BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH ________________ Đặng Minh Hải CÁC TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ VÀ MỐI LIÊN HỆ GIỮA CHÚNG TRONG DẠY HỌC TOÁN PHỔ THÔNG Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán Mã số : 60 14 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS.LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG Thành phố Hồ Chí Minh - 2009 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, tôi xin chân thành biết ơn TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung, người đã nhiệt tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này. Tôi xin trân trọng cảm ơn PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS. Lê Văn Tiến, TS. Trần Lương Công Khanh, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung đã nhiệt tình giảng dạy, truyền thụ cho chúng tôi những kiến thức về Didactic toán, PGS.TS. Claude Comiti, PGS.TS. Annie Bessot, TS. Alain Birebent đã đóng góp những ý kiến định hướng cho đề tài. Xin cảm ơn các anh chị cùng khóa đã quan tâm, giúp đỡ tôi. Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình, đặc biệt là vợ tôi, người đã luôn động viên tôi trong quá trình thực hiện luận văn. Tác giả Đặng Minh Hải DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT HS : Học sinh GV : Giáo viên GK NC10 : Sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao hiện hành GK NC11 : Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 nâng cao hiện hành GK NC12 : Sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao hiện hành GK CB10 : Sách giáo khoa Đại số 10 cơ bản hiện hành GK CB11 : Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 cơ bản hiện hành GK CB12 : Sách giáo khoa Giải tích 12 cơ bản hiện hành GV NC10 : Sách giáo viên Đại số 10 nâng cao hiện hành GV NC11 : Sách giáo viên Đại số và Giải tích 11 nâng cao hiện hành GV NC12 : Sách giáo viên Giải tích 12 nâng cao hiện hành GV CB10 : Sách giáo viên Đại số 10 cơ bản hiện hành GV CB11 : Sách giáo viên Đại số và Giải tích 11 cơ bản hiện hành GV CB12 : Sách giáo viên Giải tích 12 cơ bản hiện hành SGK : Sách giáo khoa SGV : Sách giáo viên DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 2.1. Thống kê số lượng nhiệm vụ liên quan đến “khảo sát tính đơn điệu của hàm số” 28 Bảng 3.1. Thống kê các câu trả lời tình huống 1 74 Bảng 3.2. Thống kê các câu trả lời tình huống 2 76 Bảng 3.3. Thống kê các câu trả lời tình huống 3 82 Bảng 3.4. Thống kê câu trả lời pha 1 94 Bảng 3.5. Thống kê câu trả lời pha 2 96 MỞ ĐẦU 1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát Trong chương trình toán ở trường phổ thông, các tính chất đơn điệu, liên tục, khả vi của hàm số được huy động để giải quyết kiểu nhiệm vụ quan trọng: khảo sát hàm số (lớp 12). Liên quan đến kiểu nhiệm vụ này, chương trình chủ yếu nghiên cứu các loại hàm số sau: hàm bậc nhất y=ax+b, hàm bậc hai y=ax 2 +bx+c, hàm đa thức bậc 3 y=ax 3 +bx 2 +cx+d, hàm đa thức bậc bốn trùng phương y=ax 4 +bx 2 +c, hàm phân thức ax b y cx d    (c≠0, ad-bc≠0), hàm phân thức 2 ax bx c y a' x b'     (a≠0, a’≠0) 1 . Có thể thấy rõ một đặc trưng chung là các hàm số này đồng thời liên tục và khả vi trên các khoảng đơn điệu của nó. Với tư cách đối tượng 2 , các khái niệm hàm số đơn điệu, hàm số liên tục, hàm số khả vi đã được nghiên cứu ở các lớp 10, 11. Điều này khiến chúng tôi tự hỏi rằng: mối liên hệ giữa ba khái niệm hàm số đơn điệu, hàm số liên tục, đạo hàm được thể hiện như thế nào? Có chênh lệch gì so với các mối liên hệ của chúng ở cấp độ tri thức khoa học? Khi chúng tôi học gi ải tích ở bậc đại học, các giảng viên luôn nhấn mạnh mối liên hệ liên tục-khả vi, đặc biệt là tính chất “một hàm số liên tục tại một điểm có thể không khả vi tại điểm đó”. Các minh họa bằng đồ thị theo sau các chứng minh chặt chẽ trên các phản ví dụ đã giúp chúng tôi hiểu rõ vấn đề, đặc biệt nhờ trực giác hình học, chúng tôi có thể dễ dàng xây dự ng các phản ví dụ kiểu này. Như vậy, đồ thị là công cụ hữu hiệu trong việc minh họa trực quan mối liên hệ liên tục-khả vi. Ở phổ thông, điều này có được tính đến không ? Rộng hơn, đồ thị có được tính đến như một công cụ cho phép làm rõ các mối liên hệ giữa ba đối tượng: đơn điệu, liên tục, khả vi của hàm số không ? Từ những vấn đề trên, chúng tôi th ấy việc nghiên cứu “Các tính chất của hàm số và mối liên hệ giữa chúng trong dạy học Toán phổ thông” là cần thiết. 2. Phạm vi lý thuyết tham chiếu Nhằm tìm kiếm câu trả lời cho các câu hỏi trên, chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi lý thuyết didactic toán, cụ thể là lý thuyết nhân chủng học với các khái niệm : 1 Chỉ đề cập trong SGK nâng cao. 2 Theo Lê Văn Tiến (2005): “Trong phạm vi toán học ở trường phổ thông, ta hiểu một khái niệm hoạt động dưới dạng Đối tượng khi nó là đối tượng được nghiên cứu (được nghiên cứu, được khai thác các tính chất,…)” [19, tr.56] Chuyển đổi didactic, tổ chức toán học, mối quan hệ thể chế và mối quan hệ cá nhân với một đối tượng tri thức. Đây là công cụ hữu hiệu làm rõ mối quan hệ thể chế với mối liên hệ giữa tính đơn điệu, tính liên tục và sự khả vi của hàm số. Bên cạnh đó, lý thuyết tình huống với các khái niệm: tình huống dạy học, biến didactic, môi trường được sử d ụng nhằm xây dựng các tình huống thực nghiệm. Ngoài ra, khái niệm hợp đồng didactic sẽ được sử dụng nhằm một mặt làm rõ mối quan hệ thể chế, mặt khác khái niệm này giúp giải thích các ứng xử của học sinh liên quan đến mối liên hệ giữa tính đơn điệu, tính liên tục và sự khả vi của hàm số. Trong phạm vi lý thuyết đã lựa chọn, từ các câu hỏi ban đầu, chúng tôi phát biểu các câu hỏi nghiên cứu như sau: Q1: Ở cấp độ tri thức khoa học, có thể có những mối liên hệ nào giữa tính đơn điệu, tính liên tục và sự khả vi của hàm số? Q2: Trong thể chế dạy học toán phổ thông Việt Nam, mối quan hệ thể chế với mối liên hệ giữa tính đơn điệu, tính liên tụ c và sự khả vi của hàm số được hình thành ra sao? Có những đặc trưng và ràng buộc nào? So với tri thức khoa học, mối liên hệ nào được đặt ra? Mối liên hệ nào không được đặt ra? Vì sao? Sự biểu diễn hàm số bằng hệ thống biểu đạt đồ thị có được tính đến như một môi trường cho phép làm rõ mối liên hệ giữa các đối tượng: tính đơn điệu, tính liên tục và sự khả vi của hàm số không? Q3: Những ràng buộc của thể chế ảnh hưởng thế nào đến mối quan hệ cá nhân của học sinh? 3. Mục đích và phương pháp nghiên cứu Trong khuôn khổ một luận văn thạc sĩ, bám sát những câu hỏi đã đặt ra, chúng tôi giới hạn vấn đề nghiên cứu của mình trên các mối liên hệ giữa ba tính chất đơn điệu, liên tục, khả vi của hàm số. Mục đích của luận văn là đi tìm một số yếu tố cho phép trả lời các câu hỏi nghiên cứu Q1, Q2, Q3 đã đặt ra ở trên. Trên cơ sở đó, chúng tôi sẽ tiế n hành những nghiên cứu sau: -Nghiên cứu tri thức ở cấp độ tri thức khoa học về các mối liên hệ giữa tính đơn điệu, tính liên tục và sự khả vi của hàm số bằng cách phân tích một số giáo trình đại học tiêu biểu. Nghiên cứu này trả lời câu hỏi Q1 và dùng làm tham chiếu khi phân tích các mối liên hệ giữa tính đơn điệu, tính liên tục và sự khả vi của hàm số ở phổ thông. -Nghiên cứu mối quan hệ thể chế trên các mối liên hệ giữa tính đơn điệu, tính liên tục và sự khả vi của hàm số nhằm tìm câu trả lời cho câu hỏi Q2. Để thực hiện nghiên cứu này, chúng tôi tiến hành phân tích chương trình và SGK hiện hành trên cơ sở tham chiếu những kết quả đạt được từ nghiên cứu tri thức ở cấp độ tri thức toán học. Kết thúc phần này, chúng tôi đề xuất các giả thuy ết nghiên cứu liên quan đến quan niệm của học sinh dưới ảnh hưởng của mối quan hệ thể chế và đặt ra câu hỏi nghiên cứu mới. -Nghiên cứu thực nghiệm, nghiên cứu ảnh hưởng của mối quan hệ thể chế lên mối quan hệ cá nhân của HS. Nghiên cứu này nhằm trả lời một phần câu hỏi Q3 và câu hỏi được đặt ra liên quan đến đồ thị. 4. Tổ chức của luận văn Luận văn gồm phần mở đầu, 3 chương và kết luận chung. Trong phần mở đầu, chúng tôi trình bày câu hỏi ban đầu, khung lý thuyết tham chiếu, mục đích và phương pháp nghiên cứu, tổ chức của luận văn. Chương 1 là phần trình bày nghiên cứu tri thức ở cấp độ tri thức khoa học từ việc phân tích một số giáo trình đại học. Trong chương 2, chúng tôi trình bày phần nghiên cứu mối quan hệ thể chế vớ i mối liên hệ giữa ba đối tượng tính đơn điệu, tính liên tục và sự khả vi của hàm số. Trên cơ sở đó, chúng tôi đề xuất các giả thuyết nghiên cứu và đặt câu hỏi mới. Chương 3 là phần nghiên cứu thực nghiệm. Thực nghiệm thứ nhất nhằm kiểm chứng tính thỏa đáng của giả thuyết đã nêu và tìm kiếm các yếu tố trả lời cho câu hỏi được đặt ra ở cuối chương 2. Thực nghiệm thứ hai nhằm tìm hiểu tác động của đồ thị lên mối quan hệ cá nhân của học sinh Phần kết luận, chúng tôi tóm tắt những kết quả đã nghiên cứu và đề xuất hướng nghiên cứu mới mở ra từ luận văn. Chương 1 : MỐI LIÊN HỆ GIỮA BA ĐỐI TƯỢNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU, TÍNH LIÊN TỤC VÀ SỰ KHẢ VI CỦA HÀM SỐ Ở CẤP ĐỘ TRI THỨC KHOA HỌC Mục tiêu của chương là tìm câu trả lời cho câu hỏi sau : Ở cấp độ tri thức khoa học, có thể có những mối liên hệ nào giữa tính đơn điệu, tính liên tục và sự khả vi của hàm số? Để đạt được mục tiêu này, chúng tôi chọn nghiên cứu các giáo trình :  [21]-Nguyễn Đình Trí (2008)-Toán học cao cấp tập 2-Phép tính giải tích một biến số-Nhà Xuất Bản Giáo Dục.  [22]-Jean-Marie Monier (2002)-Giáo trình toán tập 1-Giải tích 1 -Nhà xuất bản Giáo dục. [21] là giáo trình toán được dùng phổ biến trong các trường đại học ở Việt Nam. [22] là cuốn sách được xuất bản trong khuôn khổ chương trình đào tạo kĩ sư chất lượng cao tại Việt Nam, với sự trợ giúp của bộ phận Văn hóa và Hợp tác của Đại Sứ quán Pháp tại nước Cộng hòa Xã hội chủ nghĩa Việt Nam. Đây là hai tài liệu tham khảo chính. Ngoài ra, ở mộ t số nội dung, để làm rõ vấn đề chúng tôi cũng tham khảo thêm :  [6]-Fichtengon (1977) – Cơ sở Giải tích toán học - NXB Đại học và Trung học chuyên nghiệp.  [23]-Richard F. Bass (2009), Real Analysis, (www.math.uconn.edu/~bass/meas.pdf).  [24]-Israel Kleiner (1989), Evolution of the Function Concept: A Brief Survey, The College Mathematics Journal, Vol. 20, No. 4 (Sep), tr.282-300 Mathematical Association of America.  [25]-Discontinuous and monotone Functions (www.mathcs.org/analysis/reals/cont/disconti.html) Như vậy, chúng tôi chỉ giới hạn nghiên cứu các mối liên hệ có thể có giữa 3 đối tượng tính đơn điệu, tính liên tục và sự khả vi của hàm số trong các giáo trình đã chọn. Trước hết, chúng tôi điểm qua các khái niệm tính đơn điệu, tính liên tục và sự khả vi của hàm số nhằm tìm hiểu xem các mối liên hệ giữa chúng có được thể hiện trong các định nghĩa không ? Sau đó, chúng tôi xem xét các mối liên hệ được thể hiện trong các định lí, tính chất liên quan đến ba đối tượng này. 1.1 Các khái niệm đơn điệu, liên tục, khả vi 1.1.1 Khái niệm hàm số đơn điệu [21] đưa vào định nghĩa như sau: “ NếuJ  I R 1 , hàm số f:I→R được gọi là tăng trên J nếu 12 1 2 1 2 ,, ()() x x Jx x fx fx  Tăng nghiêm ngặt trên J nếu 12 1 2 1 2 ,, ()() x x Jx x fx fx  Giảm trên J nếu 12 1 2 1 2 ,, ()() x x Jx x fx fx  Giảm nghiêm ngặt trên J nếu 12 1 2 1 2 ,, ()() x x Jx x fx fx  Hàm số tăng hay giảm trên J được gọi là đơn điệu trên J.” [21, tr.46] Định nghĩa hàm đơn điệu trong [22]: “ Cho () X R và X f R 2 1)Ta nói f tăng khi và chỉ khi : 2 12 12 1 2 1 2 (, ) ,(, , () ()) x xXxxXxxfxfx  2) Ta nói f giảm khi và chỉ khi : 2 12 12 1 2 1 2 (, ) ,(, , () ()) x xXxxXxxfxfx  3) Ta nói f tăng nghiêm ngặt khi và chỉ khi : 2 12 12 1 2 1 2 (, ) ,(, , () ()) x xXxxXxxfxfx  4) Ta nói f giảm nghiêm ngặt khi và chỉ khi : 2 12 12 1 2 1 2 (, ) ,(, , () ()) x xXxxXxxfxfx  5)Ta nói f đơn điệu khi và chỉ khi f tăng hoặc f giảm. 6)Ta nói f đơn điệu nghiêm ngặt khi và chỉ khi f tăng nghiêm ngặt hoặc f giảm nghiêm ngặt. ” 3 [22, tr.103] Nhận xét : Theo cách trình bày của [21] và [22], khái niệm hàm số đơn điệu được xét trên một tập con bất kì khác rỗng của R. Cả [21] và [22] đều phân biệt “tăng (giảm)” với “tăng (giảm) 1 Trong [21] kí hiệu A  B nghĩa là mọi phần tử của A đều thuộc B hay A là tập con của B, A  B nghĩa là mọi phần tử của A đều thuôc B, và B có ít nhất một phần tử không thuôc A hay A là tập con thực sự của B. 2 P(R) là tập các tập con của R, R X là tập các hàm số từ X vào R. 3 f là hàm số từ X vào R. nghiêm ngặt”. [21] dùng thuật ngữ đơn điệu để chỉ hàm tăng hay giảm còn trong trường hợp hàm “tăng (giảm) nghiêm ngặt” thì không có một thuật ngữ chung. [22] thì nêu rõ “ Ta nói f đơn điệu khi và chỉ khi f tăng hoặc f giảm.” và “Ta nói f đơn điệu nghiêm ngặt khi và chỉ khi f tăng nghiêm ngặt hoặc f giảm nghiêm ngặt.” . Từ đây về sau, trong luận văn này, khi nói hàm đơn điệu ta hiểu hàm tăng hay giảm, khi nói hàm đơn điệu ngặt ta hiểu hàm tăng hay giảm nghiêm ngặt. 1.1.2 Khái niệm hàm số liên tục  Liên tục tại một điểm “ Cho f(x) là một hàm số xác định trên (a,b); nói rằng f(x) liên tục tại (,) o x ab nếu lim ( ) ( ) o o xx f xfx   ” [21, tr.89] “Cho f: I →K, aI . Ta nói f liên tục tại a khi và chỉ khi: 0, 0, ,( ( ) ( ) )xIxa fx fa           .” 4 [22, tr.120] Nhận xét: [21] và [22] định nghĩa khái niệm liên tục tại một điểm theo hai cách khác nhau. [21] thông qua khái niệm giới hạn (tránh ngôn ngữ ,   ), [22] định nghĩa trực tiếp bằng ngôn ngữ ,   (định nghĩa của Weierstrass). Ngay sau định nghĩa trên, [22] đưa ra định lý: “Cho : f IK , aI . Để f liên tục tại a thì điều kiện cần và đủ là f có giới hạn là f(a) tại điểm a. ”[22, tr.120], khẳng định sự tương đương của hai định nghĩa trên. Tiếp theo định nghĩa về sự liên tục của hàm tại một điểm, [21] và [22] đều đưa ra định nghĩa về điểm gián đoạn và phân loại chúng: “Hàm số f(x) không liên tục tại điểm o x được gọi là gián đoạn tại điểm ấy. Giả sử hàm f xác định trên đoạn [a,b], [,] o x ab  là một điểm gián đoạn của f . Ta nói o x là điểm gián đoạn bỏ qua được nếu (0)(0) oo fx fx   5 ; o x là điểm gián đoạn loại một nếu (0),(0) oo f xRfxR  nhưng (0)(0) oo fx fx , hiệu (0)(0) oo fx fx  được gọi là bước nhảy của f tại o x ; o x được gọi là điểm gián đoạn loại hai nếu nó không thuộc hai loại trên.” [21, tr.90] “Ta nói f gián đoạn tại a khi và chỉ khi f không liên tục tại a. 4 I là một trong chín loại khoảng của R: [a,b], [a,b), (a,b], (a,b), (-∞;a), (-∞;a], (b,+∞), [b,+∞), (-∞;+∞). K là  hoặc R. Trong luận văn này, ta hiểu K là R. 5 (0)lim() o o xx f xfx    , (0)lim() o o xx f xfx    [...]... nào liên quan? Chương 2 MỐI LIÊN HỆ GIỮA BA ĐỐI TƯỢNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU, TÍNH LIÊN TỤC VÀ SỰ KHẢ VI CỦA HÀM SỐ Ở CẤP ĐỘ TRI THỨC CẦN GIẢNG DẠY Mục tiêu chính của chương là làm rõ mối quan hệ thể chế với các mối liên hệ giữa tính đơn điệu, tính liên tục và sự khả vi của hàm số Cụ thể, đối với từng mối liên hệ chúng tôi sẽ tập trung tìm câu trả lời cho các câu hỏi được đặt ra ở cuối chương 1 Thể chế mà chúng. .. một hàm số không khả vi tại một điểm nào đó nếu đồ thị của nó không có tiếp tuyến tại điểm đó 1.1.4 Kết luận Xét trên định nghĩa thì các khái niệm hàm số đơn điệu, hàm số liên tục, hàm số khả vi được định nghĩa một cách độc lập nhau Các mối liên hệ giữa ba đối tượng này không được thể hiện trong các định nghĩa của chúng 1.2 Mối liên hệ giữa ba khái niệm hàm số đơn điệu, hàm số liên tục và hàm số khả... tôi tiến hành nghiên cứu mối quan hệ thể chế ở chương 2, nghiên cứu này nhằm tìm câu trả lời cho câu hỏi Q2 : Q2: Trong thể chế dạy học toán phổ thông Việt Nam, mối quan hệ thể chế với mối liên hệ giữa tính đơn điệu, tính liên tục và sự khả vi của hàm số được hình thành ra sao? Có những đặc trưng và ràng buộc nào? So với tri thức khoa học, mối liên hệ nào được đặt ra? Mối liên hệ nào không được đặt ra?... định lí này Chúng ta đều biết rằng, các hàm sơ cấp liên tục trên miền xác định của chúng Từ sự liên tục của hàm hằng và hàm số y = x, ta dễ dàng chứng minh được sự liên tục của hàm đa thức, phân thức trên tập xác định của chúng bằng cách dùng các định lí về tổng, hiệu, tích, thương của các hàm liên tục Nhưng việc chứng minh sự liên tục của các hàm sơ cấp cơ bản khác: hàm mũ y = ax (a>1), hàm lôgarit... thiệu tính biến thiên của các hàm số: hàm số bậc nhất y = ax+b, hàm bậc nhất trên từng khoảng, hàm số y  ax  b và hàm số bậc 2 Đối với hàm bậc nhất y = ax+b tính biến thiên của nó đã được học ở lớp 9, nên GKNC10 chỉ nhắc lại, tính biến thiên của các hàm số còn lại đều được nghiên cứu theo dựa trên đồ thị của chúng, nghĩa là kĩ năng “đọc đồ thị” đi kèm với nó là kĩ thuật xét tính biến thiên của hàm số. .. khoảng và trên một đoạn, tính liên tục của các hàm số thường gặp trên tập xác định của chúng và hiểu được định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục cũng như ý nghĩa hình học của định lí này Về kĩ năng Giúp học sinh biết cách chứng minh hàm số liên tục tại một điểm, trên một khoảng, trên một đoạn và áp dụng định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục để chứng minh sự tồn tại nghiệm của một số. .. trước và đối với các hàm đơn giản (như hàm số bậc nhất, hàm số bậc hai, và hàm số phân tuyến tính) Hơn nữa, các bài toán này chỉ nhằm giúp học sinh nắm vững khái niệm mà thôi Yêu cầu chủ yếu của bài này là học sinh phải biết dựa vào đồ thị để suy ra sự biến thiên của hàm số, đồng thời biết cách lập bảng biến thiên của nó” [GKNC10, tr.70] Như vậy, liên quan đến khảo sát tính biến thiên của hàm số, kiểu... biểu diễn hàm số bằng hệ thống biểu đạt đồ thị có được tính đến như một môi trường cho phép làm rõ mối liên hệ giữa các đối tượng: tính đơn điệu, tính liên tục và sự khả vi của hàm số không? Cụ thể hơn, đối với từng cực chúng tôi đặc biệt quan tâm đến việc tìm câu trả lời cho các câu hỏi sau: Đơn điệu -Liên tục Những tính chất liên quan đến mối liên hệ đơn điệu -liên tục được thể hiện như thế nào trong SGK... lập bảng biến thiên hàm số bậc nhất, vẽ đồ thị hàm số này 4.Biết lập bảng biến thiên hàm số bậc hai và vẽ đồ thị hàm số này.”[GVCB10,tr.52] Trong GKCB10, liên quan đến tính biến thiên của hàm số chỉ có kiểu nhiệm vụ T: xét tính biến thiên của hàm số với ba kiểu nhiệm vụ con: Tb1: Khảo sát sự biến thiên của hàm số bậc nhất y  ax  b  a  0  T’b1: Khảo sát sự biến thiên của hàm số y  ax  b  a ... nghiên cứu mối quan hệ giữa tính đơn điệu của một hàm số có đạo hàm với dấu đạo hàm của nó Tuy khái niệm hàm số đơn điệu đã được chính thức giới thiệu ở lớp 10, cuối năm lớp 11 HS được học khái niệm đạo hàm nhưng đến đầu lớp 12 mối liên hệ đơn điệu - khả vi mới được đề cập Vì vậy, trong SGK nâng cao, chúng tôi chỉ chọn phân tích bài tính đơn điệu của hàm số - chương I: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ . của hàm số không ? Từ những vấn đề trên, chúng tôi th ấy việc nghiên cứu Các tính chất của hàm số và mối liên hệ giữa chúng trong dạy học Toán phổ thông . khoa học, có thể có những mối liên hệ nào giữa tính đơn điệu, tính liên tục và sự khả vi của hàm số? Q2: Trong thể chế dạy học toán phổ thông Việt Nam, mối