THI TH TRƯ NG CHUYÊN ðHSP HÀ N I 2009 - 2010 ============================================= TRƯ NG ðHSP HÀ N I ð THI TH ð I H C L N I NĂM 2010 TRƯ NG THPT CHUN – ðHSP Mơn thi: TỐN Th i gian làm bài: 180 phút, không k th i gian giao ñ ========================================== Câu ( 2,0 ñi m ) Cho hàm s y = 2x3 + 9mx2 + 12m2x + 1, m tham s Kh o sát s bi n thiên v ñ th c a hàm s ñã cho m = - Tìm t t c giá tr c a m ñ hàm s có c c đ i t i xCð, c c ti u t i xCT th a mãn: x2Cð= xCT Câu ( 2,0 ñi m ) Gi i phương trình: x + + = 4x2 + x π 5π Gi i phương trình: 5cos(2x + ) = 4sin( - x) – Câu ( 2,0 ñi m ) x ln( x + 1) + x Tìm h nguyên hàm c a hàm s : f(x) = x2 +1 Cho hình chóp S.ABCD có SA =x t t c c nh l i có đ dài b ng a Ch ng minh r ng đư ng th ng BD vng góc v i m t ph ng (SAC) Tìm x theo a a3 đ th tích c a kh i chóp S.ABCD b ng Câu ( 2,0 ñi m ) x x x +1 Gi i b t phương trình: (4 – 2.2 – 3) log2x – > - 4x Cho s th c không âm a, b.Ch ng minh r ng: 3 1 ( a2 + b + ) ( b2 + a + ) ≥ ( 2a + ) ( 2b + ) 4 2 Câu ( 2,0 ñi m ) Trong m t ph ng v i h t a ñ Oxy, cho ba ñư ng th ng : d1 : 2x + y – = 0, d2 : 3x + 4y + = d3 : 4x + 3y + = Vi t phương trình đư ng trịn có tâm thu c d1 ti p xúc v i d2 d3 Tìm t a đ m M thu c d1 ñi m N thu c d2 cho OM + ON = ……………………………… H t………………………………… ============================================== THI TH TRƯ NG CHUYÊN ðHSP HÀ N I 2009 - 2010 ============================================= ============================================== THI TH TRƯ NG CHUYÊN ðHSP HÀ N I 2009 - 2010 ============================================= ============================================== THI TH TRƯ NG CHUYÊN ðHSP HÀ N I 2009 - 2010 ============================================= ============================================== THI TH TRƯ NG CHUYÊN ðHSP HÀ N I 2009 - 2010 ============================================= TRƯ NG ðHSP HÀ N I TRƯ NG THPT CHUYÊN – ðHSP _ ð THI TH ð I H C L N II NĂM 2010 Mơn thi: TỐN Th i gian làm bài: 180 phút, không k th i gian phát ñ ========================================== Ngày thi: 07 – – 2010 2x − x −1 Kh o sát s bi n thiên v ñ th ( C ) c a hàm s L p phương trình ti p n c a đ th ( C ) mà ti p n c t tr c Ox , Oy l n lư t t i ñi m A B th a mãn OA = 4OB Câu ( 2,0 ñi m) sin x + cos x + 2tan2x + cos2x = Gi i phương trình: sin x − cos x  x y (1 + y ) + x y (2 + y ) + xy − 30 =  Gi i h phương trình:   x y + x(1 + y + y ) + y − 11 =  Câu ( 2,0 ñi m) 1+ x Tính tích phân: I= ∫ dx x 1+ Cho lăng tr ñ ng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vng v i AB = BC = a, c nh bên A A’ = a M ñi m A A’ cho AM = Â ' Tính th tích c a kh i t di n MA’BC’ Câu ( 2,0 m) Tìm t t c giá tr c a tham s a ñ phương trình sau có nghi m nh t: log5 (25x – log5a ) = x Cho s th c dương a, b, c thay đ i ln th a mãn a + b + c = a2 + b b2 + c c2 + a Ch ng minh r ng : + + ≥ b+c c+a a+b Câu ( 2,0 ñi m) Câu ( 2,0 ñi m) Cho hàm s y= Trong m t ph ng v i h t a ñ Oxy, cho m E(-1;0) đư ng trịn ( C ): x2 + y2 – 8x – 4y – 16 = Vi t phương trình đư ng th ng ñi qua ñi m E c t ( C ) theo dây cung MN có đ dài ng n nh t Cho tam giác ABC cân t i A, bi t phương trình đư ng th ng AB, BC l n lư t là: x + 2y – = 3x – y + = Vi t phương trình đư ng th ng AC, bi t r ng AC ñi qua ñi m F(1; - 3) H t -D ki n thi th l n sau vào ngày 27,28 tháng năm 2010 ============================================== THI TH TRƯ NG CHUYÊN ðHSP HÀ N I 2009 - 2010 ============================================= ============================================== THI TH TRƯ NG CHUYÊN ðHSP HÀ N I 2009 - 2010 ============================================= ============================================== THI TH TRƯ NG CHUYÊN ðHSP HÀ N I 2009 - 2010 ============================================= ============================================== THI TH TRƯ NG CHUYÊN ðHSP HÀ N I 2009 - 2010 ============================================= TRƯ NG ðHSP HÀ N I TRƯ NG THPT CHUYÊN – ðHSP _ ð THI TH ð I H C L N III NĂM 2010 Môn thi: TỐN Th i gian làm bài: 180 phút, khơng k th i gian phát ñ ========================================== Ngày thi: 28 – – 2010 Câu ( 2,0 ñi m) Cho hàm s y = x + 2m x + (1) Kh o sát s bi n thiên v ñ th hàm s m = Ch ng minh r ng ñư ng th ng y = x + ln c t đ th hàm s (1) t i hai ñi m phân bi t v i m i giá tr c a m Câu ( 2,0 ñi m) 2 π ) = 2sin2x - tanx 2 Gi i phương trình: log3 (x – 4) + log ( x + 2) - log3 (x – 2)2 = Gi i phương trình: 2sin2(x - Câu ( 2,0 m) π Tính tích phân: I= ∫ cos x sin x dx + sin x Trong không gian, cho tam giác vng cân ABC có c nh huy n AB = 2a Trên ñư ng th ng d ñi qua A vng góc m t ph ng (ABC) l y ñi m S cho mp( SBC) t o v i mp(ABC) m t góc b ng 600 Tính di n tích m t c u ngo i ti p t di n SABC Câu ( 2,0 ñi m)   x + y = y + 16 x Gi i h phương trình:  1 + y = 5(1 + x )  Tìm giá tr nh nh t c a hàm s : x − x + 8x − 8x + f(x) = x − 2x + Câu ( 2,0 ñi m) Trong không gian v i h t a ñ Oxyz, cho ñi m A(0;1;3) ñư ng th ng x = − t  d:  y = + 2t z =  Hãy t m ñư ng th ng d ñi m B C cho tam giác ABC ñ u Trong m t ph ng Oxy cho elíp (E) có tiêu m th nh t ( - ; 0) ñi qua ñi m M ( 1; 33 ) Hãy xác ñ nh t a ñ ñ nh c a (E) H t D ki n thi th l n sau vào ngày 17,18 tháng năm 2010 ============================================== 10 THI TH TRƯ NG CHUYÊN ðHSP HÀ N I 2009 - 2010 ============================================= HƯ NG D N GI I BÀI THI L N Câu 1 T làm Xét phương trình hồnh đ giao m: x4 +2m2x2 +1 = x + ⇔ x4 + 2m2x2 – x = ⇔  x = x( x3 + 2m2x – 1) = ⇔   ð t g(x) = x + 2m x – ;  x + 2m x − = 0(*) 2 Ta có: g’(x) = 3x + 2m ≥ (v i m i x m i m ) ⇒ Hàm s g(x) ln đ ng bi n v i m i giá tr c a m M t khác g(0) = -1 ≠ Do phương trình (*) có nghi m nh t khác V y ñư ng th ng y = x+ ln c t đ th hàm s (1) t i hai ñi m phân bi t v i m i giá tr c a m Câu Gi i phương trình: sin2 ( x - π ði u ki n: cosx ≠ ⇔ x ≠ π ) = 2sin2x – tanx (1) + k π (*) sin x = ) = 2sin2x – tan x ⇔ – sin2x = tanx ( sin 2x – 1) ⇔   tan x = −1 π π   2 x = + k 2π  x = + k π π π ⇔ ⇔  ⇔ x = + k ( Th a mãn ñi u ki n (*) )  x = − π + l.π  x = − π + l.π     4 (1) ⇔ – cos (2x - π Gi i phương trình: 2log3 (x2 – 4) + log ( x + 2) - log3 ( x -2)2 =   x − > x − > ði u ki n:  ⇔  ⇔ ( x + 2) ≥ log ( x + 2) ≥   x >  x ≤ −3 (**)  Pt (2) ñư c bi n ñ i thành: log3 (x2 – 4)2 – log3 (x – 2)2 + ⇔ log3 ( x + 2)2 + ⇔ (2) log ( x + 2) - = log ( x + 2) - = ⇔ ( log ( x + 2) + 4) ( log ( x + 2) - 1) = log ( x + 2) = ⇔ (x+2)2 = ⇔ x+ = ± ⇔ x = - ± Ki m tra u ki n (**) ch có x = - - th a mãn V y phương trình có nghi m nh t : x = - - Chú ý: 1/ Bi n ñ i : 2log3 ( x2 – 4) = log3 (x2 – 4)2 làm m r ng t p xác ñ nh nên xu t hi n nghi m ngo i lai x = -2 + 2/ N u bi n ñ i: log3( x – 2)2 = 2log3 ( x – 2) ho c log3( x+2)2 = 2log3(x+2) s làm thu h p t p xác ñ nh d n ñ n m t nghi m ( L i ph bi n c a h c sinh!) Câu π Tính tích phân: I = ∫ cos x ð tt= + sin x = sin x + sin x dx − cos x Ta có: cos2x = – t2 dt = ð i c n: V i: x = t = 3; x = π t = 15 ============================================== sin x cos x + sin x dx 11 THI TH TRƯ NG CHUYÊN ðHSP HÀ N I 2009 - 2010 ============================================= π π I= ∫ cos x = sin x + sin x t+2 ln t−2 15 = dx = ∫ cos sin x cos x x + sin x 15 dx = ∫ dt = 4−t 15 ∫ ( 1 − )dt = t+2 t−2 15 + 3+2 − ln (ln ) = (ln( 15 + 4) − ln( + 2)) 15 − 3−2 Ta có SA ⊥ mp(ABC) ⇒ SA ⊥ AB ; SA ⊥ AC Tam giác ABC vuông cân c nh huy n AB ⇒ BC ⊥ AC ⇒ BC ⊥ SC ( ð nh lý đư ng vng góc) Hai m A,C nhìn đo n SB dư i góc vng nên m t c u đư ng kính SB qua A,C V y m t c u ngo i ti p t di n SABC m t c u đư ng kính SB Ta có CA = CB = AB sin 450 = a ; ∠SCA = 600 góc gi a m t (SBC) mp(ABC) SA = AC.tan600 = a T SB = SA2 + AB2 = 10a2 V y di n tích m t c u ngo i ti p t di n SABC là: S = πd = π SB2 = 10 π a2 Câu   x + y = y + 16 x (1) Gi i h :  1 + y = 5(1 + x ) (2)  T (2) suy y2 – 5x2 = (3) Th vào (1) ñư c: x3 + (y2 – 5x2).y = y3 + 16x ⇔ ⇔ x3 – 5x2y – 16 x = ⇔ x = ho c x2 – 5xy – 16 = TH1: x= ⇒ y2 = ( Th vào (3)) ⇔ y = ± x − 16 x − 16 2 ( 4) Th vào (3) ñư c: ( TH2: x – 5xy – 16 = ⇔ y = ) − 5x = ⇔ 5x 5x ⇔ x4 – 32x2 + 256 – 125x4 = 100x2 ⇔ 124 x4 +132x2 – 256 = ⇔ x2 = ⇔ x = ± Th vào (4) ñư c giá tr tương ng y = ∓ V y h có nghi m: (x;y) = (0;2) ; (0;-2); (1;-3); (-1; 3) Chú ý: N u thay giá tr c a x vào (3) trư ng h p 2, s th a c p nghi m! x − x + 8x − 8x + Tìm GTNN c a hàm s : f(x) = x − 2x + T p xác ñ nh: R x2 – 2x + = (x – 1)2 + > v i m i x Bi n ñ i ñư c: f(x) = x2 – 2x + + ≥ ( B t ñ ng th c Cosi cho hai s dương) x − 2x + D u b ng x y : x2 – 2x + =1 ⇔ x = V y: f(x) = ñ t ñư c x = Câu Tìm m B,C? G i H hình chi u vng góc c a A d H ∈ d ⇔ H ( 1-t; 2+2t;3) ⇔ AH = ( 1-t; 1+2t; 0) Mà AH ⊥ d nên AH ⊥ ud ( -1;2;0) T có -1(1-t)+2(1+2t) =0 ⇔ t = -1/5 ⇔ H ( 6/5; 8/5; 3) AH 15 15 mà tam giác ABC ñ u nên BC = hay BH = Ta có AH = = 5 15 −1 ± G i: B ( 1-s;2+2s;3) (− − S ) + ( + S ) = ⇔ 25s2 +10s – = ⇔ s = 5 25 6∓ 8±2 6± 8∓ V y: B ( ;3) C( ;3 ) ( Hai c p) ; ; 5 5 Xác ñ nh t a ñ ñ nh c a (E)? ============================================== 12 THI TH TRƯ NG CHUYÊN ðHSP HÀ N I 2009 - 2010 ============================================= Theo có F1 ( - ; 0) F2 ( ;0) hai tiêu ñi m c a (E) Theo ñ nh nghĩa c a (E) 33 33 ) + (1 − ) + ( ) = 10 ⇒ a = 5 L i có c = a2 – b2 = c2 ⇒ b2 = a2 – c2 = 22 V y t a ñ ñ nh c a (E) là: A1( - 5;0) ; A2( 5;0) ; B1( 0; - 22 ) ; B2 ( 0; 22 ) suy : 2a = MF1 + MF2 = (1 + ) + ( H t ==============================================   TRƯỜNG ĐHSP HÀ NỘI ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC 2009 - 2010 Mơn thi: Tốn  Đề thi : Thời gian làm bài: 180 phút Câu I (2 điểm) Cho hàm số: y = 2x3 − 3(2m + 1)x2 + 6m(m + 1)x + 1, m tham số Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = Chứng minh với giá trị m, hàm số ln có cực đại, cực tiểu khoảng cách điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số không đổi Câu II (2 điểm)  x √  2 + 6y = − x − 2y y Giải hệ:  √  x + x − 2y = x + 3y − (Với x, y ∈ R) (1 + cos 2x)2 Giải phương trình: sin 2x + = cos 2x sin 2x Câu III (2 điểm) π x cos x dx π sin3 x Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, mặt bên (SBC) 1.Tính tích phân: I = vng góc với mặt đáy, hai mặt bên cịn lại tạo với mặt đáy góc α Tính thể tích hình chóp S.ABC Câu IV (2 điểm) Tìm nghiệm phức phương trình: 2(1 + i)z − 4(2 − i)z − − 3i = x2 − xy y − yz z − zx Cho số thực dương x, y, z Chứng minh rằng: + + ≥0 x+y y+z z+x Câu V (2 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC vuông cân A Biết cạnh huyền nằm đường thẳng d : x + 7y − 31 = 0, điểm N (7; 7) thuộc đường thẳng AC, điểm M (2; −3) thuộc AB nằm đoạn AB    x = t    Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng ∆ : y = −7 + 2t Gọi ∆ giao      z = tuyến hai mặt phẳng (P ) : x − 3y + z = 0, (Q) : x + y − z + = Chứng minh hai đường thẳng ∆ ∆ chéo Viết phương trình (dạng tham số) đường vng góc chung hai đường thẳng ∆, ∆  HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC 2010 DHSP HÀ NỘI LẦN IV Câu 1 Tự làm Ta có y’ = 6x2 – 6(2m+1)x + 6m(m+1) Þ y’ = x1 =m x2 = m+1 Do x1 ¹ x2 với m nên hàm số ln có cực đại, cực tiểu Gọi A(x1;y1), B(x2;y2) điểm cực trị y1 = f(x1)= 2m3 +3m2 + 1; y2 = f(x2) = 2m3 + 3m2 Þ AB = khơng đổi (đpcm!) Câu 2.1 Giải hệ: Điều kiện: y ¹ 0; x – 2y ³ 0; x + x - y ³ Pt Û x - 2y = y Û Với x - 2y x - - x - 2y - 6y = Û y y2 x - 2y - = ( chia hai vế cho y) y x - 2y = - y ìy > x - 2y 24 =3 Û í thay vào pt(2) ta nghiệm x = ,y = 9 y ỵx = y + y ìy < x - 2y = -2 Û í thay vào pt(2) ta nghiệm: x =12, y = - y x = 4y2 + 2y ỵ Vậy hệ có hai nghiệm(x;y) = (12;-2),( ; ) Giải phương trình lượng giác: Điều kiện: sin2x ¹ Pt Û sin2x + cos x cos x = 2(1 - sin x) Û sin x + -2=0 sin x cos x sin x cos x Û5+ - 2 = Û cot3x – 2cot2x + = Û (cotx + 1)(cot2x – 3cot x + 3) sin x sin x =0 p Û cotx = -1 ( Vì cot2x – cotx + 3> 0) Û x = - + k p , k Ỵ Z (thỏa mãn điều kiện) p Vậy phương trình có nghiệm: x = - + k p , k Ỵ Z Với ' cos x ỉ Câu 3.1.Tính tích phân: Ta cú ỗ ữ = nờn sin x è sin x ø p p p 1 p 1 1 dx p p I = - ò xd ( ) = - x |p + ò = - ( - ) - cot x |p = 2p sin x p sin x 2 2 sin x 4 Tính thể tích khối chóp: Hạ SH ^ BC Þ SH ^ (ABC) ( vì: (SBC) ^ (ABC) ) Hạ HM ^ AB, HN ^ AC Ð SMH = Ð SNH = a Þ D SHM = D SHN Þ HM = HN h a Þ H trung điểm BC ( tam giác ABC đều) Þ HM = = Þ SH = HM.tan a = a tan a Vậy thể tích khối chóp là: VS.ABC = SH.SABC = a tan a 16 Câu 1.Tìm nghiệm phức: Ta có D ’ = 4(2 – i)2 + 2(1 + i)(5 + 3i) = 16 Vậy phương trình cho hai nghiệm là: 2(2 - i ) + 4 - i (4 - i)(1 - i ) Z1 = = = = - i 2(1 + i) 1+ i 2 2( - i ) - - i (-i)(1 - i) 1 Z2 = = = =- - i 2(1 + i) 1+ i 2 2.Chứng minh BĐT: x - xy x( x + y ) - xy xy ( x + y) x+ y x- y Ta có: = = x³ x= x= (1)( x+ y x+ y x+ y 2( x + y ) 2 x,y>0) y - yz y - z z - zx z - x Tương tự: ³ (2), (3) Cộng vế (1),(2),(3) suy ra: ³ y+z z+x x - xy y - yz z - zx x - y y - z z - x + + ³ + + = Đẳng thức xảy x = y = z x+ y y+z z+x 2 (đpcm!) Câu Xác định tọa độ đỉnh: Đường thẳng AB qua M(2;-3) nên có phương trình: a(x – 2) + b(y + 3) = 0, ( a2 + b2 ¹ 0) a + 7b Do tam giác ABC vuông cân A nên: = cos 45 = 50 a + b é3a = 4b Û 12a2 -7ab -12b2 = Û ê ë4a = -3b Với: 3a = 4b,Chọn a = 4, b = ta d1: 4x + 3y + = Với: 4a = - 3b, chọn a =3, b = - ta d2: 3x – 4y – 18 = +)Nếu lấy AB d1: 4x + 3y + = AC// d2 nên AC là:3(x -7) –4(y –7) = Û 3x – 4y+7 = ì4 x + y + = Hệ phương trình tọa độ A: í Û A(-1;1) ỵ3 x - y + = ì4 x + y + = Hệ phương trình tọa độ B: í Û B( -4;5) ỵ x + y - 31 = Ta có: MA = (-3;4), MB = (-6;8) Þ MB = MA Þ M nằm đoạn AB ( Thỏa mãn) ì3 x - y + = Hệ phương trình tọa độ C: í Û C(3;4) ỵ x + y - 31 = +) Nếu lấy AB d2 không thỏa mãn Vậy A(-1;1), B(-4;5) C(3;4) 2 a) Đường thẳng D qua M(0;-7;4) có VTCP u1 = (1;2;0) - 31 1 - Đường thẳng D ’ qua N(0;2;6) có VTCP u = ( ; ; ) = (2;2;4) - - 11 1 Ta có [ u1 ,u ] = (8;-4;-2) MN = (0;9;2) Þ [ u1 ,u ] MN = – 36 – = - 40 ¹ Vậy D , D ’ chéo b) Đường vng góc chung d D , D ’ có VTCP: u =(4;-2;-1) ( = ½.[ u1 ,u ]) Gọi HK đoạn đường vng góc chung D , D ’ với H Ỵ D, K Ỵ D ’ Ta có: H=( t; -7+2t;4), K(s;2+s;6+2s) Þ HK ( s – t; + s – 2t; + 2s) VTCP d s - t + s - 2t + s 11 23 23 = = ;- ;4) Þ s= - ,t= Þ H( -2 -1 21 7 23 ì ï x = + 4t ï ï Vậy phương trình tham số đường vng góc chung là: í y = - - 2t ï ïz = - t ï ỵ Suy : ... ĐHSP HÀ NỘI ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC 2009 - 2010 Mơn thi: Tốn  Đề thi : Thời gian làm bài: 180 phút Câu I (2 điểm) Cho hàm số: y = 2x3 − 3(2m + 1)x2 + 6m(m + 1)x + 1, m tham số Khảo sát biến thi? ?n vẽ... = cos 45 = 50 a + b é3a = 4b Û 12a2 -7ab -12b2 = Û ê ë4a = -3b Với: 3a = 4b,Chọn a = 4, b = ta d1: 4x + 3y + = Với: 4a = - 3b, chọn a =3, b = - ta d2: 3x – 4y – 18 = +)Nếu lấy AB d1: 4x + 3y... ∆  HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC 2010 DHSP HÀ NỘI LẦN IV Câu 1 Tự làm Ta có y’ = 6x2 – 6(2m+1)x + 6m(m+1) Þ y’ = x1 =m x2 = m+1 Do x1 ¹ x2 với m nên hàm số ln có cực đại, cực tiểu Gọi A(x1;y1),