1 TRUONGHOCSO.COM MÃ SỐ D7 Hướng dẫn giải gồm 04 trang TUYỂN TẬP ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2012 - 2013 Môn thi: TOÁN; Khối: D Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số 4 2 1 y x x    . 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 2. Tìm tọa độ các điểm A nằm trên đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến tại A cắt đồ thị (C) tại hai điểm B, C khác A và B, C nằm về hai phía đối với A. Hướng dẫn: 1. Bài toán cơ bản, học sinh tự giải. 2. Tọa độ điểm A thuộc đồ thị   4 2 ; 1 A a a a   . Đạo hàm 3 ' 4 2 y x x   . Phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) tại điểm A là     3 4 2 : 4 2 1 d y a a x a a a       . Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng d và (C) là             2 3 4 2 4 2 2 2 2 2 4 2 1 1 2 3 0 2 3 0 1 x a a a x a a a x x x a x ax a a f x x ax a a                         Hai nghiệm phân biệt 1 2 , x x khác a của (1) tương ứng là hoành độ hai điểm B và C. Áp dụng định lý Viete ta có 1 2 2 1 2 2 3 x x a x x a a         Theo yêu cầu bài toán thì    2 1 2 1 0 2 0 1 2 0 1 6 0 0 6 a a a a x a x a a                             . Các điểm A cần tìm thuộc đồ thị hàm số và có hoành độ a thỏa mãn 1 0 6 a   . Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình     10 5 5 2 1x x x x       . Hướng dẫn: Điều kiện 0 5 x   . Phương trình đã cho tương đương với     2 10 5 5 2 1 2 5 5 5 2 0 x x x x x x x x           . Đặt 5 ( 0) x t t    thu được        2 2 2 5 1 2 2 5 2 0 2 2 0 2 2 5 2 x x x t t xt x x t x t x t x x                       Phương trình (1) tương đương với 2 0 5 1 4 5 x x x x          . Phương trình (2) tương đương với   2 0 5 2 6 2 4 5 x x x x             . Phương trình đã cho có hai nghiệm   1;2 6 2 x   . 2 Câu 3 (1,0 điểm). Giải phương trình 3 8cos os3 3 x c x          . Hướng dẫn: Đặt 3 3 3 x t x t        , phương tình đã cho tương đương với         3 3 2 8cos os 3 8cos os3 3cos 4cos 1 0 cos 2cos2 1 0 cos 0 6 2 1 os2 2 2 3 3 t c t t c t t t t t x k t t k x k k c t t k x k                                                         Câu 4 (1,0 điểm). Tính thể tích khối chóp S.ABC biết , , 3 2 a AB AC a BC SA a     và 30 SAB SBC     . Hướng dẫn: Ta có , AB AC SAB SAC     , suy ra SAB SAC    , suy ra , SB SC SM BC   . AB AC AM BC    , 2 2 2 2 2 . cos30 SC SA AC SA AC a        SC a AC CH SA SA BCH        . 2 SBCH ABCH SABC SBCH HS HA V V V V     . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 15 16 15 3 3 3 16 4 16 4 1 3 . 2 16 1 . 3 32 16 BCH SBCH BCH SABC a SM SC CM a a a a HM SM SH HM S BC HM a a a V SH S V                   Câu 5 (1,0 điểm). Tính tích phân ln7 2 ln3 1 7 8 x x x x e e I dx e e      . Hướng dẫn:          ln7 ln7 ln7 2 ln3 ln3 ln3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 7 8 1 8 1 8 1 1 2 ; ln7 2 2; ln3 2 2 1 1 1 1 3 1 ln ln5 3 2 2 3 3 3 3 3 3 9 x x x x x x x x x x x x x x e e e e e I dx dx dx e e e e e e e t e t tdt e dx x t x t tdt t I dt t t t t t                                                     3 Câu 6 (1,0 điểm). Cho các số thực dương , , x y z thỏa mãn điều kiện 1 xy yz zx    . Tìm giá trị lớn nhất của 2 2 2 1 1 1 x y z P x y z       . Hướng dẫn: Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có          2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 . . . 2 1 3 2 2 x y z x x x P x y z x xy yz xz x xy yz xz x xy yz xz x y z P x y x z y z y x z x z y x x y y z z x x y y z z P x y x z x y y z z y x z x y x z x y y z z y x z x y y z z x P x y y z z x                                                                       Giá trị lớn nhất của P là 3 2 , đạt được khi 1 3 x y z   . II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B) A. Theo chương trình Chuẩn Câu 7.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có phương trình đường phân giác trong góc A là 2 5 0 x y    , đường cao đi qua A có phương trình 4 13 10 0 x y    , tọa độ đỉnh   4;3 C . Tìm tọa độ đỉnh B của tam giác. Hướng dẫn: Tọa độ đỉnh A thỏa mãn hệ phương trình   4 13 10 0 9 9; 2 : 7 0 2 5 0 2 x y x A AC x y x y y                       Gọi E là điểm đối xứng với C qua đường phân giác góc A, suy ra E thuộc AB , F là trung điểm của CE. Phương trình đường thẳng CE qua C và vuông góc với phân giác trong góc A : 2 5 0 x y    . Tọa độ F là nghiệm của hệ     2 5 0 3;1 2; 1 2 5 0 x y F E x y             . Phương trình đường thẳng AB đi qua hai điểm A, E : 7 5 0 x y    . Phương trình đường thẳng BC đi qua   4;3 C và vuông góc với đường cao đi qua A : 13 4 40 0 x y    . Tọa độ đỉnh B là nghiệm của hệ 13 4 40 0 52 21 ; 7 5 0 19 19 x y B x y                  . Câu 8.a (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm     2;0; 2 , 0;3; 3 A B    , lập phương trình mặt phẳng đi qua điểm A sao cho khoảng cách từ B đến mặt phẳng đó đạt giá trị lớn nhất. Hướng dẫn: Ta có   2;3; 1 AB    . Gọi mặt phẳng cần tìm là  , H là hình chiếu vuông góc của B trên mặt phẳng  . Nhận xét rằng BH BA  , BH lớn nhất khi H trùng với A. Mặt phẳng cần tìm đi qua A và vuông góc với đường thẳng AB :   :2 3 2 0 x y z      . 4 Câu 9.a (1,0 điểm). Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5 lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau sao cho các số đó đều chia hết cho 4 ? Hướng dẫn: Giả sử số cần lập có dạng abcd , theo dấu hiệu chia hết cho 4 thì   04;12;20;24;32;40;52 cd  . Xét hai trường hợp   , 12;24;32;52 i cd  Ta có 4 cách chọn cd, có 3 cách chọn a khác 0 và 3 cách chọn b trong các số còn lại, như vậy có 4.3.3 36  số.   , 04;40;20 ii cd  Ta có 3 cách chọn cd, tương ứng có 4 cách chọn a và 3 cách chọn b, và như vậy sẽ có 3.4.3 36  . Kết hợp hai trường hợp, có tất cả 72 số thỏa mãn yêu cầu bài toán. B. Theo chương trình Nâng cao Câu 7.b (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm     3;5; 5 , 5; 3;7 A B   và mặt phẳng có phương trình   : 0 P x y z    . Xác định tọa độ điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho 2 2 MA MB  đạt giá trị nhỏ nhất. Hướng dẫn: Tọa độ trung điểm H của đoạn AB :   1;1;1 H .Theo công thức trung tuyến 2 2 2 2 2 1 2 2 136 2 MA MB MH AB MH     . Do đó 2 2 MA MB  đạt giá trị nhỏ nhất khi MH nhỏ nhất, khi đó M là hình chiếu vuông góc của H trên mặt phẳng (P). Phương trình đường thẳng d đi qua   1;1;1 H và vuông góc với (P): 1 1 1 x y z      . Tọa độ M thỏa mãn hệ phương trình   1 1 1 0;0;0 0 x y z M O x y z              . Câu 8.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho ellipse có phương trình   2 2 : 1 9 4 x y E   , một góc vuông MON quay xung quanh gốc tọa độ O ( M và N thuộc ellipse). Chứng minh 2 2 1 1 OM ON  không đổi. Hướng dẫn: Đặt       , 0 2 , 2 Ox OM Ox ON                . Tọa độ điểm   ; M OMcos OMsin   .     2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos sin 1 cos sin 1 9 4 9 4 sin os 1 sin os 1 9 4 9 4 OM OM M E OM ON ON c c N E ON                       Suy ra 2 2 2 2 2 2 1 1 sin os sin os 13 9 4 36 c c OM ON           (không đổi). Câu 9.b (1,0 điểm). Với mọi số nguyên dương n, khai triển nhị thức 1 3 n x        theo thứ tự lũy thừa của x giảm dần, tìm hạng tử chính giữa của khai triển biết hệ số của hạng tử thứ ba là 5. Hướng dẫn: Theo bài ra ta có 0 1 1 2 2 1 1 1 1 3 3 9 3 n n n n n n n n n n x C x C x C x C                      . Hệ số của hạng tử thứ ba tương ứng với   2 2 1 ! 5 45 90 0 10 9 2! 2 ! n n C n n n n           .Khi đó khai triển trên có 11 hạng tử, hạng tử chính giữa là hạng tử thứ 6. Ta có hạng tử cần tìm là 5 5 5 5 10 1 28 3 27 C x x          . . TRUONGHOCSO.COM MÃ SỐ D7 Hướng d n giải gồm 04 trang TUYỂN TẬP ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2012 - 2013 Môn thi: TOÁN; Khối: D Thời gian làm bài:. chữ số 0,1,2,3,4,5 lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau sao cho các số đó đều chia hết cho 4 ? Hướng d n: Giả sử số cần lập có d ng abcd ,