Trờng T.H.P.T Nguyễn Trung Ngạn Đề thi thử đại học năm 2009 Tổ toán Tin Môn toán - Khối A Thời gian 180 phút ( không kể giao đề ) Phần A : Dành cho tất cả các thi sinh . Câu I (2,0 điểm) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (c) của hàm số : y = x 3 3x 2 + 2 2) Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình : 2 2 2 1 m x x x = Câu II (2,0 điểm ) 1) Giải phơng trình : 11 5 7 3 2009 cos sin 2 sin 4 2 4 2 2 2 x x x + = + 2) Giải hệ phơng trình : 2 2 2 2 2 2 30 9 25 0 30 9 25 0 30 9 25 0 x x y y y y z z z z x x = = = Câu III(2,0 điểm ) 1) Tính tích phân : 3 1 ( 4) 3 1 3 x dx x x + + + + 2) Cho x , y , z là ba số thực thỏa mn : 2 -x + 2 -y +2 -z = 1 .Chứng minh rằng : 4 4 4 2 2 2 2 2 2 x y z x y z y z x z x y + + + + + + + + 2 2 2 4 x y z + + Câu IV ( 1,0 điểm ) : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a , AD = 2a . Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy , cạnh bên SB tạo với mặt phắng đáy một góc 60 0 . Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho AM = 3 3 a , mặt phẳng ( BCM) cắt cạnh SD tại N . Tính thể tích khối chóp S.BCNM . Phần B ( Thí sinh chỉ đợc làm một trong hai phần ( phần 1 hoặc phần 2) Phần 1 ( Dành cho học sinh học theo chơng trình chuẩn ) Câu V.a ( 2,0 điểm ) Trong không gian với hệ tọa độ 0xyz cho hai đờng thẳng : d 1 : 2 1 4 6 8 x y z + = = ; d 2 : 7 2 6 9 12 x y z = = 1) Chứng minh rằng d 1 và d 2 song song . Viết phơng trình mặt phẳng ( P) qua d 1 và d 2 . 2) Cho điểm A(1;-1;2) ,B(3 ;- 4;-2).Tìm điểm I trên đờng thẳng d 1 sao cho IA +IB đạt giá trị nhỏ nhất Câu VI.a (1.0 điểm ) Giải phơng trình : 2 3 9 27 3 3 log ( 1) log 2 log 4 log ( 4) x x x+ + = + + Phần 2 ( Dành cho học sinh học chơng trình nâng cao ) Câu V.b (2,0điểm) Trong không gian với hệ tọa độ 0xyz cho hai đờng thẳng : D 1 : 2 1 1 1 2 x y z = = , D 2 : 2 2 3 x t y z t = = = 1) Chứng minh rằng D 1 chéo D 2 . Viết phơng trình đờng vuông góc chung của D 1 và D 2 2) Viết phơng trình mặt cầu có đờng kính là đoạn vuông góc chung của D 1 và D 2 CâuVI.b ( 1,0 điểm) Cho phơng trình : 2 2 5 5 log 2 log 1 2 0 x x m + + = , ( m là tham số ) . Tìm các giá trị của tham số m để phơng trình đ cho có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 3 1;5 .Hết Giám thị coi thi không giải thích gì thêm . Hớng dẫn giải : Phần A : Dành cho tất cả các thí sinh Câu I : 1) ( Thí sinh tự khảo sát và vẽ đồ thị ) 2) Đồ thị hàm số y = 2 ( 2 2) 1 x x x , với x 1 có dạng nh hình vẽ : Dựa vào đồ thị ta có : *) Nếu m < -2 : Phơng trình vô nghiệm *) Nếu m = - 2 : Phơng trình có hai nghiệm *) Nếu 2 < m < 0 : Phơng trình có 4 nghiệm phân biệt *) nếu m 0 : Phơng trình có hai nghiệm phân biệt Câu II : 1) 11 5 7 3 2009 cos sin 2 sin 4 2 4 2 2 2 x x x + = + ( 1) ( 1) 5 3 3 sin sin 2 cos 2 4 4 2 2 x x x = -2 3 3 cos cos 2 cos 4 2 2 x x x + = 3 cos 0 2 x = hoặc 2 cos( ) 4 2 x + = . Giải các phơng trình cơ bản tìm đợc nghiệm : 2 , x= 2 , x = k2 3 3 2 k x k = + + 2) Ta có 2 2 2 2 2 2 30 9 25 0 30 9 25 0 30 9 25 0 x x y y y y z z z z x x = = = 2 2 2 2 2 2 30 9 25 30 9 25 30 9 25 x y x y z y z x z = + = + = + ( 2). Từ hệ ta có x, y, z không âm *) Nếu x = 0 thì y = z = 0 suy ra ( 0;0;0 ) là nghiệm của hệ *) Nếu x>0, y> 0 , z > 0 . Xét hàm số : f(t) = 2 2 30 9 25 t t + , t > 0 Ta có f (t) = ( ) 2 2 1500 9 25 t t + > 0 với mọi t > 0 . Do đó hàm số f(t) đồng biến trên khoảng ( ) 0; + Hệ (2) đợc viết lại ( ) ( ) ( ) y f x z f y x f z = = = . Từ tính đồng biến của hàm f ta dễ dàng suy ra x= y = z . Thay vào hệ phơng trình Ta đợc nghiệm x = y = z = 5 3 . y = m 1+ 3 1- 3 - 2 m 1 2 Nghiệm của hệ là ( ) 5 5 5 0;0;0 , ; ; 3 3 3 Câu III 1) Tính tích phân I = 3 1 ( 4) 3 1 3 x dx x x + + + + Đặt t = 1 x + . Ta có I = ( ) 2 2 2 0 0 20 12 2 6 3 2 t t dt dt t t + + + + = ( ) 2 2 2 0 2 0 20 12 6 3 2 t t t dt t t + + + + = - 8 + 2 2 0 0 28 8 2 1 dt dt t t + + = - 8 + 28ln2 8 ln3 2) Cho x , y , z là ba số thực thỏa mn : 2 -x + 2 -y +2 -z = 1 .Chứng minh rằng : 4 4 4 2 2 2 2 2 2 x y z x y z y z x z x y + + + + + + + + 2 2 2 4 x y z + + Đặt 2 x = a , 2 y =b , 2 z = c . Từ giả thiết ta có : ab + bc + ca = abc Bất đẳng thức cần chứng minh có dạng : 2 2 2 4 a b c a b c a bc b ca c ab + + + + + + + ( *) ( *) 3 3 3 2 2 2 4 a b c a b c a abc b abc c abc + + + + + + + 3 3 3 ( )( ) ( )( ) ( )( ) 4 a b c a b c a b a c b c b a c a c b + + + + + + + + + + Ta có 3 3 ( )( ) 8 8 4 a a b a c a a b a c + + + + + + ( 1) ( Bất đẳng thức Cô si) Tơng tự 3 3 ( )( ) 8 8 4 b b c b a b b c b a + + + + + + ( 2) 3 3 ( )( ) 8 8 4 c c a c b c c a c b + + + + + + ( 3) . Cộng vế với vế các bất đẳng thức ( 1) , ( 2) , (3) suy ra điều phải chứng minh Câu IV : Tính thể tích hình chóp SBCMN ( BCM)// AD nên mặt phẳng này cắt mp( SAD) theo giao tuyến MN // AD Ta có : BC AB BC BM BC SA . Tứ giác BCMN là hình thang vuông có BM là đờng cao A S B C M N D H Ta có SA = AB tan60 0 = a 3 , 3 3 2 3 2 3 3 a a MN SM MN AD SA a a = = = Suy ra MN = 4 3 a . BM = 2 3 a Diện tích hình thang BCMN là : S = 2 4 2 2 10 3 2 2 3 3 3 a a BC MN a a BM + + = = Hạ AH BM . Ta có SH BM và BC (SAB) BC SH . Vậy SH ( BCNM) SH là đờng cao của khối chóp SBCNM Trong tam giác SBA ta có SB = 2a , AB AM SB MS = = 1 2 . Vậy BM là phân giác của góc SBA 0 30 SBH = SH = SB.sin30 0 = a Gọi V là thể tích chóp SBCNM ta có V = 1 .( ) 3 SH dtBCNM = 3 10 3 27 a Phần B . (Thí sinh chỉ đợc làm phần I hoặc phần II) Phần I . (Danh cho thí sinh học chơng trình chuẩn) Câu V.a.1 ) Véc tơ chỉ phơng của hai đờng thẳng lần lợt là: 1 u ur (4; - 6; - 8) 2 u uur ( - 6; 9; 12) +) 1 u ur và 2 u uur cùng phơng +) M( 2; 0; - 1) d 1 ; M( 2; 0; - 1) d 2 Vậy d 1 // d 2 *) Véc tơ pháp tuyến của mp (P) là n r = ( 5; - 22; 19) (P): 5x 22y + 19z + 9 = 0 2) AB uuur = ( 2; - 3; - 4); AB // d 1 Gọi A 1 là điểm đối xứng của A qua d 1 Ta có: IA + IB = IA 1 + IB A 1 B IA + IB đạt giá trị nhỏ nhất bằng A 1 B Khi A 1 , I, B thẳng hàng I là giao điểm của A 1 B và d Do AB // d 1 nên I là trung điểm của A 1 B. *) Gọi H là hình chiếu của A lên d 1 . Tìm đợc H 36 33 15 ; ; 29 29 29 A đối xứng với A qua H nên A 43 95 28 ; ; 29 29 29 I là trung điểm của AB suy ra I 65 21 43 ; ; 29 58 29 Câu VI a) log 9 (x + 1) 2 + 3 27 3 3 log 2 log 4 log ( 4) (1) x x= + + Đ K: 4 4 1 x x < < (1) log 3 (x + 1) + log 3 4 = log 3 (4 x) + log 3 (x + 4) log 3 4 1 x + = log 3 (16 x 2 ) 4 1 x + = 16 x 2 Giải phơng trình tìm đợc x = 2 hoặc x = 2 - 24 Phần II. Câu V. b. 1) Các véc tơ chỉ phơng của D 1 và D 2 lần lợt là 1 u ur ( 1; - 1; 2) và 2 u uur ( - 2; 0; 1) *) Có M( 2; 1; 0) D 1 ; N( 2; 3; 0) D 2 Xét 1 2 ; . u u MN ur uur uuuur = - 10 0 I d 1 H A B A 1 Vậy D 1 chéo D 2 *) Gọi A(2 + t; 1 t; 2t) D 1 B(2 2t; 3; t) D 2 1 2 . 0 . 0 AB u AB u = = uuurur uuur uur 1 3 ' 0 t t = = A 5 4 2 ; ; 3 3 3 ; B (2; 3; 0) Đờng thẳng qua hai điểm A, B là đờng vuông góc chung của D 1 và D 2 . Ta có : 2 3 5 2 x t y t z t = + = + = *) Phơng trình mặt cầu nhận đoạn AB là đờng kính có dạng: 2 2 2 11 13 1 5 6 6 3 6 x y z + + + = b.2) Đặt t = 2 5 log 1 x + ta thấy nếu x 3 1;5 thì t [ ] 1;2 Phơng trình có dạng: t 2 + 2t m 3 = 0; t [ ] 1;2 t 2 + 2t 3 = m ; t [ ] 1;2 Lập bất phơng rình hàm f(t) = t 2 + 2t 3 trên [ ] 1;2 ta đợc 0 f(t) 5 Đ K của m là: 0 m 5 D 2 A B 2 u uur 1 u ur D 1 . T.H.P.T Nguyễn Trung Ngạn Đề thi thử đại học năm 2009 Tổ toán Tin Môn toán - Khối A Thời gian 180 phút ( không kể giao đề ) Phần A : Dành. D H Ta có SA = AB tan60 0 = a 3 , 3 3 2 3 2 3 3 a a MN SM MN AD SA a a = = = Suy ra MN = 4 3 a . BM = 2 3 a Diện tích hình thang BCMN là