Đề thi thử Đại học năm 2009 Bám sát cấu trúc của Bộ Giáo Dục ĐỀ 01 Thi vào thứ hai hàng tuần tại A7 Bà Triệu – Đà Lạt I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH ( 7,0 điểm ) Câu I : ( 2 điểm ) Cho hàm số : 3 2 3 4 y x x       1 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số   1 . 2. Với giá trị nào của m thì đường thẳng nối hai cực trị đồ thị của hàm số   1 tiếp xúc với đường tròn       2 2 : 1 5 C x m y m      . Câu II: ( 2 điểm ) 1. Giải phương trình : 5 1 5 2 5 2 2 x x x x     2. Giải phương trình :     2 3 2cos cos 2 sin 3 2cos 0 x x x x      . Câu III: ( 1 điểm ) Tính giới hạn :   1 cos6 4 lim ln 1 cos2 x x x    . Câu IV: ( 1 điểm ) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O , cạnh bằng a ,   SA ABCD  và 2 SA a  . Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A trên SB và SD . Giả sử N là giao điểm của đường thẳng SC và   AHK . Chứng minh rằng AN HK  và tính thể tích khối chóp . S AHNK . Câu V: ( 1 điểm ) Cho 3 số thực dương , , a b c .Chứng minh rằng :         3 3 3 1 2 a b c a b c b c a c a b a b c         II. PHẦN RIÊNG ( 3,0 điểm ) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần ( phần 1 hoặc 2 ). 1. Theo chương trình Chuẩn : Câu VI.a ( 2 điểm ) 1. Viết phương trình mặt phẳng qua giao tuyến của 2 mặt phẳng   : 4 5 0 P x y    và   : 3 2 0 Q x y z     , đồng thời vuông góc với mặt phẳng   : 2 7 0 R x z    2. Tìm trên giao tuyến của hai mặt phẳng     , P Q ở câu 1 những điểm M sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng   : 2 2 7 0 S x y z     một khoảng bằng 2 ?. Câu VII.a ( 1 điểm ) Cho tập   0;1;2;3;4;5 A  ,từ A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau ,trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 0 và 3 ?. 2. Theo chương trình Nâng cao : Câu VI.b ( 2 điểm ) 1. Viết phương trình mặt phẳng   P qua O ,vuông góc với mặt phẳng   : 0 Q x y z    và cách điểm   1;2; 1 M  một khoảng bằng 2 . 2. Cho hai đường thẳng   1 3 7 : 1 2 1 3 x t d y t z t              và   2 7 : 3 2 9 x u d y u z u              .Lập phương trình đường thẳng   d đối xứng với đường thẳng   1 d qua   2 d . Câu VII.b ( 1 điểm ) Cho số phức 1 3 z i   . Hãy viết dạng lượng giác của số phức 5 z . GV ra đề : Nguyễn Phú Khánh – A7 Bà Triệu Đà Lạt , 42B/11 Hai Bà Trưng Đà Lạt . Đề thi thử Đại học năm 2009 Bám sát cấu trúc của Bộ Giáo Dục Đáp án đề thi I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH ( 7,0 điểm ) Câu I : ( 2 điểm ) Cho hàm số : 3 2 3 4 y x x       1 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số   1 . Học sinh tự làm . 2. Với giá trị nào của m thì đường thẳng nối hai cực trị đồ thị của hàm số   1 tiếp xúc với đường tròn       2 2 : 1 5 m C x m y m      . Đồ thị hàm số   1 có cực tiểu   2;0 A  , cực đại   0;4 B . Phương trình đường thẳng nối hai cực trị của hàm số   1 là     : 1 : 2 4 0 2 4 x y AB AB x y        .   m C có tâm   ; 1 m I m m  , bán kính 5 R  . Đường thẳng   AB tiếp xúc với đường tròn   m C khi           , 2 2 3 5 2 2 1 4 5 3 5 3 5 8 2 1 m I AB m m m m d R m m m                              . Câu II: ( 2 điểm ) 1. Giải phương trình : 5 1 5 2 5 2 2 x x x x     Điều kiện : 0 x  Bất phương trình cho viết lại :   1 1 5 2 5 1 2 4 x x x x                 Đặt :   1 2 2 , 0 2 t x do x x     . Khi đó   2 2 1 1 2 1 1 4 4 t x x t x x         Phương trình     2 2 1 1 5 2 1 5 2 5 3 0 3 2 t t t t t t                 Điều kiện 2 t  , do đó 3 2 t  Khi đó     2 1 1 3 1 2 2 3 1 0 0 2 2 4 2 1 0 1 0 0 x x xx x x x x x x x                                            Vậy tập nghiệm của bất phương trình cho là :   1 0; 1; 4 T          2. Giải phương trình :       2 3 2cos cos 2 sin 3 2cos 0 1 x x x x          2 1 2 3 1 sin 3 cos 2 3 3.sin 2sin .cos 0 x x x x x        2 2 3 sin 3.sin 3 cos 2sin .cos 0 x x x x x           3.sin 2sin 3 cos 3 2sin 0 x x x x           3 2sin 3.sin cos 0 x x x     Đề thi thử Đại học năm 2009 Bám sát cấu trúc của Bộ Giáo Dục   3 1sin sin 3 2sin 0 32 3 1 3.sin cos 0 t n t n 6 3 6 n x n nx x x x x k k a x a                                                        Câu III: ( 1 điểm ) Tính giới hạn :   1 cos6 4 lim ln 1 cos2 x x x    Dễ thấy             1 cos6 ln 1 sin 2 sin 2 1 2 2 ln 1 cos2 .ln 1 cos2 . cos6 cos3 2 sin 2 2 x x x x x x x x                                  3 2 ln 1 sin 2 ln 1 sin 2 cos 2 1 2 2 . . 4cos 2 3cos 2 4cos 2 3 sin 2 sin 2 2 2 x x x x x x x x                                   1 cos6 2 4 4 ln 1 sin 2 1 1 2 limln 1 cos2 lim . 4cos 2 3 3 sin 2 2 x x x x x x x                     Cách 2 : Đặt , 0 4 4 t x x t                1 cos6 0 4 4 ln 1 sin2 1 limln 1 cos2 lim .ln 1 cos2 lim cos6 sin6 x t x x t x x x t                            0 0 sin2 .2 ln 1 sin2 ln 1 sin2 sin2 1 2 lim . lim . sin6 sin2 sin6 sin2 3 6 t t t t t t t t t t t t t               Câu IV: ( 1 điểm ) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O , cạnh bằng a ,   SA ABCD  và 2 SA a  . Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A trên SB và SD . Giả sử N là giao điểm của đường thẳng SC và   AHK . Chứng minh rằng AN HK  và tính thể tích khối chóp . S AHNK . Chứng minh tứ giác AHNK có 2 đường chéo vuông góc là AN HK  3 . 1 2 . 3 9 S AHNK AHNK a dt dt SN  (đvtt). Hoặc dùng tỷ số thể tích : 3 . . 2 . . 9 SAHNK ABCD V SH SN SK a V SB SC SD    (đvtt) Đề thi thử Đại học năm 2009 Bám sát cấu trúc của Bộ Giáo Dục Câu V: ( 1 điểm ) Cho 3 số thực dương , , a b c .Chứng minh rằng :         3 3 3 1 2 a b c a b c b c a c a b a b c         Phân tích bài toán :  Đẳng thức cần chứng minh đưa về dạng :             3 3 3 0 a b c m a c nb k b a pc i b c ja b c a c a b a b c                .  Giả sử 0 a b c    . Dự đoán đẳng thức xảy ra khi a b c   . Từ đó gợi mở hướng giải :     3 3 3 a m a c nb mna b c a      . Đẳng thức xảy ra khi         3 3 1 4 1 2 a m m a c nb a b c a m a a na a a a a b c n                         Tương tự cho các trường hợp khác . Giải :     3 1 1 3 2 4 2 a b c a a b c a      . Đẳng thức xảy ra khi:     3 1 1 2 4 a b c a b c a     .     3 1 1 3 2 4 2 b c b a b c a b      . Đẳng thức xảy ra khi:     3 1 1 2 4 b c b a c a b     .     3 1 1 3 2 4 2 c a b c c a b c      . Đẳng thức xảy ra khi:     3 1 1 2 4 c a b c a b c     . Cộng vế theo vế ta được :         3 3 3 1 2 a b c a b c b c a c a b a b c         . Dấu đẳng thức xảy ra khi : 0 a b c    II. PHẦN RIÊNG ( 3,0 điểm ) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần ( phần 1 hoặc 2 ). 1. Theo chương trình Chuẩn : Câu VI.a ( 2 điểm ) 1. Viết phương trình mặt phẳng qua giao tuyến của 2 mặt phẳng   : 4 5 0 P x y    và   : 3 2 0 Q x y z     , đồng thời vuông góc với mặt phẳng   : 2 7 0 R x z    . Giả sử đường thẳng   d là giao tuyến của 2 mặt phẳng   P và   Q nên phương trình đường thẳng   d có dạng   4 5 0 : 3 2 0 x y d x y z             hay   5 4 : 13 13 x t d y t t R z t                 d đi qua điểm   5;0; 13 M  và có vtcp   4;1;13 u    , mặt phẳng   R có vtpt   2;0; 1 R n    . Mặt phẳng cần tìm đi qua điểm   5;0; 13 M  có vtpt là     ; 1;22; 2 R n u n       nên phương trình có dạng       1 5 22 0 2 13 0 22 2 21 0 x y z x y z             . Chú ý : Bài toán này có thể giải theo dạng chum mặt phẳng , tuy nhiên phương pháp này không đề cập trong chương trình mới hiện nay . Đề thi thử Đại học năm 2009 Bám sát cấu trúc của Bộ Giáo Dục 2. Tìm trên giao tuyến của hai mặt phẳng     , P Q ở câu 1 những điểm M sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng   : 2 2 7 0 S x y z     một khoảng bằng 2 ?. Giao tuyến của hai mặt phẳng     , P Q là   5 4 : 13 13 x t d y t t R z t                   5 4 ; ; 13 13 , M d M t t t t R       .             ; 2 2 2 2 5 4 2 13 13 7 30 23 5 2 2 1 M S t t t t d              Theo bài toán   ; 20 20 , ; ; 30 23 10 30 23 23 23 2 2 30 23 10 30 23 10 40 40 5 , ; ; 23 23 M S t M t t d t t t M                                       Câu VII.a ( 1 điểm ) Cho tập   0;1;2;3;4;5 A  ,từ A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau ,trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 0 và 3 ?. Cách 1: Gọi số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau được lập từ tập A là: 1 2 3 4 5 1 , 0 a a a a a a  Số cách chọn 1 a có 5 cách .Số cách chọn 2 3 4 5 a a a a là số chỉnh hợp chập 4 của 5 : 4 5 A .Suy ra : có 4 5 5. 600 A  (số) . Trong 600 số trên thì: Số không có chữ số 0 được lập từ tập   1;2;3;4;5 B  là số chỉnh hợp chập 4 của 5 : 4 5 120 A  (số). Số không có chữ số 3 được lập từ tập   0;1;2;4;5 A  :Số cách chọn 1 0 a  có 4 cách. Số cách chọn 2 3 4 5 a a a a là số hoán vị 4 P .Suy ra : có 4 4. 96 P  (số). Vậy theo yêu cầu bài toán ta có : 600- (120 + 96) = 384 (số) Cách 2: Số cách chọn số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau ,trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 0 và 3,chính là số cách xếp 5 chữ số từ tập A vào 5 ô liên tiếp nhau. Vì nhất thiết phải có mặt chữ số 0 và 3 nên ta chọn số 0 và 3 xếp trước Vì số 0 không được đứng ở vị trí đầu tiên nên có 4 cách xếp. Số 3 có 4 cách xếp vào 4 vị trí còn lại.Số cách xếp 3 số còn lại chính là số chỉnh hợp chập 3 của 4 : 3 4 A . Vậy theo yêu cầu bài toán ta có : 3 4 4.4 384 A  (số). 2. Theo chương trình Nâng cao : Câu VI.b ( 2 điểm ) 1. Viết phương trình mặt phẳng   P qua O ,vuông góc với mặt phẳng   : 0 Q x y z    và cách điểm   1;2; 1 M  một khoảng bằng 2 . Mặt phẳng   P qua O nên có phương trình:   2 2 2 : 0, 0 P ax by cz a b c       , vtpt :   ; ; 0 n a b c     Mặt phẳng   Q có vtpt   1;1;1 m   . Vì     P Q  nên   . 0 0 1 n m n m a b c            . Đề thi thử Đại học năm 2009 Bám sát cấu trúc của Bộ Giáo Dục Mặt phẳng   P cách điểm   1;2; 1 M  một khoảng bằng 2 khi     2 2 2 .1 .2 1 2 2 a b c a b c       hay         2 2 2 2 2 2 2 3 a b c a b c        Nếu 0 c  thì   1 a b    , thay vào   3 0 b   loại vì 2 2 2 0 a b c    .  Nếu 0 c  , chia cả 2 vế của phương trình   1 vế cho c , đặt , a b u v c c   ta được   1 0 1 4 u v u v        Chia cả 2 vế của phương trình   3 vế cho 2 c ,ta được         2 2 2 2 2 2 1 2 1 5 u v u v       . Từ     4 , 5 , ta tìm được 0 v  hoặc 8 3 v     0 1 1 : 0 a v u a c P x z c                8 5 5 8 3 0 3 3 v u x y z          Chú ý : Bài toán này có thể giải theo dạng chum mặt phẳng , tuy nhiên phương pháp này không đề cập trong chương trình mới hiện nay . 2. Cho hai đường thẳng   1 3 7 : 1 2 1 3 x t d y t z t              và   2 7 : 3 2 9 x u d y u z u              .Lập phương trình đường thẳng   d đối xứng với đường thẳng   1 d qua   2 d . - Lấy 2 điểm , A B phân biệt thuộc   1 d . - Xác định tọa độ các điểm 1 1 , A B đối xứng với , A B qua   2 d -   d chính là đường thẳng qua 1 1 , A B . Câu VII.b ( 1 điểm ) Cho số phức 1 3 z i   . Hãy viết dạng lượng giác của số phức 5 z . Dạng lượng giác của z là 2 cos sin 3 3 z i           . Theo công thức Moa-vrơ, ta có dạng lượng giác của 5 z là 5 5 5 32 cos sin 32 cos sin 3 3 3 3 z i i                                   . . Đề thi thử Đại học năm 2009 Bám sát cấu trúc của Bộ Giáo Dục ĐỀ 01 Thi vào thứ hai hàng tuần tại A7 Bà Triệu.      3 2sin 3.sin cos 0 x x x     Đề thi thử Đại học năm 2009 Bám sát cấu trúc của Bộ Giáo Dục   3 1sin sin 3 2sin 0 32 3 1 3.sin cos