Chương - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Z Quan hệ sử dụng để xác định H(z) hệ thống mô tả phương trình sai phân với hệ số dạng : N y(n) = - ∑ a k y(n − k ) + k =1 M ∑b k =0 k x (n − k ) Lấy biến đổi Z hai vế : N Y(z) = - ∑ a k Y(z) z-k + k =1 M ∑b k =0 k X(z) z-k  N  M   k =1   k =0  Y(z) 1 + ∑ a k z −k  = X(z) ∑ b k z −k  M H(z) = Y(z) = X(z) ∑b z k =0 N −k k 1+ ∑ akz (2.26) −k k =1 → Nhận xét biết tín hiệu vào x(n) đáp ứng xung h(n), để tìm đáp ứng ngõ y(n) ta thực bước sau : ° Biến đổi Z x(n) h(n) x(n) ← z X(z), → ° Tìm h(n) ← z H(z) → Y(z) = X(z) H(z) ° Biến đổi ngược z Y(z) để tìm y(n) Ví dụ 2.18 : Hãy xác định hàm truyền đạt H(z) đáp ứng xung h(n) hệ thống nhân mô tả phương trình sai phân : y(n) = y(n-1) + 2x(n) Giải : Lấy biến đổi Z hai vế phương trình Y(z) = -1 z Y(z) + 2X(z) H(z) = Y(z) = X(z) 1 − z −1 n ⇒ 1 h(n) =   u(n)  2 Xử Lý Tín Hiệu Số 69 Chương - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Z b Hàm truyền đạt hệ thống kết nối : Trong nhiều trường hợp, ta gặp hai hay nhiều lọc mắc nối tiếp (còn gọi mắc chồng) song song Lúc tính toán đáp ứng tần số toàn thể thuận lợi tính toán đáp ứng xung cho toàn thể • Hàm truyền đạt ghép nối tiếp : Hình 2.6 H(z) = H1(z) H2(z) … Hn (z) với n nguyên dương (2.28) • Hàm truyền đạt ghép song song : Hình 2.7 H(z) = H1(z) + H2(z) + … + Hn (z) với n nguyên dương (2.29) • Đặc biệt hai lọc mắc nối tiếp, ta coù : H(z) = H12(z) X(z) H1(z) H1(z)X(z) H2(z) Y(z) = [H1(z) H2(z)]X(z) Hình 2.6 H1(z)X(z) H1(z) X(z) Y(z) = [H1(z) + H2(z)]X(z) H2(z)X(z) H2(z) Hình 2.7 2.5.2 Giải Phương Trình Sai Phân Tuyến Tính Hệ Số Hằng Nhờ Biến Đổi Z Vì việc giải phương trình sai phân thường kèm với điều kiện đầu khác không Vì ta cần ứng dụng biến đổi Z phía để giải phương trình Trước hết, ta xét biến đổi Z hàm số : x(n – m) với n ≥ x(n – m) ← → z (2.30) Xm(z) = ∞ ∑ x(n − m) z-n Đặt k = n– m n =0 = ∞ ∑ x(k) z-k-m = z-m k =− m  −1 ∞ ∑ x(k) z-k k =− m ∞  −k −k = z-m  k∑ x (k )z + ∑ x (k )z  k =0  =− m  Xử Lý Tín Hiệu Số 70 Chương - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Z  -m  X ( z ) + =z  m ∑ x (− k )z k =1 k    Ví dụ 2.19 : Giải phương trình sai phân sau 2x(n – 2) – 3x(n – 1) + x(n) = 3n-2 Biết điều kiện đầu x(-2) = - , x(-1) = - với n ≥ Giải : Lấy biến đổi Z phía vế phương trình : {z −2 X(z) + z −1 x (−1) + x (−2)} - {z −1X(z) + x (−1)} + X(z) = 3-2 Thay : x(-2) = - Ta : X(z) = , x(-1) = - z z−3 z (z − 1)(z − 3) Để tìm biến đổi ngược Z, ta phân chia X(z) thành tổng hai phân thức: X(z) = - z z 1 1 + = + −1 z −1 z − 1− z − 3z −1 Suy 1 x(n) = - u(n) + 3nu(n) 2 Miền hội tụ ROC z > 2.5.3 Độ n Định Và Tiêu Chuẩn Jury 2.5.3.1 Sự n Định Của Một Hệ Thống Tuyến Tính Bất Biến Ổn định đặc tính quan trọng hệ thống sử dụng thực tế Một hệ thống gọi ổn định với dãy đầu vào bị chặn, ta có dãy đầu bị chặn Nói khác đi, tín hiệu đầu vào hệ thống, đầu hệ thống xuất tín hiệu, trường hợp hệ thống không ổn định Tính ổn định hệ thống tuyến tính bất biến theo thời gian biểu diển thông qua đặc tính hàm truyền đạt Trong phần trước học ta biết điều kiện cần đủ để bảo đảm tính ổn định hệ thống tuyến tính bất biến theo thời gian : ∞ ∑ h (n ) r, với r < ROC r Hình 2.9 Ta nhận xét ROC chứa cực H(z) Do vậy, suy hệ thống LTI nhân ổn định tất cực H(z) nằm bên vòng tròn đơn vị Xử Lý Tín Hiệu Số 72 Chương - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Z Ví dụ 2.21 : Xét hệ thống LTI có hàm truyền đạt : z −α H(z) = Với α số thực, dương Hãy tìm điều kiện ổn định hệ thống ? Giải : Điểm cực H(z) z = α Vậy để hệ thống ổn định ta phải có α< Bây ta kiểm tra lại điều miền thời gian Trước hết ta thực phép biến đổi ngược Z để tìm đáp ứng xung h(n) z−1 = z − α − αz−1 Ta coù H(z) = Suy h(n) = α n−1 u(n – 1) h(0) = 0; h(1) = 1; Trường hợp α < h(n) h(3) = α2 h(2) = α; Trường hợp α > h(n) α α α α2 n Hệ ổn định n Hình 2.10 Hệ không ổn định Ví dụ2.22 : Xét hệ thống LTI đặc trưng hàm truyền đạt H(z) H(z) = − z −1 = + −1 −2 1 − 3,5z + 1,5z − 3z −1 − z −1 Hãy ROC H(z) xác định h(n) điều kiện sau : a) Hệ thống ổn định b) Hệ thống nhân c) Hệ thống không nhân Giải : Xử Lý Tín Hiệu Số 73 Chương - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Z Hệ thống có cực z= z=3 a) Hệ thống ổn định, ROC không chứa điểm cực chứa vòng tròn đơn vị nên ROC H(z) là: < z < n 1 h(n)=   u(n) – 3n u( -n–1 )  2 Vậy Hệ thống không nhân b) Hệ thống nhân : ROC H(z) phải z > Vậy n 1 h(n)=   u(n) + 3n n(n)  2 c) Hệ thống không nhân : ROC H(z) phải z <   n  u(n)= –   + 3n  u(–n–1)      định ROC không chứa vòng tròn đơn vị nên trường hợp hệ thống không ổn → Vì độ ổn định tùy thuộc vào khoảng cách từ tâm đến cực, nghóa bán kính cực nên ta diễn tả cực hệ tọa độ cực Ví dụ ta có hệ thống với đôi cực hình vẽ sau : Im(Z) Vị trí cực : p1 = re jθ r p2 = re H(z) = (z − re )(z − re − jθ ) H(z) = Vaäy − jθ z − (2r cos θ )z + r jθ Hình 2.11 Hệ ổn định r < 2.5.3.2 Tiêu chuẩn ổn định Schür – Cohn Xử Lý Tín Hiệu Số r θ θ 74 Re(Z) Chương - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Z Ta biết muốn xét hệ thống có ổn định hay không, phải tìm điểm cực H(z) Nhưng bậc mẫu số H(z) lớn việc tìm điểm cực gặp nhiều khó khăn Để tránh tìm điểm cực mà biết hệ thống có ổn định hay không, ta dùng tiêu chuẩn ổn định Schür – Cohn trình bày : Giả thiết H(z) = B(z) Các cực hệ thống nghiệm A(z) A(z) A(z) = 1+ a1z-1 + a2z-2 + + aNz-N (2.33) Trước vào trình bày chi tiết phương pháp, ta thiết lập số công thức liên quan Ta ký hiệu đa thức bậc m cho : m Am(z)= ∑ a m (k )z −k (2.34) k =0 am(0)= Hãy xét đa thức ngược Bm(z) Am(z), đa thức có hệ số giống hệ số Am(z) xếp theo thứ tự ngược lại Như ta có : → Bm(z) = m ∑a k =0 m (2.35) ( m − k )z −k Theo tiêu chuẩn Schür – Cohn, để xác định đa thức có tất cực nằm bên đường tròn đơn vị, ta cần xác định tập hợp hệ số gọi hệ số phản xạ k1, k2, kN từ đa thức Am(z) → Đầu tiên ta đặt : AN(z)= A(z); kN= aN(N) Sau ta tính đa thức Am(z) với m=N, N-1, N-2, theo công thức đệ quy Am-1(z)= A m (z) − k m B m (z) 1− k2 m (2.36) Trong hệ số km định nghóa km= am(m) Tiêu chuẩn Schür-Cohn phát biểu rằng: Đa thức A(z)= 1+ a1z-1+ a2z-2+ + aNz-N seõ có tất cực nằm vòng tròn đơn vị hệ số km thỏa mãn điều kiện k m < với m= 1, 2, , N Ví dụ2.23 : Hãy xác định tính ổn định hệ thống mô tả hàm truyềân đạt H(z) = −1 −2 1− z − z Giaûi : Hãy bắt đầu với A2(z) Theo định nghóa Xử Lý Tín Hiệu Số 75 Chương - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Z A2(z) = - z-1 - z-2 = 2 ∑a k =0 (k ) z-k Xeùt đa thức ngược B2(z) = ∑a k =0 (2 − k ) z-k -1 - z + z-2 k2 = a2(2) = B2(z) = - → → Theo công thức đệ quy : A1(z) = A (z) − k B (z) = 1− k2 1− −1 −2   −1  z − z −  −  − − z + z −2      1 1− −   2 = 1− −1 −2 −1 −2 z − z − − z + z 4 21 −1 − z = = - z-1 với k1 = a1(1) = với k2 = 7 < 1, nhöng k = > Do hệ thống không ổn định 2 Ví dụ2.24 : Xét tính ổn định hệ thống H(z) = + 3z + 2z −2 + z −3 + z −4 −1 Giải : Viết lại H(z) H(z) = 1+ Xử Lý Tín Hiệu Số −1 −2 −3 −4 z + z + z + z 4 76 Chương - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Z → → 1 A4(z) = + z-1 + z-2 + z-3 + z-4 = 4 B4(z) = ∑a k =0 → k4 → A3(z) = = ( − k ) z −k = = a4(4) = 1+ ∑a k =0 (k )z −k 1 + z-1 + z-2 + z-3 + z-4 4 4 A (z) − k B (z) = 1− k2 −1 −2 −3 −4  1 −1 −2 −3  z + z + z + z −  + z + z + z + z −4  4 44 4  1− 16 15 11 −1 −2 −3 + z + z + z 11 16 16 16 = = + z-1 + z-2 + z-3 15 15 15 16 → B3(z) = → k3 → A2(z) = 11 + z-1 + z-2 + z-3 15 15 = a3(3) = = 15 A (z) − k B3 (z) − k3 1+ 11 −1 −2 −3  −1 11 −2  z + z + z −  + z + z + z −3  15 15 15  15 15  1− 15 224 53 −1 79 −2 + z + z 159 -1 79 -2 225 75 225 = = 1+ z + z 224 224 224 225 → B2(z) = → k2 Xử Lý Tín Hiệu Soá = 79 159 -1 + z + z-2 224 224 79 224 77 Chương - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Z A1(z) = → = 1+ A (z) − k B (z) 1− k2 159 −1 79 −2 79  79 159 −1  + z + z − z + z −2   224 224 224  224 224   79  1−    224  159 -1  159 × 145  224  −1    145 × 299 z = + 299 z  224   =1+  k1 = → 159 299 Toùm lại hệ thống ổn định 159 < 299 k1 = k2 79 = 224 < k3 = 15 < k4 = < Ví dụ2.25: Giả sử ta có1 hệ thống LTI mô tả phương trình sai phân sau : y(n) + a1y(n -1) + a2y(n - 2) = x(n) Haõy xét ổn định hệ thống theo hai tham số a1 , a2 Giải : Lấy biến đổi Z vế phương trình sai phân ta có Y(Z)( 1+ a1z-1 + a2z-2 ) = X(z) Vậy hàm truyền ñaït H(z) = Y(z) = −1 X ( z ) + a 1z + a z − Xử Lý Tín Hiệu Số ° A2(z) = 1+ a1z-1 + a2z-2 ° Xét ổn định : B2(z) = a2+ a1z-1 + z-2 78 Chương - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Z ° A1(z) = a2 A (z) − k B (z) + a 1z −1 + a z −2 − a (a + a 1z −1 + z −2 ) = = 1− k2 1− a2 2 = k1 → k2 (1 − a ) + (a 2 = a1 − a 1a )z −1 =1+ z-1 1− a2 1+ a2 a1 1+ a2 Điều kiện ổn định k2 < k1 < a2 < ⇒ Hay vaø a1 –1 – a1 a2 > a – –1 < a2 < a1