Mục lục Trang Mở đầu .1 Chơng I: Khái quát cấu trúc vùng năng lợng 3 1. Nguyên lý hình thành vùng năng lợng .3 1.1. Vùng năng lợng nh là hệ quả của tính tuần hoàn tịnh tiến .3 1.2. Vùng năng lợng nh là hệ quả của sự tơng tác giữa các nguyên tử với nhau 5 2. Hàm Block và ý nghĩa .7 2.1. Xây dựng hàm Block .7 2.2. ý nghĩa 7 3. Khảo sát chuyển động của điện tử trong trờng tuần hoàn mô hình điện tử liên kết yếu .8 3.1. Tính tuần hoàn của vùng năng lợng .15 3.2 Các cách biểu diễn vùng năng lợng 16 3.3. Sự phụ thuộcvào hớng của bức tranh vùng năng lợng .17 3.4. Mỗi liên hệ giữa độ rộng vùng cấm và hệ số tán xạ cấu trúc .18 4.Mô hình liên kết yếu .19 4.1. Một số nhận xét .22 4.2. Ví dụ minh hoạ .23 Chơng II: Các trạng thái của điện tử trong vật rắn .25 1. Tính chất của điện tử theo lý thuyết vùng năng lợng 25 1.1. Khối lợng hiệu dụng .25 1.2. Phơng trình chuyển động của điện tử 27 1.3. Phơng trình chuyển động của lỗ trống .28 1.4. Mạt đẳng năng .30 1.5. Mặt Fecmi 31 1.5.1. Định nghĩa .31. 1.5.2. Thí dụ về các mặt Fecmi 32 2. Chuyển động của điện tử 34 Chơng III: Cấu trúc năng lợng của chất bán dẫn Si, Ge và A III B V .37 1. Cấu trúc vùng năng lợng của Silic (Si) .39 2. Cấu trúc vùng năng lợng của Gecmani (Ge) 44 3. Cấu trúc vùng năng lợng của các bán dẫn A III B V .46 Kết luận .49 Tài liệu tham khảo .50 Phần I: mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Trong cuộc cách mạng khoa học hiện nay, ngành vật lý chất rắn đóng vai trò đặc biệt quan trọng. Vật lý chất rắn đã tạo ra những vật liệu mới cho các ngành kỹ thuật mũi nhọn nh: Vô tuyến điện tử, du hành vũ trụ, năng lợng nguyên tử Ngày nay vật lý chất rắn là một lĩnh vực khoa học hết sức rộng lớn gồm nhiều bộ môn nh: Vật lý bán dẫn điện, vật lý kim loại và hợp kim, vật lý các chất sắt điện, sắt từ Tuy nhiên dù bao gồm nhiều bộ môn khác nhau song vật lý chất rắn vẫn là một khoa học thống nhất. Đó là sự thống nhất trên xu thế chung của vật lý học hiện đại (xu thế đi sâu vào cấu trúc và cơ chế vi mô trong mạng tinh thể, phân tử, nguyên tử, hạt nhân ), thống nhất trên những quan điểm cũng nh phơng pháp lý thuyết và thực nghiệm chung. Khi đi sâu vào tìm hiểu những tính chất và cơ chế vật lý xảy ra trong chất rắn thì lý thuyết chính là nền tảng cho các thực nghiệm ra đời mà quan trọng nhất đó chính là lý thuyết vùng năng lợng vì nó giúp ta giải thích đợc các tính chất của vật rắn có liên quan tới cấu trúc bên trong của tinh thể. ở đây ta sẽ đa ra các khái niệm mới quan trọng, các phép gần đúng liên kết chặt hoặc liên kết yếu trong lý thuyết vùng năng l ợng của vật rắn để từ đó vận dụng nghiên cứu cấu trúc vùng năng lợng của các chất bán dẫn. Vì vậy tôi chọn đề tài : "Nghiên cứu lý thuyết vùng năng lợng của vật rắn và cấu trúc vùng năng lợng của chất bán dẫn". 2. Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu lý thuyết vùng năng lợng vận dụng lý thuyết này để nghiên cứu cấu trúc vùng năng lợng của chất bán dẫn. Từ đó tìm hiểu bản chất và biết đợc khả năng ứng dụng của chất bán dẫn vào khoa học kỹ thuật cũng nh trong cuộc sống. 3. Giả thuyết khoa học Nếu nắm vững đợc lý thuyết vùng năng lợng của vật rắn sẽ giúp ta hiểu đợc cấu trúc tinh thể bên trong của nó từ đó phân biệt đợc đâu là kim loại, điện môi hay bán dẫn. Quan trọng hơn chúng ta sẽ nắm đợc các tính chất, hiểu đợc u và nhợc điểm của chất bán dẫn để từ đó ngời ta biết đợc khả năng ứng dụng của chất bán dẫn trong cuộc sống cũng nh trong các lĩnh vực khác có liên quan. 4.Phơng pháp nghiên cứu + Phơng pháp lý thuyết: Dùng các kiến thức về toán học, vật lý đại cơng, cơ học lợng tử, vật lý chất rắn để nghiên cứu cấu trúc vùng năng lợng của chất bán dẫn. 5. Đối tợng nghiên cứu Bài toán nghiên cứu lý thuyết vùng năng lợng bao gồm: + Cấu trúc vùng năng lợng của vật rắn. + Cấu trúc vùng năng lợng của chất bán dẫn: Ge, Si, A III B V . 6. Cấu trúc luận văn Gồm 3 phần: Phần I: Mở đầu. Phần II: Nội dung: Gồm 3 chơng Chơng I: Khái quát cấu trúc vùng năng lợng Chơng II: Các trạng thái của điện tử trong vật rắn. Chơng III: Cấu trúc vùng năng lợng của các chất bán dẫn: Ge, Si, A III B V . Phần III: Kết luận và tài liệu tham khảo. Chơng I Khái quát cấu trúc vùng năng lợng 1. Nguyên lý hình thành vùng năng lợng trong vật rắn Lý thuyết điện tử tự do xuất phát từ giả thiết là: Kim loại bao gồm các điện tử tự do, chúng có thể di chuyển trong toàn bộ tinh thể cho phép giải thích một loạt các hiện tợng dẫn nhiệt, dẫn điện, hiện tợng phát xạ nhiệt của điện tử, các hiệu ứng nhiệt điện, điện từ Nh ng lý thuyết này không thể giải thích đợc các tính chất của vật rắn có liên quan tới cấu trúc bên trong của tinh thể: Tại sao một số tinh thể của các chất lại là kim loại, bán dẫn hay điện môi; tại sao tính chất của bán dẫn lại phụ thuộc nhiều vào nhiều độ Vì lý do đó mà b ớc phát triển tiếp theo của vật lý học là tìm ra lý thuyết mới cho phép ta giải thích các hiện tợng trên. Lý thuyết này gọi là lý thuyết vùng năng lợng. Để tiếp cận vấn đề này thờng thì ngời ta có hai cách tiếp cận để xét các trạng thái năng lợng của điện tử trong chất rắn đó là: - Phép gần đúng điện tử gần tự do: Xem điều gì xảy ra khi điện tử chuyển từ trạng thái hoàn toàn tự do sang trạng thái nằm trong trờng thế năng tuần hoàn do các ion của mạng tinh thể sinh ra. - Phép gần đúng điện tử liên kết chặt: Coi các điện tử liên kết chặt với các nguyên tử và nghiên cứu sự thay đổi các trạng thái của các điện tử này khi một số lợng lớn các nguyên tử kết hợp lại với nhau để tạo thành vật rắn. 1.1. Vùng năng lợng nh là hệ quả của tính tuần hoàn tịnh tiến Nhờ sự sắp xếp một cách có trật tự có tính tuần hoàn của nguyên tử trong tinh thể không bị va chạm và tán xạ, sóng điện tử lúc này là sóng chạy, xác suất tìm thấy điện tử trong mọi chỗ của mạng tinh thể là nh nhau. Ta có phơng trình Schrodinger cho điện tử tự do dọc theo trục ox: 2 2 2 2 0 m E x + = h (1.1) Trong đó: là hàm sóng của điện tử, m là khối lợng của điện tử. Vì điện tử chuyển động tự do nên năng lợng chỉ có động năng: 2 2 2 . 2 2 p k E m m = = h (1.2) Trong đó: P ur = h k r và k r là vectơ sóng có hớng trùng với hớng lan truyền của sóng điện tử. Từ (1.2) ta có sự phụ thuộc của E vào K có dạng parabol (hình. 1) Ta thấy nghiệm của (1.1) có dạng sóng phẳng chạy dọc theo trục ox: (x) = Aexp (i x k r x) (1.3) 0 Vì xác suất tìm thấy điện tử ở toạ độ x đều bằng nhau là = |(x)| 2 = A 2 (Hình . 2). Hình.1. Sự phụ thuộc của E( k r ) Hình . 2. Xác suất tìm thấy điện tử ở toạ độ x Các kết quả trên sẽ khác khi chuyển động của điện tử thoả mãn điều kiện phản xạ braag thì nó không đi qua mạng tinh thể đợc mà phản xạ ngợc trở lại. Sóng điện từ lúc này là sóng dừng, điện tử khi đó không dịch chuyển trong mạng tinh thể đợc và vị trí lúc đó là cố định. Nh ta đã biết năng lợng của điện tử nằm trong tinh thể bằng tổng động năng và thế năng: E=W+U. Trong đó: W: Động năng (năng lợng chuyển động của điện tử) U: Thế năng (do điện tử chuyển động trong điện trờng có tính tuần hoàn của các ion dơng tạo nên mạng tinh thể). Với thế năng U của nó ta có nhận xét sau: + Mỗi ion dơng của mạng tinh thể tạo ra xung quanh mình một hố thế năng (thế năng của điện tử trong điện trờng của các ion dơng là âm) + Do sự sắp xếp có trật tự của các điện tử trong mạng tinh thể nên các hố thế năng này sắp xếp một cách tuần hoàn. Vì vậy: Khi điện tử bị phản xạ braag thì không chuyển động trong tinh thể đợc nên có hai vị trí tơng đơng nhau mà nó có thể nằm ở đó. ở vị trí nút =A 2 = const x k r E r 0 mạng thế năng U 1 của nó là âm nhất và năng lợng tổng cộng của điện tử là: E 1 = U 1 + W 1 . ở vị trí giữa các nút mạng thế năng U 2 của nó ít âm hơn và năng lợng tổng cộng của nó là E 2 = U 2 + W 2 . Kết qủa là trong phân bố các trạng thái của điện tử có tồn tại những khe năng lợng hay nói cách khác có thể xuất hiện những khoảng năng lợng xác định mà ở đó phơng trình (1.1) không có nghiệm. Các khe năng lợng có ý nghĩa quyết định tại sao chất rắn lại là kim loại, điện môi hay bán dẫn. Nói tóm lại tính tuần hoàn tịnh tiến của cấu trúc tinh thể làm cho năng lợng của điện tử chuyển động trong tinh thể có cấu trúc theo vùng (các vùng đợc phép xen kẽ với các vùng cấm) và lý do xuất hiện vùng năng lợng bị cấm là do phản xạ braag. 1.2. Vùng năng lợng nh là hệ quả của sự tơng tác giữa các nguyên tử với nhau Theo lý thuyết lợng tử về cấu tạo nguyên tử, trong một nguyên tử riêng biệt các điện tử chỉ có thể nằm trên các mức năng lợng gián đoạn nhất định nào đó và mỗi điện tử phải nằm trên một mức năng lợng khác nhau (nguyên lý loại trừ Pauli), trong đó vị trí của chúng trên mỗi mức đợc xác định bằng 4 số lợng tử: n,l,m,s. Trên thực tế vị trí của mỗi mức chủ yếu do số lợng tử chính quyết định và các mức năng lợng ứng cùng một số lợng tử chính thì tạo thành một lớp, tất cả các lớp có cùng một số giá trị l thì đợc sắp xếp gần nhau. Khi các nguyên tử tiến lại gần nhau đến khoảng cách cỡ 10 -10 m (A 0 ) lúc này điện tử chuyển động trong điện trờng mạnh do các nguyên tử lân cận gây ra (hiệu ứng Stark ). Nên các mức năng lợng nguyên tử tách ra thành các vùng năng lợng ( mỗi mức tách ra tạo thành một vùng ) . Sự tách từ một mức năng lợng nguyên tử ra thành một vùng năng rộng hay hẹp (tính theo năng lợng) phụ thuộc vào sự t- ơng tác giữa các điện tử thuộc các nguyên tử khác nhau với nhau. - Các điện tử thuộc lớp ngoài cùng của nguyên tử nhất là các điện tử hoá trị tơng tác rất mạnh với nhau do đó vùng năng lợng này rộng. - Các điện tử thuộc các lớp càng sâu bên trong bao nhiêu thì càng tơng tác yếu hơn với nhau bấy nhiêu và vùng năng lợng lúc này hẹp xen kẽ giữa các vùng năng lợng đợc phép ở trên là vùng năng lợng cấm, nói chung không có các điện tử có giá trị năng lợng nằm trong vùng cấm này. Sự lấp đầy các vùng năng lợng bởi các điện tử xảy ra nh sau: - Các vùng năng lợng tơng ứng với các mức bên trong của nguyên tử (có năng lợng thấp hơn) bao giờ cũng đợc lấp đầy trớc chỉ còn vùng ngoài cùng (vùng hoá trị) là cha đợc lấp đầy hoàn toàn. Dựa trên cơ sở lấp đầy này ngời ta phân loại các chất rắn thành kim loại, bán dẫn và điện môi. - Vùng hoá trị đã đợc các điện tử lấp đầy hoàn toàn và cách vùng dẫn bởi vùng cấm có độ rộng E g tơng đối nhỏ để sao cho về nguyên tắc các kích thích nhiệt này có thể kích điện tử nhảy từ vùng hoá trị vợt qua vùng cấm lên vùng dẫn thì chất này gọi là chất bán dẫn. - Vùng hoá trị đã đợc các điện tử lấp đầy hoàn toàn và cách vùng dẫn bởi vùng cấm lớn thì chất rắn là điện môi. - Vùng hoá trị đã đợc các điện tử lấp đầy hoàn toàn và không có vùng cấm thì chất rắn là kim loại 2. Hàm block và ý nghĩa 2.1. Xây dựng hàm block Nh ta đã biết )(rV r là một hàm tuần hoàn nghĩa là )()( rVRrV r r r =+ và ta có thể chứng minh đợc )(r r có tính chất sau: )()( rVRrV r r r =+ )().exp()( rRkiRr r r r r r =+ Từ đây ta có thể suy ra rằng: )exp()()( RkirUr kk r r rr = (1.4) Trong đó: Đặt += G k RkiGkCrU r r r r r r )exp().()( (1.5) Vì U k ( r r ) là một chuỗi fourie theo vectơ mạng đảo vì vậy nó bất biến đối với phép tịnh tiến vectơ mạng R r . Thật vậy ta có thể biểu diễn: +=++=+ G G k rGiExpRGiExpGkCRrGiGkCRrU r r r r r rr r r r rr r r r )(.)()()(.exp).()( Vì G r là vectơ mạng đảo nên 1)exp( = RGi r r Do đó U k ( r r + R ur )= )()exp().( rUrGiGkC G r rr r r =+ (1.6) Hàm sóng (1.4) thoả mãn điều kiện (1.5) gọi là hàm block. Định lý hàm block: các hàm riêng của phơng trình sóng với thế năng tuần hoàn là hàm block có dạng là tích của hàm sóng phẳng )exp( rki r r với hàm )(rU k r là một hàm tuần hoàn trong mạng tinh thể. 2.2. ý nghĩa. Từ định nghĩa hàm block ta có nhận xét sau: Nhận xét 1: Hàm sóng block là dạng chung của hàm sóng của điện tử trong tinh thể ở gần đúng một điện tử nó là hệ quả trực tiếp của tính tuần hoàn của tinh thể. Do đó dùng phơng pháp gần đúng để giải bài toán một điện tử (gần đúng điện tử tự do hay gần đúng liên kết mạnh hay gần đúng nào khác nữa) thì bao giờ lời giải của bài toán này cũng phải đều có dạng hàm block. Nhận xét 2: Ngời ta đã biết từ cơ học lợng tử, xác xuất có mặt của điện tử ở một nơi nào đó trong tinh thể đợc xác định bởi một tích số r , r * . Nhng mặt khác từ hàm block đã tìm ra ( r r ). Có thể dễ dàng tính toán rằng: 2 )()().(. rUrUr kkkrr rrr == (1.7) Trong đó: )(rU k r là hàm tuần hoàn với chu kỳ tuần hoàn của mạng tinh thể. Từ đây có thể nói rằng điện tử có cùng xác suất nằm tại các vị trí tơng đơng nhau trong tinh thể điều này có ý nghĩa là điện tử không định xứ tại một nút mạng cụ thể mà thuộc về toàn bộ tinh thể. Nói một cách khác là điện tử không phải là tự do mà cũng không phải là liên kết nó nửa tự do - nửa liên kết. 3. Khảo sát chuyển động của điện tử trong trờng tuần hoàn - mô hình điện tử liên kết yếu Việc nghiên cứu tính chất của điện tử trong tinh thể là một trong những nhiệm vụ quan trọng nhất của vật lý chất rắn đó là vì điện tử là hạt có khối l- ợng bé, có mang điện tích, là hạt rất linh động tham gia vào nhiều hiện tợng, quy định nhiều tính chất của vật chất. Đây là một vấn đề khó vì để mô tả chính xác các điện tử trong tinh thể cần phải xét về một hệ gồm nhiêù hạt tơng tác với nhau: Điện tử, hạt nhân nguyên tử, số lợng các hạt này rất lớn cùng bậc với số Avôgađrô. Vì thế chúng ta cần đơn giản hoá các phép tính toán bằng cách sử dụng các phép gần đúng. Trong tinh thể vật rắn các nguyên tử cấu tạo nên tinh thể tơng tác với nhau, điện tử trong từng nguyên tử của tinh thể chịu tác dụng của tơng tác giữa các nguyên tử trong tinh thể. Trong đó những điện tử ở lớp ngoài cùng lại chịu ảnh hởng ít hơn các điện tử ở lớp bên trong vì chúng liên kết yếu hơn cả nên trong tinh thể các tính chất của chúng (nh sự phân bố trong không gian) bị biến đổi rõ rệt so với nguyên tử cô lập. Vì vậy khi nghiên cứu vật rắn ta thờng giới hạn ở việc khảo sát tính chất của những điện tử hoá trị. Theo cách đó coi nh mạng tinh thể đợc cấu tạo từ các lõi nguyên tử (gồm hạt nhân nguyên tử và những lớp hạt nhân bên trong) mang điện dơng đặt ở nút mạng và các điện tử hoá trị. Đầu tiên ta giả thiết rằng các lõi nguyên tử đứng yên đối với các nút mạng. Với giả thiết này ta xét chuyển động của điện tử trong trờng lực của các lõi nguyên tử đứng yên sắp xếp tuần hoàn trong tinh thể. Sau đó mới tiếp tục xét đến ảnh hởng của dao động mạng lên tính . " ;Nghiên cứu lý thuyết vùng năng lợng của vật rắn và cấu trúc vùng năng lợng của chất bán dẫn& quot;. 2. Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu lý thuyết vùng năng lợng. vật lý đại cơng, cơ học lợng tử, vật lý chất rắn để nghiên cứu cấu trúc vùng năng lợng của chất bán dẫn. 5. Đối tợng nghiên cứu Bài toán nghiên cứu lý thuyết