slide xstk chương 12 k53f nguyenvantien0405

• Cửa hàng mua sách với giá 7USD một cuốn, bán. ra với giá 10USD một cuốn nhưng đến cuối năm phải hạ giá với giá 5USD một cuốn.[r]

CHƯƠNG 2

Định nghĩa

• Định nghĩa Biến ngẫu nhiên đại lượng

nhận giá trị phụ thuộc vào kết phép thử ngẫu nhiên Giá trị ngẫu nhiên khơng dự đốn trước

• Định nghĩa Biến ngẫu nhiên hàm số

Ví dụ 1

• X: Lượng khách vào cửa hàng ngày

• Y: Tuổi thọ iphone 6

• Trả ngẫu nhiên mũ bảo hiểm cho người Gọi

Z: số mũ bảo hiểm trả người

• T: Số sản phẩm hỏng 100 sản phẩm

nhập

• U: Chiều cao sinh viên gọi ngẫu nhiên

Ví dụ 2

• Tung đồng xu Ta có biến cố sau:

– Đồng xu ngửa : “N” – Đồng xu sấp: “S”

Đặt

Khi X biến ngẫu nhiên

Lưu ý: “X=1” hay “X=0” biến cố

1

nếuSấp X

nếu Ngửa

Ví dụ 3

• Hộp có viên bi gồm trắng vàng Lấy

ngẫu nhiên viên bi từ hộp Đặt Y số viên bi vàng có viên lấy

• Khi Y biến ngẫu nhiên.

• Ta có:

• “Y=0”, “Y=1”, “Y<2” biến cố nào???

 2; ; 

Định nghĩa (tham khảo)

Biến ngẫu nhiên X ánh xạ từ không gian mẫu biến cố sơ cấp vào tập số thực

Chú ý:

- X bnn

- {X=x} {X<x}, … biến cố

 

:

X R

X

 



Phân loại bnn

Rời rạc

Giá trị X liệt kê thành

dãy số hữu hạn

hoặc vô hạn

Bnn X

Liên tục

Giá trị X lấp đầy khoảng hay số khoảng trục số,

Luật phân phối xác suất

• Biểu diễn quan hệ giữa giá trị của biến

ngẫu nhiên xác suất tương ứng.

– Xác suất để bnn nhận giá trị bất kì

– Xác suất để bnn nhận giá trị

khoảng

• Dạng thường gặp: cơng thức, bảng ppxs,

Luật phân phối_Công thức

Bảng ppxs

• Ví dụ Một hộp có 10 sản phẩm có

Luật ppxs_Bảng

• Bảng phân phối xác suất X.

• xi : giá trị có bnn X

• pi : xác suất tương ứng; pi=P(X=xi).

• Chú ý:

X x1 … x2 … xn P p1 … p2 … pn

1

n

i

p 

Luật ppxs_Bảng

Luật ppxs_ Hàm phân phối

• Hàm phân phối xác suất hay hàm phân bố, ký

hiệu F(x), định nghĩa sau:

• Hay

 

( ) x

F x P X 

 

( ) t

Luật ppxs_ Hàm phân phối

• Cho bnn X có bảng pp

• Tìm hàm ppxs bnn X vẽ đồ thị

• Tính

• F(x) có liên tục x với x{0,1,2,3}

x

f(x) 2/35 11/35 16/35 6/35

       

2

lim , lim , lim , lim

x x

x  F x x  F x   F x    F x

Luật ppxs_ Hàm phân phối

• Cho X bnn rời rạc có tập giá trị sắp

• Khi đó:

1

x  x  x  và P X xi   pi

 

1

1

1 2

0 , , , , x x

p x x x

F x p p x x x

p p x x x

• Là xác suất để X nhận giá trị nhỏ x, x

giá trị

• Cho biết tỉ lệ phần trăm giá trị X nằm bên

trái số x

• Xác suất X thuộc [a,b)

)

( b F ( ) ( )a P a X   b  F

Biến ngẫu nhiên liên tục

• Cho X bnn liên tục

• Ta có:

• Để thể xác suất ta sử dụng hàm số

• Hàm mật độ xác suất hay mật độ xác suất

       

0 )

)

(X a) , a

ii P a X b P a X b P X b P a X b

i P   

Hàm mật độ xác suất

Hàm mật độ xác suất f(x) thỏa mãn điều kiện:

 

 

) ,

)

i f x x R

ii f x dx



 

  



Định nghĩa

• Định nghĩa. Hàm số f(x) gọi hàm mật độ xác

suất biến ngẫu nhiên X thỏa mãn điều kiện sau:

   

   

)

)

)

b

i f x x R

ii f x dx

iii P a X b f x dx



 

  



  



Ví dụ

• Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất

• A) Kiểm tra lại hàm f(x)

• B) Tính xác suất P(0<X<1)

 

 

2

,1

3

0 , 1,

x x f x x             2 x

Hàm ppxs bnn liên tục

• Định nghĩa Hàm ppxs bnn liên tục X có

hàm mật độ f(x) là:

• Chú ý.

     

x

F x P X x f t dt

 

   

   

     

) )

i f x F x

ii P a X b F b F a

 

Ví dụ

• Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất

• A) Xác định hàm F(x)

• B) Tính xác suất P(0<X<1)

   

2

1

3

x

CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG • Kỳ vọng (Expected Value) E(X)

• Phương sai (Variance) V(X), Var(X) • Độ lệch chuẩn (Standard Error)

• Trung vị (Median) me • Mốt (Mode) m0

• Hệ số biến thiên (Coefficient of Variation) CV • Hệ số bất đối xứng (Skewness)

Kỳ vọng (Expected Value)

• Ký hiệu: E(X)

• Định nghĩa:

• E(X) trung bình theo xác suất X

• Có đơn vị với X

 

-,với X rời rạc ( ) ,với X liên tục

i i i

x p E X

x f x dx

Ví dụ 1

• Một nhân viên bán hàng có hẹn

Ví dụ 2

• X tuổi thọ loại thiết bị điện tử

• Tìm tuổi thọ trung bình loại thiết bị này.

  20.0003 100 

f x x

x

Hàm bnn

• Cho bnn X có ppxs:

• Đặt g(X)=X2 Phân phối xác suất g(X)

X -1

Kỳ vọng (tt)

• Cho bnn X

• Kỳ vọng tốn học hàm (X):

          i i i x p E X

x f x dx

              

Tính chất

 

1)Tính chất 1: E(C)=C với C số 2)Tính chất 2: E(C+X)=C+E(X)

3)Tính chất 3: E(C.X)=C.E(X)

4)Tính chất 4: E(X Y)=E(X) E(Y)

Ví dụ 3

• Tính kỳ vọng bnn X rời rạc có hàm mật độ:

  2

C

P X k k

k

Ví dụ 4

• Vịng quay roulett có 38 số 00, 0, … 36

• Gọi X số mà bóng rơi vào

• Y số tiền phải trả cho người chơi

• Nhà phải thu tiền người chơi

để có lợi

Phương sai (Variance)

• Ký hiệu: V(X); Var(X)

• Định nghĩa:

     2

Var X E X E X   E X  

        2 2

,nếu X rời rạc ,nếu X liên tục

i i

i

x p E X Var X

x f x dx E X

Ví dụ

• XA, XB lãi suất thu năm (đơn

vị %) đầu tư vào công ty A, B cách độc lập Cho biết quy luật phân phối biến ngẫu nhiên sau:

XA 10 12

P 0,05 0,1 0,3 0,4 0,15

XB -4 10 12 16

Ví dụ

• Đầu tư vào cơng ty có lãi suất kỳ vọng cao

hơn?

• Đầu tư vào cơng ty có mức độ rủi ro hơn?

• Nếu muốn đầu tư vào cơng ty nên đầu

tư theo tỉ lệ cho:

Phương sai hàm bnn  

     X

V X E X

                                   2 X x X

V X x P X x

V X x f x dx

Tính chất phương sai

 

2

1 i

1)Tính chất 1: V(C)=0 với C số 2)Tính chất 2: V(C+X)=V(X)

3)Tính chất 3: V(C.X)=C V(X)

4) X Y độc lập X độc lập toa

V(X Y)=V(X) V(Y)

V n i = n i øn phaàn

i i

X V X

 

 

 



 



Độ lệch chuẩn

• V(X) đo độ dao động, phân tán, đồng đều, tập

trung X

• V(X) có đơn vị bình phương đơn vị X

• (X) có đơn vị đơn vị X

 X Var X 

Biến ngẫu nhiên chuẩn hóa

• Cho X bnn có kỳ vọng  độ lệch chuẩn >0. • Đặt:

• Ta có:

• Biến Z gọi bnn chuẩn hóa bnn X.

X

Z 

  

  0   1

Cho bnn X:

X

P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

                2 2

2 2

1 1

1 3,5

6 6

( ) 3,

1 1 91

1

6 6

35 35

12 12

E X

V X E X E X E X E X

V X  X

     

   

    

   

E(X)=3,5 : giá trị trung bình theo xác suất X 3,5 Hay ta thực phép thử n lần (n đủ lớn) giá trị trung bình X n lần xấp xỉ 3,5

Chú ý: X có đơn vị m thì:

E(X) có đơn vị m

V(X) có đơn vị m2

(X) có đơn vị m

Theo thống kê việc người Mỹ 25 tuổi, xác suất

Sống thêm năm 0.992

Chết vòng năm tới 0,008

Một chương trình bảo hiểm đề nghị người tham gia bảo hiểm cho sinh mạng người vòng năm

Số tiền chi trả 1000 USD Lệ phí tham gia 10 USD

• Gọi X lợi nhuận thu người tham

gia bảo hiểm Ta có:

• Ta thấy lợi nhuận kì vọng số dương nên

công ty bảo hiểm làm ăn có lãi

• Tất nhiên tính điều kiện số người tham

X -990 +10

P 0,008 0,992

     

 

990 0,008 10 0,992 USD

E X E X

 



X -990 +10 P 0,008 0,992

       

       

2

2

2

990 0,008 10 0,992 7940

7936 USD 89,08

E X

V X  X USD

   

  

Cho bnn liên tục X có hàm mật độ

a) Kiểm tra lại f(x) b) Tính E(X), V(X)

    , 0,1 , ( ) , x x x

f x  

  



Ví dụ 3

    2 2 3

E X xf x dx x dx

  

Tính V(X)

   

 

1

2

0

1 2

2

1 2 1

2 3 18

E X x f x dx x dx

V X                 

Tuổi thọ loại côn trùng M biến ngẫu nhiên X (đơn vị: tháng) với hàm mật độ sau:

• Tìm số k?

• Xác định hàm ppxs?

• Tính tuổi thọ trung bình loại trùng trên.

     

2 4 , 0, 4

0 ,

kx x x

f x   



 nơi khác

• 2 tính chất hàm mật độ:

• Ta có:

• Thử lại thấy điều kiện đầu thỏa.

• Vậy k=3/64

   

) , )

i f x x ii f x dx



 

   

Ví dụ 4

   

4

2

64

1

3 64

k

f x dx kx x dx k



 

      

• Hàm phân phối xác suất:

• Tuổi thọ trung bình:

   

3

0 ,

3

,0

64

1 ,

x

x

x x

F x f t dt x

x                           3 12 (tháng) 64

E X  x  x dx 

Hệ số biến thiên

• Kí hiệu: CVx

• Đo mức độ bnn CVx nhỏ

bnn

• So sánh độ phân tán bnn khơng có

đơn vị, khơng có kỳ vọng

     0

X X

CV E X

E X



Median (Trung vị)

• Ký hiệu MedX, me giá trị chia đơi hàm phân phối

• Hay

 

 

0,5 0,5

e e

P X m P X m

  

 

 

 

 e  0,5  e 

Median (Trung vị)

• Nếu X liên tục thì:

  0,5

e

m

f x dx

 





1 0,5

S 

Median (Trung vị)

• Nếu X rời rạc thì:

     

   

1

1

, , 0,5

0,5

i i i i

e

i i i

m m x x F x F x

m

x F x F x

              neáu neáu

 1

0 F x F x i F x i1

0,5

e i

m x

ModX

Ký hiệu:

Nếu X rời rạc:

Nếu X liên tục:

  x R  

f m max f x





  i  i 

P X m max P x x

0

Ví dụ 1

Cho bnn X

Ta có:

X 1 2 3 4 5

P 0,1 0,2 0,15 0,3 0,25

X 1 2 3 4 5

F(X) 0 0,1 0,3 0,45 0,75

  4  

Ví dụ 4

• Cho bnn X có hàm mật độ xác suất

• Tìm MedX ModX?

   

 

3

2 ,0

4

0 , 0,2

x x x

f x

x



  

 

 

PPXS hàm bnn

• Cho X bnn liên tục có hàm mật độ xác suất:

• Cho Y=u(X)

• Y biến ngẫu nhiên.

• Hàm mật độ xác suất Y?

  ,

Cách Hàm phân phối

• Tìm hàm ppxs Y=u(X)

• Đạo hàm để có hàm mật độ

   

Y

F y P Y  y

   

Y Y

Ví dụ

• Cho bnn X có hàm mật độ xác suất:

• Tìm hàm mật độ xác suất Y=X2

  3 ,0 1

Giải

• Ta có:

• Mặt khác:

• Dễ thấy:

2 0 1 0 1 x y Y X              Y

F y P Y  y

   

 

0 , 0

1 , 1

Y Y

F y P Y y y

F y y

   

Giải

• Với 0<y<1

     

 

2

2 3/2

0

0 3

y y

P Y y P X y P X y

f x dx x dx y

     

Giải

• Vậy

• Do đó:

  3/2

0 ,

,0

1 ,1

Y

y

F y y y

y                ,0

0 , 0;1

Y Y

y y

F y f y

Cách Kỹ thuật đổi biến

• Cơng thức

• Với v(y) hàm ngược u(x)

       

Y X

Cách Kỹ thuật đổi biến

• Ta có: (nếu u(X) hàm tăng, liên tục)

            Y v y X c

F y P Y y P X v y

f x dx

                    ' v y

Y Y X X

c y

f y F y  f x dx   f v y v y

 

Cách Kỹ thuật đổi biến

• Ta có: (nếu u(X) hàm giảm, liên tục)

                1 1 Y v y X c

F y P Y y P X v y

P X v y f x dx

                        ' v y

Y Y X X

f y F y   f x dx  f v y v y

Hệ số bất đối xứng

• Kí hiệu:

• Đo mức độ bất đối xứng luật phân bố

 

   

3

3 ;

E X

E X X

 

   

Hệ số bất đối xứng

• Đồ thị đối xứng

3

Hệ số bất đối xứng

• Hàm mật độ lệch bên trái.

3

 

Hệ số bất đối xứng

• Hàm mật độ lệch bên phải.

3

 

Hệ số nhọn

• Kí hiệu:

• Đặc trưng cho độ nhọn hàm mật độ so với

đồ thị phân bố chuẩn

• Biến ngẫu nhiên có phân bố chuẩn 4=3

 

 

4

4

E X X

 

 

Hệ số nhọn

• 4>3 đồ thị hàm mật độ nhọn so với phân phối chuẩn

Hệ số nhọn

• Đồ thị hàm mật độ bnn pp chuẩn

4

   4 

4

 

 

 2

2

2

1

x

f x e

  





Hệ số nhọn

• Đồ thị hàm mật độ bnn pp chuẩn

3

   

3

 

 

 2

2

2

1

x

f x e

  





Bài tập

1 Gieo đồng thời hai xúc xắc cân đối đồng chất Gọi X tổng số nốt xuất xúc sắc Tìm luật phân phối xác suất X? Tính E(X), V(X)

Bài tập

Bài tập

4 Tuổi thọ loại trùng X (tháng) có hàm mật độ

a) Tìm số k b) Tìm Mod(X)

c) Tìm xác suất trùng chết trước tháng tuổi

     

 

2 4 , 0;4

0 , 0;4

kx x x

f x

x

  

 

 

Ví dụ

• XA, XB lãi suất cổ phiếu (đơn vị %) đầu tư

vào công ty A, B cách độc lập Cho biết quy luật phân phối biến ngẫu nhiên sau:

XA 10 12

P 0,05 0,1 0,3 0,4 0,15

XB -4 10 12 16

Ví dụ

• Đầu tư vào cơng ty có lãi suất kỳ vọng cao

hơn?

• Đầu tư vào cơng ty có mức độ rủi ro hơn?

• Nếu muốn đầu tư vào cơng ty nên đầu

tư theo tỉ lệ cho:

Bài tập

• Cho bnn X có hàm mật độ

và E(X)=0,6; V(X)=0,06 a) Tìm a,b,c?

b) Đặt Y=X3 Tính E(Y)

   

 

2 , 0;1

0 , 0;1

ax bx c x

f x

x

   

 

 

Bài tập 5

• Giả sử cửa hàng sách định nhập số

cuốn truyện trinh thám Nhu cầu hàng năm loại sách sau:

• Cửa hàng mua sách với giá 7USD cuốn, bán

ra với giá 10USD đến cuối năm phải hạ giá với giá 5USD

Nhu cầu (cuốn) 30 31 32 33

Bài tập 5

• Nếu nhập 32 lợi nhuận bán

trung bình bao nhiêu?

• Xác định số lượng nhập cho lợi nhuận kì

vọng lớn

Nhu cầu (cuốn) 30 31 32 33

Bài tập 6

Cho bnn X có hàm mật độ:

a) Tìm MedX, ModX

b) Tìm E(X), Var(X) có

 

   

1

1 phân phối Cauchy

f x

x



Bài tập 7

Cho bnn X có hàm mật độ:

a) Tìm MedX, ModX

b) Tìm E(X), Var(X) có

   

 

1

sin , 0,

0 , 0,

x x f x

x



  



  

Bài tập (Khó)

• Cho bnn X có hàm mật độ:

a) Tìm MedX, ModX

b) Tìm E(X), Var(X) có

• Lưu ý tính chất:

   

2

2

1

2 Standard Normal Distribution

x

f x  e

Bài tập 9

Cho bnn X có hàm mật độ xác suất:

Tìm ModX, MedX?

Tìm E(X), Var(X)?

Tìm hàm ppxs F(x)?

  0 , 0  0

, 0

x

x f x

e  x

 

  

 

Bài tập 10

• Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất:

• Tìm hàm mật độ xác suất bnn

  3 1  ,0 1

f x   x  x 

1 3

Bài tập 11

• Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất:

• Tìm hàm mật độ xác suất bnn

  3 ,0 1

f x  x  x

2