Dạy học nội dung “Phương trình bất phương trình vô tỉ” cho học sinh trung học phổ thông theo số phương pháp dạy học tích cực Teaching’s content “equation and irrational inequation” for high school students with positive teaching method NXB H : ĐHGD, 2012 Số trang 114 tr + Thân Thị Hiền Trường Đại học Quốc gia Hà Nội; Trường Đại học Giáo dục Luận văn ThS ngành: Lý luận phương pháp dạy học (bộ môn Toán); Mã số: 60 14 10 Cán hướng dẫn khoa học: PGS TS Nguyễn Thành Văn Năm bảo vệ: 2012 Abstract Nghiên cứu nội dung lí luận liên quan đến đề tài như: Phương pháp dạy học (PPDH), đổi PPDH theo hướng tích cực, số PPDH tích cực kĩ dạy học tích cực Nghiên cứu chương trình, nội dung kiến thức phần “phương trình bất phương trình vơ tỉ” Nghiên cứu thực trạng việc sử dụng PPDH cực dạy học môn tốn việc vận dụng PPDH tích cực giảng dạy nội dung “phương trình bất phương trình vơ tỉ” Tổ chức thực nghiệm sư phạm để đánh giá tính khả thi, tính phù hợp tính hiệu đề xuất Keywords: Phương pháp giảng dạy; Toán học; Phương trình vơ tỉ; Bất phương trình vơ tỉ; Phương pháp dạy học tích cực Content MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Chúng ta sống kỉ XXI – kỷ nguyên mà tri thức, kỹ người coi yếu tố định phát triển xã hội Nền giáo dục xã hội phải tạo người trí tuệ phát triển, sáng tạo giàu tính nhân văn Để đào tạo người vậy, vấn đề phải đồi nội dung dạy học, người ta nhấn mạnh việc đổi phương pháp (PP) dạy học, coi lĩnh vực đặc biệt cần quan tâm giáo dục đại Báo cáo trị đại hội X Đảng cộng sản Việt Nam ghi rõ “Ưu tiên hàng đầu cho việc nâng cao chất lượng dạy học Đổi chương trình nội dung, phương pháp dạy học (PPDH), nâng cao chất lượng đội ngũ giáo viên tăng cường sở vật chất nhà trường, phát huy tư khoa học sáng tạo, lực tự nghiên cứu học sinh sinh viên, để nâng cao lực tự học, tự hoàn thiện học vấn tay nghề” Trong luật giáo dục Việt Nam, phần mục tiêu giáo dục phổ thông ghi rõ: “Mục tiêu giáo dục phổ thơng giúp học sinh phát triển tồn diện đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ kĩ bản, phát triển lực cá nhân, tính động sáng tạo, hình thành nhân cách người Việt Nam xã hội chủ nghĩa” Dạy học không đơn có nhiệm vụ cung cấp cho học sinh (HS) tri thức khoa học, mà phải giúp hình thành phát triển HS lực, kĩ làm việc như: làm việc hợp tác, tự nghiên cứu, khả giao tiếp, nhận biết vấn đề Để làm điều đó, ngồi nội dung học tập có vai trị quan trọng phương pháp dạy học tích cực mà người giáo viên lựa chọn để chuyền tải tri thức cho HS vơ quan trọng Vì PPDH tích cực giúp hình thành HS lực, kĩ phương pháp làm việc khác Sự thành công việc dạy học phụ thuộc nhiều vào PPDH giáo viên lựa chọn Cùng nội dung tuỳ thuộc vào PPDH cụ thể dạy học kết khác mức độ lĩnh hội tri thức phát triển trí tuệ kĩ tư duy, phương pháp nhận thức, giáo dục đạo đức chuyển biến thái độ hành vi Xuất phát từ lí xuất phát từ sở thích thân muốn nghiên cứu tìm hiểu sâu số PPDH tích cực vận dụng số PP vào q trình dạy học mơn tốn trường trung học phổ thong (THPT) nên lựa chọn đề tài: Dạy học nội dung “phƣơng trình bất phƣơng trình vơ tỉ” cho học sinh trung học phổ thơng theo số phƣơng pháp dạy học tích cực Mục tiêu nghiên cứu Đổi PPDH theo hướng dạy học học tích cực: Nghiên cứu áp dụng số PPDH tích cực vào dạy học giúp giáo viên đổi PPDH, phát huy tính tích cực chủ động sáng tạo học sinh, qua giúp học sinh học sâu, hiệu học tập bền vững, tăng cường hợp tác học sinh với học sinh, học sinh tham gia hoạt động nhận thức mức cao có cảm giác thoải mái Nhiệm vụ đề tài 3.1 Nghiên cứu sở lý luận thực tiễn đề tài Nghiên cứu nội dung lí luận liên quan đến đề tài như: PPDH, đổi PPDH theo hướng tích cực, số PPDH tích cực kĩ dạy học tích cực Nghiên cứu chương trình, nội dung kiến thức phần “phương trình bất phương trình vơ tỉ” Nghiên cứu thực trạng việc sử dụng PPDH cực dạy học mơn tốn việc vận dụng PPDH tích cực giảng dạy nội dung “phương trình bất phương trình vơ tỉ” Tổ chức thực nghiệm sư phạm để đánh giá tính khả thi, tính phù hợp tính hiệu đề xuất 3.2 Đưa số dạng phương trình bất phương trình vơ tỉ, với phương pháp giải tốn Sưu tầm sáng tác tập “phương trình bất phương trình vơ tỉ” 3.3 Áp dụng số phương pháp dạy học tích cực thiết kế số giáo án phần “phương trình, bất phương trình vơ tỉ” Nghiên cứu nội dung “phương trình bất phương trình vơ tỉ” từ thiết kế kế hoạch học triển khai áp dụng PPDH tích cực Thiết kế giáo án áp dụng PPDH tích cực Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu vận dụng PPDH tích cực vào giảng dạy mơn tốn trường trung học phổ thông, đặc biệt giảng dạy nội dung “phương trình bất phương trình vơ tỉ” Mẫu khảo sát Việc vận dụng PPDH tích cực vào giảng dạy nội dung “phương trình bất phương trình vơ tỉ” Các trường THPT huyện Việt Yên Lục Ngạn tỉnh Bắc Giang Câu hỏi nghiên cứu Thực tốt việc vận dụng PPDH tích cực vào giảng dạy nội dung “phương trình bất phương trình vơ tỉ” đem lại hiệu gì? Giả thuyết khoa học Giáo viên phải tìm hiểu, xác định rõ nội dung phương trình, bất phương trình vơ tỉ, PPDH tích cực Khi giáo viên đã nắ m vững n ội dung và thực hiê ̣n viê ̣c tổ chức các hoa ̣t đô ̣ng ho ̣c tâ ̣p củ a học sinh theo PPHD tích cực hợp lý thì sẽ phát huy đươ ̣c tinh tich cực , chủ ́ ́ đô ̣ng và sáng ta ̣o của h ọc sinh, làm cho em nắm học vững , có hệ thống qua đó góp phầ n nâng cao chấ t lươ ̣ng da ̣y và ho ̣c mơn tốn ở trường phổ thông Phƣơng pháp nghiên cứu 8.1 Phương pháp nghiên cứu lý thuyết Nghiên cứu vấn đề lí luận có liên quan đến đề tài: Lí luận PPDH, PPDH tích cực Nghiên cứu việc áp dụng PPDH tích cực giảng dạy mơn tốn Nghiên cứu nội dung, cấu trúc phần phương trình bất phương trình vơ tỉ 8.2 Nhóm phương pháp nghiên cứu thực tiễn Phương pháp điề u tra , khảo sát, quan sát trình học tập, giảng dạy mơn tốn trường phổ thơng Tham khảo ý kiến giáo viên: Trao đổi với giáo viên có kinh nghiệm để định hướng vận dụng PPDH tích cực vào giảng dạy phần phương trình bất phương trình vô tỉ cho phù hợp với nội dung học sinh Phương pháp thực nghiệm sư phạm, đánh giá tính khả thi, tính phù hợp tính hiệu biện pháp đề xuất Đóng góp mới của đề tài Góp phấn hồn thiện sở lí luận thực tiễn việc đổi PPDH môn tốn trường phổ thơng Điều tra, đánh giá thực trạng việc sử dụng PPDH tích cực dạy học toán số trường THPT tỉnh Bắc Giang Áp dụng số PPDH tích cực thiết kế giáo án phần nội dung “phương trình bất phương trình vơ tỉ” 10 Cấu trúc luận văn Ngồi phần mở đầu phần kết luận, luận văn gồm chương: Chương 1: Cơ sở lý luận thực tiễn việc vận dụng số phương pháp dạy học tích cực giảng dạy mơn tốn Chương 2: Vận dụng số phương pháp dạy học tích cực mơn tốn trường THPT – nội dung “phương trình bất phương trình vơ tỉ” Chương 3: Thực nghiệm sư phạm CHƢƠNG CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA VIỆC VẬN DỤNG MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC TÍCH CỰC TRONG GIẢNG DẠY MƠN TỐN 1.1 Khái niệm PPDH tích cực 1.1.1 Khái niệm PPDH 1.1.2 PPDH tích cực 1.1.3 Đổi PPDH theo định hướng DH tích cực 1.2 Một số phƣơng pháp dạy học kĩ thuật dạy học tích cực 1.2.1 Một số phương pháp dạy học tích cực 1.2.1.1 Phương pháp đàm thoại phát - Khái niệm - Yếu tố định sử dụng phương pháp đàm thoại phát - Sử dụng phương pháp đàm thoại phát dạy học toán học a Xây dựng câu hỏi dùng phương pháp đàm thoại phát b Sử dụng phương pháp đàm thoại phát 1.2.1.2 Phương pháp phát giải vấn đề - Khái niệm - Cấu trúc học theo phương pháp phát giải vấn đề - Tổ chức hoạt động học tập theo mức độ HS tham gia phát giải vấn đề - Những điểm cần lưu ý sử dụng - Sử dụng phương pháp phát giải vấn đề a Lựa chọn nội dung dạy học b Qui trình thiết kế học 1.2.1.3 Phương pháp dạy học hợp tác theo nhóm nhỏ - Khái niệm - Cách tiến hành phương pháp hoạt động theo nhóm - Những điểm cần lưu ý sử dụng - Sử dụng dạy học hợp tác theo nhóm nhỏ a Lựa chọn nội dung nhiệm vụ dạy học hợp tác theo nhóm nhỏ b Qui trình thiết kế học áp dụng dạy học hợp tác theo nhóm nhỏ 1.2.1.4 Dạy học dự án - Khái niệm - Các giai đoạn DH dự án - Sử dụng phương pháp dạy học dự án a Lựa chọn nội dung dạy học theo dự án b Quy trình thiết kế dạy theo PPDH học theo dự án 1.2.2 Một số kĩ thuật dạy học tích cực 1.2.2.1 Kĩ thuật động não 1.2.2.2 Kĩ thuật ghép mảnh 1.2.2.3 Lược đồ tư 1.3 Điều kiện áp dụng phƣơng pháp dạy học tích cực 1.4 Thực trạng việc sử dụng phƣơng pháp dạy học tích cực dạy học mơn tốn trƣờng trƣờng trung học phổ thông Kết điều tra 100 GV 100 HS trường TPTH Việt Yên 1, TPTH Việt Yên 2, THPT Lục Ngạn 1, THPT Lục Ngạn 3, THPT Hiệp Hòa 2, THPT Yên Dũng 2– Tỉnh Bắc Giang; thực trạng việc sử dụng PPDH tích cực vào DH mơn tốn trường THPT nay: Bảng 1.1: Kết điều tra từ giáo viên Kết điều tra 100 GV (tính %) STT Các PPDH mà GV sử dụng học tốn Thuyết trình 80 20 Vấn đáp (đàm thoại) 73 37 Sử dụng đồ dùng dạy học: hình vẽ, tranh ảnh, sơ 25 37 48 đồ, mẫu vật Bài tập 50 30 20 Kiểm tra nói, viết 80 15 Cho HS sử dụng SGK 65 25 10 HS nhận dạng 15 25 60 HS thể 25 35 40 Dạy học nêu giải vấn đề 15 80 10 Dạy học hợp tác theo nhóm nhỏ 17 78 11 Phương pháp nghiên cứu 10 87 12 Sử dụng lược đồ tư 89 Thường xuyên Khơng thường xun Ít khơng sử dụng Bảng 1.2 Kết điều tra học sinh Các hình thức hoạt động mà HS sử dụng STT Kết điều tra 100 HS học mơn tốn Nghe, ghi chép (nghe, đọc chép) 80 15 Trả lời câu hỏi GV phát vấn 63 17 20 Nghiên cứu SGK trả lời câu hỏi 67 23 10 Quan sát đồ dùng dạy học, hình vẽ, 23 32 45 tranh ảnh, quan sát mơ hình… Làm tập lớp 20 35 45 Quan sát cách làm GV biểu diễn 10 20 70 Tự làm tập (trong thực hành, 10 17 73 nghiên cứu mới, luyện tập) Đọc tài liệu tham khảo 15 80 10 Làm việc theo nhóm nhỏ 10 73 – Thường xuyên – Không thường xun – Ít Bảng 1.3: Tầm quan trọng đổi PPDH mơn tốn trường THPT % Mứcđộ 100 GV Rất cần thiết Cần thiết Bình thường Khơng cần thiết 70 20 10 Nhận xét: Từ kết điều tra, chúng tơi có nhận xét sau TIỂU KẾT CHƢƠNG Trong chương chúng tơi trình bày sở lí luận thực tiễn đề tài: Tìm hiểu trình dạy học trường phổ thông, định hướng đổi PPDH trường THPT Tìm hiểu chung PPDH tích cực dạy học dạy học toán Thực trạng việc sử dụng PPDH tích cực dạy học tốn CHƢƠNG VẬN DỤNG MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC TÍCH CỰC TRONG MƠN TỐN Ở TRƢỜNG TRUNG HỌC PHỔ THƠNG – NỘI DUNG “PHƢƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỈ” 2.1 Chuẩn bị kiến thức nội dung phƣơng trình vơ tỉ 2.1.1 Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương 2.1.2 Phương pháp đặt ẩn phụ Dạng Đặt ẩn phụ đưa phương trình cho phương trình đại số khơng cịn chứa với ẩn ẩn phụ Ví dụ Giải phương trình sau  x     x  3   x   2 * Giải +) Ta có  x   x  khơng nghiệm phương trình Chia hai vế phương trình * cho 2  x ta được:  x  2 *  2  x +) Đặt t  7 x2   2 x 1 x2 2 x t  Phương trình 1 trở thành: 4t  7t     t   +) Với t   +) Với t  x2 x2 1 1 x  2 x 2 x x2 x  27 74 3    x 2 x  x 64 91 Vậy nghiệm phương trình x  x  74 91 Nhận xét: Phương trình có dạng: a n f  x   b n f  x  g  x   c n g  x   , ta giải sau: - Xét g  x   - Xét g  x   , chia vế phương trình cho n g  x  , ta phương trình  f  x  f  x an   c    bn g  x  g  x  Dạng Dùng ẩn phụ chuyển phương trình chứa thức thành phương trình với ẩn phụ hệ số cịn chứa x Ví dụ Giải phương trình sau x  x    x  3 x  * Giải +) Điều kiện: x2   0, x   +) Đặt t  x  (điều kiện t  ) Phương trình (*) trở thành: t   x  3 t  3x   t  xt  3t  3x  t   t  t  3  x  t  3    t  3 t  x     t  x +) Với t   x2    x2    x2   x  2 x  +) Với t  x  x   x   VN  x   x2  Vậy nghiệm phương trình x  2 Dạng Đặt ẩn phụ đưa hệ phương trình đối xứng có hai ẩn ẩn ẩn phụ, ẩn ẩn Dạng 3.1 Phương trình chứa bậc hai lũy thùa bậc hai ax  b  c  dx     x   với d  ac   ; e  bc   (*) Ví dụ Giải phương trình sau * x  x   x  Giải +) Ta có: *  x    x    Điều kiện: x  5 +) Đặt x   y  , điều kiện: y    y  Khi phương trình (*) trở thành hệ phương trình:   x2  x   y    x  4x   y   x  x  y   1     y  x   x   y  y  x      x5  y 2    Lấy 1 trừ   , ta được: x  y  4( x  y )  ( x  y )   ( x  y )( x  y )  3( x  y )  x  y   ( x  y )( x  y  3)     x  y   +) Với x  y thay vào 1 ta được:   29 x  x2  x  x    x2  5x       29 x    Với x   29  29 y 2 (thỏa mãn)  Với x   29  29 y 2 (loại) +) Với x  y    y   x thay vào 1 ta được:  x  1 x  x   x    x  3x      x   Với x  1  y  (thỏa mãn)  y  f  x  đồng biến D +) Xét hàm số: y  g  x   4x     4x   2  4 , , y  g  x      4 4x   2   D   2;   4x      , 4x      0, x  D 4x    y  g  x  nghịch biến D Ta có y  f  x  đồng biến D , y  g  x  nghịch biến D , nên suy phương trình f  x   g  x  có nghiệm nghiệm Ta lại có x   D thay vào (*), ta được:   4 16   16   (đúng), suy x  thỏa mãn phương trình (*) Vậy nghiệm phương trình x  Dạng Ví dụ Giải phương trình sau 3x   x2     x  2    *  x  x   Giải +) Phương trình (*)   x  1   x  1   x  1    x  1      3 x    x  x  1   3x   x  x  1   3x  x2    3x    32  x2    1 +) Ta thấy phương trình (1) có nghiệm  3x   x  1 dấu Hay phương trình  1  (1) có nghiệm x   ;0    u  x  +) Đặt:  v  3x u   1  Với x   ;0      v  Và phương trình (1) trở thành: u +) Xét hàm số: y  t y  ,  2t  3t t  3t  hàm số y  t     u2    v v3     2  t   D   0;     x  D  t   đồng biến D  phương trình (2) có nghiệm  u  v  x  11  3x  x  Vậy nghiệm phương trình x  1  1    ;0    1  Phƣơng pháp đánh giá Ví dụ Giải phương trình sau * x2   x  3x   x  x   x  x  Giải Bài toán sử dụng đánh giá gặp sau đây: f  x  g  x   f  x   f  x   ah  x   g  x   bh  x    g  x    h  x   Với a, b số thực dương Phương trình (*)  x2   x  3x   2 x      x  3x    x  2 2 x    Vậy nghiệm phương trình x  2  2x 1   2x  4   x 2  3x     x    Sử dụng phƣơng pháp hình học Ví dụ Giải phương trình sau * x  x   x  x  16  Giải +) Nếu x  ta có: VT      VP Suy phương trình vơ nghiệm +) Nếu x  Ta xét ABC vng , A có AB  4, AC  Theo định lí Pitago ta có: BC  AB2  AC  16   B M D A C Trên tia phân giác AD góc A lấy điểm M Đặt AM  x  Xét AMC có AM  x, AC  , MAC  45 Áp dụng định lí hàm số cosin, ta có: CM  AM  AC  AM AC.cos 45  x   3x  CM  x  3x  MAB  45 Xét AMB có AM  x, AB  4,  Áp dụng định lí hàm số cosin, ta có: BM  AB2  AM  AB AM cos45  x2  16  x  BM  x  x  16 Khi phương trình (*) trở thành: CM  BM   CM  BM  BC Mà ta có CM  BM  BC , nên dấu “=” xảy  M  D  BM 16 BM AB BM   9.BM  16.CM     CM CM AC CM      x  x  16  16 x  3x   x  12 x  x  12  12  x  x    Vậy nghiệm phương trình x  12 2.2 Chuẩn bị kiến thức nội dung bất phƣơng trình vơ tỉ 2.2.1 Phương pháp biến đổi tương đương Dạng bất phương trình bản: +) B  A B   A  B +) B   A  B  A   A  B2  +)  B   A  AB  B    A  B2  2.2.2 Phương pháp đặt ẩn phụ 2.2.3 Một số phương pháp khác  Phƣơng pháp hàm số  Phƣơng pháp đánh giá 2.3 Cấu trúc nội dung phần phƣơng trình, bất phƣơng trình vơ tỉ 2.3.1 Mục tiêu chung 2.3.2 Cấu trúc nội dung STT Phương trình vơ tỉ Lý thuyết Bài tập Tổng Phương pháp tương đương Nội dung Phương pháp đặt ẩn phụ Phương pháp lượng giác Phương pháp khác 1 Phương pháp tương đương Bất phương Phương pháp đặt ẩn phụ trình vơ tỉ Phương pháp khác 1 1 1 Phương trình chứa tham số 1 Bất phương trình chưa tham số 1 Kiểm tra, đánh giá 1 Tổng 21 12 2.4 Một số giáo án minh họa 2.4.1 Bài giảng số 1: Sử dụng phương pháp tương đương dạy học phần nội dung phương trình vơ tỉ 2.4.2 Bài giảng số Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ dạy học nội dung bất phương trình vơ tỉ TIỂU KẾT CHƢƠNG Trong chương này, trình bày nội dung sau: Nội dung kiến thức phần phương trình, bất phương trình vơ tỉ Cấu trúc nội dung phần phương trình, bất phương trình vơ tỉ Vận dụng số PPDH tích cực vào dạy học nội dung phương trình, bất phương trình vơ tỉ xây dựng số giáo án minh hoạ CHƢƠNG 3: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM 3.1 Mục đích thực nghiệm sƣ phạm 3.2 Nhiệm vụ thực nghiệm sƣ phạm 3.3 Nội dung thực nghiệm sƣ phạm 3.4 Phƣơng pháp thực nghiệm sƣ phạm 3.4.1 Kế hoạch Tiến hành công việc sau: - Chọn địa bàn TNSP: Chúng tiến hành TNSP trường THPT Việt Yên số 2; THPT Lục Ngạn số - Tỉnh Bắc Giang - Chọn giáo viên: + Có trình độ chun môn nghiệp vụ sư phạm vững vàng + Nhiệt tình, có trách nhiệm - Chọn lớp TN lớp ĐC: Chọn lớp TN lớp ĐC tương đương mặt sau: Số lượng HS; GV dạy; chất lượng học tập môn - Chọn dạy xây dựng giáo án: Chọn giảng số giảng số Giáo án TNSP: (xem chương 2) Trường THPT Đối tượng Lớp Sĩ số Bài dạy GV dạy ĐC 10A2 44 Bài giảng số Dương Thị TN 10A5 43 Bài giảng số Thúy Mai ĐC 10A2 43 Bài giảng số Việt Yên Lục Ngạn số Thân Thị Hiền TN 10A3 43 Bài giảng số 3.4.2 Tiến hành thực nghiệm sư phạm a/ Tiến hành dạy theo kế hoạch Các dạy tiến hành theo kế hoạch, theo giáo án xây dựng b/ Tiến hành kiểm tra - Tiến hành kiểm tra 30 phút sau dạy - Đề kiểm tra lớp TN lớp ĐC nhau, đáp án, GV chấm - Nội dung, đáp án kiểm tra: (xem phần phụ lục) 3.5 Kết thực nghiệm sƣ phạm 3.5.1 Kết thực nghiệm sư phạm Bảng 3.1: Kết kiểm tra Trường Đối Sĩs KT tượng ố ĐC THPT Bài Số HS đạt điểm Xi 10 44 0 11 10 1 TN 43 0 1 11 ĐC 44 0 2 1 TN 43 0 1 12 ĐC 88 0 10 18 19 15 12 2 TN 86 0 2 11 15 23 16 ĐC 43 0 10 TN 43 0 10 ĐC 43 0 10 10 TN 43 0 10 3 ĐC 86 0 11 19 20 12 TN 86 0 11 16 19 17 Bài Việt Yên Bài Tổng Bài Lục Ngạn Bài Tổng 3.5.2 Xử lí kết TNSP Bảng 3.2: Bảng phân phối tần suất tần suất tích lũy điểm kiểm tra trường THPT Việt Yên Trường THPT Việt Yên Số HS đạt Điểm X i điểm X i % HS đạt điểm X i f  Xi  % HS đạt điểm X i trở xuống f  X j ; j  i  ĐC TN ĐC TN ĐC TN 0 0 0 0 0 0 6.82 2.33 6.82 2.33 4.55 2.33 11.36 4.65 10 11.36 5.81 22.73 10.47 18 11 20.45 12.79 43.18 23.26 19 15 21.59 17.44 64.77 40.7 15 23 17.05 26.74 81.82 67.44 12 16 13.64 18.6 95.45 86.05 2.27 8.14 97.73 94.19 10 2.27 5.81 100 100 Tổng 88 86 100 100 Bảng 3.3: Bảng phân phối tần suất tần suất tích lũy điểm kiểm tra trường THPT Lục Ngạn Trường THPT Lục Ngạn % HS đạt điểm X i % HS đạt điểm X i trở xuống f X j ; j  i f  Xi  Số HS đạt điểm X i Điểm X i ĐC TN ĐC TN ĐC TN 0 0 0 0 0 0 3.49 3.49 8.14 3.49 11.63 3.49 11 12.79 6.98 24.42 10.47 19 11 22.09 12.79 46.51 23.26 20 16 23.26 18.6 69.77 41.86 12 19 13.95 22.09 83.72 63.95 8 17 9.3 19.77 90.91 83.72 4.65 9.3 97.67 93.02 10 2.33 6.98 100 100 Tổng 86 86 100 100 3.5.2.2 Vẽ đồ thị luỹ tích theo bảng phân phối tần suất tần suất luỹ tích Đồ t hị p hân p hối t ần suất t r ường T HPT V i ệt Y ên Đồ thị phân phối tần suất tích lũy trường THPT Việt Yên f (Xi ) 30 f(Xj; j