Các mục : : Bất đẳng thức : Tính chất : Bất đẳng thức Côsi : Ứng dụng bất đẳng thức Côsi 4: 5: Bất đẳng thức chứa dấu trò tuyệt đối Bất đẳng thức Bunhicốpxki 1) 2) 3) >b 3: BẤT ĐẲNG THỨC Các tính chất bất đẳng thức a>b;b>c ⇒ a>c a>b ⇔ a+c>b+c Hệ : a>b+c⇔ a–c a.c> b.c nếuc > 4) aa > b> ⇔ b và c > d ⇒ a + c > b + c< a.c< b.c d 5) a > b > vaøc > d > ⇒ a.c> b.d 6) a > b > 0⇒ an > bn ; n∈ Z+ 7) a > b > 0⇒ n a > n b ; n∈ Z+ Sử dụng bất đẳng thức sau“ = “ xảy a Daáu a) (a ± b)2 ≥ Daáu “ = “ xảy k b) (a ± b)2 + M ≥DấuM“ = “ xảy k c) M (a ± b) ≤ M Bất đẳng thức Co ( a ≥ ; b ≥ 0) d) a+ b ≥ ab Daáu “ = “ xảy ( )( e) ( ac+ bd) ≤ a2 + b2 c2 + d2 ) a=b ( a ; b ∈aR ) c Bất đẳng thức Bunhiacốpxki Dấu “ = “ xảy = f) a − b ≤ a+ b ≤ a + b b d Dấu “ = “ xảy k a.b ≤ Bài : Chứng minh bất đẳng thức2 : ∀a; b∈ R a) a + b + 1≥ ab+ a+ b 2a2 + 2b2 + − 2ab − 2a − a 2b 2 2 = (a − 2ab + b ) + (a − 2a + 1) + (b − 2b + 1) a – 2a + 2 = (a − b) + (a − 1) + (b − 1)≥ ⇒ đpcm b2 – 2b + •Dấu “=” ⇔ a − b = a − 10 = b − = ⇔ a = b = b) a+ b+ 1≥ a + b + ab 2a + 2b + − a − b − ab 2 = a + b + − a − b − ab ( ) ( ) = {( a ) − ab + ( b ) } + {( a ) − a + 1} − {( b ) − ≥ ⇒ ñpcm = ( a − b ) + ( a − 1) + ( b − 1) 2 2 2 Daáu “=” ⇔ a = b = } b +1 Chứng minh bất đẳng thức : b a + ≥ a+ b a b c) ∀a; b >  a   b  = a  − 1 + b  − 1  b   a  b a + − a− b a b a− b b− a = a + b = b a = ( ( a) −( b) b ) a− (vì a; b > ⇒ = ab ( a+ b >0; Daáu “=” ⇔ a = b ( )  a b  a − b  −  b a   ) a+ b a− b ≥0 ab ab > ) Bất đẳng Côsi Đònh thức lí : số không âm a b trung bình cộng lớn trung bình nhân số Dấu “=” xảy a+ b " =" ⇔ a = b ≥ ab b ∀ a; b ≥a0= ⇒ Chứng minh a+b − ab = a − ab + b = thức xảy2 Đẳng ( ⇔ a+ b+ c Lưuý : ≥ a.b.c a;b;c;d ≥ ) a− b =0 ( a− b ) ≥ ⇔a=b a+ b+ c + d ≥ a.b.c.d Ví dụ bất đẳng Côsi Ví dụthức 1: Cho số không âm ; thoã a1.a2.a3.a4 = Chứng minh : (1+ a1) (1+ a2) (1+ a3) (1+ a4) ≥ 2Chứng Theo BĐT Dấu “=“ xảy minh a + b ? ≥ ab ⇒ + a1 ≥ 1.a1 có Côsi tự tương + a2 ≥ 1.a2 coù + a3 ≥ 1.a3 ………………………… + a4 ≥ 1.a4 (1 + a1 )(1 + a2 )(1 + a3 )(1 + a4 ) ≥ 24 a1.a2 a3 a4 Vì a1a2a3a4 = ⇒ ( đpcm) ≥ Đẳng thức xảy nên = a1 ; = a2 ; = a3 ; = a4 ⇔ ⇒ a1 = a2 = a3 = a4 = Ví dụ bất đẳng Côsi Ví dụthức 2: Cho số dương a ; b ; c Chứng minh raèng 1 :1  (a + b + + +  ≥  a b c c) Chứng Theo minhBĐT Côsi tương tự có Dấu “=“ xảy na cóa + b + c ≥ a.b.c ⇒ a + b + c ≥ 3.3 abc 1 1 1 + + ≥ a b c a b c ………………………… 1 1 3 ( a + b + c )  + +  ≥ abc abc a b c ≥ ⇒ ( ñpcm) Đẳng thức xảy 1 a=b=c ; = = ⇔ a b c ⇒ a= b= c Ứng dụng : Bất đẳng thức Côsi Hệ : Nếu số không âm có tổng không đổi tích chúng số ∀ a; b ≥ ;lớn a+ bnhất = const a = b ⇒ a.b lớn Ví dụ Tìm x để giá trò f(x) f(x)lớn = (xnhất + 3) ( − x) với − : 0 2a + b ≥ f(x) = (x + 3) (5 − x +3+5− x = ( ) = 16  x) ≤  2  Vậy giá trò lớn ⇔ = −⇔ x x=1 : max a⇔f(x) xb+=≤316 Bài tập : a) f(x) = 4x(8 – 5x) < x < 8/5x − b) f(x) 2x với với a.b a+b     x>4 Hệ : Nếu số không âm có tích không đổi tổng chúng số ∀ a; b ≥ nhỏ ; a.b = const⇒khi a = b a+ b nhỏ Ví dụ Tìm x để giá trò f(x) f(x) = 3x với x > : nhỏ + x+ - −1 < x ⇒ x + > ; 4/(x+1) aùp dụng bất đẳng thức Co >0 a ; b ≥ ⇒ f(x) = 3(x + 1) – 4 ≥ 3( x + 1) a − b= 4≥ − + + x+ x +1 Vậy giá trò nhỏ := 4min −f(x) ⇔ 3(x + 1) = ab x +1 ⇔ (x + 1) = 4/3⇔ x = −1 Bài tập : a) f(x) = x + 3/x b) f(x) = x − x với với x> 0 e) a ≥ ; b ≥ 1⇒ a b− 1+ b a− ≤ ab 1 4 f) a+ b ≥ ⇒ a + b ≥ ; a +b ≥ 1 g) + ≥ Chứng minh ab≤ 1+ a 1+ b 2 a b c d) + + ≥ b+ c c + a a+ b b + c = x  Đặt c + a = y ⇒ x + y + z = 2( a + b + c ) a + b = z  ∀a; b > 2 a = y + z − x  vaø 2b = x + z − y 2c = x + y − z  a b c y+z−x x+z− y x+ y−z + + = + + b+c c+a a+b 2x 2y 2z y z x z x y = + + + + + − 2x 2x y y 2z 2z TheoCô si ≥ 6.6 Dấu “=” ⇔ y z x z x y − 2x 2x y y 2z 2z x=y=z ⇔ a=b=c 3 = − = 2 Chứng minh bất đẳng thức : e) a ≥ ; b ≥ 1⇒ a b− 1+ b a− ≤ ab a = (a − 1) + ≥ (a − 1).1  b = (b − 1) + ≥ (b − 1).1  b.a ≥ b.2 a − ⇒ a.b ≥ a.2 b − ( ⇒ 2ab ≥ a b − + b a − ) ) ⇒ ( đpcm Dấu “=” ⇔ a − = ⇔ a = b =  b − = ùng Côsi cho số không âm a – ≥ Tương tự (a – 1) ≥ ( a − 1).1 b–1≥0 ⇒ (b – 1) ≥ ( b − 1).1 Chứng minh bất đẳng thức : 1 4 f) a+ b ≥ ⇒ a + b ≥ ; a +b ≥ a) Có Cộng vế có : ≤ (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab ≤ (a − b )2 = a2 + b2 − 2ab ≤ 2( a2 + b2) ⇒ a2 + b2 ≥ ½ (đpcm) Dấu “=” ⇔ a = b = ½ ùng câu a) có : (1/2 )2 ≤ (a2 + b2)2 = a4 + b4 + 2a2b2 ≤ (a2 - b2)2 = a4 + b4 - 2a2b2 Cộng vế có : 1 4 4   ≤ 2.( a + b ) ⇒ a + b ≥ 1/8 2 Daáu “=” ⇔ a = b = ½ Chứng minh bất đẳng thức : 1 g) + ≥ 1+ a 1+ b Chứng minh ab≤ 1 + ≥ ⇔ ≥ a + b + 4ab 1+ a 1+ b 3 b ≥ Áp dụng Côsi có ≥ a + b + 2ab +a2ab ⇔ 24 ≥ ⇔ ab ≤ 1/ 44.4a3b3 4 Áp dụng Côsi cho số dương a + b + 2ab 4a3+ b32ab PHẠM QUỐC KHÁNH Quy ết phe nà n y theo nà ng mộ phe t n i bạn