TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH LUYỆN THI ĐẠI HỌC (Tài liệu tự ôn tập) LÊ TRUNG TÍN Thành viên nhóm Administrators diễn đàn toán học boxmath.vn Email: letrungtin87@gmail.com 1. Khảo sát hàm số và các bài toán có liên quan: (Bổ sung sau) 2. Phương trình lượng giác: 1. Giải các phương trình sau: (a) sin x + cos x + 2 sin x cos x − 1 = 0 (b) 6(sin x − cos x) − sin x cos x − 6 = 0 (c) sin 3 + cos 3 x = 2(sin x + cos x) −1 (d) sin 3 x + cos 3 x = 1 (e) 1 + sin 3 x + cos 3 x = 3 sin 2x 2 (f) sin 3 x + cos 3 x = sin 2x + sin x + cos x 2. Giải các phương trình sau: (a) sin x − sin 3x + 2 sin 5x = 0 (b) cos 4x 3 = cos 2 x (c) 8 cos 3  x + π 3  = cos 3x (d) sin 3 x + cos 3 x = 1 − 1 2 sin 2x (e) 2 cos 3 x + sin x + 1 = 2 sin 2 x (f) 8 sin x = √ 3 cos x + 1 sin x (g) tan 2 x = 1 − cos 3 x 1 − sin 3 x 3. Giải các phương trình sau: (a) (2 cos 2x + 1)(sin 2x − cos 2x + 1) = 2(cos x + sin x) (b) cos 2 x + cos 2 2x + cos 2 3x + cos 2 4x = 3 2 (c) 2 cos 3x(2 cos 2x + 1) = 1 (d) sin 2x + cos 2x + 3 sin x − cos x − 2 = 0 4. Giải các phương trình sau: (a) sin 2x − cos 2x + 3 sin x − cos x − 1 = 0 (b) (1 + sin x + cos 2x) sin  x + π 4  1 + tan x = 1 √ 2 cos x (c) (sin 2x + cos 2x) cos x + 2 cos 2x − sin x = 0 (d) sin 3 x − √ 3 cos 3 x = sin x cos 2 x − √ 3 sin 2 x cos x (e) 2 sin x(1 + cos 2x) + sin 2x = 1 + 2 cos x (f) (1 − 2 sin x) cos x (1 + 2 sin x)(1 − sin x) = √ 3 (g) 1 + sin 2x + cos 2x 1 + cot 2 x = √ 2 sin x sin 2x (h) sin 2x cos x + sin x cos x = cos 2x + sin x + cos x Tài liệu được soạn thảo bằng L A T E X 1 3. Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số: 3.1. Phương trình vô tỷ: 3.1.1. Phương pháp nâng lũy thừa: Giải các phương trình sau: 1.  x 2 − 7 x 2 +  x − 7 x 2 = x 2. 3 √ 2x − 1 + 3 √ x − 1 = 3 √ 3x + 1 3. √ 1 + x 2 = 3x 1−x 4.  x 3 + 1 x + 3 − √ x + 1 = √ x 2 − x + 1 − √ x + 3 3.1.2. Phương pháp đưa về tích: Giải các phương trình sau: 1. 2x + (4x 2 − 1) √ 1 − x 2 = 4x 3 + √ 1 − x 2 2. 4 √ x = 3 8 + 2x 3. x + 4x x + 4 √ x + 4 = 12 3.1.3. Phương pháp trục căn thức: Giải các phương trình sau: 1. √ 2x − 1 + √ x + 2 = √ x + 6 + 3 2. √ 2x 2 + x + 9 + √ 2x 2 − x + 1 = x + 4 3. 2 √ 3x + 4 + 3 √ 5x + 9 = x 2 + 6x + 13 3.1.4. Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về phương trình đại số: 1. Giải các phương trình sau: (a) √ x + 1 + √ 8 − x +  (x + 1)(8 − x) = 3 (b)  x − √ x 2 − 1 +  x + √ x 2 − 1 = 2 (c) x 2 + 2x  x − 1 x = 3x + 1 (d) 3 √ 2 + x − 6 √ 2 − x + 4 √ 4 − x 2 = 10 − 3x 2. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm: (a) 2(x 2 − 2x) + √ x 2 − 2x − 3 − m = 0 (b) m( √ 3x − 2 + √ x − 1) = 4x − 9 + 2 √ 3x 2 − 5x + 2 3. Cho phương trình √ x + 3 + √ 6 − x +  (x + 3)(6 − x) = m (a) Giải phương trình khi m = 3; (b) Tìm m để phương trình có nghiệm; (c) Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất 4. Tìm m để phương trình sau có nghiệm m(  1 + x 2 −  1 − x 2 + 2) = 2  1 − x 4 +  1 + x 2 −  1 − x 2 Tài liệu được soạn thảo bằng L A T E X 2 3.1.5. Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về phương trình đẳng cấp: 1. 2(x 2 + 1) = 5 √ x 3 + 1 2. x 2 − 7x + 1 = 4 √ x 4 + x 2 + 1 3. 2x 2 − 5x + 22 = 5 √ x 3 − 11x + 20 4. x 3 − 3x 2 + 2  (x + 2) 3 = 6x 5. (x + 3 √ x + 2)(x + 9 √ x + 18) = 168x 3.1.6. Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình 1. Giải các phương trình sau: (a) √ x 3 + x 2 + 2 + √ x 3 + x 2 − 1 = 3 (b) 4 x +  x − 1 x = x +  2x − 5 x (c) 3x 2 − 4x − 15 = 2 √ 2x 2 − 2x − 5 (d) √ 4x + 5 = 2x 2 − 6x − 1 (e) 3 √ 3x − 5 = 8x 3 − 36x 2 + 53x − 25 (f) x 3 + 1 = 2 3 √ 2x − 1 2. Tìm để các phương trình sau có nghiệm: (a) √ x + √ 4 − x = m (b) 3 √ 1 − x + 3 √ 1 + x = m 3.1.7. Phương pháp hằng số biến thiên, tham số biến thiên: Giải các phương trình sau: 1. x 2 + √ x + 5 = 5 2. 9x 2 + 3(2x − 1) √ 9 − x − 10x + 11 = 0 3. (x + 1) √ x 2 − 2x + 3 = x 2 + 1 4. x 3 + 6x 2 − 2x + 3 = (5x − 1) √ x 3 + 3 3.1.8. Phương pháp hàm số: 1. Giải các phương trình sau: (a) √ 4x − 1 + √ 4x 2 − 1 = 1 (b) (4x − 1)( √ x + 3 + 3 √ 3x + 5) = 4x + 8 (c) 3 √ x 3 − 12x + 17 = −3x 2 + 16x − 19 (d) (9x + 1) √ 9x − 1 = 8x 3 + 20x 2 − 41x + 5 2. Tìm m để phương trình sau có nghiệm  x 2 − x + 1 +  x 2 + x + 1 = m 3. Tìm m để phương trình sau có nghiệm x √ x + √ x + 12 = m( √ 5 − x + √ 4 − x) Tài liệu được soạn thảo bằng L A T E X 3 3.2. Bất phương trình vô tỷ: 3.2.1. Phương pháp nâng lũy thừa Giải các phương trình sau 1. √ 1 + x + √ 1 − x ≤ x 2. √ x + 3 > √ x − 9 + √ 5 − x 3. 3 √ x 2 + 6x > x 4. 3 √ 2x + 1 + 3 √ 6x + 1 > 3 √ 2x − 1 3.2.2. Phương pháp đặt ẩn phụ 1. Giải các phương trình sau (a) √ 5x 2 + 10x + 1 ≥ 7 −x 2 − 2x (b) x x + 1 −  x + 1 x > 3 (c) (x + 1)(x + 3) ≤ √ x 2 + 4x + 5 2. Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm đúng với mọi x ∈ [−2; −2 + √ 3]: (x + 1)(x + 3) ≤ m(  x 2 + 4x + 5) 3. Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm đúng với mọi x ∈ [−4; 6]:  (4 + x)(6 − x) ≤ x 2 − 2x + m 3.2.3. Phương pháp hàm số 1. Giải bất phương trình (a) √ x + 1 + √ 2x + 3 > 5 (b) 4 √ 15 + x − 4 √ 2 − x > 1 (c) √ x 2 − 2x + 3 − √ x 2 − 6x + 11 > √ 3 − x − √ x − 1 (d) x 3 − 5x 2 + 6x + 2 ≤ 3 √ 2x 2 − 2x − 4 2. Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm √ 4x − 2 + √ 16 − 4x ≤ m 3.2.4. Phương pháp đánh giá Giải các bất phương trình sau 1.  x − √ x 2 − 1 +  x + √ x 2 − 1 ≤ 2 2. 2x 2 − 13x + 38 √ 2x 2 − 10x + 44 + √ 3x + 6 ≤ 4 −x 3. (x 2 + 4) √ 2x + 4 ≤ 3x 2 + 6x − 4 4. x − √ x 1 −  2(x 2 − x + 1) ≥ 1 5. (2x − 1) √ x + 3 2 √ x + (2 + √ x) √ 1 − x + 1 − x ≥ 1 Tài liệu được soạn thảo bằng L A T E X 4 3.3. Hệ phương trình đại số: 3.3.1. Sử dụng phép biến đổi đại số và thế: Giải các hệ sau: 1.  5x 2 y −4xy 2 + 3y 3 − 2(x + y) = 0 xy(x 2 + y 2 ) + 2 = (x + y) 2 2.  x 4 + 2xy + 6y −(7 + 2y)x 2 = −9 2x 2 y −x 3 = 10 3.  y 3 − 7x 3 − 6xy 2 + 12x 2 y = 3x 2 − 3x + 1 y 2 − 4x − 5 = 0 4.  x 3 + y 3 = 9 x 2 + 2y 2 = x + 4y 5.      1 x + 1 2y = (x 2 + 3y 2 )(3x 2 + y 2 ) 1 x − 1 2y = 2(y 4 − x 4 ) 6.  x 3 + 3xy 2 = −49 x 2 − 8xy + y 2 = 8y −17x 7.  9y 3 (3x 3 − 1) = −125 45x 2 y + 75x = 6y 2 8.  −x 2 y + 2xy 2 + 3y 3 − 4(x + y) = 0 xy(x 2 + y 2 ) − 1 = 3xy −(x + y) 2 9.  x 2 − 2xy + x + y = 0 x 4 − 4x 2 y + 3x 2 + y 2 = 0 10.  2x 3 − 9y 3 = (x − y)(2xy + 3) x 2 − xy + y 2 = 3 11.  x 3 + y 3 = 1 x 5 + y 5 = x 2 + y 2 12.  x 3 + y 3 = 1 x 3 + y 4 = x 4 + y 3 13.  x 2 + y 2 = 1 (2x 2 − 1)(2x 3 + y 3 ) = (2y 2 − 1)(2y 3 + x 3 ) 14.  x 4 + 2x 3 y + x 2 y 2 = 2x + 9 x 2 + 2xy = 6x + 6 Tài liệu được soạn thảo bằng L A T E X 5 3.3.2. Sử dụng phép đặt ẫn phụ: Giải các hệ sau: 1.      x + 1 x + y + 1 y = 5 x 2 + 1 x 2 + y 2 + 1 y 2 = 9 2.  x + y + x 2 + y 2 = 8 xy(x + 1)(y + 1) = 16 3.  (x 2 + x + 1)(y 2 + y + 1) = 3 (1 − x)(1 − y) = 6 4.  (x 3 + x 2 + x + 1)(y 3 + y 2 + y + 1) = 60 x + xy + y = 5 5.      x + y + x y + y x = 4 x + y + x 2 y + y 2 x = 4 6.      8(x 2 + y 2 ) + 4xy + 5 (x + y) 2 = 13 2x + 1 x + y = 1 7.      x 2 + y + x 3 y + xy 2 + xy = − 5 4 x 4 + y 2 + xy (1 + 2x) = − 5 4 8.    x 2 + y 2 + x 2 y 2 = 9 xy 3 + 4y 2 = x 2 + xy 9.      3(x 2 + y 2 ) + 1 (x − y) 2 = 2(10 − xy) 2x + 1 x − y = 5 10.  8x 3 y 3 + 27 = 18y 3 4x 2 y + 6x = y 2 11.    x(x + 1) + 1 y  1 y + 1  = 4 x 3 y 3 + x 2 y 2 + xy + 1 = 4y 3 12.      (x + y)(1 + 1 xy ) = 5 (x 2 + y 2 )(1 + 1 x 2 y 2 ) = 49 3.3.3. Sử dụng phương pháp hàm số Giải các hệ sau 1.  (17 − 3x) √ 5 − x + (3y −14) √ 4 − y = 0 2 √ 2x + y + 5 + 3 √ 3x + 2y + 11 = x 2 + 6x + 13 Tài liệu được soạn thảo bằng L A T E X 6 2.  3 √ x − 3 √ y = y −x √ 1 − x 2 + y = 2y √ 2 − 2x 2 3.  x 5 + xy 4 = y 10 + y 6 √ 4x + 5 +  y 2 + 8 = 6 4.  x 2 = √ y −1 + 2x − 1 y 2 = √ x − 1 + 2y −1 4. Tích phân và ứng dụng: (Bổ sung sau) 5. Hình học không gian tổng hợp: 1. Cho hình chóp S.ABC có đường cao SA = a, đáy là tam giác vuông cân AB = BC = a. Gọi B  là trung điểm của SB, C  là chân đường cao hạ từ đỉnh A của tam giác SAC. (a) Tính thể tích khối chóp S.ABC (b) Chứng minh rằng SC vuông góc với mặt phẳng (AB  C  ) (c) Tính thể tích khối chóp S.A  B  C  2. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và mặt đáy là 60 0 . Tính tang của góc hợp bởi giữa hai mặt (SAB) và (ABCD) và tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. 3. Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h. Tính thể tích hình lập phương có một mặt thuộc mặt đáy của hình chóp còn mặt đối diện có các đỉnh nằm trên cạnh của hình chóp. 4. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh B và SA ⊥ (ABCD), SB = a. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng α. (a) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a và α. (b) Tìm α để thể tích khối chóp S.ABC lớn nhất. 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD và H là giao điểm của CN với DM . Biết SH vuông góc với mặt đáy phẳng (ABCD) và SH = a √ 3. Tính thể tích khối chóp S.CDN M và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a. 6. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A  B  C  có AB = a, góc giữa hai mặt phẳng (A  BC) và (ABC) bằng 60 0 . Gọi G là trọng tâm của tam giác A  BC. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a. 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, SA = a, hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) thuộc cạnh AC, AC = 4AH. Gọi CM là đường cao của tam giác SAC. Chứng minh rằng M là trung điểm của SA và tính thể tích khối tứ diện SM BC theo a. 8. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A  B  C  có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AA  = 2a, A  C = 3a. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A  C  , I là giao điểm của AM và A  C. Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (IBC). 9. Cho lăng trụ ABC.A  B  C  có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a √ 3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A  trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC. (a) Tính theo a thể tích của khối trụ, và thể tích khối chóp A  .ABC, A  .BCC  B  (b) Tính khoảng cách từ B  đến mặt phẳng A  ACC  . (c) Tính côsin của góc giữa hai đường thẳng AA  , B  C  Tài liệu được soạn thảo bằng L A T E X 7 (d) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và B  C  . 10. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A  B  C  có cạnh đáy bằng a và đường cao bằng h. Xét hình trụ nội tiếp trong lăng trụ này, nghĩa là hình trụ có hai đường tròn đáy, mỗi đường tròn nằm trên mặt đáy của lăng và tiếp xúc tại trung điểm các cạnh của tam giác đáy. (a) Tính thể tích khối hình trụ nội tiếp đó. (b) Gọi I là trung điểm của BC. Đường thẳng A  I cắt hình trụ nói trên theo một đoạn thẳng. Tính độ dài đoạn thẳng này. 6. Bất đẳng thức, cực trị của hàm nhiều biến: 6.1. Sử dụng bất đẳng thức cô-si: 1. Cho x, y là các số thực dương thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = (x + y) 3 xy 2 2. Cho x ∈ [0; 3], y ∈ [0; 4]là số thực thay đổi. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = (3 − x)(4 − y)(2x + 3y) 3. Cho x, y, z là số thực dương thay đổi và thỏa mãn x + y + z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = 3 √ a + b + 3 √ b + c + 3 √ c + a 4. Cho x, y, z là số thực không âm thay đổi và thỏa mãn xy + yz + zx = 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 6x 2 + 6y 2 + 2z 2 5. Cho x, y là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn x + y ≥ 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 2x + 3y + 6 x + 10 y 6. Cho x, y là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn x + y ≤ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 1 x 2 + y 2 + 1 xy + 4xy 7. Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn x + y + z ≤ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 1 x 2 + y 2 + z 2 + 1 xy + 1 yz + 1 zx 8. Cho x, y, z là ba số thực dương thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x  x 2 + 1 yz  + y  y 2 + 1 zx  + z  z 2 + 1 xy  (Đại học khối B, năm 2007) 9. Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn x + y + z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của P = 3  2x + y + 3  2y + z + 3 √ 2z + x Tài liệu được soạn thảo bằng L A T E X 8 10. Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn xy + yz + zx = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của P = 10x 2 + 10y 2 + z 2 11. Cho a, b, c là ba số thực dương thay đổi và thỏa mãn a + b + c = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a 1 + b 2 + b 1 + c 2 + c 1 + a 2 12. Cho a, b, c là ba số thực dương thay đổi và thỏa mãn a + b + c = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a 2 a + 2b 2 + b 2 b + 2c 2 + c 2 c + 2a 2 13. Cho a, b, c là ba số thực dương thay đổi và thỏa mãn a + b + c = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a 2 a + 2b 3 + b 2 b + 2c 3 + c 2 c + 2a 3 14. Cho a, b, c là ba số thực dương thay đổi và thỏa mãn a + b + c = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a 2 b 2 + 1 + b 2 c 2 + 1 + c 2 a 2 + 1 15. Cho a, b, c là ba số thực dương thay đổi và thỏa mãn a + b + c = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a 2 b 2 + a + b 2 c 2 + b + c 2 a 2 + c 6.2. Sử dụng bất đẳng thức bunhicốpski 1. Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn a + b + c ≥ 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =  a 2 + 1 b 2 +  b 2 + 1 c 2 +  c 2 + 1 a 2 2. Cho x, y, z là các số thực thay đổi và thỏa mãn x + y + z = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x 2 + 2y 2 + z 2 3. Cho x, y là các số thực thay đổi và thỏa mãn 36x 2 + 16y 2 = 9. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = y −2x + 5 4. Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn a + b + c ≤ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =  a 2 + 1 a 2 +  b + 1 b 2 +  c + 1 c 2 5. Cho x, y là các số thực thay đổi và thỏa mãn 3x − 4y = 7. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 3x 2 + 4y 2 6. Cho x, y, z là các số thực thay đổi và thỏa mãn x 2 + y 2 + z 2 = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x + 3y + 5z Tài liệu được soạn thảo bằng L A T E X 9 7. Cho x, y, z là các số thực thay đổi và thỏa mãn x(x − 1) + y(y − 1) + z(z − 1) ≤ 4 3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x + y + z 8. Cho a, b, c là các số thực thay đổi và thỏa mãn x + y + z = 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x 2 + y 2 + z 2 9. Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn x 2 + y 2 + z 2 = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 1 xy + 2 + 1 xy + 2 + 1 yz + 2 + 1 zx + 2 10. Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x  xy + y 2 + y  yz + z 2 + z √ zx + x 2 11. Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 1 a 2 + 1 b 2 + 1 c 2 + 1 ab + 1 bc + 1 ca 12. Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn √ ab + √ bc + √ ca = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a 2 a + b + b 2 b + c + c 2 c + a 6.3. Sử dụng hàm số 1. Cho a, b, c là các số thực không âm thay đổi và thỏa mãn a + b + c = 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a 4 + b 4 + c 4 − 2(a 3 + b 3 + c 3 ) − 6 2. Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a 1 + bc + b 1 + ca + c 1 + ab 3. Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 1 a + 1 b + 1 c −  1 a + b + 1 b + c + 1 c + a  4. Cho a, b, c ≥ − 3 4 là các số thực thay đổi và thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = a a 2 + 1 + b b 2 + 1 + c c 2 + 1 5. Cho a, b, c là các số thực không âm thay đổi và thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = (b + c − a) 2 (b + c) 2 + a 2 + (c + a − b) 2 (c + a) 2 + b 2 + (a + b − c) 2 (a + b) 2 + c 2 6. Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a (b + c) 2 + b (c + a) 2 + c (a + b) 2 Tài liệu được soạn thảo bằng L A T E X 10 [...]... số phức Tìm phần thực và phần ảo của ω Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z để ω là số thực 2 Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z sao cho z 2 : (a) là số ảo (b) là số thực âm (c) là số thực dương (d) có môđun bằng 1 3 Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn (2 − z)(i + z ) là ¯ số thực √ (1... 14 Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết B(2; −1), đường cao kẻ từ đình A và phân giác trong kẻ từ đỉnh C lần lượt có phương trình là 3x − 4y + 27 = 0 và x + 2y − 5 = 0 A Tài liệu được soạn thảo bằng L TEX 12 15 Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(0; 2) và đường thẳng (d) đi qua O Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên (d) Viết phương trình đường thẳng (d) biết khoảng cách từ H đến trục hoành... không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(0; 0; −3), B(2; 0; −1), C(2; −2; −3) Tìm 4 tọa độ điểm M cách đều ba điểm A, B, C và khoảng cách từ M đến (ABC) = √ 3 12 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A B C D với A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), A (0; 0; 1) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD (a) Tính khoảng cách giữa A C và M N 1 (b) Viết phương... biểu thức 2 P =x+y+z+ 1 xyz 18 Cho x, y là các số thực khác 0 thay đổi và thỏa mãn (x + y)xy = x2 + y 2 − xy Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 1 P = 3+ 3 x y A Tài liệu được soạn thảo bằng L TEX 11 19 Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn x + y + 1 = 3xy Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = 3x 1 3y 1 − + − y(x + 1) x(y + 1) x2 y 2 20 Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x2 + y 2 + z 2 +... là các nghiệm phức của phương trình 2z 2 −(1−2i)z+3+5i = 0 Tính P = z1 +z2 , Q = A Tài liệu được soạn thảo bằng L TEX 1 1 4+ 4 z1 z2 17 9 Tìm số phức z thỏa mãn |z − (2 + i)| = √ 10 và z.¯ = 25 z 10 Tìm số phức z thỏa mãn |z| và z 2 là số thuần ảo 11 Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn |z − i| = |(1 + i)z| 12 Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp điểm biểu diễn các. .. − 1 = 0 và hai điểm A(3; 1; 0), B(2; 0; −2) Viết phương trình mặt phẳng (P ) đi qua A và B sao cho thi t diện của (P ) với khối cấu (S) là một hình tròn có diện tích bằng π a y+8 z−3 = = và mặt phẳng 1 −1 3 (P ) đi qua ba điểm A(7; 0; 0), B(0; 7; 0), C(0; 0; 7) Hãy viết phương trình đường thẳng (d ) là hình chiếu của (d) lên (P ) 6 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d) : 7 Trong... (d) với (P ), M là điểm thuộc (d) Tính khoảng cách từ √ M đến (P ), biết M C = 6 8 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d) : 9 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1; 0; 0), B(0; b; 0), (0; 0; c), trong đó b, c dương và mặt phẳng (P ) : y − z + 1 = 0 Xác định b, c, biết mặt phẳng (ABC) vuông góc với (P ) và 1 khoảng cách từ điểm O đến (ABC) bằng 3 10 Trong không... x+z 7 Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng: 1 Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC, biết đỉnh B(2; 5) và hai đường cao có phương trình 2x + 3y + 7 = 0 và x − 11y + 3 = 0 2 Trong mặt phẳng Oxy, cho A(2; 5), B(5; 1) Viết phương trình đường thẳng (d) qua A và cách B một khoảng bằng 3 3 Tam giác ABC có phương trình cạnh AB là 5x − 3y + 2 = 0, các đường cao xuất phát từ đỉnh A, đỉnh B lần lượt có phương... (S) sao cho khoảng cách từ M đến (P ) lớn nhất 14 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng (d1 ) : (d2 ) : x+y−z−2=0 x + 3y − 12 = 0 x−1 y+2 z+1 = = , 3 −1 2 (a) Chứng minh rằng (d1 ) và (d2 ) song song với nhau Viết phương trình mặt phẳng (P ) chứa (d1 ) và (d2 ) (b) Mặt phẳng tọa độ Oxz cắt (d1 ), (d2 ) lần lượt tại A, B Tính diện tích tam giác OAB A Tài liệu được soạn thảo... thẳng (d) có phương trình x+2 y−2 z+3 = = Tính khoảng cách từ A đến (d) Viết phương trình mặt cầu tâm A, cắt (d) 2 3 2 tại hai điểm B, C sao cho BC = 8 x y−1 z = = Xác định tọa độ của M trên 2 1 2 trục hoành sao cho khoảng cách từ M đến (d) bằng OM 24 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho (d) : 25 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(2; 1; 0), B(1; 2; 2), C(1; 1; 0) và mặt . TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH LUYỆN THI ĐẠI HỌC (Tài liệu tự ôn tập) LÊ TRUNG TÍN Thành viên nhóm Administrators diễn đàn toán học boxmath.vn Email:. − x + 1 − x ≥ 1 Tài liệu được soạn thảo bằng L A T E X 4 3.3. Hệ phương trình đại số: 3.3.1. Sử dụng phép biến đổi đại số và thế: Giải các hệ sau: 1.  5x 2 y