GV: Nguyến Tất Thu http://www.violet.vn/nguyentatthu/ I-Bất đẳng thức cô si 2 a b c2 a+b+c 1.Chứng minh với a,b,c>0 + + ≥ b+c c+a a+b 1 + + ≥ với a,b,c>0 abc =1 2.Chứng minh a ( b + c) b ( c + a) c ( a + b) a3 b3 c3 + + ≥ 3.Cho a,b,c>0 abc=1.Cm: ( + b) ( + c) ( + c) ( + a) ( + a) ( + b) 4.Cho k số không âm a1, a2 , , ak thoả a1a2 ak = m m m n n n Cm: a1 + a2 + + ak ≥ a1 + a2 + + ak với m ≥ n; m, n ∈ N 5.Cho số thực x,y,z thoả mãn: x 2004 + y 2004 + z 2004 = Tìm GTLN biểu thức A = x3 + y + z 6.Cho a+b+c =0 Chứng minh 8a + 8b + 8c ≥ 2a + 2b + 2c 7.Cho số tự nhiên k ≥ a1, a2 , , ak số thực dương a1m a2m ak m + n + + n ≥ a1m − n + a2 m − n + + an m − n Cmr: n a2 a3 a1 1 8.Cho x,y,z ba số thực thoả mãn + + = Tìm GTNN biểu thức x y z x 2006 y 2006 z 2006 A = 2007 + 2007 + 2007 y z x x 20 y 20 z 20 y z x 10.Cho n số thực x1, x2 , , xn thuộc đoạn [ a, b ] , a > 9.Tìm GTNN A = 11 + 11 + 11 với x + y + z = 1 1  ( n( a + b) ) Cmr: ( x1 + x2 + + xn )  + + + ÷ ≤ xn  4ab  x1 x2 11.Cho n số nguyên dương;lấy xi ∈ [ 2000;2001] với i=1,2…,n ( Tìm GTLN F = x1 + x2 + + xn 12.Xét số thực x1, x2 , , x2006 thoả )(2 − x1 + 2− x2 + + 2− xn π π ≤ x1, x2 , , x2006 ≤ ) Tìm GTLN biểu thức   1 A = ( sin x1 + sin x2 + + sin x2006 )  + + + ÷ sin x2006   sin x1 sin x2 13.Cho n số dương a1 , a2 , , an Đặt : m = { a1 , a2 , , an } , M = Max { a1 , a2 , , an } n n i =1 i =1 A = ∑ , B = ∑ 1  n ( m + M ) − A Cmr: B ≤  mM  Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – Đồng Nai GV: Nguyến Tất Thu http://www.violet.vn/nguyentatthu/ 14.Cho ≥ 0, bi ≥ 0, ∀i = 1, n Chứng minh rằng: n ( a1 + b1 ) ( a2 + b2 ) ( an + bn ) ≥ n a1a2 an + n b1b2 bn ( 15.Cho ≥ 0, ∀i = 1, n Chứng minh rằng: ( + a1 ) ( + a2 ) ( + an ) ≥ + n a1a2 an ) n 16.Chứng minh n 1.2 ( n + 1) ≥ + n 1.2 n với n ≥ 2, n ∈ N 17.Chứng minh tam giác ABC ta có :       1/  + ÷ + ÷1 + ÷ ≥ 1 + ÷ 3  sin A  sin B  sin C        ÷ ÷ ÷   1+ 1+ 1+ ≥ 1 + 2/  ÷ A ÷ B ÷ C÷ 3  cos ÷ cos ÷ cos ÷     2       3/  + ÷1 + ÷ + ÷ ≥ 1 + ÷  ma  mb  mc   3R  4 b  b  c  18.Cho a,b,x,y,z > x+y+z = 1.Chứng minh:  a + ÷ +  a + ÷ +  a + ÷ ≥ ( a + 3b ) x  y  z  n 19.Cho a, b > 0, xi > 0∀i = 1, n; ∑ xi = Cmr: i =1 m m m   b  b b  m  a + ÷ +  a + ÷ + +  a + ÷ ≥ n ( a + nb ) với m > x1   x2  xn    20.Cho a, b, c > 0, a + b + c = Chứng minh rằng:      − 1÷ − 1÷ − 1÷ ≥  ab  bc   ca  m n 21.Cho x ∈ [ a; b ] Tìm GTLN biểu thức F ( x ) = ( x - a ) ( b - x ) với m,Ν Ỵ n é πù 22.Cho x Ỵ ê ; ú.Tìm GTLN biểu thức F ( x ) = sin q x.cos p x với p,Ν Ỵ * q ê 2ú ë û * 23.Cho a,b,c khơng âm có a + b + c =1.Tìm GTLN biểu thức F ( a, b, c ) = a 30b 4c 2004 24.Cho x, y ³ 0, x + y £ Tìm GTLN biểu thức sau : 1/ F ( x, y ) = x 2002 y.( - x - y ) 2/ F ( x, y ) = x 2002 y.( - x - y ) 25.Xét số thực dương thỏa mãn a + b +c =1.Tìm GTNN biểu thức 1 1 P= + + + 2 ab bc ca a +b + c 26.Xét số thực dương thỏa mãn a +b +c + d =1.Tìm GTNN biểu thức 1 1 P= + + + + 2 acd abd abc bcd a +b + c + d n n xi = Cmr: Õ xi £ x1, x2 , , xn >0 thỏa mãn điều kiện å 27.Giả sử n i=1 ( n - 1) i=1 + xi 28.Giả sử a,b,c >0 thỏa mãn a 2b 3c + + = Cmr: ab 2c3 £ 1+ a 1+ b 1+ c Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – Đồng Nai GV: Nguyến Tất Thu http://www.violet.vn/nguyentatthu/ n n xi £ x1, x2 , , xn >0 thỏa mãn điều kiện å xi = Cmr: Õ 29 Giả sử n i=1 1- xi ( n - 1) i=1 n 1 = 1998 i=1 xi +1998 30 (QG-98) Giả sử x1, x2 , , xn >0 thỏa mãn điều kiện å Cmr: n x1.x2 xn n- ³ 1998 n 31.Cho n số dương thỏa mãn điều kiện å Chứng tỏ cách chọn p,q hàm số f(x) khơng thể có đạo hàm x=0 VI ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 1.Giải bpt : x3 + 3x + x + 16 > + − x 2.Xác định a để bất pt sau có nghiệm log a 11 + log ax − x + 3.log a  ax − x + + 1 ≤  ÷   Xác định a để bất pt sau có nghiệm log a + log  x + ax+5 + 1 log x + ax+6 ≥  ÷   ( a ) 4.Tìm giá trị tham số a soa cho với mối giá trị pt sau có nghiệm phân biệt − x−a ( ) log x − x + + 2− x + x log ( x − a + ) = ( ) ( ) 2 5.Tìm giá trị a để với giá trị pt: x + a = − 9a − x có số nghiệm khơng nhiều số nghiệm pt 1  x + ( 3a − ) 3x = 8a − log3  3a − ÷− x3 2  ( ) ( ) 2 Tìm giá trị a để pt: 15 x − 6m + x − 3m + 2m = có số nghiệm khơng nhiều ( x 6m số nghiệm pt : ( 3a − 1) 12 + x + x = − ( ) ) 28m − 0, 25 7.Giải pt : 3log3 + x + x = log x tgx − tgy = y − x  8.Giải hệ  5π 2 x + y =  Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – Đồng Nai GV: Nguyến Tất Thu http://www.violet.vn/nguyentatthu/ ( 9.Giải bất pt log x > log3 + x  + a2 10.Giải pt :   2a  x   − a2 ÷ − ÷  2a   ) x  ÷ = với tham số a∈ ( 0;1) ÷  tgx − tgy = y − x  11 Giải hệ:   y +1 −1 = x − y +  (1) (2)  π π 12 Giải pt: e tan x + cos x = với x ∈  − ; ÷  2 13 Giải pt: x(2 + x + 3) + (4 x + 2)( + x + x + 1) = x 14.Giải pt: = + x + log3 (1 + x ) VII.TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ PT CĨ NGHIỆM 1.Tìm m để pt sau có nghiệm : x2 + x + − x2 − x + = m  π ÷  2 Tìm tất giá trị a để pt: ax + = cos x có nghiêm x ∈  0; 3.Cho hàm số y = − x + ( x + a)( x + b) với a,b hai số thực dương khác cho trước Cmr s s  s với s ∈ ( 0;1) tồn số thực α > : f (α ) = a + b  ÷   (QG-A-2006) 4.Cho pt : cos2x= ( m+1) cos x + tgx a)Giải m =  π b)Tìm m để pt có nghiệm đoạn  0;   3 5.Tìm m để pt sau có nghiệm: ( 4m − 3) x + + ( 3m − ) − x + m − = 6.Tìm m để tồn cặp số (x;y) không đồng thời thỏa mãn pt: ( 4m − 3) x + ( 3m − ) y + ( m − 1) x + y = 7.Tìm m để pt : + cos8 x = m có nghiệm + cos x é πù 8.Tìm a đ pt : ax + cos x = nghiệm thuộc ê ; ú ê 2ú ë û x2 9.Cho hàm số: f ( x ) = e x - s inx+ a) Tìm GTNN hàm số b) Cm pt f ( x ) = có hai nghiệm 10.Chứng minh pt x x +1 = ( x +1) x có nghiệm dương 11 Cho f ( x ) = x + ax + bx + c = 0; ( a ¹ 0) có nghiệm phân biêt a)Hỏi pt: f ( x ) f ,, ( x ) - é , ( x ) ù = có nghiệm f ê ú ë û Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – Đồng Nai GV: Nguyến Tất Thu http://www.violet.vn/nguyentatthu/ b)Chứng minh rằng: 27c + 2a3 - 9ab < ( a2 - 3b) æ πư ỉ πư ỉ πư ÷ ÷ + + = ữ ỗ ỗ 12.Cho pt : tg ỗx + ữ tg ỗx + ữ + tg ỗx + n ữ ( n l tham s) ỗ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ố 2ứ ố è ø ø a) Cmr v ới mối số nguy ên n ³ ,pt c ó nghim nht khong ổ ỗ0; ữ hiờ ng ú l xn ỗ ứ.k ỗ 4ữ ố ÷ b)Cm dãy số ( xn ) có giới hạn 13.Chứng minh pt f ( x ) = x + x3 - x - 12 x +1 = có nghiệm phân biệt xi ; i = 1, 4 tính tổng S = å xi +1 i =1 ( xi - 1) VIII MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH  y = x3 − x + ax  1.Tìm a để hệ sau có nghiệm nhất:   x = y − y + ay   2x+ y-1 = m  Tìm m để hệ pt sau có nghiệm  2 y + x − = m  2y  x = − y2  3.Giải hệ   y = 2x  − x2  4.Chứng tỏ với a ≠ hệ sau có nghiệm  a2 2 x = y + y    a2 2y = x +  x  x  y + s inx=a  5.Tìm a để hệ  có nghiệm < x ≤ 2π , < y ≤ 2π y  + sin y = a x   x + x − + ln( x − x + 1) = y   6.Giải hệ:  y + 3y − + ln( y − y + 1) = z   z + 3z − + ln(z − z + 1) = x   x − x + log (6 − y ) = x   7.Giải hệ:  y − y + log (6 − z ) = y ( QG – A- 2006)   z − z + log (6 − x) = z  Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – Đồng Nai GV: Nguyến Tất Thu http://www.violet.vn/nguyentatthu/ 8.Tìm a để hệ có nghiệm (HSG12-2006)  x1 = x2 − x2 + ax   x2 = x3 − x3 + ax     xn = x1 − x1 + ax1 ( )  + 42 x − y 51− x + y = + 22 x − y +1  6.Giải hệ:  ( HSGQG 1999)  y + x + + ln y + x =  log ( + 3cos x ) = log3 ( sin y ) +  7.Giải hệ:  (THTT) log ( + 3sin y ) = log3 ( cos x ) +  ì x - my = - 4m ï 8.Gọi ( x; y ) nghiệm hệ pt: ï ( m tham số) í ï mx + y = 3m +1 ï ỵ ( ) Tìm GTLN biểu thức A = x + y - x ,khi m thay đổi HƯỚNG DẤN GIẢI I.Bất đẳng thức Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – Đồng Nai GV: Nguyến Tất Thu http://www.violet.vn/nguyentatthu/ nai m + ( m − n ) ≥ mai n , ∀i = 1, , k am *m > n : ( m − n ) + na2m − n ≥ ma1m − n a2n *m = n : csi am *m < n : ( n − m ) + ma1m − n ≥ na2m − n a2n     ( − ab ) ( − bc ) ( − ca ) A =  − 1÷ − 1÷ − 1÷ = 20  ab   bc  ca  ( abc ) Ta có: − ab ≥ − ( a + b) = ( + a + b) ( − a − b) 1 ( + a ) + ( + b )  ( + c ) ( + c )  = ≥  ( + a) ( + b) 2 Tương tự suy ra: A ≥  1 + 1 + 1 +  ÷  ÷ ÷ ÷ a b c  1     1 1  3 Mà: 1 + 1 +  1 +  ≥ 1 + ÷ ≥ Vậy: A ≥ 8( dpcm)  ÷ ÷ ÷  a  b   c   abc  1 1 1   a b c d   26 P = 2 2 +  ab + ac + ad + bc + bd + cd ÷+  bcd + cda + abd + bca ÷     a +b +c +d = A+ B+C 1 1 1 *A = + + + + + + 2 ab ac ad bc bd cd a + + d 1 1 1 *B = + + + + + ab ac ad bc bd cd a b c d *C = + + + bcd acd dab abc A ≥ 100, B ≥ 96, C ≥ 64 ⇒ P ≥ 260 Ta cm: xi Xn X1 29.Đặt: X i = − x , ∀i = 1, , n ta có + X + + + X = x1 + + xn = i n 1 Từ suy ra: + X1 + + + X n = n − ⇒ X1 X X n ≤ (đpcm) ( n − 1) n 30 Đặt: X i = 1 xi + + =1 ,∀i = n Ta có: , 1+ X 1+ X n 1998 Từ suy ra: X1 X n ≥ ( n − 1) n có (đpcm) 31.Đăt: X i = − ( a1 + + an ) a1 ; i = 1, , n; X n +1 = − a1 + + an n +1 1 1 + + + = n X X X Ta có: + X n n +1 ≤  ÷ + X n + X n +1 n Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – Đồng Nai GV: Nguyến Tất Thu http://www.violet.vn/nguyentatthu/ 38  z2   z2  P = a x2 + y + z = α x2 + ÷+  α y + ÷+ ( a − α ) x + y  ÷  ÷     ( ) ( ) α ( xz + yz ) + ( − α ) xy α = a −α Chọn ≥2 39  16 z2   z2  16 P=x +y +z + xy =  qx + xy ÷+  qy + ÷ + ( − q ) x2 + y +  25 ÷  ÷ 25     ≥2 2 ( ) q 16 ( xz + yz ) +  ( − q ) +  xy  25    q 16 18 = 2(1 − q) + ⇔q= 25 25 a  x = y = ±  5a2  PM ax = z = ± 3a   Chọn 39Do vai trò a d,bvà c biểu thức ta dự đoán điểm cực trị đạt số thỏa đk: a2 = d 2,c2 = d với p>0 xác định sau ta có cộng theo vế : ( ) P ≤ ( 5+ 5p) a2 + d + Vậy Pmax = ( ) ( ) 5+ 10p 2 1+ 2p 1+ b + c Chọn p thỏa : 1+ p = ↔ p= p p 3+ 43.Ứng dung đk có nghiệm hpt đx II PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC 1.Gọi M ( a;b) , N ( c;d ) Từ gt suy M,N nằm đường tròn x + y = đường thẳng x + y = Dễ thấy −2( ac + bd + cd ) = ( a − c ) + ( b − d ) − 20 = MN − 20 Mà MN ≥ 12 − nên −2( ac + bd + cd ) ≥ −8− ⇔ ac + bd + cd ≤ 4+ Vậy maxP= a = b = 2;c = d = 4+ 2.và tương tự 4.Gọi N ( a;b ) ,Q ( c,d ) , M ( x; y ) Từ gt suy N,Q,M thuộc đường tròn Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – Đồng Nai GV: Nguyến Tất Thu http://www.violet.vn/nguyentatthu/ ( C1) : ( x − 4) + ( y − 5) = 1,( C ) : ( x − 2) + ( y − 3) = đường thẳng ( ∆ ) : 3x − 2y − 13 = Khi P = MQ + MN Gọi I , R 1và J , R2 tâm bán kính ( C1) ,( C )  118 21 ; ÷ Lấy K ( u;v ) đối xứng với I qua ( ∆ ) K   13 13  P = MQ + MN ≥ ( MJ − JQ ) + ( MI − IN ) = MJ + MK − ( R1 + R2 ) ( ) = 13 − Đẳng thức xẩy M ≡ M 1,Q ≡ Q1, N ≡ N 1.Trong M 1,Q1là giao Của JK với ( ∆ ) ( C ) N = M 1I ∩ ( C1) Vậy minP = 2( − 1) III ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ CM BĐT 3.Từ câu a) ta có 1+ cost cost A B C > = cot gt cot g + cogt + cot g ≥ 3 nên có đpcm 2t sint 2 x b a + + + ( 1− x ) ( 1− a) ( 1− b) với x ∈ [ 0;1] 4.Hàm số f ( x ) = a+ b + x + a+ x + b + có đạo hàm cấp hai không âm nên đạo hàm cấp có nhiều nghiệm TH : f , ( x ) = VN Thì f ( x ) ≤ M ax{ f ( 0) ; f ( 1) } ≤ TH : f , ( x ) = có nghiệm x = α f , ( x ) đồng biến nên α điểm f x = max{ f( 0) ; ( 1) } ≤ cực tiểu max ( ) (đpcm) [ 0;1] 8.Đặt F ( x ) = f ( x ) + f , ( x ) + + f ( n) ( x ) n F , ( x ) = f , ( x ) + f , ( x ) + + f ( ) ( x ) = F ( x ) − f ( x ) (1) f đa thức bậc n nên f ( n +1) ( x ) = Từ gt tốn suy f đa thức bậc chẵn có hệ số cao dương F đạt GTNN.Giả sử F đạt GTNN x0 Thì F , ( x0 ) = từ (1) suy F ( x0 ) = F , ( x0 ) + f ( x0 ) = f ( x0 ) ≥ (đpcm) ( ) ( ) p+q − ≥ ( p+q ) a p − a q ↔ a p + q − ( p + q ) a p − a q − ≥ 12 a ( ) p+q − ( p + q ) x p − x q − đồng biến [ ) ;+∞ Hàm số: f ( x ) = x Và có f ( 1) = nên từ a ≥ ta có (đpcm) 13.Cơ lập x xét dấu đạo hàm f ( x ) = sin2 x.tgx − x 3 2 tgx Chú ý: 2sin2 x + tg 2x ≥ ( 2sinx+ ) > ( 3x ) *Cũng xét đến đạo hàm cấp để khư x 15.Từ dự đốn điểm rơi dẫn đến xét hàm số có điểm cực trị x = Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – Đồng Nai GV: Nguyến Tất Thu ( y = x − x = x 1− x 23 y = x +1 x2 − x + http://www.violet.vn/nguyentatthu/ ) đạt cực đại x=1 nên P = x − x + + y − y + 1+ z − z + nhỏ *có thể dùng bunhia hàm lồi 40 ( ) ( P = x4 + y + z = x2 + y + z − x2 y + y z + z x2 ) 2 = ( x + y + z ) − ( xy + yz + zx )  − ( xy + yz + zx ) − xyz ( x + y + z )          ( = ( 16 − 2t ) − t − 16 ) với t=xy + yz +zx t = x ( y + z ) + yz = x ( 4− x ) + Vì yz ≤ x y+ z 4−x 4− x = ⇔ ≤ ÷ ⇔ x ∈ 3 − 5;    2 x   (01 Với n Ỵ Ν n * ,ta có Với n Ỵ Ν f ( 4) =- 1 1 + + + + 22 - - ( 2n) - 1ỉ 1 1 1 ÷ = ỗ- +1- + - + + + + ữ ỗ ỗ ố ứ 3 2k - 2k - 2n - 2n +1÷ =< = f ( xn ) ( 2n +1) Từ đó, dohàm f n ( x ) ( 1;+¥ ) nên xn < với n Ỵ Ν* (2) Mặt khác hàm f n ( x ) có đạo hàm [ xn , 4] nên theo định lí Lagrange Với n Ỵ Ν* tồn t Ỵ ( xn; 4) cho f ( 4) - n ( xn ) - - - n2 n , = f (t) = + + + " n Ỵ Ν* (3) ( 2n +1) ( - xn ) ( 2n +1) Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – Đồng Nai GV: Nguyến Tất Thu http://www.violet.vn/nguyentatthu/ * ," từ (2) (3) : - ( 2n +1) < xn < 4Ν n Ỵ suy limxn = (đpcm) III ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TÌM ĐK ĐỂ PT CÓ NGHIỆM 2 ax +1 = cosx Û a = cosx-1 x2 ỉ πư = f ( x ) , " x ẻ ỗ0; ữ ỗ ứ ç 2÷ è ÷ Tìm miền giá trị f(x) ta a cần tìm ỉ a +b ÷ ÷ ÷ ø 3.Hàm số y =- x + ( x + a) ( x +b) có miền giá trị trờn ( 0;+Ơ ) l ỗ ab; ỗ ỗ ố Do cần cm: ỉs +bs s a ữ a +b ,vi mi s ẻ ( 0;1) ữ< ỗ ab < ỗ ữ ỗ ữ ç ÷ è ø ( 4m- 3) x + +( 3m- 4) 1- x + m- = Û m= x + + 1- x +1 x + + 1- x +1 2 ỉ x + ổ 1- x ữ +ỗ ữ =1 ỗ ữ ỗ ữ Chỳ ý: ỗ Do ú lng giỏc hóa đưa ẩn phụ t = tg ç ÷ ç ÷ ÷ ç ÷ ç è ø è ø Rồi khảo sát hàm số thu theo t 5.Tương tự 10 x x +1 = ( x +1) x Û f ( x ) = x ln( x +1) - ( x +1) lnx = ỉ 1ư ÷ - < - - < với x>0 f Nb ÷ ÷ x ø x x +1 x x x +1 Mà f ( 1) = ln2 > é ù ỉ 1ư ( ÷ lim f ( x ) = lim ờx +1) lnỗ + ữ ln( x +1) ỳ ỗ ữ ỗ xứ ỳ ố x đ+Ơ x đ+Ơ ỷ , Ta cú f ( x ) = lnỗ + ỗ ỗ è x +1 é ỉ ù 1ư = lim ê ỗ + ữ - ln( x +1) ỳ Ơ lnỗ =ữ ỗ ỳ ữ x đ+Ơ ố x ø ú ë û Kết hợp f liên tục ( 0,+¥ ) suy pt có nghiệm dương Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – Đồng Nai ... 4) - n ( xn ) - - - n2 n , = f (t) = + + + " n ẻ * (3) ( 2n +1) ( - xn ) ( 2n +1) Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa. .. ) = ( t +1) α - t α ,t > có f( 4) = ( 3) Do tồn c Ỵ ( 3; 4) é =0 α ? ?- é , ? ?- ù ( Sao cho f ( c) = « α êc +1) - c ú= « ê ê =1 ë û α ë Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – Đồng Nai GV: Nguyến... y ( QG – A- 2006)   z − z + log (6 − x) = z  Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – Đồng Nai GV: Nguyến Tất Thu http://www.violet.vn/nguyentatthu/ 8.Tìm a để hệ có nghiệm (HSG1 2-2 006)  x1