Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải sáng tạo tốn nội dung “ Phương trình lượng giác xây dựng từ đẳng thức lượng giác Guide the eleventh grade student to solve and create the new mathematical problems about the content "trigonometric equation constructed from trigonometric equalities NXB H : ĐHGD, 2012 Số trang 97 tr + Hoàng Thị Hiền Trường Đại học Giáo dục Luận văn ThS ngành: Lý luận phương pháp dạy học; Mã số:601410 Người hướng dẫn: PGS TS Nguyễn Vũ Lương Năm bảo vệ: 2012 Abstract Trình bày sở lý luận hướng dẫn học sinh giải toán; sáng tạo toán thực tiễn việc dạy học toán Nghiên cứu phương pháp hướng dẫn học sinh giải sáng tạo tốn nội dung phương trình lượng giác chứa đẳng thức lượng giác Tiến hành thực nghiệm sư phạm để đánh giá thính khả thi biện pháp đề xuất Keywords: Toán học; Phương pháp dạy học; Phương trình lượng giác; Bài tập; Đẳng thức lượng giác Content Lý chọn đề tài Nghị Trung ương (Khóa IX) Đảng xác định: “Cùng với giáo dục đào tạo, nghiên cứu khoa học quốc sách hàng đầu” Công công nghiệp hóa, đại hóa đất nước đặt yêu cầu nguồn lao động chất lượng cao, có đội ngũ giáo viên cấp học, bậc học, từ giáo dục phổ thông đến giáo dục đại học, sau đại học Mơn Tốn mơn học quan trọng trương trình giáo dục THPT Mục đích việc đổi phương pháp dạy học nói chung, mơn tốn trường THPT nói riêng khuyến kích tính tích cực, chủ động, khắc phục thói quen học tập thụ động học sinh Nói cách khác, học sinh học tập hoạt động hoạt động tự giác, tích cực sáng tạo Đổi phương pháp dạy học môn tốn góp phần trực tiếp nâng cao chất lượng giáo dục nói chung, giáo dục trung học phổ thơng nói riêng Ở trường THPT dạy toán dạy hoạt động tốn học cho học sinh, giải tốn đặc trưng chủ yếu hoạt động toán học học sinh Trong quãng đời học đến THPT, chắn học sinh giải nhiều tốn Khi đứng trước tốn khó, nhiều học sinh thường tự đặt cho câu hỏi, sáng tạo toán này, phương hướng giải tốn sao, giải tốn khơng, có sáng tạo tốn khơng Đó biểu ban đầu sáng tạo giải toán sáng tạo toán Để rèn luyện kỹ giải tốn cho học sinh ngồi việc trang bị tốt kiến thức cho học sinh, giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh biết cách khai thác, mở rộng kết toán để học sinh suy nghĩ, tìm tịi kết sau toán biết sáng tạo toán từ kiến thức liên quan Các toán sản phẩm sáng tạo cá nhân hay tập thể, xuất phát từ ý tưởng ban đầu từ hay nhiều toán trước Việc học sinh có thói quen lật lật lại vấn đề, tư mở rộng, đặt toán giúp họ thu điều quan trọng lời giải nhiều: nhận đâu kĩ thuật thay học thuộc hết chi tiết cách vơ nghĩa, qua giải thích giải cao trả lời câu hỏi người ta sáng tạo toán Tuy nhiên, thực tế không nhiều giáo viên học sinh làm điều Nhiều GV dạy tốn chưa có thói quen khai thác toán thành chuỗi toán liên quan, chưa quan tâm đến việc xây dựng toán Trong giải toán, giáo viên học sinh dừng lại việc tìm kết toán mà chưa biết tới tác giả đề xây dựng tốn đâu gốc toán Điều làm cho học sinh khó tìm mối liên hệ kiến thức học Vì vậy, bắt đầu giải toán mới, học sinh phải bắt đầu tư đâu, cần vận dụng kiến thức nào, từ đâu có tốn này, nội dung tốn có liên quan đến tốn kiến thức gặp Trong trình dạy tốn bồi dưỡng học sinh giỏi tốn tơi thấy rằng, việc tìm tịi mở rộng càc tốn quen thuộc thành tốn mới, tìm cách giải khác cho tốn để từ khắc sâu kiến thức cho học sinh phương pháp khoa học hiệu Quá trình càc toán đơn giản đến tập khó, sáng tạo tốn từ kiến thức bước phù hợp để rèn luyện lực tư cho HS Một điều chắn việc tìm tịi, mở rộng tốn tăng hứng thú học tập óc sáng tạo học sinh Từ giúp học sinh có sở khoa học phân tích, định hướng giải toán khác Hơn nữa, phương pháp giúp học sinh củng cố lòng tin vào khả học tốn Làm vậy, giáo viên nhen nhóm lên em học sinh tình yêu toán học phần minh hoạ cho ý tưởng dạy toán dạy cho học sinh biết sáng tạo Xuất phát từ lý chọn đề tài nghiên cứu: Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải sáng tạo toán nội dung “ Phương trình lượng giác xây dựng từ đẳng thức lượng giác” Nhiệm vụ nghiên cứu đề tài Thứ nhất, phương pháp hướng dẫn học sinh giải tập tốn học nói chung áp dụng vào hướng dẫn học sinh nội dung cụ thể là: Phương trình lượng giác xây dựng từ đẳng thức lượng giác Thứ hai, phương pháp hướng dẫn học sinh sáng tạo toán nói chung áp dụng vào hướng dẫn học sinh nội dung cụ thể là: Phương trình lượng giác xây dựng từ đẳng thức lượng giác Phạm vi nghiên cứu đề tài Đề tài tập trung nghiên cứu phương pháp hướng dẫn học sinh giải sáng tạo tốn nội dung phương trình lượng giác chứa đẳng thức lượng giác Giả thuyết nghiên cứu đề tài Nếu vận dụng số phương pháp dạy học tích cực để hướng dẫn học sinh giải sáng tạo toán nội dung “ Đẳng thức lượng giác phương trình chứa đẳng thức lượng giác” kích thích tư sáng tạo say mê tìm tịi khám phá học sinh Đối tƣợng khách thể nghiên cứu 5.1 Đối tượng nghiên cứu: Phương pháp hướng dẫn học sinh giải sáng tạo toán nội dung phương trình lượng giác chứa đẳng thức lượng giác 5.2 Khách thể nghiên cứu: Vận dụng số phương pháp dạy học tích cực để hướng dẫn học sinh giải sáng tạo toán Phƣơng pháp nghiên cứu + Phương pháp nghiên cứu tài liệu: - Nghiên cứu sở lý luận về: Khái niệm vị trí chức tập tốn học, phương pháp dạy học toán, khái niệm sáng tạo sáng tạo toán - Nghiên cứu tài liệu tốn học nội dung lượng giác, phương trình lượng giác + Phương pháp thực nghiệm, hỏi ý kiến chuyên gia… Cấu trúc khóa luận Ngồi phần mở đầu, kết luận, khuyến nghị, luận văn gồm có ba chương: Chương Cơ sở lý luận thực tiễn đề tài Chương Hướng dẫn học sinh giải sáng tạo tốn nội dung “ Phương trình lượng giác xây dựng từ đẳng thức lượng giác” Chương Thực nghiệm sư phạm CHƢƠNG CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI 1.1 Hƣớng dẫn học sinh giải tốn 1.1.1 Vị trí chức tập toán học 1.1.2 Cách dạy tập toán học 1.1.2.1 Cách dạy tập toán theo quan điểm kiến tạo 1.1.2.2 Quy trình giải toán theo bốn bước Polya Theo Polya, để học sinh tự tìm lời giải tốn, người thầy cần hướng dẫn học sinh cách giải tập theo bốn bước sau đây: Bước 1: Hiểu rõ toán Bước : Xây dựng chương trình giải Bước : Thực chương trình giải Bước : Khảo sát lời giải tìm 1.1.3 Phương pháp dạy học khám phá có hướng dẫn 1.1.4 Phương pháp dạy học giải vấn đề 1.1.5 Phương pháp dạy học theo dự án 1.1.6 Dạy học theo phương pháp hướng dẫn học sinh tự nghiên cứu 1.2 Sáng tạo toán 1.2.1 Một số khái niệm sáng tạo 1.2.2 Khái niệm ví dụ tốn Ví dụ tốn Từ đẳng thức cụ thể sau cot x  tan x  2cot x Sử dụng chiều thuận đẳng thức dễ dàng xây dựng phương trình lượng giác từ phương trình lượng giác phuơng trình đại số Ví dụ Từ phương trình x  x  ta xây dựng phương trình lượng giác 8cot x  cot x   tan x Từ phương trình cot x  ta xây dựng phương trình 2cot x  tan x  2cot x  Từ phương trình x   x  ta xây dựng phương trình lượng giác 2cot x   tan x  cot x  Nếu biết B  2cot x khơng thể tìm A nhờ phép biến đổi, tốn nhận khó nhiều Ví dụ phương trình cot x  2cot x  tan x  Khi phải dùng đến kết 2cot x  cot x  tan x thu phương trình đơn giản cot x  cot x  Phương trình tan x  4cot x  cot x dùng biến đổi 2cot x  cot x  tan x ta thu 2 phương trình đơn giản tan x  tan x   1.2.3 Hướng dẫn học sinh sáng tạo toán 1.3 Thực tiễn việc dạy học Toán Ở trường THPT dạy toán dạy hoạt động toán học cho học sinh, giải tốn đặc trưng chủ yếu hoạt động toán học học sinh Trong quãng đời học đến THPT, học sinh giải nhiều tốn, hẳn có khó với câu hỏi chất chứa thắc mắc sáng tạo toán từ đâu mà có, làm việc khơng? Nếu thắc mắc xuất đáng mừng, biểu ban đầu sáng tạo Để rèn luyện kỹ giải tốn cho học sinh ngồi việc trang bị tốt kiến thức cho học sinh giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh biết cách khai thác, mở rộng kết toán để học sinh suy nghĩ tìm tịi kết qua sau toán biết sáng tạo toán từ kiến thức liên quan Chúng ta biết toán mà gặp từ trời rơi xuống mà thường người ta từ vài ý tưởng đó, thêm vào nhiều sáng tạo đặt Việc học sinh có thói quen lật lật lại vấn đề, suy nghĩ mở rộng, đặt toán giúp bạn thu điều quan trọng lời giải nhiều: nhận đâu kĩ thuật thay học thuộc hết chi tiết cách vơ nghĩa, qua giải thích giải cao trả lời câu hỏi nghĩ tốn Nhưng thật tiếc thực tế chưa làm điều cách thường xuyên Phần lớn GV chưa có thói quen khai thác toán thành chuỗi toán liên quan, chưa quan tâm đến việc xây dựng toán Trong giải tốn dừng lại việc tìm kết toán mà chưa biết tới tác giả đề xây dựng tốn đâu gốc tốn Điều làm cho học sinh khó tìm mối liên hệ kiến thức học Cho nên bắt đầu giải toán học sinh phải bắt đầu tư đâu? Cần vận dụng kiến thức nào? Từ đâu có tốn này? Bài tốn có liên quan đến tốn kiến thức gặp? Như vậy, dạy học tốn trường phổ thơng nằm gọn khuôn khổ sách giáo khoa, giáo viên học sinh cố gắng đạt chuẩn chương trình quy định Điều làm cho giáo viên động lực nghiên cứu, nâng cao trình độ, đồng thời làm hạn chế sáng tạo học sinh Đã đến lúc, việc dạy học nói chung, dạy học tốn nói riêng cần phải có đổi tích cực phương pháp nội dung để đạt hiệu cao dạy học Kết luận chƣơng Trong chương 1, tác giả trình bày quan điểm vị trí chức tầm quan trọng tập toán học học toán, đồng thời cách hướng dẫn học sinh giải tập toán số phương pháp dạy học tích cực Nâng cao khả giải toán khả sáng tạo tốn nói chung cách sáng tạo tốn nội dung lượng giác nói riêng Tác giả thực trạng dạy học tốn cịn nhiều bất cập cần phải đổi để góp phần nâng cao chất lượng giáo dục nói chung Đó tồn sở lý luận thực tiễn đề tài nghiên cứu CHƢƠNG HƢỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI VÀ SÁNG TẠO BÀI TOÁN MỚI VỀ NỘI DUNG “PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC XÂY DỰNG TỪ ĐẲNG THỨC LƢỢNG GIÁC” 2.1 Một số kiến thức liên quan 2.1.1 Đẳng thức hàm số lượng giác góc tam giác Trước hết chứng minh số đẳng thức hàm số lượng giác góc tam giác Để từ đẳng thức xây dựng hệ thống đẳng thức lượng giác 1)sin A  sin B  sin C  4cos A B C cos cos ; 2 2)cos A  cos B  cos C   4sin A B C sin sin ; 2 3)sin A  sin B  sin C   2cos A cos B cos C; 4) tan A  tan B  tan C  tan A tan B tan C; 5) tan A B B C C A tan  tan tan  tan tan  1; 2 2 2 6)cot A B C A B C  cot  cot  cot cot cot ; 2 2 2 7)cot A cot B  cot B cot C  cot C cot A  1; 8)cos2 A  cos2B  cos2C  1  4cos Acos B cos C 9)cos3 A  cos3B  cos3C   4sin A 3B 3C sin sin 2 10) tan3 A  tan3B  tan3C  tan3 A tan3B tan3C; 11) tan nA  tan nB  tan nC  tan nA tan nB tan nC; nA nB nB nC nC nA tan  tan tan  tan tan  1; 2 2 2 12) tan sin 13) 14) A B C cos cos 2  sin B C A cos cos 2  sin C A B cos cos 2  sin A  sin B  sin 2C 4sin A sin B sin C A B C   8sin sin sin A B C sin A  sin B  sin C 2 4cos cos cos 2 A B C sin sin cos A  cos B  cos C  2  tan A tan B tan C ; 15)  A B C sin A  sin B  sin C 2 4cos cos cos 2 4sin tan A  tan B  tan 2C 8cos3 A cos3 B cos3 C 16)  ; tan A  tan B  tan C cos A cos B cos 2C  sin A  sin B  sin C    sin A  sin 3B  sin 3C  4 A B C 3A 3B 3C  3cos cos cos  cos cos cos ; 2 2 2 17)sin A  sin B  sin C  18)cos2 A  sin B  sin C sin( A  B)  19)sin A  sin B  cos C cos( A  B)  1; 20)cot C A B C A B  tan  tan  cot tan tan ; 2 2 2 21)cos A cos( B  C )  cos B cos(C  A)  cos C cos( A  B)   2(sin A  sin B  sin C ); 22)sin C sin( A  B)  sin B sin(C  A)  sin Asin( B  C)  0; A B C sin cos ; 2 A B C 24)cos A  cos B  cos C  1  4cos cos sin ; 2 23)sin A  sin B  sin C  4sin 2.1.2 Một số phương pháp xây dựng đẳng thức lượng giác Thực chất việc giải toán lượng giác sử dụng khéo léo đẳng thức lượng giác Nếu đẳng thức tốn đơn giản không giải Ngược lại, phát đẳng thức cần thiết tốn trở nên đơn giản nhiều Vì việc hệ thống lại xây dựng lên đẳng thức lượng giác việc làm ý nghĩa giải toán lượng giác 2.1.2.1 Xây dựng đẳng thức nhờ phép biến đổi đại số 2.1.2.2 Xây dựng đẳng thức từ công thức nhờ phép biến đổi lượng giác 2.1.2.3 Xây dựng đẳng thức lượng giác số phương pháp khác 2.1.3 Xây dựng đẳng thức lượng giác tam giác từ đẳng thức lượng giác 2.2 Hƣớng dẫn học sinh sáng tạo toán 2.2.1 Xây dựng phương trình lượng giác từ đẳng thức lượng giác góc tam giác 1.Từ đẳng thức 1)sin A  sin B  sin C  4cos A B C cos cos ; 2 Đặt A  x, B  x  C    3x ta có đẳng thức sau x 3x sin x  sin x  sin 3x  4cos cos x cos ; 2 Khi ta xây dựng phương trình lượng giác sau: x 3x sin x  sin x  sin 3x  sin x  4cos cos x cos  2 x 3x sin x  sin x  sin 3x  cos3x  4cos cos x cos  2 Đặt A   ,B  2  x, C  x ta có đẳng thức lượng giác x  2     sin   x   sin x  cos cos   x  2   3  Từ xây dựng phương trình lượng giác x  2     sin   x   2sin x  cos cos   x    3  x  x  2   sin   x   sin x  4cos sin    2  2   Từ 2)cos A  cos B  cos C   4sin A B C sin sin ; 2 Đặt A  x, B  x, C    x ta có đẳng thức lượng giác  cos2 x  2cos2 x Đặt A  x   , B  2x   C    x ta có đẳng thức lượng giác      2)cos(2 x  )  cos(2 x  )  sin x   4sin( x  )sin( x  )sin(2 x  ) 12 Từ ta xây dựng phương trình lượng giác sau   cos(2 x  )  cos(2 x  )  sin x  cos x      4sin( x  )sin( x  )sin(2 x  ) 12   cos(2 x  )  cos(2 x  )  sin x  sin x       sin( x  )  4sin( x  )sin( x  )sin(2 x  ) 12 12 Đặt A  x, B  x    3x ta có đẳng thức lượng giác sau x 3x cos x  cos x  cos3x   4sin sin x cos ; 2 Từ ta xây dựng phương trình lượng giác sau x 3x 2cos x  cos x  cos3x   4sin sin x cos ; 2 x 3x cos x  cos x  cos3x  cos5 x  sin x   4sin sin x cos ; 2 Đặt A    x, B  2  3x, C  x ta có đẳng thức lượng giác    2    x    3x  cos   x   cos   3x   cos x   sin    sin    sin x 3     2   Từ 3)sin A  sin B  sin C   2cos A cos B cos C; 2 Đặt A  x, B  x    3x ta có đẳng thức lượng giác sau sin x  sin 2 x  sin 3x   2cos x cos2 x cos3x Từ ta xây dựng phương trình lượng giác sau sin x  sin 2 x  sin 3x  2sin 5x   2cos x cos2 x cos3x sin x  sin 2 x  sin 3x  sin x   2cos x cos2 x cos3x Đặt A  5   x, B   x, C  x ta có cơng thức lượng giác sau 6  5     5    sin   x   sin   x   sin 2 x   2cos   x  cos   x  cos x   6    6   5     x   sin   x   sin 2 x    6  Ta xây dựng phương trình sin  Từ 4) tan A  tan B  tan C  tan A tan B tan C; Đặt A  x, B  x, C    x ta có đẳng thức sau tan x  tan x  tan x Đặt A  x, B  x, C    3x ta có đẳng thức sau tan 3x  10 tan x  tan x  tan x tan x Đặt A   ,B  2  x, C  x ta có cơng thức lượng giác sau  2   2   tan x  tan   x   tan x tan   x     Ta xây dựng phương trình lượng giác  2   2   tan x  tan   x   tan x tan   x     Từ 5) tan A B B C C A tan  tan tan  tan tan  2 2 2 Đặt A  x, B  x, C    x ta có đẳng thức lượng giác sau tan x  2tan x cot x  Đặt A  x, B  x, C    x ta có đẳng thức lượng giác tan x tan x  tan x cot3x  cot3x tan x  Từ ta xây dựng phương trình lượng giác sau tan x tan x  tan x cot3x  cot3x tan x  tan5x tan x tan x  tan x cot3x  cot3x tan x  tan x  cot x  Đặt A  2   x, B   x, C  x ta có đẳng thức lượng giác 3         tan   3x  tan   x   tan   x  tan x  tan x tan   3x   3  6  6  3  Ta xây dựng phương trình lượng giác         tan   3x  tan   x   tan   x  tan x  tan x tan   3x   tan x 3  6  6  3  Đặt A  2  , B   x, C  x ta có đẳng thức lượng giác 3 11     tan   x   tan x tan   x   tan x  6  6  Ta xây dựng phương trình lượng giác     tan   x   tan x tan   x   tan x  tan x 6  6  Từ 6)cot A B C A B C  cot  cot  cot cot cot 2 2 2 Đặt A  x, B  x, C    x ta thu đẳng thức tan x  2cot x cot x  Đặt A  x, B  x, C    x ta thu đẳng thức lượng giác sau cot x  cot x  tan3x  cot x cot x tan3x Ta xây dựng phương trình lượng giác sau cot x  cot x  2tan3x  cot3x  cot x cot x tan3x  cot x  tan x  cot x  tan x  tan3x  cot x cot x tan3x Đặt A  2  , B  x, C   x ta có đẳng thức lượng giác 3      cot x  cot   x   cot x cot   x  3 6  6  Ta xây dựng phương trình lượng giác      cot x  cot   x   cot x cot   x  6  6  Từ 7)cot A cot B  cot B cot C  cot C cot A  Đặt A  x, B  x, C    x ta thu đẳng thức cot x  2cot x cot x  Ta xây dựng phương trình lượng giác sau tan x  cot x  2cot x cot x  12 cot x  cot x cot x  Đặt A  x, B  x, C    3x ta thu đẳng thức cot x cot x  cot x cot3x  cot3x cot x  Từ ta xây dựng phương trình lượng giác cot x cot x  cot x cot3x  cot3x cot x  tan6 x cot x cot x  cot x cot3x  cot3x cot x  tan x  cot x  Đặt A  5   x, B   x, C  x ta có đẳng thức lượng giác 6  5       5  cot   x  cot   x   cot   x  cot x  cot x cot   x 1   6  6    Ta xây dựng phương trình lượng giác  5       5  cot   x  cot   x   cot   x  cot x  cot x cot   x   tan x   6  6    Đặt A   ,B  2  x, C  x ta có đẳng thức lượng giác 1  2   2  cot   x   cot   x  cot x  cot x  3     Ta xây dựng phương trình lượng giác 1  2   2  cot   x   cot   x  cot x  cot x  cot x 3 3     Từ 8)cos2 A  cos2B  cos2C  1  4cos Acos B cos C Đặt A  x, B  x, C    x ta thu 2cos2 x  cos4 x  1  4cos2 x cos2 x Từ ta xây dựng tốn lượng giác 13 2cos2 x  cos4 x  cos6 x  4cos x cos2 x 2cos2 x  cos4 x  sin x  4cos x cos2 x Đặt A  x, B  x, C    3x ta thu đẳng thức cos2 x  cos4 x  cos6 x  1  4cos x cos2 x cos3x Từ ta xây dựng phương trình lượng giác cos2 x  cos4 x  cos6 x  sin6 x  4cos x cos2 x cos3x 4cos x  cos2 x  cos4 x  cos6 x   4cos x cos2 x cos3x 2.2.2 Xây dựng phương trình lượng giác từ đẳng thức lượng giác 2.2.2.1 Sử dụng chiều thuận nghịch đẳng thức Ví dụ: Từ đẳng thức tan x  cot x  1) tan x  cot x  2) ta xây dựng phương trình sin x  sin x  tan x  cot x  sin 2 x 3) tan x  cot x  1 sin x 2.2.2 Sử dụng công thức cộng cung Dạng 1: sin A( x)  sin B( x)  sin C ( x)  sin  A( x)  B( x)  C ( x) Ta xây dựng phương trình 1) sin( 2) sin(     3x)  sin   x   sin x  6    x)  sin 3x  sin x       3x   sin   x   sin x  cos5 x 6  3  3) sin  14    x   sin 3x  sin x  3  4) sin       x   sin   3x   sin x  3  6  5) sin  6) sin x  sin x  sin3x  sin6 x Dạng 2: cos A( x)  cos B( x)  cos C ( x)   cos A( x)  B( x)  C ( x) Dạng 3: tan A( x)  tan B( x)  tan C ( x)  tan  A( x)  B( x)  C ( x) Dạng 4: cot A( x)  cot B( x)  cot C ( x)  cot  A( x)  B( x)  C ( x) Dạng 5: cos2 A( x)  cos2 B( x)  cos2 C ( x)  cos2  A( x)  B( x)  C ( x)   Dạng 6: sin A( x)  sin B( x)  sin C ( x)  sin  A( x)  B( x)  C ( x)  2.2.2.3 Sử dụng đẳng thức dạng phân thức 1.Ta có phân thức sin5 x  2cos x  2cos x  sin x Sử dụng công thức ta thu (2cos4 x  2cos2 x  1)  2cos20 x  2cos10 x  1  Và thu phương trình đơn giản sin x sin 25 x  1 sin x sin x 2.2.2.4 Xây dựng phương trình lượng giác từ đẳng thức phương trình lượng giác Ví dụ: Từ đẳng thức tan3 x  tan x tan(    x) tan(  x) kết hợp với 3 1.1) Phương trình tan x  a ta thu phương trình 15   tan 3x  tan x tan(  x) tan(  x)  3 1.2) Phương trình tan x  cot x  ta thu phương trình   cot 3x  tan x tan(  x) tan(  x)  3 Như đặt đẳng thức lượng giác vào phương trình lượng giác khó nhận phương trình khó 1.3) Phương trình sin6 x  cos6 x   tan3x ta thu phương trình     sin x  cos6 x   tan x tan   x  tan   x  3  3  2.2.2.5 Xây dựng phương trình lượng giác từ đẳng thức lượng giác dạng phương trình đại số cos x  x    phương trình    sin x Ví dụ: Từ đẳng thức cot  1.1) t  t   t  3 cos x  x    2    sin x Ta xây dựng phương trình lượng giác cot   x    phương trình trở thành t  t   t   2 Đặt t  cot  1.2) t   t4   t 1 Ta xây dựng phương trình lượng giác sau   x   2sin x  cos x  cot      sin x  2 cos x  x    ta thu phương trình    sin x Đặt t  cot  t   t4   t 1 16 2.2.3 Xây dựng số toán lượng giác khác từ đẳng thức lượng giác 2.3 Hƣớng dẫn học sinh giải toán 2.3.1 Giải số toán dùng đẳng thức lượng giác tam giác Khi giải phương trình lượng giác nói chung, thường tìm cách biến đổi để làm đơn giản phương trình hơn, đưa dạng phương trình Việc lựa chọn hướng biến đổi cho phù hợp lại nột vấn đề khó Một lớp phương trình có hướng biến đổi tương tự chúng có chung nguồn gốc hình thành Một nguồn gốc hình thành từ đẳng thức lượng giác mà Hệ thống đẳng thức lượng giác vừa xây dựng giúp giải tập lượng giác cách dễ dàng Bài 1: Giải phương trình      sin   x   4cos   x  cos x  sin x 6   12  Bước 1: Tìm hiểu nội dung tốn ? Giả thiết tốn cho gì? u cầu gì? Có cần điều kiện khơng? ! Cho x ẩn Cần tìm giá trị x thoả mãn phương trình      sin   x   4cos   x  cos x  sin x 6   12  Bước 2: Xây dựng chương trình giải ? Cần sử dụng cơng thức ! Thật khó để nhận biến đổi lượng giác làm đơn giản phương trình khơng có nhận xét sau 5   5     x    2 x     sin ,  sin x  sin(2 x) 6  Áp dụng đẳng thứ 1)sin A  sin B  sin C  4cos Phương trình tương đương 4cos 5     cos   x  cos x  4cos   x  cos x 12  12   12  cos x    0 cos   x     12   17 A B C cos cos ; 2 Bước 3: Trình bày lời giải      sin   x   4cos   x  cos x  sin x 6   12         2sin   x  cos   x   sin(2 x)  4cos   x  cos x 2  3   12          cos x cos   x   cos   x    2cos   x  cos x  2   12   3    5     cos x cos   x  cos    cos   x  cos x  12   12   12  Bước4: Khảo sát lời giải ? Nghiên cứu sâu lời giải? ! Bài toán giải nhờ phép biến đổi lượng giác để biến đổi dạng phương trình tích Nhưng việc bắt tay vào biến đổi từ đâu phải dựa vào nhận xét trình bày Và phương pháp chung cho lớp toán dạng Bài tập đề nghị 1)sin x  sin x  sin x  4sin x cos2 x 2)cos x  cos2 x  cos3x  3)sin x  sin 2 x  sin 3x   cos x cos2 x 4) tan x  tan x  tan3x  tan x tan x 5) tan3x  cot x  cot x  cot x cot x x 3x 6)sin x  sin x  sin 3x  sin x  4cos cos x cos  2 x 3x 7)sin x  sin x  sin 3x  cos3x  4cos cos x cos  2   8)cos(2 x  )  cos(2 x  )  sin x  cos x      4sin( x  )sin( x  )sin(2 x  ) 12 18   9)cos(2 x  )  cos(2 x  )  sin x  sin x       sin( x  )  4sin( x  )sin( x  )sin(2 x  ) 12 12 x 3x 10)2cos x  cos x  cos3x   4sin sin x cos ; 2 x 3x 11)cos x  cos x  cos3x  cos5 x  sin x   4sin sin x cos ; 2 12)sin x  sin 2 x  sin 3x  2sin 5x   2cos x cos2 x cos3x 13)sin x  sin 2 x  sin 3x  sin x   2cos x cos2 x cos3x 14) tan x tan x  tan x cot 3x  cot 3x tan x  tan x  cot x  15)cot x  cot x  2tan3x  cot 3x  cot x cot x tan3x  16)cot x  tan x  cot x  tan x  tan3x  cot x cot x tan3x 17) tan x  cot x  2cot x cot x  18)cot x cot x  cot x cot 3x  cot 3x cot x  tan x 19)cot x cot x  cot x cot 3x  cot 3x cot x  tan x  cot x  20)2cos2 x  cos4 x  cos6 x  4cos x cos2 x 21)2cos2 x  cos4 x  sin x  4cos x cos2 x 22)cos2 x  cos4 x  cos6 x  sin x  4cos x cos2 x cos3x 23)4cos x  cos2 x  cos4 x  cos6 x   4cos x cos2 x cos3x 2.3.2 Giải số toán lượng giác dùng đẳng thức lượng giác Bài 1: Giải phương trình 1   0 sin x sin x sin8 x 19 HD: Sử dụng đẳng thức lượng giác cot x  cot x  phương trình tương đương sin x cot x  cot x  cot x  cot x  cot x  cot8 x   cot x  cot8 x Bài tập đề nghị Bài tập đề nghị 1) tan x  cot x  2)  sin x  tan x  cot x  sin 2 x 3) tan x  cot x  1 sin x 4) 2cot x   tan x  2cot x 5) cot x  tan x  2cot x  6) cot x  2tan x  3cot x 7) 2cot x  cot x   sin x 8) cot x  cot x  2 sin x 9)  cot x  cot x  sin x 10) sin( 11) sin(     3x)  sin   x   sin x  6    x)  sin 3x  sin x  20      3x   sin   x   sin x  cos5 x 6  3  12) sin     x   sin 3x  sin x  3  13) sin       x   sin   3x   sin x  3  6  14) sin  15) sin x  sin x  sin3x  sin6 x 16) cos( 17) cos( 18) cos(   x)  2cos x     2   3x)  cos   x   cos x        x)  cos  x    cos x  cos x  6  19) cos x  cos2 x  cos3x  cos6 x  20) tan( 21) tan( 22) tan( 23) tan(     x)  tan 3x  tan x   x)  tan x    x)  tan(  x)  tan x  cot x   3x)  tan x  tan x  24) tan x  tan x  tan3x  tan6 x 25) cot(    3x)  2cot x  cot(  x) 6 26) cot(   x)  cot 3x  cot x  21 27) cot x  cot x  cot3x  cot x Kết luận chƣơng 2: Trong chương 2, tác giả liệt kê số đẳng thức lượng giác góc tam giác số đẳng thức lượng giác khác Đây sở để hình thành nên các phương trình lượng giác phong phú số dạng tập lượng giác khác Cụ thể, tác giả sử dụng đẳng thức lượng giác để giải sáng tạo số lượng tập phương trình lượng giác Đây nguồn tài liệu cho việc thực hành giảng dạy tiến hành chương CHƢƠNG THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM 3.1 Mục đích thực nghiệm 3.2 Nội dung thực nghiệm Bài giảng số 1: Tiến hành hình thức giảng dạy lớp, phương pháp dạy học tích cực với nội dung: Hướng dẫn học sinh giải tập phương trình lượng giác chứa đẳng thức lượng giác Bài giảng số 2: Tiến hành với hình thức học sinh tự học có nội dung: Hướng dẫn học sinh sáng tạo phương trình lượng giác từ đẳng thức lượng giác 3.3 Tổ chức thực nghiệm 3.3.1 Đối tượng thực nghiệm 3.3.2 Thời gian thực nghiệm 3.3.3 Phương pháp thực nghiệm 3.4 Đánh giá thực nghiệm KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ KẾT LUẬN Qua trình nghiên cứu, luận văn thu số kết sau: - Hệ thống sở lý luận về: vị trí chức tập toán học dạy học, cách dạy tập toán học theo số quan điểm số phương pháp dạy học tích cực Luận văn trình bày khái niệm tốn phương pháp sáng tạo tốn - Luận văn trình bày chi tiết nội dung đẳng thức phương trình lượng giác chứa đẳng thức lượng giác Hệ thống đẳng thức lượng giác tam giác, cách tạo đẳng thức lượng giác Quan trọng cách sử dụng đẳng thức để sáng tạo phương trình lượng giác Một số lượng tương đối tập hình thành theo phương pháp nguồn tài liệu bổ sung vào hệ thống tập lượng giác trình dạy học chuyên đề lượng giác Nội dung luận văn dùng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên học sinh trình dạy học Đó ý nghĩa thực tiễn đề tài nghiên cứu - Luận văn thể việc thực nghiệm sư phạm vấn đề nội dung nêu đối tượng học sinh giỏi (với giáo án giảng dạy lớp thực hành giải tập, giáo án 22 hướng dẫn học sinh tự nghiên cứu sáng tạo toán mới) cho thấy việc áp dụng học sinh giỏi hoàn toàn khả thi mang lại hiệu giảng dạy cao - Kết thực nghiệm cho thấy việc xây dựng chuyên đề nâng cao hướng dẫn học sinh tự học hồn tồn thực Từ đó, việc giảng dạy giáo viên linh hoạt hơn, có sáng tạo đối tượng học sinh, giáo viên tích cực nghiên cứu tìm tịi phát đề tài nghiên cứu hay lạ hướng dẫn học sinh tự nghiên cứu - Do điều kiện thời gian vị trí thân, luận văn số hạn chế sau: Chưa xây dựng giảng áp dụng cho đối tượng học sinh khác, chưa xây dựng giáo trình chi tiết nội dung dùng làm tài liệu cho việc dạy học Đó hướng nghiên cứu cần triển khai tiếp đề tài KHUYẾN NGHỊ Đối với giáo viên Tốn trường THPT - Tích cực nghiên cứu, tìm tịi phát ngày nhiều chuyên đề hay để hướng dẫn học sinh học tự nghiên cứu - Giáo viên cần phải xác định mục tiêu dạy học thật rõ ràng, sở từ chuẩn môn học thực lực trình độ học sinh lớp mơn Toán, soạn giảng kế hoạch dạy học theo phương pháp dạy học phù hợp, vận dụng quy trình dạy học đưa cách hợp lý - Giáo viên nên cải tiến phương pháp dạy học theo đối tượng học sinh, nội dung học, hướng dẫn học sinh tham gia dự án thiết thực, tạo nhiều sản phẩm có chất lượng cao tài liệu tham khảo cho học sinh khác thi đại học, thi học sinh giỏi cấp - Giáo viên cần đa dạng hình thức kiểm tra đánh giá, tạo nhiều hội cho học sinh khẳng định thơng qua vui chơi, hội thảo môn học - Giáo viên nên mạnh dạn áp dụng phương pháp dạy học tạo thói quen học tập tích cực cho học sinh Đối với cấp quản lý ngành giáo dục - Có biện pháp đẩy mạnh phong trào tự nghiên cứu trước tiên giáo viên để sáng kiến kinh nghiệm có chất lượng, khơng mang tính đối phó, phong trào thực sân chơi nghiên cứu cho giáo viên - Ghi nhận đóng góp nghiên cứu khoa học giáo viên sử dụng thành giáo dục cách hiệu - Nhà trường (đặc biệt trường chuyên tỉnh, lớp chọn trường), tổ chun mơn cần khuyến khích hình thức tự học, tự nghiên cứu, học nhóm học sinh theo hướng dẫn, định hướng giáo viên, tạo điều kiện để giáo viên học sinh giao lưu, nâng cao chất lượng, hiệu mơn Tốn, để vấn đề học tập học sinh gắn liền với thực hành, thực tế, trang bị hành trang cần thiết cho học sinh tương lai 23 References Vũ Cao Đàm (2010), Giáo trình phương pháp luận nghiên cứu khoa học Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội Nguyễn Vũ Lƣơng (chủ biên), Phạm Văn Hùng, Nguyễn Ngọc Thắng (2009), Các giảng phương trình lượng giác Nhà xuất giáo dục, Hà Nội Nguyễn Vũ Lƣơng (chủ biên), Nguyễn Ngọc Thắng (2009), Một số giảng toán tam giác Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội Nguyễn Vũ Lƣơng (chủ biên), Nguyễn Hữu Độ, Phạm Văn Hùng, Nguyễn Ngọc Thắng (2009), Lượng giác- Đẳng thức phương trình Nhà xuất giáo dục, Hà Nội Nguyễn Vũ Lƣơng (chủ biên), Nguyễn Hữu Độ, Phạm Văn Hùng, Nguyễn Ngọc Thắng (2010), Lượng giác- Cực trị toán tam giác Nhà xuất giáo dục Việt Nam Bùi Văn Nghị (2009), Vận dụng lý luận vào thực tiễn dạy học mơn Tốn trường phổ thơng Nhà xuất Đại học Sư phạm Bùi Văn Nghị (2008), Giáo trình phương pháp dạy học nội dung cụ thể mơn Tốn Nhà xuất Đại học Sư phạm Hà Nội G Polya (Hồ Thuần- Bùi Tường dịch) (1997), Giải toán Nhà xuất Giáo dục Hà Nội www vnmath.com www phanvien.com www.tailieu.com http: www mathlinks.ro http: www.diendantoanhoc.net 24 ... Xây dựng đẳng thức lượng giác số phương pháp khác 2.1.3 Xây dựng đẳng thức lượng giác tam giác từ đẳng thức lượng giác 2.2 Hƣớng dẫn học sinh sáng tạo toán 2.2.1 Xây dựng phương trình lượng giác. .. Phương trình lượng giác xây dựng từ đẳng thức lượng giác Thứ hai, phương pháp hướng dẫn học sinh sáng tạo tốn nói chung áp dụng vào hướng dẫn học sinh nội dung cụ thể là: Phương trình lượng giác. .. giác xây dựng từ đẳng thức lượng giác Phạm vi nghiên cứu đề tài Đề tài tập trung nghiên cứu phương pháp hướng dẫn học sinh giải sáng tạo toán nội dung phương trình lượng giác chứa đẳng thức lượng