Dạy giải phương trình, bất phương trình vơ tỉ trường trung học phổ thông theo hướng phát giải vấn đề Đỗ Thị Bích Trường Đại học Giáo dục Luận văn ThS ngành: Lý luận phương pháp dạy học (Bộ mơn Tốn) Mã số: 60 14 10 Người hướng dẫn: TS Nguyễn Thị Hồng Minh Năm bảo vệ: 2012 Abstract Trình bày sở lý luận thực tiễn, trình bày số vấn đề tổng quan phương pháp dạy học (phương pháp phát giải vấn đề) PH&GQVĐ thực trạng dạy học nội dung phương trình, bất phương trình vơ tỉ trường (trung học phổ thông) THPT Nghiên cứu vận dụng phương pháp PH&GQVĐ dạy số phương pháp giải phương trình, bất phương trình, trình bày nghiên cứu đề xuất dạy số phương pháp giải phương trình, bất phương trình vơ tỉ theo hướng QH&GQVĐ Tiến hành thực nghiệm sư phạm kiểm chứng phương pháp đề xuất Keywords Phương pháp giảng dạy; Giải phương trình; Tốn học; Bất phương trình vơ tỉ Content MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Cùng với phát triển ngày nhanh toàn diện tất mặt khoa học, kinh tế, xã hội… người đứng trước thách thức phải có đủ lực để nhận thức giải vấn đề sinh thực tiễn cách nhanh nhạy linh hoạt Để làm điều lực phát giải vấn đề (PH&GQVĐ) cần phải hình thành rèn luyện từ ngồi ghế nhà trường Trong đường lối xây dựng phát triển đất nước, Đảng Nhà nước ta quan tâm đến nghiệp giáo dục, coi nghiệp giáo dục quốc sách hàng đầu Nghị Hội nghị lần thứ hai BCH Trung ương Đảng khoá VIII rõ đường đổi giáo dục đào tạo là: “Đổi mạnh mẽ phương pháp giáo dục đào tạo, khắc phục lối giáo dục chiều, rèn luyện thành nếp tư sáng tạo người học, phát triển phong trào tự học, tự đào tạo thường xuyên rộng khắp toàn dân, niên” Tuy đạt được nhiều thành lĩnh vực giáo dục đào tạo thời kỳ đổi vừa qua, hoàn thành phổ cập giáo dục tiểu học nước, việc đổi phương pháp giáo dục cịn nhiều bất cập, tình trạng dạy học kiểu “thầy đọc, trò chép”; thầy truyền đạt trò tiếp nhận, ghi nhớ cách thụ động, máy móc; dạy nhồi nhét “dạy kiểu luyện thi” thường xảy Vì xảy tình trạng học trị tiếp thu kiến thức thầy giáo cung cấp cách thụ động Trước tình hình đó, định hướng phát triển giáo dục đào tạo, Nghị Đại hội đại biểu toàn quốc lần thứ IX nhấn mạnh: “Tiếp tục quán triệt quan điểm giáo dục quốc sách hàng đầu tạo chuyển biến bản, toàn diện phát triển giáo dục đào tạo - Triển khai thực hiệu Luật Giáo dục Định hình qui mơ giáo dục đào tạo; điều chỉnh cấu đào tạo, cấu cấp học, ngành nghề cấu lãnh thổ, phù hợp với nhu cầu phát triển nguồn nhân lực phục vụ phát triển kinh tế - xã hội, nâng cao trình độ đội ngũ giáo viên cấp”, “Tiếp tục đổi chương trình nội dung, phương pháp giảng dạy phương thức đào tạo đội ngũ lao động có chất lượng cao, đặc biệt ngành kinh tế, kỹ thuật mũi nhọn, công nghệ cao” Thực theo đường lối, nghị đó, năm gần ngành Giáo dục Đào tạo có vận động đổi phương pháp dạy học, dạy học PH&GQVĐ đề cập quan tâm biện pháp hữu hiệu để người học hoạt động tự giác, tích cực, độc lập sáng tạo trình học tập, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục, đáp ứng nhu cầu ngày cao nghiệp công nghiệp hóa, đại hóa đất nước Phát huy tính tích cực học sinh hướng đổi nhiều nhà sư phạm nghiên cứu vận dụng cách có hiệu Ở Việt Nam, từ cuối thập kỷ 60 kỷ XX phương pháp Phạm Văn Hoàn quan tâm việc dạy học mơn Tốn Đặc biệt gần đây, có nhiều cơng trình nghiên cứu áp dụng phương pháp dạy học theo phạm vi, chủ đề nội dung cho đối tượng học sinh khác Điển hình cơng trình nghiên cứu Nguyễn Bá Kim, Trần Kiều, Nguyễn Hữu Châu nhiều tác giả khác Tuy nhiên trường trung học phổ thông nay, việc vận dụng phương pháp dạy học góp phần thực đổi phương pháp dạy học theo hướng vừa kể vào thực tiễn dạy học môn Tốn cịn nhiều hạn chế, cần phải tiếp tục nghiên cứu để áp dụng cách cụ thể Mặt khác mơn tốn mơn học có khả to lớn giúp học sinh phát triển lực phẩm chất trí tuệ, rèn luyện cho họ tư trìu tượng, rèn luyện cho học sinh lực PH&GQVĐ Thực tế dạy học Toán trường THPT cho thấy học sinh cịn khó khăn giải tốn phương trình, bất phương trình vơ tỉ chẳng hạn như: tìm điều kiện để phương trình có nghiệm, vơ nghiệm, nghiệm thoả mãn điều kiện đó… Với lý nêu trên, chọn đề tài nghiên cứu “Dạy giải phương trình, bất phương trình vô tỉ trường trung học phổ thông theo hướng phát giải vấn đề ” cho luận văn thạc sĩ chuyên ngành Lí luận phương pháp dạy học (bộ mơn Tốn) 2.Mục đích nghiên cứu Nhằm vận dụng phương pháp dạy học PH&GQVĐ để nâng cao chất lượng dạy học số phương pháp giải phương trình, bất phương trình vơ tỉ chương trình tốn THPT Nhiệm nghiên cứu - Nghiên cứu sở lý luận phương pháp dạy học PH&GQVĐ - Thiết kế toán nhằm vận dụng phương pháp dạy học PH& GQVĐ giúp học sinh phát đưa phương pháp giải cho dạng tốn - Thực nghiệm sư phạm để kiểm tra tính khả thi hiệu đề tài dạy học Phạm vi nghiên cứu Quá trình dạy học giải phương trình, bất phương trình vơ tỉ cho học sinh trường THPT Mẫu khảo sát Lớp 12A1, 12A2 trường THPT Thịnh Long Vấn đề nghiên cứu Làm để áp dụng phương pháp dạy học PH&GQVĐ vào dạy số phương pháp giải phương trình, bất phương trình vơ tỉ chương trình tốn THPT Giả thuyết khoa học Trên sở lý luận phương pháp dạy học PH&GQVĐ, thực tiễn dạy phương trình, bất phương trình vơ tỉ trường THPT khai thác vận dụng quy trình dạy học PH&GQVĐ dạy số phương pháp giải phương trình, bất phương trình vơ tỉ phát huy tối đa tính tích cực, chủ động, sáng tạo học sinh việc học tập mơn Tốn trường THPT Phƣơng pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lý luận: phân tích, tổng hợp hẹ thống hố vấn đề lý luận, nghiên cứu, tìm hiểu, phân tích sách báo, tài liệu cơng trình nghiên cứu khoa học có liên quan đến đề tài - Nghiên cứu thực tiễn: điều tra quan sát tiến trình dạy nội dung phương trình, bất phương trình vơ tỉ trường THPT - Thực nghiệm sư phạm Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, luận văn trình bày chương: Chương 1, sở lý luận thực tiễn, trình bày số vấn đề tổng quan phương pháp dạy học PH&GQVĐ thực trạng dạy học nội dung phương trình, bất phương trình vô tỉ trường THPT Chương 2, vận dụng phương pháp PH&GQVĐ dạy số phương pháp giải phương trình, bất phương trình, trình bày nghiên cứu đề xuất dạy số phương pháp giải phương trình, bất phương trình vơ tỉ theo hướng QH&GQVĐ Chương 3, thực nghiệm sư phạm kiểm chứng phương pháp đề xuất CHƢƠNG CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Phƣơng pháp dạy học phát giải vấn đề 1.1.1 Lịch sử phương pháp phát giải vấn đề Dạy học PH&GQVĐ đời cách hàng trăm năm nhiều tên gọi khác Trong thập kỷ 60-70 kỷ XX, phương pháp dạy học nhiều nhà khoa học giáo dục quan tâm, bình diện thực nghiệm rộng rãi nhiều môn học khác cho nhiều lứa tuổi học sinh phổ thông Đặc biệt cơng trình nghiên cứu Ơkơn, Đanhilov, Xcatkin, Rubinstein, Macchuskin, Kudriavse ([31], [32], [36]) “Ở Việt Nam, thời kỳ phương pháp dạy học có ảnh hưởng tác động đáng kể tới trình đổi phương pháp dạy học nhà trường phổ thơng, cơng trình nghiên cứu Phạm Văn Hoàn, Nguyễn Bá Kim, Nguyễn Hữu Châu”([4], [5], [10], [20]) 1.1.2 Những khái niệm a) Vấn đề Một vấn đề (đối với người học) biểu thị hệ thống mệnh đề câu hỏi (hoặc yêu cầu hành động) thoả mãn điều kiện sau: - Câu hỏi chưa giải đáp (hoặc yêu cầu hành động chưa thực hiện) - Chưa có phương pháp có tính chất thuật tốn để giải đáp câu hỏi thực yêu cầu đặt ([19]) đồng thời, theo Ơkơn ([36]), vấn đề phải có chưa biết, biết, phải có điều kiện quy định mối liên hệ yếu tố chưa biết biết b) Tình gợi vấn đề Tình gợi vấn đề, theo Nguyễn Bá Kim ([18, tr.116]) tình gợi cho học sinh khó khăn lý luận hay thực tiễn mà họ thấy cần thiết có khả vượt qua, khơng phải tức khắc nhờ quy tắc có tính chất thuật tốn, mà phải trải qua q trình tích cực suy nghĩ, hoạt động biến đổi đối tượng hoạt động, điều chỉnh kiến thức sẵn có Như vậy, tình gợi vấn đề cần thoả mãn điều kiện sau: - Tồn vấn đề - Gợi nhu cầu nhận thức - Khơi dậy niềm tin khả thân c) Phương pháp phát giải vấn đề Dạy học PH&GQVĐ hiểu tổ chức trình dạy học bao gồm việc tạo tình gợi vấn đề học, kích thích học sinh nhu cầu giải vấn đề nảy sinh, lôi em vào hoạt động nhận thức tự lực nhằm nắm vững kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo mới, phát triển tính tích cực trí tuệ hình thành cho em lực tự thơng hiểu lĩnh hội thơng tin khoa học ([18], [31]) Như theo Ơkơn q trình dạy học bao gồm hành động sau: - Tổ chức tình có vấn đề, phát vấn đề đặt vấn đề để giải vấn đề - Giúp đỡ học sinh điều cần thiết để giải vấn đề - Kiểm tra cách giải nghiên cứu lời giải để hệ thống hoá, củng cố kiến thức tiếp thu Tương ứng với bước hành động giáo viên, hành động học tập học sinh là: phát vấn đề nảy sinh tình có vấn đề, học sinh độc lập giải vấn đề điều khiển giáo viên, thực liên tưởng nhớ lại liên kết chúng với để củng cố kiến thức học Mục đích cuối học sinh nắm vững tri thức học cách thức “tự khám phá” tri thức d) Đặc điểm dạy học phát giải vấn đề Dạy học PH&GQVĐ có đặc trưng sau: - Học sinh đặt vào tình gợi vấn đề khơng phải thơng báo tri thức dạng có sẵn - Học sinh hoạt động tích cực, chủ động, sáng tạo huy động hết tri thức khả để PH&GQVĐ khơng phải nghe thầy giảng cách thụ động - Làm học sinh phát huy kỹ lĩnh hội kết q trình giải vấn đề mà cịn chỗ học sinh học thân việc học e, Những hình thức dạy học phát giải vấn đề Nguyễn Bá Kim [17] đưa ba hình thức dạy học PH&GQVĐ là: - Tự nghiên cứu vấn đề - Vấn đáp phát giải vấn đề - Thuyết trình phát giải vấn đề 1.1.3 Thực dạy học phát giải vấn đề a) Các bước dạy học phát giải vấn đề Theo quan điểm Nguyễn Bá Kim ([17,tr.192-196]) phân chia trình dạy học PH&GQVĐ thành bước sau: Bước 1: Phát thâm nhập vấn đề - Phát vấn đề từ tình gợi vấn đề thường thầy tạo ra, liên tưởng cách suy nghĩ tìm tịi, dự đốn - Giải thích xác hố tình (khi cần thiết) để hiểu vấn đề đặt - Phát biểu vấn đề đặt mục tiêu giải vấn đề Bước 2: Tìm giải pháp Tìm cách giải vấn đề Việc thường thực theo sơ đồ đây: Bắt đầu Phân tích vấn đề Đề xuất thực hướng giải Hình thành giải pháp Giải pháp S Đ Kết thúc Bước 3: Trình bày giải pháp Bước 4: Nghiên cứu sâu giải pháp - Tìm hiểu khả ứng dụng kết - Đề xuất vấn đề có liên quan nhờ xét tương tự, khái quát hoá, lật ngược vấn đề, giải b) Kỹ thuật tạo tình gợi vấn đề Để thực dạy học PH&GQVĐ, điểm xuất phát tạo tình gợi vấn đề Một số tình gợi vấn đề phổ biến, dễ gặp dễ thiết lập Chẳng hạn, tạo tình gợi vấn đề theo cách thơng dụng sau: (i) Dự đoán nhờ nhận xét trực quan thực nghiệm (tính tốn, đo đạc…) (ii) Lật ngược vấn đề (iii) Xem xét tương tự (iv) Khái quát hóa (v) Giải tập mà người học chưa biết thuật giải (vi) Tìm sai lầm lời giải (vii) Phát nguyên nhân sai lầm sửa chữa sai lầm c) Những ưu, nhược điểm phương pháp dạy học giải vấn đề Ưu điểm Phương pháp dạy học PH&GQVĐ phương pháp dạy học tích cực Nó phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo học sinh Phương pháp dạy học phù hợp với tư tưởng đại đổi mục tiêu phương pháp dạy học phù hợp với yêu cầu đổi thực tiễn, xây dựng người biết đặt giải vấn đề sống phù hợp với hệ giá trị chuẩn mực, người thực động lực phát triển bền vững nhanh chóng đất nước Phương pháp dạy học PH&GQVĐ kết hợp với nhiều hình thức tổ chức lớp học cách đa dạng phong phú lôi học sinh tham gia tập thể, động não, tranh luận, dẫn dắt gợi mở giáo viên thảo luận nhóm, báo cáo trình bày Nhược điểm Phương pháp dạy học PH&GQVĐ nhiều hạn chế mặt khách quan thời gian, giáo viên học sinh - Thời gian: Dạy học PH&GQVĐ tốn nhiều thời gian lớp nhà, đòi hỏi giáo viên học sinh phải kiên trì nỗ lực khơng ngừng - Giáo viên phải có trình độ xử lý tình sư phạm linh hoạt - Học sinh: Phải có trình độ tư định d, Những điểm cần ý vận dụng phương pháp phát giải vấn đề Khi vận dụng phương pháp PH&GQVĐ cần ý điểm sau: - Yêu cầu giáo viên phải có chuẩn bị giảng cơng phu (bởi vì, để đạt kết cao phương pháp dạy học này, giáo viên phải chuẩn bị nhiều câu hỏi, nhiều tốn, nhiều tình có vấn đề… cho nhiều đối tượng học sinh) - Khi tiến hành dạy học lớp có số học sinh đơng, tạo tình có vấn đề cách thật khéo léo; khơng có nguy bị bỏ rơi số lượng lớn học sinh 1.1.4 Dạy học phát giải vấn đề mơn Tốn định hướng đổi phương pháp dạy học mơn Tốn trường THPT a) Vận dụng dạy học phát giải vấn đề mơn Tốn Việc vận dụng dạy học PH&GQVĐ mơn Tốn, theo Phạm Văn Hồn, Trần Thúc Trình, Nguyễn Gia Cốc [10] có nghĩa phải tổ chức việc dạy học toán cho em ln đứng trước tình có vấn đề mang tính chất tốn học phải giải quyết, phải ln ln tìm tịi phát vấn đề sáng tạo đường để giải vấn đề (tự rút cơng thức tự chứng minh định lý, tìm cách ghi nhớ cách tích cực cần kiến thức cần lĩnh hội tự tìm thuật tốn giải tốn điển hình, tự tìm cách giải hay gọn tốn lí thuyết hay thực hành…) Kết học sinh lĩnh hội kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo đồng thời học cách tự khám phá Khi vận dụng dạy học PH&GQVĐ mơn Tốn cần phải ý hình thành rèn luyện cho học sinh thao tác tư bản, đặc biệt thao tác tương tự hoá, đặc biệt hoá, khái quát hoá, tổng quát hoá Khi dạy theo phương pháp PH&GQVĐ cần ý vận dụng quan điểm “dạy học toán dạy hoạt động toán học” b) Định hướng đổi phương pháp dạy học Như trình bày với tư tưởng chủ đạo mục đích q trình dạy học tích cực hố hoạt động học tập người học, tổ chức, hướng dẫn cho học sinh tự tìm hiểu, tự PH&GQVĐ sở họ phải tự giác tự do, tạo khả tạo điều kiện chủ động hoạt động Đồng thời, thực đổi phương pháp dạy học cần phải tham khảo chọn lọc kinh nghiệm giới đặc, biệt phải bám sát hướng đổi họ Chẳng hạn thực phương pháp đổi dạy học sau: - Dạy học PH&GQVĐ - Dạy học hợp tác - Dạy học sử dụng phiếu học tập - Dạy học theo tư tưởng lý thuyết kiến tạo - Dạy học với máy tính điện tử nói riêng dạy học có tính áp dụng thành tựu cơng nghề tin học nói chung Dạy học PH&GQVĐ có khả góp phần tích cực thực đổi phương pháp dạy học theo hướng kể Sử dụng phương pháp dạy học khơng địi hỏi phải có thay đổi lớn chế trường lớp, học, sở vật chất hay trình độ giáo viên Phương pháp dạy học tỏ phù hợp vận dụng vào tình cụ thể dạy học tốn Vì vậy, coi phương pháp dạy học PH&GQVĐ hướng quan trọng để đổi phương pháp dạy học nước ta 1.2 Dạy học nội dung phƣơng trình, bất phƣơng trình vơ tỉ trƣờng THPT Vị trí, nội dung phần phương trình, bất phương trình vơ tỉ chương trình tốn THPT - Ở THCS học sinh biết đến khái niệm thức, số phương trình vơ tỉ đơn giản - Ở THPT: Ở lớp 10 học sinh học phương trình, bất phương trình vơ tỉ dạng f  x   g  x  , f  x   g  x  , f  x   g  x  phương trình, bất phương trình chứa quy bậc hai Nhưng lớp 10 học sinh giải phương trình, bất phương trình phương pháp biến đổi tương đương, biến đổi hệ quả, điều kiện cần đủ Đến lớp 11 12, nhờ có có cơng cụ lượng giác, đạo hàm, hình học, tính liên tục, đơn điệu hàm số, sử dụng định lý Roll, Lagrange,…làm cho phương pháp giải phương trình, bất phương trình vơ tỉ đa dạng phong phú CHƢƠNG DẠY MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỈ THEO HƢỚNG PHÁT HIỆN VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 2.1 Định hƣớng chung Chương trình bày số phương pháp dạy học giải phương trình, bất phương trình vơ tỉ theo hướng PH&GQVĐ Trong chủ đề việc PH&GQVĐ gợi mở nảy sinh, bổ sung theo trình tự phát triển tình khai thác tốn Trong chủ đề, phương pháp dạy học xây dựng theo bước: - Gợi vấn đề phát vấn đề: trước hết lựa chọn đưa tình có vấn đề, sau hướng dẫn học sinh bước giải vấn đề - Đề xuất trình bày giải pháp: Từ tình nêu giáo viên hướng dẫn học sinh phát đưa phương pháp giải vấn đề - Nghiên cứu sâu giải pháp: gợi số vấn đề liên quan khác cách: từ mồt số ví dụ, số dạng toán liên quan yêu cầu học sinh khái quát hoá đề xuất phương pháp giải dạng tốn có củng cố cách giải vấn đề nêu - Chọn lọc số tập cho học sinh vận dụng: tập giúp học sinh tự luyện tập, vận dụng theo cách giải vấn đề có đồng thời PH&GQVĐ nảy sinh Trong trình xây dựng lựa chọn tập chủ yếu dựa vào tài liệu tham khảo, số vấn đề thi đại học, cao đẳng năm gần theo mức độ từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp phù hợp với trình độ nhận thức học sinh, rèn cho học sinh kĩ phát vận dụng phương pháp giải vấn đề Qua học sinh dần hình thành phát triển kĩ phát vấn đề, giải vấn đề, củng cố kiến thức rèn luyện kĩ giải toán 2.2 Phƣơng pháp biến đổi tƣơng đƣơng Phương pháp biến đổi tương đương nhằm đưa phương trình, bất phương trình dạng tương tự, đơn giản dễ giải Khi sử dụng phương pháp học sinh cần phải rèn luyện kĩ nhận dạng thực phép biến đổi tương đương, đồng thời củng cố kiến thức tính chất đẳng thức, bất đẳng thức tương đương, điều kiện để hai phương trình, bất phương trình tương đương cách giải phương trình tương đương Cách giải số dạng phương trình, bất phương trình phương pháp biến đổi tương đương:  f ( x)  g ( x) f ( x)  g ( x)    g ( x)   f ( x)  g ( x) 2, f ( x)  g ( x)    g ( x)  1,  g ( x)  f ( x)  g ( x)    f ( x)  g ( x)   f ( x)     g ( x)  4, f ( x)  g ( x),    g ( x)     f ( x)  g ( x)   f ( x)   5, f ( x)  g ( x)   g ( x)   f ( x)  g ( x)  6, f ( x)  g ( x)  h( x) 3,  f ( x)  g ( x)  3 f ( x).g ( x)( f ( x)  g ( x))  h( x) Thay f ( x)  g ( x)  Ta phương trình h( x ) f ( x)  g ( x)  3 f ( x).g ( x).h( x)  h( x) (*) Chú ý: - Phương trình (*) phương trình hệ giải xong (*) nhớ kiểm tra lại xem có thoả mãn hay khơng - Học sinh áp dụng tương tự cho trường hợp dấu ,  bất phương trình 2.3 Phƣơng pháp đặt ẩn phụ Có nhiều trường hợp giải phương trình, bất phương trình vơ tỉ mà biến đổi tương đương ta phương trình, bất phương trình phức tạp, bậc cao,…Khi ta sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ nhằm đưa phương trình, bất phương trình phương trình, bất phương trình đơn giản dễ dàng giải Có bước phương pháp này: Bước 1: Đặt ẩn phụ tìm điều kiện cho ẩn phụ Bước 2: Đưa phương trình ban đầu phương trình có biến ẩn phụ, giải phương trình vừa tạo ra, đối chiếu điều kiện để chọn nghiệm thích hợp Bước 3: Giải phương trình cho ẩn phụ vừa tìm kết luận nghiệm Phương pháp dạy học PH&GQVĐ áp dụng cách hiệu nội dung dạy học 2.3.1.Phương pháp đặt ẩn phụ đưa phương trình, bất phương trình bậc hai ẩn Dạng 1: Phương trình dạng Af ( x)+B f ( x)  C  , đặt f ( x)  t (t  0) (điều kiện tối thiểu t ) đưa phương trình dạng At  Bt  C  f ( x)  g ( x), f ( x) g ( x) Dạng 2: Nếu phương trình có chứa f ( x)  g ( x)  t  ta đặt f ( x) g ( x) = t  k  h( x) (trong k  const) đưa phương trình dạng At  Bt  C  Dạng 3: Nếu phương trình có chứa dạng ax  bx  c1 ; ax  bx  c2 ; ax  bx  c3 đặt ax  bx  t (hoặc ax  bx  c1  t ) phương trình 2 t  c1 ; t  c2 ; t  c3 Dạng 4: Phương trình dạng a n f ( x)  b n g ( x)  c n f ( x).g ( x) 2 xét f ( x)  , f ( x)  chia hai vế cho n f ( x) đặt n g ( x)  t đưa phương trình dạng f ( x) At  Bt  C  Chú ý: Đối với phương trình, bất phương trình chứa tham số đặt ẩn phụ thiết phải tìm điều kiện cho ẩn phụ Để tìm điều kiện cho ẩn phụ sử dụng định lí, đạo hàm, bất đẳng thức, dấu tam thức bậc hai… 2.3.2.Phương pháp đặt ẩn phụ không triệt để Cách giải phương trình dạng af ( x)  g ( x) f ( x)  h( x)  f ( x)  t đưa phương trình ẩn t : at  g ( x)t  h( x)  Giải phương trình ẩn t xem x tham số (phương trình chứa x t nên gọi dạng Đặt đặt ẩn phụ không triệt để) 2.3.3.Đặt ẩn phụ đưa hệ phương trình - Dạng 1: Cách giải phương trình dạng F ( f ( x), n f ( x)  a , m b  f ( x))  c f ( x)  a  u m b  f ( x)  v  f (u, v)  c Ta đựơc hệ phương trình  n m u  v  a  b Giải hệ u, v từ tìm x Chú ý: Chỉ cần tìm x cách giải hai phương trình n f ( x)  a  u m b  f ( x)  v Đặt n - Dạng 2: Cách giải phương trình dạng ( f ( x))  b  a n n af ( x)  b t n  b  ay  Đặt t  f ( x), y  af ( x)  b ta hệ  n  y  b  at  n 2.4 Phƣơng pháp lƣợng giác hố Đối với số phương trình chứa thức, ta chuyển chúng sang tốn lượng giác mà ta gọi phương pháp lượng giác hoá Việc lượng giác hoá toán làm cho việc giải tốn trở nên đơn giản - Dạng 1: Nếu phương trình, bất phương trình chứa a  x , x   a; a      ;  2  Thì ta đặt x  acost (0  t   ) x  a sin t , t   - Dạng 1: Nếu tốn có chứa x  a đặt a     , t   ;  \ 0 sin t  2 a   x  , t  0;  \   cost 2 x - Dạng 1: Tuỳ vào phương trình có chứa biểu thức: 1 (hoặc  cot t  ) cos t sin t x3  3x tương ứng với công thức 4cos3t  3cost = cos3t 2x x  y x  1; ; mà chọn biến đặt cho thích hợp  x  xy  x tương ứng với  tan t  Lời giải toán sử dụng phương pháp lượng giác hố gồm: B1: Tìm điều kiện x  D (nếu cần) B2: Đặt x   (t ) chuyển điều kiện x điều kiện tương ứng t  D1 B3: Chuyển phương trình, bất phương trình phương trình bất trình lượng giác B4: Giải phương trình bất phương trình lưọng giác thu B5: Quay toán đại số ban đầu 2.5 Phƣơng pháp hàm số Để giải số phương trình, bất phương trình vơ tỉ ta khảo sát biến thiên hàm số cách sử dụng đạo hàm tính chất hàm số làm cho cách giải toán trở nên đơn giản Một số cách giải phương trình, bất phương trình dựa vào tính chất hàm số: - Dạng 1: Hàm số y  f ( x) xác định D  R đơn điệu D Giả sử x0  D : f ( x0 )  m phương trình f ( x0 )  m có nghiệm x  x0 - Dạng 2: Nếu y  f ( x) xác định, liên tục đơn điệu D  R phương trình f ( x)  f (t )  x  t - Dạng 3: Cho y  f ( x) y  g ( x) hai hàm số xác định D  R biến thiên ngược Giả sử x0  D : f ( x0 )  g ( x0 ), phương trình f ( x)  g ( x) có nghiệm x  x0 - Dạng 4: Nếu f đồng biến D  D f ( D f tập xác định f ) D ta có f ( x)  f ( x0 )  x   x0 ;    D, f ( x)  f ( x0 )  x   x0 ;  )  D, f ( x)  f ( x0 )  x  (; x0 )  D, f ( x)  f ( x0 )  x  (; x0   D - Dạng 5: Nếu hàm số nghịch biến D  D f D ta có f ( x)  f ( x0 )  x   ; x0   D, f ( x)  f ( x0 )  x  (; x0   D, f ( x)  f ( x0 )  x  ( x0 ; )  D, f ( x)  f ( x0 )  x   x0 ; )  D Chú ý: Sử dụng nhận xét (4,5 ) vào để giải bất phương trình 2.6 Phƣơng pháp đánh giá Trong giải số phương trình vơ tỉ ta sử dụng việc đánh giá hai vế phương trình với số để dẫn đến điều kiện xảy phương trình tìm nghiệm chúng Các cơng cụ thường sử dụng q trình đánh giá vế thường bất đẳng thức Cosi, Bunhiacopski, đẳng thức đáng nhớ,…Trong đánh giá cần ý đến trường hợp dấu xảy sử dụng bất đẳng thức Phương pháp đánh giá học sinh cần phải củng cố kiến thức đồng thời rèn khả nhận dạng sử dụng bất đẳng thức hay đẳng thức thích hợp vào toán 2 - Dạng 1: : Ta có f ( x)  g ( x)  (1)  g ( x)   f ( x)  (1)   VT  K VT  K  PT   VP  K VP  K - Dạng 2: Dùng bất đẳng thức ta chứng minh  - Dạng 3: Dùng bất đẳng thức ta chứng minh VT  VP(VT  VP) dấu “=” xảy sử dụng bất đẳng thức  PT  VT  VP - Dạng 4: f ( x)  A, f ( x) xác định D , x0  D : f ( x0 )  A chứng minh x  D : x  x0  f ( x)  A( f ( x)  A), x  D : x  x0  f ( x)  A( f ( x)  A) Phương trình có nghiệm x  x0 2.7 Phƣơng pháp hình học Trong thực tế, giải số phương trình vơ tỉ ta sử dụng phương pháp giải đại số việc sử dụng phương pháp làm cho tốn phức tạp ta sử dụng phương pháp hình học để giải chúng làm cho việc giải toán trở nên đơn giản Ta sử dụng kiến thức vecto, tính chất, phép tốn vecto vận dụng vào để giải phương trình     - Dạng 1: Sử dụng v  u  v  u (1) Trong đó:   u   x1 , y1  , v   x2 , y2    u  x12  y12 ; v  x2  y2   uv   x1  x2    y1  y2    dấu “=” xảy u ; v hướng      x1 y1   x2 y2 - Dạng 2: Sử dụng u  v  u  v   dấu “=” xảy u ; v hướng     x1 y1   k  x2 y2 - Dạng 3: u.v  u v   dấu “=” xảy u ; v hướng 2 - Dạng 4: u    dấu “=” xảy u  2.8 Kết luận chƣơng Trong chương luận văn, tác giả trình bày số phương pháp giải phương trình, bất phương trình vô tỉ theo hướng PH&GQVĐ Thông qua việc vận dụng phương pháp PH&GQVĐ vào dạy nội dung này, tập vận dụng giúp học sinh nhớ kỹ sâu sắc phương pháp giải, đồng thời giúp học sinh bước đầu nhận dạng dạng toán cụ thể cách giải chúng CHƢƠNG THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM 3.1 Mục đích, nội dung thực nghiệm sƣ phạm 3.1.1 Mục đích thực nghiệm sư phạm Thực nghiệm sư phạm nhằm bước đầu kiểm tra tính thực tiễn đề tài qua thực tế giảng dạy học tập trường phổ Đồng thời thực nghiệm sư phạm minh hoạ kiểm tra bước đầu tính khả thi tính hiệu việc vận dụng phương pháp PH &GQVĐ vào dạy số phương pháp giải phương trình, bất phương trình vô tỉ 3.1.2 Nội dung thực nghiệm sư phạm Nội dung thực nghiệm dạy giáo án soạn Sau dạy, cho HS lớp thực nghiệm lớp đối chứng làm kiểm tra tự luận thời gian 60 phúp 3.2 Tổ chức thực nghiệm 3.2.1 Tổ chức thực nghiệm - Chuẩn bị giáo án thực nghiệm - Giáo viên dạy thực nghiệm: Đỗ Thị Bích - Tiến hành thực nghiệm: Dạy thực nghiệm số phương pháp trình bày chương lớp 12A1 (nội dung tiết dạy trình bày cụ thể giáo án) Sau cho HS làm kiểm tra dưói dạng tự luận lớp thực nghiệm lớp đối chứng để đánh giá kết - Đánh giá kết thực nghiệm Thời gian thực nghiệm: 15/03/2012 đến 14/04/2012 3.2.2 Giáo án thực nghiệm sư phạm Chúng thiết kế giáo án thực nghiệm dạy giải phương trình, bất phương trình đặt ẩn phụ theo hướng PH&GQVĐ 3.3 Kết thực nghiệm sƣ phạm Để đánh giá kết thực nghiệm sư phạm, tác giả soạn đề kiểm tra với thời gian làm 45 phút, cho hai lớp làm điều kiện tổ chức lớp nhau, đánh giá kết hai lớp Bài Lớp Lớp thực nghiệm Lớp đối chứng 43/45 95,5% 38/45 84,% 45/45 100% 40/45 87,7% 42/45 93,3% 9/45 20% *) Ý kiến đánh giá giáo viên dự phản hồi học sinh qua tiết dạy thực nghiệm Chúng biên soạn phiếu đánh giá phiếu hỏi để lấy ý kiến giáo viên học sinh Kết thống kê đây: - Kết đánh giá giáo viên dự thực nghiệm sư phạm: + Chất lượng soạn: tốt: 98%; khá: 2%; trung bình: 0%; khơng tốt: 0% + Về đổi PPDH: đổi mới: 98%; tương đối đổi mới: 2%; có đổi mới:0%; bình thường: 0% + Về tính khả thi: khả thi:98%; tương đối khả thi: 2%; bình thường: 0%; khơng khả thi: 0% + Hiệu dạy thực nghiệm: hiệu quả:99%; hiệu quả: 1%; bình thường: 0%; khơng hiệu quả: 0% - Ý kiến học sinh dạy thực nghiệm: Giờ dạy tạo khơng khí học tập sơi nổi, HS hứng thú, tích cực, thi đua tìm hướng giải cho tốn Hiệu rõ em chắn việc giải dạng tốn mà em tìm phương pháp giải Biết cách vận dụng thích hợp phương pháp vào toán cụ thể 3.4 Kết luận chƣơng Thực nghiệm sư phạm tiến hành phạm vi chưa rộng, song kết thu cho thấy: lớp thực nghiệm, hầu hết HS nắm phương pháp giải nhanh chóng vận dụng phương pháp giải thích hợp vào toán cụ thể Biết phân dạng tập có cung phương pháp giải vào nhóm kết kiểm tra lớp thực nghiệm cao lớp đối chứng Ở lớp đối chứng, việc HS lựa chọn phương pháp thích hợp để giải tập cụ thể khó khăn hơn, lâu em xác định phuơng pháp giải cho toán Theo đánh giá giáo viên dự ý kiến phản hồi HS: dạy thể tinh thần đổi PPDH, giáo án thực nghiệm sư phạm có tính khả thi hiệu KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ Kết luận Qua trình nghiên cứu thực đề tài: “Dạy số phương pháp giải phương trình, bất phương trình vơ tỉ trường Trung học phổ thông theo hướng phát giải vấn đề”, số kết thu sau: Luận văn trình bày tổng quan vấn đề sở lý luận phương pháp dạy học PH&GQVĐ, bao gồm: khái niệm vấn đề, tình gợi vấn đề, phương pháp dạy học PH&GQVĐ, bước thực dạy học PH&GQVĐ, kỹ thuật tạo tình gợi vấn đề… Trên sở nghiên cứu lý luận tổng kết kinh nghiệm nhà sư phạm, dựa vào nghiên cứu thực tiễn trình dạy nội dung phương tình, bất phương trình vơ tỉ, luận văn trình bày số phương pháp cụ thể dạy học giải phương trình, bất phương trình vơ tỉ sở bước dạy học theo phương pháp PH &GQVĐ phương pháp trình bày với phân tích cụ thể, tốn áp dụng gợi ý dẫn dắt lời giải trình dạy học Kết thực nghiệm sư phạm phản ánh việc vận dụng phương pháp PH&GQVĐ vào thực tiễn q trình dạy học có tính khả thi hiệu Khuyến nghị Qua nghiên cứu đề tài trình thực nghiệm, để việc vận dụng phương pháp PH&GQVĐ vào dạy học mơn Tốn trương THPT, rèn luyện lực phát vấn đề giải vấn đề cho học sinh cách hiệu quả, chúng tơi xin có số khuyến nghị sau: Một là, vận dụng phương pháp PH &GQVĐ để xây dựng nội dung chủ đề cho việc giảng dạy mơn Tốn THPT Hai là, trường THPT nên thường xuyên tổ chức hội thảo giảng dạy, học tập trao đổi kinh nghiệm biên soạn tài liệu giảng dạy theo hướng đổi phương pháp dạy học, có phương pháp dạy học PH &GQVĐ References Bộ giáo dục đào tạo (2005), Tài liệu bồi dưỡng: "Nâng cao lực cho giáo viên THPT đổi PPDH Toán học" Viện Nghiên cứu Sư phạm ĐHSP Hà Nội Nguyễn Hữu Châu, Phương pháp dạy học mơn Tốn, tập giảng dành cho học viên cao học, Đại học Giáo Dục - Đại học Quốc gia Hà Nội, 2011 Nguyễn Hữu Châu (2005), Những vấn đề chương trình trình dạy học Nhà xuất Giáo dục Hà Nội Nguyễn Hữu Châu, Dạy học giải vấn đề mơn Tốn NCGD số - 1995 Nguyễn Hữu Châu, Giải vấn đề cách phân loại vấn đề mơn Tốn Trường phổ thông TCKHGD số 54 - 1996 Đảng Cộng sản Việt Nam, Văn kiện Đại hội Đại biểu toàn quốc lần thứ IX Nxb Chính trị quốc gia, Hà Nội, 2001 Lê Hồng Đức (Chủ biên) (2005), Các phương pháp giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình vơ tỉ Nxb Hà Nội Lê Hồng Đức - Lê Bích Ngọc - Lê Hữu Trí, Phương pháp giải toán dại số Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội, 2010 Nguyễn Sơn Hà, Vận dụng phương pháp đàm thoại phát vàGQVĐ dạy học bất đẳng thức cho HS giỏi ĐHSP HN, 2007 10 Phạm Văn Hồn (Chủ biên), Nguyễn Gia Cốc, Trần Thúc Trình, Giáo dục học mơn Tốn NXB Giáo dục, Hà Nội, 1981 11 Trần Cẩm Huyền (2010), Vận dụng PPDH phát vàGQVĐ vào dạy học Hệ thức lượng tam giác, luận văn Thạc sĩ K16 ĐHSP ĐH Thái Nguyên 12 Nguyễn Thị Phƣơng Hoa, Lý luận dạy học đại, tập giảng dành cho học viên cao học Đại học Giáo Dục - Đại học Quốc gia Hà Nội, 2010 13 Nguyễn Bá Kim, Phương pháp dạy môn Toán Nxb Đại học Sư phạm, Hà Nội, 2003 14 Nguyễn Bá Kim (chủ biên), Bùi Huy Ngọc, Phương pháp dạy học đại cương mơn tốn Nxb Đại học Sư phạm, Hà Nội, 2006 15 Nguyễn Bá Kim, Vũ Dƣơng Thuỵ, Phương pháp dạy học mơn Tốn Nxb Giáo dục, Hà Nội, 1992 16 Nguyễn Bá Kim, Quy trình phát vàGQVĐ mơn Tốn Tạp chí Giáo dục số 38, tháng 9/2002 17 Nguyễn Bá Kim, Phương pháp dạy học mơn Tốn NXB Đại học Sư phạm, Hà Nội, 2008 18 Nguyễn Bá Kim (Chủ biên), Vũ Dƣơng Thụy, Phương pháp dạy học mơn Tốn (Phần - Phần đại cương) NXB Giáo dục, Hà Nội, 2001 19 Nguyễn Bá Kim (Chủ biên), Đinh Nho Chƣơng, Nguyễn Mạnh Cảng, Vũ Dƣơng Thụy, Nguyễn Văn Thƣờng, Phương pháp dạy học mơn Tốn (Phần hai - Dạy học nội dung bản) NXB Giáo dục, Hà Nội, 1994 20 Nguyễn Bá Kim, Vƣơng Dƣơng Minh, Nguyễn Sỹ Đức, Tính giải vấn đề tồn q trình dạy học TCKHGD số 65 – 1998 21 Nguyễn Văn Mậu ( Chủ biên) (2009), Một số chuyên đề đại số bồi dưỡng học sinh giỏi THPT Nxb Giáo dục 22 Hoàng Lê Minh (2007), “Dạy học mơn Tốn trường THPT đáp ứng mục tiêu giáo dục kỷ XXI”, Tạp chí Khoa học trường ĐHSP Hà Nội, số 3, tr – 14 23 Phan Thị Kim Ngân (2011), Vận dụng phương pháp dạy học Đàm thoại phát vào dạy học Dãy số Giới hạn Dãy số lớp 11 THPT, luận văn Thạc sĩ, K19 ĐHSP Hà Nội 24 Nguyễn Thị Kim Nhung, Vận dung phương pháp dạy học phát giải vấn đề kết hợp sử dung phần mềm GSP dạy học só chủ đề Hình học khơng gian lớp 11 ĐHSP HN, 2004 25 Bùi Văn Nghị (2009), Vận dụng lý luận vào thực tiễn dạy học mơn Tốn trường phổ thông Nhà xuất Đại học sư phạm, Hà Nội 26 Bùi Văn Nghị (2008), Phương pháp dạy học nội dung cụ thể mơn Tốn Nhà xuất Đại học sư phạm, Hà Nội 27 Bùi Văn Nghị, Nguyễn Thị Thanh Bình, 2008, Dạy học phát giải vấn đề "định lí Ta lét tam giác"(HH 8) Tạp chí Giáo dục số 199, tháng 10/2008, trang 31 28 Bùi Văn Nghị, Khamkhong Sibuarkham (2010), Hệ thống câu hỏi phương pháp đàm thoại phát Tạp chí Giáo dục số 230, tháng 1/2010, trang 35 29 Nguyễn Quý Sửu, Dạy học "Tọa độ không gian" phương pháp phát giải vấn đề K3 ĐHGD ĐHQGHN, 2009 30 Nguyễn Thị Trà, Phát triển tư sáng tạo cho học sinh phổ thông theo hướng sử dụng phương pháp dạy học phát giải vấn đề ĐH Huế, 2007 31 I F Kharlamơp, Phát huy tính tích cực học sinh nào? NXB Giáo dục, Hà Nội, 1978 32 I Ia.Lerner, Dạy học nêu vấn đề NXB Giáo dục, Hà Nội, 1997 33 G.Polya (1997), Giải Toán Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội 34 G.Polya: Toán học suy luận có lý NXB Giáo dục, Hà Nội, 1995 35 G.Polya: Sáng tạo toán học NXB Giáo dục, Hà nội, 1997 36 V Ơkơn, Những sở việc dạy học nêu vấn đề (sách bồi dưỡng giáo viên) NXB Giáo dục, Hà Nội, 19 ... chọn đề tài nghiên cứu ? ?Dạy giải phương trình, bất phương trình vơ tỉ trường trung học phổ thông theo hướng phát giải vấn đề ” cho luận văn thạc sĩ chuyên ngành Lí luận phương pháp dạy học (bộ... cho phương pháp giải phương trình, bất phương trình vơ tỉ đa dạng phong phú CHƢƠNG DẠY MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỈ THEO HƢỚNG PHÁT HIỆN VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 2.1... KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ Kết luận Qua trình nghiên cứu thực đề tài: ? ?Dạy số phương pháp giải phương trình, bất phương trình vơ tỉ trường Trung học phổ thông theo hướng phát giải vấn đề? ??, số kết