn ti trong cun sách là điu khó tránh khi. Tác gi chân thành ch đón s đóng góp ý kin
ca các bn đng nghip, hc viên xa gn và xin cm n v điu đó.
Chúng tôi bày t s cám n đi vi Ban Giám đc Hc vin Công ngh BC-VT, Trung
tâm ào to BC-VT1, Phòng ào to i hc t xa và các bn đng nghip trong B môn Toán
ca Hc vin Công ngh BC-VT đã khuyn khích đng viên, to điu kin cho ra tp tài liu này
Hà Ni, ngày 7 tháng 6 nm 2006
Tác gi
Chng 1: Hàm s mt bin s
7
CHNG I: HÀM S VÀ GII HN
MC ÍCH, YÊU CU
Mi vt xung quanh ta đu bin đi theo thi gian. Chúng ta có th nhn thy điu đó qua
s chuyn đng c hc ca các vt th: ô tô, máy bay; s thay đi ca các đi lng vt lý: nhit
đ, tc đ, gia tc; s bin đng kinh t trong mt xã hi: Giá c phiu, lãi sut tit kim, Tt
c các loi hình đó đc gán mt tên chung là đi l
ng hay hàm s, nó ph thuc vào đi s
nào đó, chng hn là thi gian. Xem xét hàm s tc là quan tâm đn giá tr, tính cht và bin
thiên ca nó. Vic đó đt ra nh mt nhu cu khách quan ca con ngi và xã hi.
Trong chng này, chúng ta cn nm đc các ni dung sau:
1. Mô t đnh tính và đnh lng các hàm s s cp c bn. Nhn bit hàm s s cp, tính
cht gii hn và liên tc ca nó.
2. Khái nim gii hn ca hàm s trong các quá trình khác nhau, các tính cht v gii hn
và thành tho các phng pháp kh các dng bt đnh da trên phép thay th các VCB, VCL
tng đng, đc bit các gii hn đáng nh:
1
sin
lim
sin
lim
00
==
→→
x
x
x
x
xx
,
e
xx
x
x
x
x
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−∞→+∞→
1
1lim
1
1lim
3. Khái nim liên tc, gián đon ca mt hàm s. Các tính cht hàm s liên tc trên mt
đon kín.
4. Các hàm s thng dùng trong phân tích kinh t.
NI DUNG
1.1. CÁC KHÁI NIM C BN V HÀM S
1.1.1. Các đnh ngha c bn
A. nh ngha hàm s
Cho X là tp không rng ca
. Mt ánh x f t X vào gi là mt hàm s mt bin s
:
( )
fX
x
fx
→
X gi là tp xác đnh ca
f
,
)(Xf
gi là tp giá tr ca
f
. ôi khi ký hiu
Xxxfy ∈= ),(
, x gi là đi s ( bin đc lp), y gi là hàm s (bin ph thuc)
B. Hàm s chn, hàm s l
Cho X đi xng vi 0 tc là XxXx
∈
−
∈
∀
,
Hàm s
f
(x) chn khi và ch khi )()(
x
f
x
f
−
=
.
Hàm s
f (x) l khi và ch khi ).()(
x
f
x
f
−
−
=
C. Hàm s tun hoàn
Chng 1: Hàm s mt bin s
8
Hàm s f (x) gi là tun hoàn trên X nu tn ti
*
τ
+
∈
,(
*
+
đc kí hiu là tp các s
dng) sao cho
Xx ∈∀
thì
x+
τ
X∈ và f (x+
τ
)= f (x).
S T dng bé nht trong các s
τ
gi là chu kì ca hàm s tun hoàn f(x).
D. Hàm s đn điu
Cho
f (x) vi .Xx
∈
1. Nói rng
f
(x) tng nu )()(,,
212121
xfxfxxXxx
≤
⇒
≤
∈
∀
.
và
f (x) tng ngt nu )()(,,
212121
xfxfxxXxx
<
⇒
<
∈
∀
.
2. Nói rng
f (x) gim nu
)()(,,
212121
xfxfxxXxx ≥⇒
≤
∈
∀
.
và
f (x) gim ngt nu )()(,,
212121
xfxfxxXxx >⇒
<
∈
∀
.
3. Nói rng
f (x) đn điu nu nó tng hoc gim.
Nói rng
f (x) đn điu ngt nu nó tng ngt hoc gim ngt.
E. Hàm s b chn
1. Hàm s f (x) b chn trên trong X nu tn ti s A sao cho :
AxfXx ≤∈∀ )(, .
2. Hàm s
f (x) b chn di trong X nu tn ti s B sao cho: ,()
x
XB fx
∀
∈≤.
3. Hàm s
f (x) b chn trong X nu tn ti các s A,B sao cho:
AxfBXx ≤≤∈∀ )(,
.
F. Hàm s hp
Cho
f : X → và g: Y → vi YXf ⊂)( gi ánh x
0
:
( ( ))
gf X
x
gfx
→
Hay y = g(
f (x)) là hàm s hp ca hai hàm f và g.
G. Hàm s ngc
Cho song ánh
: , ,fX Y XY→⊂
Ánh x ngc
XYf →
−
:
1
gi là hàm s ngc ca f
)(
1
yfxy
−
=
Thông thng đi s kí hiu là x, hàm s kí hiu là y, vy hàm ngc ca
)(xfy =
là
hàm s
)(
1
xfy
−
= . Vì th trên cùng mt phng to đ Oxy, đ th ca hai hàm s f và
1−
f là
đi xng nhau qua đng phân giác ca góc phn t th I và III.
1.1.2. Các hàm s s cp c bn
A. Hàm lu tha
Cho
α
∈ . Hàm lu tha vi s m
α
,đc kí hiu là
α
P , là ánh x t
*
+
vào , xác
đnh nh sau
*
,()
x
Px x
α
α
+
∀∈ =
Chng 1: Hàm s mt bin s
9
Nu 0>
α
, coi rng 0)0( =
α
P . Nu 0
=
α
, coi rng 1)0(
0
=
P
th ca
)(xP
α
cho bi h.1.1
y
1>
α
1
=
α
10 <<
α
1
0
=
α
0
<
α
O 1
H.1.1
B. Hàm m c s a
Xét
*
\{1}a
+
∈ . Hàm m c s a, kí hiu là x
a
exp , là ánh x t vào
*
+
, xác đnh nh
sau:
, exp .
x
a
x
xa∀∈ = th ca
x
ay = cho bi h.1.2.
C. Hàm lôgarit c s a
Xét
*
\{1}a
+
∈ . Hàm lôgarit c s a, kí hiu là
a
log ,là ánh x ngc vi ánh x
a
exp ,
nh vy
*
( , ) , log
y
a
x
yyxxa
+
∀∈× = ⇔=
th ca hàm s xy
a
log= cho bi hình h.1.3.
Chú ý: Hàm lu tha có th m rng khi min xác đnh là
.
y y
log
a
x, a>1
a
x
, a>1
1 O 1 x
a
x
, 0 < a < 1
x log
a
x, 0<a<1
H.1.2 H.1.3
Tính cht ca hàm s lôgarit
1.
01log =
a
Chng 1: Hàm s mt bin s
10
2.
*
, , xy
+
∀∈
yx
y
x
yxxy
aaa
aaa
logglolog
logloglog
−=
+
=
log log
aa
x
x
α
αα
∀∈ =
3.
*
, , log log .log
bba
ab x a x
+
∀∈ =
4.
*
1
, log log
a
a
x
xx
+
∀∈ =−
Chú ý: Sau này ngi ta thng ly c s a là s e và gi là lôgarit Nêpe hay lôgarit t
nhiên ca x, kí hiu y = lnx và suy ra
a
x
x
a
ln
ln
log = , e = 2,718281828459045…,
1
lg 0,434294
ln10
e ==
D. Các hàm s lng giác
Các hàm s lng giác: sinx, cosx, tgx, cotgx đã đc xét k trong chng trình ph thông
trung hc. Di đây chúng ta ch nhc li mt s tính cht c bn ca chúng.
Tính cht:
1. sinx xác đnh trên
, là hàm s l, tun hoàn vi chu kì T = 2
π
và b chn:
1sin 1,xx
−
≤≤∀∈
2. cosx xác đnh trên
, là hàm s chn, tun hoàn vi chu kì T = 2
π
và b chn:
1cos 1,xx−≤ ≤ ∀∈
3. tgx xác đnh trên
\{
,
2
kk
π
π
+∈
}, là hàm s l, tun hoàn vi chu k
π
=T và
nhn giá tr trên khong
),( +∞
−
∞
.
4. cotgx xác đnh trên
\{
,kk
π
∈
}, là hàm s l, tun hoàn vi chu k
π
=T và nhn
giá tr trên khong
),( +∞−∞
.
E. Các hàm s lng giác ngc
1. Hàm arcsin (đc là ác-sin) là ánh x ngc ca sin:
[]
1,1
2
,
2
−→
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
ππ
Kí hiu là arcsin:
[]
.
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−→−
2
,
2
1,1
ππ
Vy ta có:
[]
yxxyyx sinarcsin ,
2
,
2
,1,1 =⇔=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−∈∀−∈∀
ππ
th ca y = arcsinx cho trên hình 1.4
Chng 1: Hàm s mt bin s
11
x
H.1.4 H.1.5
2. Hàm arccosin (đc là ác- cô- sin) là ánh x ngc ca
[
]
[
]
1,1,0:cos −→
π
kí hiu:
[][]
π
,01,1:arccos →−
[]
[
]
yxxyyx cosarccos,,0,1,1
=
⇔
=
∈
∀−∈
∀
π
th hàm s y = arccosx cho trên hình 1.5
[]
π
π
,0arcsin
2
∈
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
− x
xxx ==
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
− )sin(arcsinarcsin
2
cos
π
Vy
2
arcsinarccos
π
=+ xx
3. Hàm arctang (đc là ác-tang) là ánh x ngc ca
:, ,
22
tg
ππ
⎛⎞
−→
⎜⎟
⎝⎠
kí hiu:
:,
22
arctg
π
π
⎛⎞
→−
⎜⎟
⎝⎠
Vy ta có
, ,
22
x
y y arctgx x tgy
ππ
⎛⎞
∀∈ ∀∈− = ⇔ =
⎜⎟
⎝⎠
th ca y = arctgx cho trên hình 1.6.
4. Hàm arccôtang (đc là ác-cô-tang) là ánh x ngc ca cotg
:(0, )
π
→ kí hiu:
cot : 0,
2
arc g
π
⎛⎞
→
⎜⎟
⎝⎠
Vy ta có
, 0, cot cot
2
x
y y arc gx x gy
π
⎛⎞
∀∈ ∀∈ = ⇔ =
⎜⎟
⎝⎠
th hàm y = arccotgx cho trên hình 1.7
y
2
π
arcsinx
-1
2
π
−
O
1
2
π
arccosx
π
y
2
π
1
π
2
π
x
O
Chng 1: Hàm s mt bin s
12
y
2
π
arctg
0
2
π
x
tg
H.1.6
2
π
2
π
π
π
y
x
0
arccotg
H.1.7
[...]... v,v…) C Hàm doanh thu, hàm chi phí và hàm l i nhu n T ng doanh thu (total revenue), t ng chi phí (total cost) và t ng l i nhu n (total profit) c a nhà s n xu t ph thu c vào hàng hóa Khi phân tích s n xu t, cùng v i hàm s n xu t, các nhà kinh t h c còn s d nh các hàm s : 1 Hàm doanh thu là hàm s bi u di n s ph thu c c a t ng doanh thu, kí hi u TR vào s n l ng Q: TR = TR(Q) Ch ng h n, t ng doanh thu c... ta có th kh o sát toàn di n m t i l ng bi n thiên Khái ni m o hàm g n li n v i các i l ng v t lý: v n t c t i th i i m t c a m t dòng i n,v.v ; g n li n v i các v t chuy n ng, nhi t dung c a v t th nhi t to, c ng hi n t ng hoá h c: t c ph n ng hoá h c th i i m t; g n li n v i các bài toán kinh t xã h i: t c t ng tr ng kinh t , ph ng án t i u trong giao thông, trong s n xu t kinh doanh, v.v Các n i... hi m hàng hóa Chú ý: Trong các tài li u kinh t ng i ta th ng s d ng tr c hoành bi u di n l ng Q, tr c tung bi u di n giá p Cách bi u di n nh v y t ng ng v i vi c bi u di n hàm ng c c a hàm cung và hàm c u: p S 1 (Qs ), p các hàm này là hàm cung và hàm c u D 1 (Qd ) Trong kinh t h c nhi u khi ng th c a chúng i ta v n g i c cho trên H.1.8 B Hàm s n xu t ng n h n Các nhà kinh t h c s d ng khái ni m hàm... trên ng i ta gi thi t r ng các y u t khác không thay i Quy lu t th tr ng trong kinh t h c nói r ng, i v i các hàng hóa thông th ng, hàm cung là hàm n i u t ng, còn hàm c u là n i u gi m i u này có ngh a là, v i các y u t khác gi nguyên, khi giá hàng hóa t ng lên thì ng i bán s mu n bán nhi u h n và ng i mua s mua ít i Các nhà kinh t g i th c a hàm cung và hàm c u là ng cung và ng c u Giao i m c a ng cung... i nhu n là hàm s bi u di n s ph thu c c a t ng l i nhu n, kí hi u l ng Q: vào s n (Q) Hàm l i nhu n có th xác nh thông qua hàm doanh thu và hàm chi phí: = TR(Q) TC(Q) D Hàm tiêu dùng L ng ti n mà ng i tiêu dùng dành mua s m hàng hóa và d ch v ph thu c vào thu nh p Các nhà kinh t s d ng hàm tiêu dùng bi u di n s ph thuôc c a bi n tiêu dùng, kí hi u C (consumption) vào bi n thu nh p Y (income): C = f(Y)... là a VCL có c p th p h n A t i a 2 N u A( x) B ( x) x c bi t c a c 0 thì nói r ng A, B là VCL ngang c p t i a 1 thì nói r ng A, B là các VCL t H qu 1: N u A ~ A1 , B ~ B1 t i a thì lim x a A( x) B( x) ng lim x a ng t i a, kí hi u A ~ B t i a A1 ( x) B1 ( x) H qu 2: N u A(x) là VCL c p cao h n B(x) t i a thì A B ~ A H qu 3: Qui t c ng t b các VCL c p th p: N u A* là các VCL c p cao nh t trong s các... 1.13 c a hàm s n i u 3 N u a là i m gián o n c a f ( x) và không ph i là i m gián o n lo i 1 thì nói r ng f ( x) có i m gián o n lo i 2 t i x Các nh ngh a trên a c mô t trên hình 1.11 y a1 a2 y O lo i 1 a3 a4 a lo i 2 a1 a2 O a3 b liên t c t ng khúc H.1.11 E Hàm liên t c t ng khúc Hàm f : a, b , a, b Nói r ng hàm f liên t c t ng khúc trên a, b n u nh ch có m t s h u h n các i m gián o n lo i 1 c a hàm... i a, hay B là a VCL có c p th p h n A t i a 2 N u c A( x) B ( x) x a c 0 thì nói r ng A, B là VCL ngang c p t i a 1 thì nói r ng A, B là các VCL t A( x) a B( x) 3 N u A ~ A1 , B ~ B1 t i a thì lim x ng t i a, kí hi u A ~ B t i a ng A1 ( x) a B ( x) 1 lim x 4 N u A(x) là VCL c p cao h n B(x) t i a thì A 30 B ~ A Ch ng 1: Hàm s m t bi n s 5 Qui t c ng t b các VCL c p th p: N u A* là các VCL c p cao nh... ( x) e cosx c t o thành b i m t s h u h n các phép i v i các hàm s s c p c b n và các h ng ln x 2 x3arcsinx 2 là m t hàm s s c p 1.1.4 Các hàm s trong phân tích kinh t A Hàm cung và hàm c u Khi phân tích th tr ng hàng hóa và d ch v , các nhà kinh t s d ng khái ni m hàm cung (supply function) và hàm c u (demand function) bi u di n s ph thu c c a l ng cung và l ng c u c a m t lo i hàng hóa vào giá tr... ch t c b n c a hàm s : n i u, b ch n Các hàm s s c p c b n: hàm s l y th a, hàm s m , hàm s lôgarit, hàm s l giác, hàm s l ng giác ng c, a th c, hàm h u t Hàm s s c p Các hàm s c dùng trong phân tích kinh t nh ngh a gi i h n c a hàm s t Ch ng h n, f có gi i h n là 0, ( a) ng ng v i các quá trình l khi x d n n a (g i t t: có gi i h n là l t i a) n u X, x ( a) \ a f (x) l Tính ch t c a hàm có gi i h . U
Gii tích (Toán cao cp A1) là hc phn đu tiên ca chng trình toán dành cho sinh viên
các nhóm ngành Qun tr kinh doanh. hc tt môn Toán cao.
Sách hng dn hc toán cao cp A1 bám sát các giáo trình ca các trng đi hc đang
ging dy chuyên ngành Qun tr kinh doanh, giáo trình dành cho h
Ngày đăng: 23/02/2014, 08:20
Xem thêm: Tài liệu Toàn A1 Quản trị kinh doanh docx, Tài liệu Toàn A1 Quản trị kinh doanh docx