Báo cáo nghiệm thu đề tài cấp bộ 2007-2009

Báo cáo nghiệm thu đề tài cấp bộ 2007-2009

tóm tắt kết quả nghiên cứu

đề tài khoa học và công nghệ cấp bộ

Tên đề tài: Một số bài toán định lượng trong giải tích vi phân.

Chủ nhiệm đề tài: PGS.TS Tạ Lê Lợi

Tel.: 0919816618 E-mail: taleloi@hotmail.comCơ quan chủ trì đề tài: Đại học Đà Lạt.

Cơ quan và cá nhân phối hợp thực hiện:- Khoa Toán, Đại học Đà Lạt.

- Khoa Sau Đại Học, Đại học Đà Lạt.- Viện Toán Học Việt Nam.

- Phạm Tiến Sơn, PGS - TS, Khoa Toán, Đại học Đà Lạt.- Phan Phiến, Th.S NCS, Cao đẳng sư phạm Nha Trang.- Trần Thống Nhất, Th.S, Đại học Yersin.

- Đặng Văn Đoạt, Th.S, Trường chuyên Thăng Long, Đà Lạt.Thời gian thực hiện: 10/2007 - 10/2009.

1 Mục tiêu: Hai mục tiêu chính của đề tài là:

- Nghiên cứu các kết quả định lượng chưa được chứng minh hoặc mở rộngmột số kết quả đã có cho trường hợp o-tối tiểu Nêu một số áp dụng củacác kết quả định lượng trong Giải tích vi phân vào một số lĩnh vực khác.- Tạo điều kiện cho một số nghiên cứu sinh và học viên cao học thực hiện

việc nghiên cứu của mình có kết quả tốt.2 Nội dung chính:

- Thu thập tài liệu.- Đọc các kết quả.

3.1 Các bài báo: Đã hoàn thành 3 bài báo

1 Một số kết quả của hình học và giải tích vi phân trong cấu trúco-tối tiểu.

Tác giả: Tạ Lê Lợi

Báo cáo tại: Hội thảo kỷ niệm 50 năm Đại học Đà Lạt, 10/2008.Đăng ở: Thông báo khoa học, Đại học Đà Lạt, 2008, 7-14.2 Định lý Hoành trong cấu trúc o-tối tiểu.

Tác giả: Tạ Lê Lợi

Đăng ở: Compositio Math, 144, 2008, 1227-1234.

3 Chặn trên cho độ đo Hausdorff của các tập thuần.Tác giả: Tạ Lê Lợi và Phan Phiến.

Báo cáo tại: Hội nghị Quy Nhơn, 8/2008; Hội nghị Đà Lạt, 12/2008.Đang gởi đăng.

3.2 Các luận văn thạc sĩ đã được hướng dẫn:

1 Phương pháp đồng luân giải hệ phương trình đa thức.Tác giả: Lê Thị Loan, Cao học Toán K14.

2 Tìm hiểu giả thiết Jacobi thực mạnh.

Tác giả: Nguyễn Thị Quỳnh Nga, Cao học Toán K14.

3 Các kết quả định lượng trong Hình học semi-đại số và mở rộng.

Tác giả: Trần Thị Hương Trà, Cao học Toán K14.4 Định lý Morse-Sard.

Tác giả: Lê Duy Tuấn , Cao học Toán K14.

5 Một số định lý của lý thuyết kỳ dị trong cấu trúc o-tối tiểu.Tác giả: Chế Công Phú, Cao học Toán K14.

3.3 Hướng dẫn nghiên cứu sinh Phan Phiến:

1 Hoàn thành 1 bài báo (viết chung với PGS.TS Tạ Lê Lợi): Bound ofHausdorff measure of tame sets.

2 Báo cáo chuyên đề 1: Tôpô Đại số.

- Phạm Tiến Sơn, Associate Professor, Doctor, University of Đà Lạt.- Phan Phiến, MA, Research Student, Teacher Training College of Nha

- Trần Thống Nhất, MA, Yersin University.

- Đặng Văn Đoạt, MA, Thăng Long High School for gifted students of ĐàLạt.

Duration: from 10/2007 to 10/2009.1 Objectives: two main objectives

- Researching the quantitative results which were not proved or tion some previous results for the case of o-minimal Then, presentingsome applications to other fields.

genraliza Enabling research students and graduate students to fulfil their researchwith good results.

2 Main contents:

- Document collection.

- Results reading.- Seminars celebration.- Problems raising.

- Conference participation.- Professional exchange.

3 Results obtained:

3.1 Papers: three published papers

1 Some results of geometry and differential analysis in o-minimalStructures.

Author: Tạ Lê Lợi

Reported at: Conference Đà Lạt, 10/2008.

Published in: Scientific Bulletin, University of Đà Lạt, 2008, 7-14.2 Transversality theorem in o-minimal structures.

Author: Tạ Lê Lợi

Published in: Compositio Math, 144, 2008, 1227-1234.3 Bounds of Hausdorff measures of Tame sets.

Author: Tạ Lê Lợi and Phan Phiến

Reported at: Conference Quy Nhơn, 8/2008; Conference Đà Lạt, 12/2008.Submitted under consideration for publishing.

3.2 Master thesis:

1 Homotopy method solve system of polynomial equations.Author: Lê Thị Loan, graduate student K14.

2 Studying strong real conjecture Jacobi.

Author: Nguyễn Thị Quỳnh Nga, graduate student K14.

3 Some quantitative results in geometry semi-algebraic and eralization.

gen-Author: Trần Thị Hương Trà, graduate student K14.4 Morse-Sard theorem.

Author: Lê Duy Tuấn , graduate student K14.

5 Some theorems of singularity theory in o-minimal structures.Author: Chế Công Phú, graduate student K14.

3.3 Guide research student Phan Phiến:

1 one paper (with Tạ Lê Lợi, Associate Professor): Bound of Hausdorffmeasure of tame sets.

2 Reported major 1: Algebraic Topology.

giới thiệu

1 Tổng quan tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực của đề tài.

Trong thời gian gần đây, một khuynh hướng trong Giải tích vi phân (chủyếu là Lý thuyết Kỳ dị) là nghiên cứu và đưa ra các kết quả định lượngcho các kết quả định tính đã được chứng minh trước đó mà đóng vai tròquan trọng trong Giải tích vi phân (như Định lý Morse, Định lý Sard, Kỳdị Thom-Boardman, ) Các kết quả định lượng sẽ giúp cho việc áp dụng cóhiệu quả trong bản thân Giải tích vi phân, cũng như trong một số lĩnh vựckhác như: Giải tích số phi tuyến, Lý thuyết độ phức tạp, Lý thuyết phưngtrình vi phân, Robotics, Các kết quả điển hình theo khuynh hướng này làcủa Yomdin (1983), Yomdin (2005), Yomdin và Comte (2004), D’Acunto vàKurdyka (2003), Shub và Smale (1993) Các áp dụng điển hình của các kếtquả nêu trên là của Yomdin (1990), Donaldson (1996), Niederman (2004), Một mặt khác, một thành quả mới trong Hình học Giải tích thực là hệ tiên đềvề Hình học thuần hay Cấu trúc o-tối tiểu của van den Dries (1998) và Shiota(1997) (là mở rộng của Hình học semi-đại số) Nhờ đó rất nhiều kết quả trongHình học và Giải tích vi phân có thể được mở rộng cho các lớp hàm hay lớptập khá tổng quát Chủ nhiệm đề tài này cũng có một số đóng góp nhất địnhtrong lĩnh vực này, các kết quả gần đây là Ta Le Loi (2002, 2003, 2004, 2006).2 Tính cấp thiết của đề tài.

- Tập trung một số thành viên làm toán ở Đại học Đà Lạt vào cùng mộthướng.

- Hướng dẫn nghiên cứu sinh.3 Mục tiêu của đề tài.

Hai mục tiêu chính của đề tài là:

- Nghiên cứu các kết quả định lượng chưa được chứng minh hoặc mở rộngmột số kết quả đã có cho trường hợp o-tối tiểu Nêu một số áp dụng củacác kết quả định lượng trong Giải tích vi phân vào một số lĩnh vực khác.- Tạo điều kiện cho một số nghiên cứu sinh và học viên cao học thực hiện

việc nghiên cứu của mình có kết quả tốt.

4 Cách tiếp cận, phương pháp nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu.Nghiên cứu các kết quả đã có Sử dụng các công cụ của Giải tích vi phân,Hình học giải tích thực (Chủ yếu là hình học semi-đại số), tích phân hìnhhọc, Nghiên cứu một số bài toán trong Lý thuyết kỳ dị đã có kết quả địnhtính, nhưng cần thiết có kết quả định lượng.

5 Nội dung nghiên cứu.- Thu thập tài liệu.- Đọc các kết quả.- Tổ chức các seminar.

- Nêu một số vấn đề cần giải quyết.- Dự các hội thảo.

- Trao đổi chuyên môn với các chuyên viên ở nơi khác.

Tổng quan về kết quả nghiên cứu được trình bày trong phần: các kết quảnghiên cứu đạt được Các kết quả nghiên cứu bao gồm các bài báo và cácchuyên đề đã thực hiện trong các seminar của nhóm được thể hiện chi tiếttrong phần phụ lục.

các kết quả nghiên cứu đạt được1 Quá trình thực hiện.

Các công việc chính đã làm:

• Seminar thường kỳ (1 lần/tuần): giới thiệu, tìm hiểu, trao đổi các kết quảliên quan đến đề tài của thế giới, trong nước và các thành viên Một số trongcác chuyên đề đã được trình bày trong các seminar của nhóm để phục vụ chohướng nghiên cứu (chi tiết được trình bày trong phụ lục 2 ):

- Giới thiệu một số kết quả định lượng trong giải tích vi phân.- Độ đo, chiều Hausdorff và metric entropy.

- Cơ sở Đại số tuyến tính cho giá trị kỳ dị.- Lý thuyết tập semi-đại số định lượng.

- Tích phân hình học và biến phân nhiều chiều.

- Giới thiệu một số định lý định lượng trong lý thuyết kỳ dị của Yomdin.• Tham dự, báo cáo tại các Hội nghị:

1 Hội nghị Đại Số - TôPô 2007- Hình Học, Đại học Vinh 17-20/12/2007.2 Đại hội Hội Toán Học Toàn Quốc Lần 7, Đại học Quy Nhơn 4-8/8/2008.3 Hội nghị Khoa học kỷ niệm 50 năm thành lập trường Đại học Đà Lạt,

Đã hoàn thành 3 bài báo, chi tiết được trình bày trong phụ lục 1 Sau đâylà nội dung chính các bài báo:

1 Một số kết quả của hình học và giải tích vi phântrong cấu trúc o-tối tiểu.

Tạ Lê Lợi

Thông báo khoa học, 50 năm thành lập trường đại học Đà Lạt, 2008, 7-14.

Tóm tắt Bài này nêu một số kết quả của tác giả trong hơn 10 năm trở lạiđây Các kết quả chính: phân tầng, bất đẳng thức Lojasiewicz cho đối tượngđịnh nghĩa được trong cấu trúc o-tối tiểu.

1.1.1 Định lý (1998) Cho S1, · · · , Sk là các tập định nghĩa được trongRn Khi đó tồn tại một Cp phân tầng Verdier của Rn tương thích với mỗi{S1, · · · , Sk}.

Trong cấu trúc o-tối tiểu điều kiện (w) suy ra điều kiện (b), ta có

1.1.2 Định lý (1996, 1998, c.f.[DM][S]) Cho S1, · · · , Sk là các tập địnhnghĩa được trong Rn Khi đó tồn tại một Cp phân tầng Whitney của Rn tươngthích với mỗi {S1, · · · , Sk}.

Cho X ⊂ Rnđịnh nghĩa được và f : X → Rm định nghĩa được Một Cp phântầng Whitney của f là (S, T ), với S và T là các Cp phân tầng Whitney củaRn và Rm, S tương thích với X và nếu Γ ∈ S mà Γ ⊂ S, thì tồn tại Φ ∈ T ,f |Γ: Γ → Φ là một Cp submersion.

1.1.3 Định lý (1996,1998, c.f.[DM][S]) Cho f : X → Rm là ánh xạđịnh nghĩa được Khi đó tồn tại Cp phân tầng Whitney của f

Cho f : X → R là định nghĩa được Cho S là một phân tầng của f

Với x ∈ Γ, ký hiệu Tx,f = ker d(f |Γ)(x).Cho Γ, Γ0 ∈ S với Γ ⊂ Γ0 \ Γ0.

Cặp (Γ, Γ0) được gọi là thoả điều kiện Thom tại y0 ∈ Γ nếu:(af) nếu dãy (xk) in Γ0, hội tụ về y0, thì δ(Ty0,f, Txk,f) → 0Cặp (Γ, Γ0) được gọi là thoả điều kiện Thom chặt tại y0 nếu:(wf) tồn tại C > 0 và lân cận U của y0, sao cho

δ(Ty,f, Tx,f) ≤ Ckx − yk với mọi x ∈ Γ0∩ U, y ∈ Γ ∩ U.

1.1.4 Định lý (1997) Tồn tại Cp phân tầng của f thoả điều kiện Thom(af) tại mọi điểm của mỗi tầng.

Nói chung, hàm định nghĩa được không có phân tầng thoả (wf).Ví dụ: f : (a, b) × (0, +∞) → R, f (x, y) = yx.

1.1.5 Định lý (1998) Giả sử D bị chặn kiểu đa thức Khi đó tồn tại Cpphân tầng của f thoả điều kiện (wf) tại mọi điểm của mỗi tầng.

1.1.6 Hệ quả (2002, 2004, c.f.[C]) Cho f : X × T → R, (x, t) 7→ ft(x), làhọ các hàm định nghĩa được Khi đó tồn tại phân hoạch T = ∪ki=1Ti bởi cácđa tạp lớp Cp định nghĩa được, sao cho khi t và t0 cùng thuộc Ti, thì ft và ft0là tương đương topo.

Hệ quả trên mở rộng kết quả của Fukuda (1976) chứng minh kiểu topo củahàm đa thức trên Rn bậc ≤ d là hữu hạn.

1.2 Các bất đẳng thức kiểu Lojasiewicz.

1.2.1 Tính bị chặn đều (1996, c.f.[DM]) Cho f : X × R → R là hàmđịnh nghĩa được Khi đó tồn tại hàm định nghĩa được ϕ : R → R sao cho

Đặc biệt, tồn tại ϕ, ϕ0 ∈ Φp sao cho

|f (x)| ≥ ϕ(|g(x)|) và |f (x)| ≥ ϕ0( dist(x, f−1(0)), ∀x ∈ X,

(ii) Cho X, Y là các tập đóng trong Rn Khi đó tồn tại p ∈ N, ϕ ∈ Φp sao chodist(x, X) + dist(x, Y ) ≥ ϕ(dist(x, X ∩ Y )), ∀x ∈ Rn.

(iii) Cho f : U → R là hàm lớp C1 định nghĩa được trên tập mở U của Rn.Giả sử 0 ∈ U và lim

x→0f (x) = 0 Khi đó tồn tại p ∈ N, ϕ ∈ Φp sao cho|gradf (x)| ≥ ϕ−1(|f (x)|), khi x ∈ U gần 0.Ghi chú:

- Nếu D là bị chặn kiểu đa thức thì ϕ có dạng ϕ(t) = C|t|α, α > 0.

Gọi Dp(N, M ) là không gian các hàm từ đa tạp N vào M, định nghĩa được,lớp Cp Không gian này trang bị topo Whitney định nghĩa được.

2.1 Định lý Morse-Sard Cho f : M → Rn là định nghĩa được, lớp C1.Đặt

Σs(f ) = {x ∈ M : rank df (x) < s}

Khi đó Cs(f ) = f (Σs(f )) là tập định nghĩa được có chiều Hausdorff < s.

Định nghĩa không gian các r-tia định nghĩa được làJDr(N, M ) = {jrf ∈ Jr(N, M ) : f ∈ Dr(N, M )}

2.2 Định lý hoành Cho A là họ hữu hạn các đa tạp lớp C1 định nghĩa đượccủa JDr(N, M ) (0 < r < p) Khi đó tập

τr(A) = {f ∈ Dp(N, M ) : jrf hoành với mỗi phần tử của A}là trù mật trong Dp(N, M ).

Hơn nữa, nếu A là phân tầng một tập đóng và thoả điều kiện Whitney (a),thì τr(A) là mở trong Dp(N, M ).

3 Chặn trên cho độ đo Hausdorff của các tập thuần.Tạ Lê Lợi và Phan Phiến

Conference Dalat 2008.

Tóm tắt Bài này nêu lên một số chặn trên cho độ đo Hausdorff của cácđối tượng định nghĩa được trong cấu trúc o-tối tiểu: tập, thớ, nghịch ảnh củakhoảng, Hơn nữa còn nêu một số chặn trên tường minh cho các trường hợpsemi-đại số hay semi-Pfaff, các số này chỉ phụ thuộc vào các dữ liệu tổ hợpcủa các đối tượng tham gia.

3.1 Lược đồ của tập semi-đại số.Cho A ⊂ Rm là tập semi-đại số A = Sp

j=1Aij, Aij có dạng{(x1, · · · , xm) ∈ Rm : pij(x1, · · · , xm) ≥ 0}, hay

{(x1, · · · , xm) ∈ Rm : pij(x1, · · · , xm) > 0}với pij là các đa thức bậc dij.

Bộ D = D(A) = (m, p, j1, · · · , jp, (dij)) được gọi là lược đồ của A.

3.2 Format của tập semi-Pfaffian.

Một xích Pfaff có độ dài r ≥ 0 và bậc α ≥ 1 trong một miền mở U ⊆ Rmlà một dãy các hàm giải tích f = (f1, , fl) trên U thỏa

∂ fi

∂ xj(x) = Pij(x, f1(x), , fi(x)), ∀x ∈ U (1 ≤ i ≤ l, 1 ≤ j ≤ n).

trong đó Pij là các đa thức bậc ≤ α.Hàm q là hàm Pfaff bậc β nếu

q(x) = Q(x, f1(x), , fl(x)), ∀x ∈ U.trong đó Q là đa thức bậc ≤ β

Cho P = {p1, , ps} là tập các hàm Pfaff Một formula (công thức QF) vớicác hạt nhân trong P được xây dựng như sau:

Format của tập semi-Pfaff A là bộ dữ liệu F (A) = (m, l, α, β, s).3.3 Độ đo Hausdorff của tập.

Cho m ∈ N Với k ∈ {0, , m}, đặt Hk(A) là độ đo Hausdorff của A ⊂ Rm.Ký hiệu O∗(m, k) là tập mọi phép chiếu trực giao từ Rm lên Rk.

Cho A ⊂ Rm Với mỗi k ∈ {0, , m}, định nghĩa

B0,m−k(A) = sup{B0(A ∩ p−1(y)) : p ∈ O∗(m, k), y ∈ Rk}

Công thức Cauchy-Crofton Bởi [Fe] 2.10.15 và 3.2.26, cho mỗi tập conBorel B của Rm, ta có

Hk(B) = c(m, k)Z

Γ(k+12 )Γ(m−k+12 ), và Γ(s) =Z +∞

trong đó C là hằng chỉ phụ thuộc lược đồ hay format của A.

3.3.2 Hệ quả (c.f [Y-C] và [D-K]) Cho A ⊂ Rm là tập định nghĩađược có chiều k Khi đó với mọi hình cầu Bm

r bán kính r trong Rm,Hk(A ∩ Brm) ≤ c(m, k)B0,m−k(A)Volk(B1k)rk.

Trường hợp semi-đại số Khi A ⊂ Rm là tập semi đại số k chiều, có lượcđồ D = (m, p, j1, , jp, (dij)i=1, ,p;j=1, ,ji), thì

Hk(A ∩ Brm) ≤ c(m, k)B0(D)Volk(B1k)rk

trong đó B0(D) = 12

3.4 Chặn trên cho độ đo Hausdorff của thớ.

Cho f : A → Rn là ánh xạ định nghĩa được, với A ⊂ Rm Với mỗi k ∈{0, , dim A}, đặt

Ik(f ) = {y ∈ Rn: dim f−1(y) ≤ k}Đặt

B0,m−k(f ) = sup{B0(f−1(y) ∩ p−1(w) ∩ Bm(a, r)) : y ∈ Ik(f ), p ∈ O∗(m, k),

w ∈ Rk, a ∈ Rm, r > 0}3.4.1 Định lý Cho f : A → Rn là ánh xạ định nghĩa được, liên tục, vớiA ⊂ Rm compact Khi đó với mỗi k ∈ {0, , dim A}, ta có

Hk(f−1(y)) ≤ c(m, k)B0,m−k(f ) sup

Hk(p(A)), for all y ∈ Ik(f )

Đặc biệt, nếu f là semi-đại số hay semi-Pfaff, thìHk(f−1(y)) ≤ Ck sup

Hk(p(A)), for all y ∈ Ik(f )

trong đó Ck là hằng số chỉ phụ thuộc lược đồ hay format của f

3.4.2 Hệ quả Cho f : A → Rnlà ánh xạ định nghĩa được, liên tục, A ⊂ Rm.Khi đó với k ∈ {0, , dimA} và cầu Bm

Hk(f−1(a) ∩ Brm) = Hk(Aa∩ Bm

r ) ≤ c(m, k)dVolk(B1k)rk, khi a ∈ Ik(f ).Trường hợp Fewnomial.

Cho α1, , αq ∈ Nm Xét họ: A = {(x, a) : x = (x1, , xm) ∈ Rm, a =(a1, , aq) ∈ Rq, x1 > 0, , xm > 0,

aixαi = 0}.Cho f là phép chiếu (x, a) 7→ a và Aa = A ∩ f−1(a).

Khi k = m − 1, và dim Aa≤ m − 1 ta có hai các đánh giá sau:

Đánh giá 1 Vì Aa là tập semi-đại số có lược đồ (m, 1, m + 1, (1, , 1, d)), vớid = maxi|αi|, dùng chặn trên Oleinik-Petrovski-Thom-Milnor, ta có

Hm−1(Aa∩ Bm

r ) ≤ c(m, m − 1)B0(D(Aa))Volm−1(B1m−1)rm−1

với B0(D(Aa)) = 12(m + d)(m + d − 1)m−1.

Đánh giá 2 Dùng chặn trên [K] Ch.III Corol.5, ta cóHm−1(Aa∩ Bm

r ) ≤ c(m, m − 1)B0(f )Volm−1(B1m−1)rm−1,với B0(f ) = 2q(q−1)2 (2m)m−1(2m2− m + 1)q.

Gọi Φ1 là tập mọi hàm định nghĩa được, lẻ, tăng, lớp C1 từ R lên R và phẳngtại 0.

3.4.3 Định lý Cho f : A → Rn là ánh xạ định nghĩa được, liên tục, vàA ⊂ Rm compact Khi đó với mỗi k ∈ {0, , dim A}, tồn tại ϕ ∈ Φ1, sao cho

Hk+1(f−1([y, z])) ≤ ϕ−1(ky − zk), khi [y, z] ⊂ Ik(f )Đặc biệt, khi f là semi-đại số thì tồn tại C, α > 0, sao cho

Hk+1(f−1([y, z])) ≤ Cky − zkα, khi [y, z] ⊂ Ik(f )với α chỉ phụ thuộc lược đồ của f

4 Định lý Morse-Sard Lê Duy Tuấn , Cao học Toán K14.

5 Một số định lý của lý thuyết kỳ dị trong cấu trúc o-tối tiểu.Chế Công Phú, Cao học Toán K14.

2.3 Hướng dẫn nghiên cứu sinh.

Đã hướng dẫn nghiên cứu sinh Phan Phiến:

1 Hoành thành 1 bài báo (viết chung với PGS.TS Tạ Lê Lợi): Bound ofHausdorff measures of tame sets.

2 Báo cáo chuyên đề 1: Tôpô Đại số.