Đang tải... (xem toàn văn)
Hệ phương trình tuyến tính
CHÖÔNG 3HEÄ PHÖÔNG TRÌNHTUYEÁN TÍNH I. ĐẶT BÀI TOÁN :Hệ phương trình tuyến tính n pt và n ẩn có dạngAx = b11 12 1 1 121 22 2 2 21 2 ( ) . . . . . nnijn n nn n na a a x ba a a x bA a x ba a a x b = = = = với Các phương pháp giải Phương pháp giải chính xác Phương pháp Gauss Phương pháp Gauss-Jordan Phương pháp nhân tử LU Phương pháp Cholesky Phương pháp giải gần đúng Phương pháp lặp Jacobi Phương pháp lặp Gauss-Seidel II. PHƯƠNG PHÁP GAUSS1. Các dạng ma trận đặc biệt : a. Ma trận chéo : 11220 . 00 . 0 . . . .0 0 .nnaaAa = detA = a11a22 . . . ann ≠ 0 ⇔ aii ≠ 0, ∀iNghiệm xi = bi/aii b. Ma trận tam giác dưới1121 221 20 . 0 . 0 . . . n n nnaa aAa a a = detA = a11a22 . . . ann ≠ 0 ⇔ aii ≠ 0, ∀iPhương trình có nghiệm1111111[ ] , 2,kk k kj jjkkbxax b a x k na−=== − =∑ c. Ma trận tam giác trên : 11 12 122 2 .0 . . .0 0 .nnnna a aa aAa = detA = a11a22 . . . ann ≠ 0 ⇔ aii ≠ 0, ∀iPhương trình có nghiệm11[ ] , 1, 1nnnnnk k kj jj kkkbxax b a x k na= +== − = −∑ 2. Phương pháp Gauss : Ta sử dụng các phép biến đổi sơ cấp theo dòng để chuyển ma trận A về ma trân tam giác trênCác phép biến đổi sơ cấp theo dòng hoán chuyển 2 dòng nhân 1 dòng với 1 số khác 0 cộng 1 dòng với dòng khác Ví dụ : Giải hệ phương trình 1 2 3 41 2 3 41 2 31 2 3 42 82 2 3 3 2024 3 4x x x xx x x xx x xx x x x− + − =−− + − =−+ + =−− + + =Giải1 1 2 1 82 2 3 3 20[ / ]1 1 1 0 21 1 4 3 4− − − − − − = − − A b2 34 4/21 1 2 1 80 2 1 1 60 0 1 1 40 0 1 2 6↔=− − − − → − − − h hh hGiải pt ma trận tam giác trên, ta được nghiệmx = (-7, 3, 2, 2)t2 2 13 3 14 4 121 1 2 1 80 0 1 1 40 2 1 1 60 0 2 4 12= −= −= −− − − − − − → − h h hh h hh h h4 4 31 1 2 1 80 2 1 1 60 0 1 1 40 0 0 1 2= +− − − − → − − − h h h III. PHƯƠNG PHÁP NHÂN TƯÛ LUPhân tích ma trận A thành tích 2 ma trận L và UA = LUL : ma trận tam giác dướiU : ma trận tam giác trênPhương trình Ax = b ⇔ L(Ux) = bTa đưa về giải 2 hệ phương trìnhLy bUx y== Phương pháp Doolittle :Giả sử A ma trận không suy biến và a11 ≠ 0 Ta có thể phân tích A thành A = LU211 21 0 . 01 . 0 . . . 1n nlLl l = 11 12 122 2 .0 . . .0 0 .nnnnu u uu uUu = Ma trân ∆ dướiMa trân ∆ trên [...]... Nghieäm x 1 = 5/2, x 2 = 3, x 3 = 5/2 CHƯƠNG 3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VII. Hệ pt ổn định và số điều kiện : Xét hệ phương trình Ax = b Định nghóa : Hệ phương trình gọi là ổn định nếu mọi thay đổi nhỏ của A hay b thì nghiệm của hệ chỉ thay đổi nhỏ 1. Hệ pt ổn định : Để kiểm tra xác định dương, ta dùng đình lý sau: Định lý : Ma trận A là... 5.98 9.98 9 6.99 4.99 9 9.98 A = Ví dụ : Xét hệ phương trình Ax = b với 1 2 3 1 2.01 3.01 A b = = Hệ phương trình có nghiệm x = (1, 1) T Thay đổi 3 3.1 b = Nghiệm của hệ : x=(-17, 10) T Ta thấy nghiệm của hệ khác rất xa khi b thay đổi nhỏ. Vậy hệ không ổn định V. PHƯƠNG PHÁP LẶP JACOBI Ta phân tích A = D - L - U 11 22 0 0 0 0 0 0... Xét hệ phương trình Ax = b với 10 7 8 7 32 7 5 6 5 23 8 6 10 9 33 7 5 9 10 31 A b = = Hệ có nghiệm x = (1, 1, 1, 1) T Nghiệm của hệ : x=(-81, 137, -34, 22) T Ta thấy nghiệm của hệ khác rất xa khi A thay đổi nhỏ. Vậy hệ không ổn định Thay đổi A một ít 10 7 8.1 7.2 7.08 5.04 6 5 8 5.98 9.98 9 6.99 4.99 9 9.98 A = Ví dụ : Xét hệ. .. 1 Ví dụ : Giải hệ phương trình Ax = b 1 1 1 1 1 2 0 2 1 0 4 3 A b − = = − Giải Ta có A ma trận đối xứng và xác định dương Phân tích A = BB t 22 32 33 1 0 0 1 0 1 B b b b = − Các hệ số 2 22 22 21 32 32 31 21 22 2 2 33 33 31 32 1 1 [ ] 1 2 b a b b a b b b b a b b = − = = − = = − − = Ví dụ : Giải hệ phương trình 1 2 3 1 2... ≤ ∑ ∑ 2. Phương pháp lặp : Ta chuyển hệ pt về dạng x = Tx + c Với T là ma trận vuông cấp n và c là 1 vector Để tìm nghiệm gần đúng, với vector ban đầu x (0) , ta xây dựng dãy lặp theo công thức x (m) = Tx (m-1) + c, ∀m=1,2,… Ta cần khảo sát sự hội tụ của dãy {x (m) } Ví dụ : Cho hệ phương trình • Tìm nghiệm gần đúng x (4) với vector ban đầu x (0) = 0 • Tính ma trận T và c • Tính sai số... − =− = − − = u a l u u a l u l a l u u u a l u l u Ví dụ : Giải hệ phương trình 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 2 3 9 4 3 4 15 2 2 3 x x x x x x x x x + − = − − + = − + + = Giải hệ Ly = b 1 2 3 1 0 0 2 2 1 / 2 1 0 1 2 0 2 / 3 1 2 10 / 3 y y y y − = ⇒ = − Giải hệ Ux = y 1 2 3 2 1 0 2 5 / 2 0 3 / 2 1 2 3 0 0 4 / 3 10 / 3 5 /... Kiểm tra tính xác định dương của ma trận 1 1 1 1 2 0 1 0 4 A − = − Giải Các định thức con chính: 1 2 1 1 1 0, 1 0 1 2 ∆ = > ∆ = = > 3 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 0 1 0 4 2 0 1 0 1 0 1 2 1 0 4 − ∆ = = − − + = > − − − Vậy A là xác định dương 2. Số điều kiện : Ta tìm điều kiện để hệ ổn định Định nghóa : Số k(A) = ||A|| ||A|| -1 Gọi là số điều kiện của ma trận A Ta có các tính chất... || max max || || || || ≠ = = = x x Ax A Ax x Định lý : Cho ma trận A = (a ij ), ta coù 1 1 || || max{ | |} ∞ ≤ ≤ = = ∑ n ij i n j A a 1 1 1 || || max{ | |} ≤ ≤ = = ∑ n ij j n i A a Ví dụ : Giải hệ phương trình 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 1 2 3 4 2 8 2 2 3 3 20 2 4 3 4 x x x x x x x x x x x x x x x − + − =− − + − =− + + =− − + + = Giaûi 1 1 2 1 8 2 2 3 3 20 [ / ] 1 1 1 0 2 1 1 4 3 4 − − − ... D -1 b 1 1, | | || || max{ } 1 | | n ij i n j j i ii a T a ∞ ≤ ≤ = ≠ = < ∑ ⇒ pp lặp hội tụ Phương trình Ax = b ⇔ (D-L-U)x = b ⇔ Dx = (L+U)x + b ⇔ x = D -1 (L+U)x + D -1 b ⇔ x = Tx + c với T = D -1 (L+U) và c = D -1 b pp lặp theo phân tích trên gọi là pp lặp Jacobi Bây giờ ta tìm điều kiện để pp lặp Jacobi HT Phương pháp Doolittle : Giả sử A ma trận không suy biến và a 11 ≠ 0 Ta có thể phân tích... khảo sát sự hội tụ của dãy {x (m) } Ví dụ : Cho hệ phương trình • Tìm nghiệm gần đúng x (4) với vector ban đầu x (0) = 0 • Tính ma trận T và c • Tính sai số của nghiệm x (4) Ví dụ : Cho hệ phương trình 1 2 3 1 2 3 1 2 3 20 2 12 20 13 2 20 14 − + = + − = − − + = x x x x x x x x x 11 1 22 1 / 0 0 0 1 / 0 0 0 0 1 / nn a a D a − = 1 12 1 11 11 11 2 221 22 22 . CHÖÔNG 3HEÄ PHÖÔNG TRÌNHTUYEÁN TÍNH I. ĐẶT BÀI TOÁN :Hệ phương trình tuyến tính n pt và n ẩn có dạngAx = b11 12 1 1 121 22. với Các phương pháp giải Phương pháp giải chính xác Phương pháp Gauss Phương pháp Gauss-Jordan Phương pháp nhân tử LU Phương pháp Cholesky Phương