Đang tải... (xem toàn văn)
Bộ đề thi học sinh giỏi toán lớp 8 tập 3
Bộ đề thi Học sinh giỏi Toán Lớp www.PNE.edu.vn Đề số (t0án 8) Bài 1: (3 điểm) x2 1 : Cho biÓu thøc A = + 27 − 3x + x + x − 3x a) Rót gän A b) T×m x để A < -1 c) Với giá trị x A nhận giá trị nguyên Bài 2: (2 điểm) Giải phơng trình: 6y a) y − 10 y + = y − + − y 6− x x 3+ x 1 − − b) 2 = 3− x− 2 Bài 3: (2 điểm) Một xe đạp, xe máy ô tô từ A đến B Khởi hành lần lợt lúc giờ, giờ, giê vµ vËn tèc theo thø tù lµ 15 km/h; 35 km/h 55 km/h Hỏi lúc ô tô cách xe đạp xe đạp xe máy Bài 4: (2 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD từ điểm P thuộc đờng chéo AC ta dựng hình chữ nhật AMPN ( M AB N AD) Chøng minh: a) BD // MN b) BD vµ MN cắt K nằm AC Bài 5: (1 ®iĨm) Cho a = 11…1 (2n ch÷ sè 1), b = 44…4 (n ch÷ sè 4) Chøng minh r»ng: a + b + số phơng B đề thi Học sinh giỏi Tốn Lớp www.PNE.edu.vn §Ị số Câu I: (2điểm) 1) Phân tích đa thức thành nhân tử a) x + x b) ab(a − b) − ac(a + c) + bc(2a b + c) 2) Giải phơng trình 1 1 + + + = x + x x + x + x + x + x + x + 12 Câu II: (2 điểm) 1) Xác ®Þnh a, b ®Ĩ da thøc f ( x) = x + x + ax + b chia hÕt cho ®a thøc g ( x) = x + x + 2) T×m d phÐp chia ®a thøc P( x) = x161 + x 37 + x13 + x + x + 2006 cho ®a thøc Q( x) = x + Câu III: (2 điểm) 1) Cho ba số a, b, c khác a + b + c = Tính giá trị biểu thức: a2 b2 c2 + + a2 − b2 − c2 b − c2 − a2 c − a2 − b2 2) Cho ba sè a, b, c tho¶ m·n a ≠ −b , b ≠ −c, c ≠ −a P= CMR: a − bc b − ac c − ab + + =0 (a + b)(a + c ) (b + a )(b + c) (c + a )(c + b) Câu IV: (3điểm) 1) Cho đoạn thẳng AB, M điểm nằm A B Trên nửa mặt phẳng bờ AB kẻ hình vuông ACDM MNPB Gọi K giao điểm CP vµ NB CMR: a) KC = KP b) A, D, K thẳng hàng c) Khi M di chuyển A B khoảng cách từ K đến AB không đổi 2) Cho tamg gáic ABC có ba góc nhọn, ba đờng cao AA, BB, CC đồng quy H CMR: HA' HB' HC ' + + AA' BB ' CC ' b»ng mét h»ng sè C©u V: (1 ®iĨm): Cho hai sè a, b kh«ng ®ång thêi b»ng Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thøc: Q= a − ab + b a + ab + b Bộ đề thi Học sinh gii Toỏn Lp www.PNE.edu.vn Đề số Bài 1: (2 điểm) a) Phân tích đa thức sau thành nh©n tư: a (b + c) (b − c) + b(c + a) (c − a ) + c(a + b) (a − b) b) Cho a, b, c khác nhau, khác Rút gọn biểu thøc: N = 1 + + =0 a b c 1 + + a + 2bc b + 2ca c + 2ab Bµi 2: (2điểm) a) Tìm giá trị nhỏ biểu thøc: M = x + y − xy x + y + b) Giải phơng trình: ( y − 4,5) + ( y − 5,5) = Bài 3: (2điểm) Một ngời ®i xe m¸y tõ A ®Õn B víi vËn tèc 40 km/h Sau đợc 15 phút, ngời gặp ô tô, từ B đến với vận tốc 50 km/h ô tô đến A nghỉ 15 phút trở lại B gặp ngời xe máy một địa điểm cách B 20 km Tính quÃng đờng AB Bài 4: (3điểm) Cho hình vuông ABCD M điểm đờng chéo BD Kẻ ME MF vuông góc với AB AD a) Chứng minh hai đoạn thẳng DE CF vuông góc với b) Chứng minh ba đờng thẳng DE, BF CM đồng quy c) Xác định vị trí điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn Bài 5: (1điểm) Tìm nghiệm nguyên phơng tr×nh: x + y = 345 Bộ đề thi Học sinh giỏi Toán Lớp www.PNE.edu.vn Đề số Bài 1: (2,5điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử a) x5 + x +1 b) x4 + c) x x - 3x + x -2 với x > Bài : (1,5điểm) Cho abc = Rót gän biĨu thøc: A= a b 2c + + ab + a + bc + b + ac + 2c + Bµi 3: (2điểm) Cho 4a2 + b2 = 5ab 2a> b > ab TÝnh: P = 4a − b Bài : (3điểm) Cho tam giác ABC cân A Trên BC lấy M cho BM < CM Từ N vẽ đờng thẳng song song với AC cắt AB E song song với AB cắt AC F Gọi N điểm đối xøng cña M qua E F a) TÝnh chu vi tø gi¸c AEMF BiÕt : AB =7cm b) Chøng minh : AFEN hình thang cân c) Tính : ANB + ACB = ? d) M vị trí để tứ giác AEMF hình thoi cần thêm điều kiện ABC AEMF hình vuông Bài 5: (1điểm) Chứng minh với số nguyên n : 52n+1 + 2n+4 + 2n+1 chia hÕt cho 23 Bộ đề thi Học sinh giỏi Toỏn Lp www.PNE.edu.vn Đề số Bài 1: (2điểm) Cho biÓu thøc: M = 1 1 + + + x − x + x − x + 12 x − x + 20 x − 11x + 30 1) Rút gọn M 2) Tìm giá trị x để M > Bài 2: (2điểm) Ngời ta đặt vòi nớc chảy vào bể vòi nớc chảy lng chừng bể Khi bể cạn, mở hai vòi sau 42 phút bể đầy nớc Còn đóng vòi chảy mở vòi chảy vào sau 1giờ rỡi đầy bể Biết vòi chảy vào mạnh gấp lần vòi chảy 1) Tính thời gian nớc chảy vào từ lúc bể cạn đến lúc nớc ngang chỗ đặt vòi chảy 2) Nếu chiều cao bể 2m khoảng cách từ chỗ đặt vòi chảy đến đáy bể Bài 3: (1điểm) Tìm x, y nguyên cho: x + xy + x + y + y = Bài 4: (3điểm) Cho hình vuông ABCD cố định, có độ dài cạnh a E điểm di chuyển đoạn CD (E khác D) Đờng thẳng AE cắt BC F, đờng thẳng vuông góc với AE A cát CD K 1) Chøng minh tam gi¸c ABF b»ng tam gi¸c ADK 2) Gọi I trung điểm KF, J trung ®iĨm cđa AF Chøng minh r»ng: JA = JB = JF = JI 3) Đặt DE = x (a x > 0) tính độ dài cạnh tam giác AEK theo a x 4) HÃy vị trí E cho độ dài EK ngắn Bài 5: (1điểm) Cho x, y, z khác tho¶ m·n: TÝnh N = x2 y2 z + + yz zx xy 1 + + =0 xy yz zx Bộ đề thi Học sinh giỏi Toán Lp www.PNE.edu.vn Đề số Câu I: (5 điểm) Rút gọn phân thức sau: x + x + x 1) 2) 3x − x + ( a − 1) − 11(a − 1) + 30 3(a − 1) − 18(a 2a ) Câu II: (4 điểm) 1) Cho a, b số nguyên, chứng minh nÕu a chia cho 13 d vµ b chia cho 13 d th× a + b chia hÕt cho 13 2) Cho a, b, c lµ số nguyên thoả mÃn abc = Tính giá trÞ cđa biĨu thøc: A= a b c + + + a + ac + b + bc + c + ac x + 2x + x + 2x + + = 3) Giải phơng trình: x + 2x + x + 2x + C©u III: (4 điểm) Để thi đua lập thành tích chào mừng ngày thành lập đoàn TNCS Hồ Chí Minh (26/3) Hai tổ công nhân lắp máy đợc giao làm khối lợng công việc Nếu hai tổ làm chung hoàn thành 15 giê NÕu tỉ I lµm giê, tổ làm làm đợc 30% công việc Nếu công việc đợc giao giêng cho tổ tổ cần thời gian để hoàn thành Câu IV: (3 điểm) Cho hình bình hành ABCD (AC > BD) Gọi E, F lần lợt hình chiếu B, D lên AC; H, K lần lợt hình chiếu C AB AD 1) Tứ giác DFBE hình ? ? 2) Chứng minh tam giác CHK đồng dạng víi tam gi¸c BCA 3) Chøng minh AC = AB AH + AD AK Câu V: (2 điểm) Giải phơng trình: x 2002 2002 + x 2003 2003 =1 Bộ đề thi Học sinh giỏi Toán Lớp www.PNE.edu.vn Đề số Câu I: (2điểm) Thực hiÖn phÐp chia A = x − x − x − x + cho B = x + T×m x ∈ Z ®Ĩ A chia hÕt cho B Ph©n tÝch ®a thức thơng thành nhân tử Câu II: (2điểm) So sánh A B biết: 16 A = 32 − vµ B = 6(5 + 1)(5 + 1)(5 + 1)(5 + 1) Chøng minh r»ng: 1919 + 69 69 chia hÕt cho 44 C©u III: (2điểm) Cho tam giác có ba cạnh a, b, c thoả mÃn: (a + b + c) = 3(ab + bc + ca) Hái tam giác đà cho tam giác ? Cho ®a thøc f(x) = x100 + x 99 + + x + x + T×m d cđa phÐp chia ®a thøc f(x) cho ®a thøc x Câu IV: (3điểm) Cho tam giác ABC vuông A, đờng cao AH Gọi E, F lần lợt hình chiếu H lên AB AC Gọi M giao điểm BF CE Tứ giác AEHF hình ? Tại ? Chøng minh AB CF = AC AE So sánh diện tích tứ giác AEMF diện tích tam giác BMC Câu V : (1 điểm) Chứng minh nghiệm phơng trình sau số nguyên: x − x − x − x − 2005 x − 2004 x − 2003 + + = + + 2005 2004 2003 §Ị sè Bộ đề thi Học sinh giỏi Toán Lớp Câu 1: (2điểm) www.PNE.edu.vn a) Cho x xy + y − x + y + 13 = 3x y − TÝnh N = xy b) NÕu a, b, c số dơng đôi khác giá trị đa thức sau số dơng A = a + b + c − 3abc Câu 2: (2 điểm) Chứng minh a + b + c = th×: a b a − b b − c c − a c A= + + + + =9 a b a − b b − c c − a c Câu 3: (2 điểm) Một ô tô phải quÃng đờng AB dài 60 km thời gian định Nửa quÃng đờng đầu với vận tốc lớn vận tốc dự định 10km/h Nửa quÃng đờng sau với vận tốc vận tốc dự định km/h Tính thời gian ô tô quÃng đờng AB biết ngời đến B Câu 4: (3 điểm) Cho hình vuông ABCD cạnh BC lấy điểm E Từ A kẻ đờng thẳng vuông góc vơi AE cắt đờng thẳng CD F Gọi I trung điểm EF AI cắt CD M Qua E dựng đờng thẳng song song với CD cắt AI N a) Chứng minh tứ giác MENF hình thoi b) Chứng minh chi vi tam giác CME không đổi E chuyển động BC Câu 5: (1 điểm) Tìm nghiệm nguyên phơng trình: x + 3x + = y §Ị sè Bộ đề thi Học sinh gii Toỏn Lp Bài 1: (2 điểm) www.PNE.edu.vn 1 x + −x + −2 x x Cho M = 1 x + + x + x x a) Rót gän M b) Cho x > 0, tìm giá trị nhỏ M Bài 2: (2 điểm) a) Tìm x biÕt : (2 x − 5) − ( x − 2) = ( x − 3) b) Tìm số tự nhiên n để n + 24 n - 65 hai số phơng Bài 3: (2 điểm) 2 a) Cho x y thoả m·n: x + 17 xy + y = xy − y − TÝnh H = x + y + xy b) Cho a, b, c tho¶ m·n: a + b + c = abc Chøng minh: a(b − 1)(c − 1) + b(a − 1)(c − 1) + c(a − 1)(b − 1) = 4abc Bµi 4: (4 điểm) Cho hình thang ABCD đáy nhỏ AB, Gọi I giao điểm AC BD Qua I vẽ đờng thẳng song song với AB cắt AD BC lần lợt M N a) Chứng minh IM = IN b) Chøng minh: 1 + = AB CD MN c) Gọi K trung điểm DC, vẽ đờng thẳng qua M song song với AK cắt DC, AC lần lợt H E Chøng minh HM + HE = 2AK d) Cho S(AIB) = a2 (cm2) , S(DIC) = b2 (cm2) TÝnh S(ABCD) theo a b Đề số 10 B thi Học sinh giỏi Tốn Lớp www.PNE.edu.vn C©u 1: (2 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x − x − 12 b) x + x + c) ( x + x + 2)( x + 11x + 30) − C©u 2: (2 điểm) 1) So sánh A B biết: A = 32 vµ B = 24(5 + 1)(5 + 1)(58 + 1)(516 + 1) 2) Cho 3a + 2b = 7ab vµ 3a > b > Tính giá trị biểu thức: P = 2005a − 2006b 2006a + 2007b C©u 3: (2 điểm) 1) Tìm giá trị nhỏ biểu thøc: A = x + y − xy − x − 12 y + 1974 2) Giải phơng trình: y + x + y − x +1 + = 3) Chøng minh r»ng: a + b + c + d ≥ 4a b c d Câu 4: (3 điểm) Cho hình vuông ABCD Gọi E điểm cạnh BC (E khác B C) Qua A kẻ Ax vuông góc với AE, Ax cắt CD F Trung tuyến AI tam giác AEF cắt CD K Đờng thẳng kẻ qua E, song song với AB cắt AI G a) Chứng minh tứ giác EGFK h×nh thoi b) Chøng minh AF2 = FK FC c) Khi E thay đổi BC, chứng minh chu vi tam giác EKC không đổi Câu 5: (1 điểm) Cho đa thức f(x) có hệ số nguyên Biết f(1) f(2) số lẻ Chứng minh đa thức f(x) nghiệm nguyên Đề số 11 Bộ đề thi Học sinh giỏi Toán Lớp a) Cho a k = www.PNE.edu.vn 3k + 3k + víi k ∈ N* (k + k ) TÝnh tæng S = a1 + a2 + a3 + + a2007 b) Chøng minh r»ng: A = n3 (n − 7) − 36n chia hÕt cho với n nguyên Câu 2: (3 điểm) a) Cho ba số x, y, z thoả mÃn đồng thời: x2 + y + = ; y2 + 2z + = ; z2 + 2x + = Tính giá trị biểu thức: A = x 2005 + y 2006 + z 2007 b) Chøng minh r»ng víi x, y ∈ Z th× P = ( x + y )( x + y )( x + y )( x + y ) + y số phơng c) T×m sè d phÐp chia: ( x + 1)( x + 3)( x + 5)( x + 7) + 2007 cho x + x + Câu 3: ( điểm) Phơng Hng có 110.000 đồng Hai ngời rủ chợ Phơng tiêu 1/5 số tiền Hng tiêu 1/6 số tiền Số tiền lại Hng nhiều số tiền lại Phơng 10.000 đồng Hỏi ngời có tiền Câu 4: (3 điểm) Cho hình bình hành ABCD (AC > BD) Gọi E, F lần lợt hình chiếu B, D lên AC; H, K lần lợt hình chiếu C AB AD 1) Tứ giác DFBE hình ? ? 2) Chứng minh tam giác CHK đồng dạng với tam giác BCA 3) Chøng minh AC = AB AH + AD AK Đề số 24 Câu 1: (2 điểm) Giải phơng trình: Bộ đề thi Học sinh giỏi Toán Lớp www.PNE.edu.vn 1 1 + + + + .x 2005 2 = 2005 a) 2004 2003 2002 + + + + 2004 b) x − + x − = Câu 2: (2 điểm) Tìm tỉ lệ ba đờng cao tam giác Biết cộng lần lợt độ dài cặp hai cạnh tam giác tỉ lệ kết : : Câu 3: (2 điểm) a) Tìm tổng hệ số đa thức nhận đợc sau bá dÊu ngc biĨu thøc: P( x) = (2004 − 2005 x + x ) 2004 (2004 + 2005 x + x ) 2005 b) T×m số tự nhiên n để n + n + số nguyên tố Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC Kẻ đờng cao AH Gọi C điểm đối xứng H qua AB, B ®iĨm ®èi xøng cđa H qua AC Gäi giao ®iĨm cđa B’C’ víi AC vµ AB lµ I vµ K Chứng minh IB, CK đờng cao tam giác ABC Câu 5: (1 điểm) Cho a, b, c [ 0; 1] vµ a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức P = a + b + c §Ị số 25 Câu 1: ( điểm) B thi Hc sinh gii Toỏn Lp a) Phân tích đa thức thành nhân tử: www.PNE.edu.vn x9 x7 x6 − x5 + x + x3 + x − b) Rót gän biĨu thøc: 3y2 y x2 y + x − xy − x − xy − x + x y + xy x+ y C©u 2: (2 điểm) a) Có tồn cặp số tự nhiên (x, y) để số x + y số nguyên tố không b) Giải phơng trình: y2 y + = x + 2x + Câu 3: (2 điểm) Mét ngêi ®i tõ A ®Õn B råi ®i tư B A 17 phút, đoạn đờng AB dài km gồm đoạn lên dốc, tiếp đoạn đờng bằng, cuối đoạn xuống dốc Hỏi đoạn đờng dài km Nếu vận tốc ngời lúc lên dốc 4km/h, lúc đoạn đờng km/h, lúc xuống dốc km/h Câu 4: (3 điểm) Cho hình vuông ABCD, M điểm tuỳ ý đờng chéo BD Kẻ ME vuông góc với AB, MF vu«ng gãc víi AD a) Chøng minh: DE = CF vµ DE ⊥ CF b) Chøng minh r»ng đờng thẳng DE, BF, CM đồng quy c) Xác định vị trí điểm M BD để diện tích tứ giác AEMF lớn Câu 5: (1 điểm) Cho a, b, c ba số dơng Chứng minh rằng: 1< a b c + + x > vµ www.PNE.edu.vn x +y 10 = Tính giá trị biểu thøc xy 2 M= x− y x+ y 1 + + 11 + 4 4 b) Rót gän biĨu thøc A = + + 12 + 4 4 Câu 2: (2 điểm) a) Giải phơng trình: x − x − 19 x + 106 x − 120 = x4 y4 + = b) Cho a b a+b Chøng minh r»ng: vµ x + y = x 2004 y 2004 + 1002 = 1002 a b (a + b)102 Câu 3: (2 điểm) Lúc giờ, An rời nhà để đến nhà bình với vận tốc km/h Lúc 20 phút, Bình rời nhà để đến nhà An với vận tốc km/h An gặp Bình đờng hai nhà Bình Khi trở đến nhà An tính quÃng đờng dài gấp bốn lần quÃng đờng Bình đà Tính khoảng cách từ nhà An đến nhà Bình Câu 4: (3 điểm) Cho hình vuông ABCD, góc vuông xAy qoay quanh đỉnh A hình vuông, cạnh Ax cắt đờng thẳng BC, CD lần lợt M, N; cạnh Ay cắt đờng thẳng P Q a) Chứng minh ANP AMQ vuông cân b) Biết QM c¾t PN ë R; I, K theo thø tù trung điểm PN, QM Tứ giác AKRI hình ? c) Chứng minh điểm: B, D, K, I thuộc đờng thẳng, từ suy đờng thẳng IK cố định góc vuông xAy quay quanh đỉnh A Câu 5: (1 điểm) Cho p + q = Chøng minh r»ng: < p + q ≤ §Ị sè 28 Câu 1: (2 điểm) B thi Hc sinh gii Toỏn Lp a) Giải phơng trình: www.PNE.edu.vn ( x − x + 4)3 + (2 − x ) + ( x − 6) = b) Phân tích đa thức sau thành nhân tö: x + 2004 x + 2003x + 2004 a b c Câu 2: (2 điểm) Cho a + b + c = ; x + y + z = ; x + y + z = Chøng minh: ax + by + cz = Câu 3: (2 điểm) Tìm số nguyên dơng A; Cho biết ba mệnh đề P, Q, R dới có mệnh đề sai: P = A+ 45 bình phơng số tự nhiên Q = A tận chữ số R = A - 44 bình phơng số tự nhiên Câu 4: (3 điểm) Cho hình vuông ABCD; M điểm tuỳ ý trªn BD, ME ⊥AB; MF ⊥ AD (E ∈ AB, F ∈ AD) a) Chøng minh DE, BF, CM ®ång quy b) Tìm M BD để diện tích tứ giác AEMF lớn Bài 5: (1 điểm) Tìm x nguyên để y nguyên: y = 2x + x2 + Đề số 29 Câu 1: (2 điểm) Bộ đề thi Học sinh giỏi Tốn Lớp Rót gän biÓu thøc: a) A = b) B = www.PNE.edu.vn x−2 + x +x 3x − x + 4 + + + x + x x + x + 10 x + 14 x + 15 x + Câu 2: (2 điểm) a) Cho 3a + b = 4ab vµ b > a > TÝnh P = a −b a+b b) T×m x, y biÕt: x + y − xy − 3x + = Câu 3: (2 điểm) a) Cho a, b số nguyên Chứng minh a chia cho 19 d 3, b chia cho 19 d th× a + b + ab chia hÕt cho 19 b) Chøng minh r»ng tÝch cña số tự nhiên liên tiếp cộng số phơng Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC nhọn Các đờng cao AA, BB , CC cắt H, gọi M trung điểm BC G trọng tâm tam giác ABC Trên tia HG lÊy ®iĨm O cho OG = OH; AO HM cắt D a) Chứng minh OM BC b) Tứ giác BHCD hình ? c) Gọi A1 , B1 , C1 điểm đối xứng H qua cạnh BC, CA, AB TÝnh AA1 BB1 CC1 + + AA' BB' CC ' Câu 5: (1 điểm) Tìm giá trị nhỏ cđa biĨu thøc: P = ( x + 8) + ( x + 6) §Ị sè 30 Bộ đề thi Học sinh giỏi Tốn Lớp C©u 1: (2 ®iĨm) www.PNE.edu.vn Cho ®a thøc A = 2a 2b + 2b 2c + 2a 2c − a − b − c a) Ph©n tích đa thức A thành nhân tử b) Chứng minh a, b, c độ dài ba cạnh tam giác A> Câu 2: (2 điểm) a) Giải phơng trình: ( x y ) = xy + b) Cho a, b, c đôi khác a b a b c + + =0 b−c c−a a−b c TÝnh P = (b − c) + (c − a) + (a − b) C©u 3: (2 điểm) a) Cho m, n số thoả mÃn: 3m + n = 4m + n Chứng minh (m-n) (4m + 4n + 1) số phơng 1 b) Cho x, y, z số khác thoả mÃn x + y + z = xyz vµ x + y + z = m 1 TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc: A = x + y + z theo m Câu 4: (3 điểm) Cho ABC , trọng tâm G, BC lấy điểm P, đờng thẳng qua P theo thứ tự song song CG BG cắt AB, AC E, F; EF cắt BG, CG theo tứ tự I, J a) Chøng minh: EI = IJ = JF b) Chøng minh PG ®i qua trung ®iĨm cđa EF c) Mét ®êng thẳng P tam giác Chứng minh tổng khoảng cách từ ba đỉnh tam giác ABC xuống đờng thẳng d gấp lần khoảng cách từ trọng tâm đến đờng thẳng d Câu 5: (1 điểm) Tìm tất số có hai chữ số ab cho: nguyên tố Đề số 31 ab số ab Bộ đề thi Học sinh giỏi Tốn Lớp C©u 1: (2 ®iĨm) Cho biĨu thøc: M = www.PNE.edu.vn 2 x y x2 y2 − − ( x + y )(1 − y ) ( x + y )(1 + x) (1 + x)(1 − y ) a) Rót gọn M b) Tìm cặp số nguyên (x, y) để biểu thức M có giá trị -7 Câu 2: (3 điểm) a) Chứng minh với n số tự nhiên chẵn biểu thức: A = 20 n + 16 n − 3n − chia hÕt cho 323 b) Cho x, y, z khác x + y + z ≠ Chøng minh r»ng: 1 1 1 1 NÕu x + y + z = x + y + z th× x 2007 + y 2007 + z 2007 = x 2007 + y 2007 + z 2007 C©u 3: (2 điểm) Trong đua mô tô có ba xe cïng khëi hµnh mét lóc Mét xe mét chạy chậm xe thứ 15 km nhanh xe thứ ba km, đến đích chậm xe thứ 12 phút sớm xe thứ ba phút Không có dừng lại đờng Tìm vận tốc xe, quÃng đờng đua xem xe chạy thời gian Câu 4: (2 điểm) Cho hình vuông ABCD, gọi K, O, E, N lần lợt trung điểm AB, BC, CD DA Các đoạn thẳng AO, BE, Cn DK cắt L, M, R, P TÝnh tØ sè diƯn tÝch S(MNPR) : S(ABCD) C©u 5: (1 ®iĨm) 1 1 TÝnh tỉng S = 1.2.3 + 2.34 + 3.4.5 + + n(n + 1)(n + 2) §Ị sè 32 Bộ đề thi Học sinh gii Toỏn Lp Câu 1: (2 điểm) www.PNE.edu.vn a) Phân tích a + thành nhân tử b) TÝnh : A = + + 10 + 14 + 184 + 4 + 84 + 12 + 16 + 20 + Câu 2: (2 điểm) a) Tính giá trị biểu thức: A = x15 − x14 + x13 − x + − x + x − với x = b) Tìm n nguyên để n - chia hÕt cho n − n + Câu 3: ( điểm) a) Cho đa thøc f ( x) = x100 + x 99 + + x + x + T×m d cña phÐp chia f(x) cho x − b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: B = xy ( x − 2)( y + 6) + 12 x − 24 x + y + 18 y + 2004 Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, đờng cao AH Gọi E, F lần lợt hình chiếu H lên AB AC Gọi M giao điểm BF CE a) Tứ giác AEHF hình ? T¹i ? b) Chøng minh AB AE = AC AF c) So sánh diện tích tứ giác AEMF diện tích tam giác BMC Câu 5: (1 điểm) Cho x + y − xy = x + y Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ cđa biĨu thøc: A = x + y §Ị sè 33 Bộ đề thi Học sinh giỏi Tốn Lp Câu 1: (2 điểm) www.PNE.edu.vn Phân tích thành nhân tử: a) x10 + x + b) ( x − 3x + 2)( x − x + 12) − 15 Cho a, b số thoả mÃn a + b + ab = 2005 Tính giá trị biÓu thøc: P= a + b + ( a + b) a + b + ( a + b) Câu 2: ( điểm) a) Cho p p2 + số nguyên tố Chứng minh p3 + số nguyên tố b) Tìm số dơng x, y, z thoả mÃn: x + y = xyz x + y + z = Câu 3: (2 điểm) Trên quÃng đờng AB thành phố, phút lại có xe buýt theo chiều từ A đến B phút lại có xe buýt theo chiều ngợc lại Các xe chun ®éng ®Ịu víi cïng vËn tèc nh Mét khách du lịch từ A đến B nhận thấy phút lại gặp xe buýt từ B vể phía Hỏi phút lại có xe từ A vợt qua ngời Câu 4: (3 điểm) a) Cho hình bình hành ABCD Lấy E thuộc BD, Gọi F điểm đối xøng víi C qua E Qua F kỴ Fx song song với AD, cắt AB I, Fy song song với AB, cắt AD K Chứng minh ba điểm I, K, E thẳng hàng b) Cho đoạn thẳng AB song song với đờng thẳng d Tìm điểm M (d M nằm khác phía với AB) cho tia MA, MB tạo với đờng thẳng d tam giác có diện tích nhỏ Câu 5: (1 điểm) Giải phơng trình: x a x b2 x2 +a= b2 − x x − b2 §Ị sè 34 Bộ đề thi Học sinh giỏi Toỏn Lp Câu 1: (2 điểm) www.PNE.edu.vn a) Cho x − x + = TÝnh giá trị biểu thức: A = b) Tìm số tự nhiên x để x4 + x2 + x2 x2 + số phơng x+8 Câu 2: (2 điểm) a) Giải phơng trình: ( x 1) = x + b) Gi¶i bÊt phơng trình: x >1 x Câu 3: ( điểm) Việt (hỏi): Bạn số nhà ? Nam (trả lời): Mình số nhà số có ba chữ số, mà hai chữ số đầu nh hai chữ số cuối lập thành số phơng số gấp bốn lần số ? Việt: Sau lúc suy nghĩ đà tìm sè nhµ cđa Nam Hái sè nhµ cđa Nam lµ ? Câu 4: ( điểm) 1) Cho hai điểm A B nằm phía đờng thẳng a HÃy tìm đờng thẳng a ®iĨm P cho tỉng ®é dµi AP + PB lµ bÐ nhÊt 2) Cho gãc nhän xOy vµ điểm A miền góc HÃy tìm hai cạnh Ox, Oy điểm tơng ứng B C cho chu vi tam gi¸c ABC bÐ nhÊt Câu 5: (1 điểm) Tìm số x, y, z, t tháa m·n: x + y + z + t = x( y + z + t ) Đề số 35 Câu 1: ( điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử: B thi Học sinh giỏi Toán Lớp a) (a + b + c) − (a + b − c) − (b + c − a) − (c + a − b) www.PNE.edu.vn b) ( x + y ) + ( z − x ) − ( y + z ) Câu 2: (2 điểm) a) Cho f(x) = ax + bx + c Chøng minh r»ng: f(x) + 3f(x + 2) = 3f(x + 1) + f(x + 3) b) Tìm số x, y nguyên dơng tho¶ m·n: x − y = y + 13 Câu 3: ( điểm) a) Chứng minh r»ng n5 − 5n3 + 4n chia hÕt cho 120 với n nguyên b) Cho tam giác có độ dài hai đờng cao cm cm HÃy tìm độ dài đờng cao thứ ba, biết độ dài đờng cao số nguyên Câu 4: (3 điểm) a) Chứng minh tổng độ dài cạnh ngũ giác lồi bé tổng độ dài đờng chéo ngũ giác b) Cho tam giác ABC Trong hình chữ nhật có hai đỉnh nằm cạnh BC hai đỉnh lại lần lợt nằm hai cạnh AB AC, hÃy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn Câu 5: (1 điểm) Tìm tất số thực dơng x, y thoả mÃn: x + y = xy Đề số 36 Câu 1: ( ®iĨm) 27 Bộ đề thi Học sinh giỏi Tốn Lớp www.PNE.edu.vn a) Chøng minh r»ng: n − n chia hÕt cho 30 víi mäi sè nguyªn n b) Phân tích thành nhân tử: x + y xy + Câu 2: (2 điểm) 1 1 x + y + z = a) Tìm x, y, z thoả mÃn: −1 =4 xy z b) Cho a, b, c số hữu tỉ đôi khác Chøng minh r»ng: A= 1 + + 2 ( a − b) (b − c ) (c a ) số hữu tỉ Câu 3: ( điểm) a) Cho x, y > tho¶ m·n x + y =1 Chøng minh r»ng: 2 1 25 x + +y + ≥ x y 1 1 b) Chøng minh r»ng: + 13 + + n + (n + 1) < Câu 4: (2 điểm) Cho đa thøc P(x) = x + ax + bx + cx + d víi a, b, c , d lµ h»ng sè BiÕt P(1) = 10; P(2) = 20 ; P(3) = 30 TÝnh P(12) + P(-8) Câu 5: ( điểm) Tìm số x, y nguyên thoả mÃn: x y x − y = xy §Ị sè 37 Bài 1: (4 điểm) B thi Hc sinh gii Toỏn Lp a) Phân tích đa thức thành nhân tö: A = x + www.PNE.edu.vn a2 + a + b) Tìm số nguyên a để biểu thức P = nhận giá trị nguyên a +1 Bài 2: (4 điểm) Đa thức P(x) chia cho x -3 d 7, chia cho x + d -9 cßn chi cho x2 - 5x + đợc thơng x2 + d Tìm đa thức P(x) Bài 3: (6 điểm) a) Biết x nghiệm phơng trình: x ab x − ac x − bc + + =a+b+c a+b a+c b+c Tìm x dạng thu gọn b) Rút gọn biÓu thøc: M = (23 + 1)(33 + 1)(43 + 1) (503 + 1) (23 − 1)(33 − 1)(43 − 1) (503 1) Bài 4: (6 điểm) a) Trên tia Ox cđa gãc xOy cho tríc mét ®iĨm A HÃy tìm tia Oy góc điểm B cho OB + BA = d (víi d độ dài cho trớc b) Cho tam giác ABC có trung tuyến kẻ từ B C BE CF Chứng minh BE vuông góc với CF vµ chØ khi: AC2 + AB2 = 5BC2 Đề số 38 Bài 1: (2 điểm) ... 1.2 .3 + 2 .34 + 3. 4.5 + + n(n + 1)(n + 2) §Ị sè 32 Bộ đề thi Học sinh giỏi Tốn Lớp C©u 1: (2 điểm) www.PNE.edu.vn a) Phân tích a + thành nhân tử b) Tính : A = + + 10 + 14 + 184 + 4 + 84 +... − x − x − 2005 x − 2004 x − 20 03 + + = + + 2005 2004 20 03 §Ị sè Bộ đề thi Học sinh giỏi Toán Lớp Câu 1: (2điểm) www.PNE.edu.vn a) Cho x xy + y − x + y + 13 = 3x y − TÝnh N = xy b) NÕu a, b,... dạng víi tam gi¸c BCA 3) Chøng minh AC = AB AH + AD AK Câu V: (2 điểm) Giải phơng trình: x 2002 2002 + x 20 03 20 03 =1 Bộ đề thi Học sinh giỏi Toán Lớp www.PNE.edu.vn Đề số Câu I: (2điểm) Thực