Đang tải... (xem toàn văn)
Ứng dụng của Đại số tuyến tính tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các lĩnh v...
TS THIỀU ĐÌNH PHONG KHOA SP TỐN HỌC - TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Tài liệu lưu hành nội bộ, Nghệ An - 2016 MỤC LỤC Phát triển tư trừu tượng 2 Ứng dụng Hóa học 3 Ứng dụng Lý thuyết mã Dao động điều hòa 10 Ứng dụng Mật mã 16 Ứng dụng mơ hình input-output Leonfief 18 Ứng dụng Lý thuyết khử 22 Ứng dụng Di truyền học 26 Ứng dụng Hình học 28 10 Ứng dụng Lý thuyết đồ thị 32 11 Ứng dụng Phân bố nhiệt độ 38 12 Ứng dụng Nén ảnh 44 13 Ứng dụng Mạng lưới 50 14 Ứng dụng Xã hội học 53 15 Nhận diện khuôn mặt 55 16 Ứng dụng xích Markov 60 PHÁT TRIỂN TƯ DUY TRỪU TƯỢNG Trong đại số tuyến tính có nhiều ứng dụng thực tế sống, có khía cạnh lịch nó, khía cạnh trừu tượng Khía cạnh mơn học có ứng dụng thực tế sống giúp phát triển tư ngôn ngữ Tại nhiều thời điểm q trình cơng việc bạn, bạn cần phải giải thích cho người khác hiểu bạn làm, thực lý bạn làm Các "người khác" bao gồm người quản lý số tiền bạn cần đầu tư cho dự án bạn Thành cơng đòi hỏi phải có kỹ giao tiếp tốt, chìa khóa để thuyết phục người khác phải rõ ràng mặt ý tưởng bạn Một điều bạn học hỏi từ định nghĩa, định lý chứng minh bạn thấy Đại số tuyến tính (và lĩnh vực toán học túy) làm để có tư rõ ràng thể rõ thân mình, để tránh hiểu lầm nhầm lẫn Bạn tìm thấy, việc học đại số tuyến tính, việc thực hành bạn việc phân loại ý tưởng (một số lúc đầu kỳ lạ) giúp bạn tư cách rõ ràng rành mạch Trong thực tế, điều quan trọng nhiều so với kỹ kỹ thuật đặc biệt mà bạn có Một lợi mà Đại số tuyến tính có môn học khác việc nâng cao khả tư duy, hầu hết khái niệm, tính chất Đại số tuyến tính có giải thích hình học tương ứng Trong khơng gian chiều thấp, người ta "hình học hóa" kết đại số tuyến tính, điều ngược lại đúng: đại số tuyến tính giúp phát triển tố chất hình học bạn Trực giác hình học bạn có bổ sung "hình ảnh đại số", mà cho phép bạn, thực tế, "nhìn thấy" khơng gian chiều cao mà giác quan thông thường tiếp cận ỨNG DỤNG TRONG HÓA HỌC Ứng dụng 1: Cần thành phần khác A, B C, để sản xuất lượng hợp chất hóa học A, B C phải hòa tan nước cách riêng biệt trước chúng kết hợp lại để tạo hợp chất hóa học Biết kết hợp dung dịch chứa A với tỉ lệ 1.5 g/cm3 với dung dịch chứa B với tỉ lệ 3.6 g/cm3 dung dịch chứa C với tỉ lệ 5.3 g/cm3 tạo 25.07 g hợp chất hóa học Nếu tỉ lệ A, B, C phương án thay đổi thành tương ứng 2.5, 4.3 2.4 g/cm3 (trong thể tích giống nhau), 22.36 g chất hóa học tạo Cuối cùng, tỉ lệ tương ứng 2.7, 5.5 3.2 g/cm3, tạo 28.14 g hợp chất Thể tích dung dịch chứa A, B C bao nhiêu? Lời giải Gọi x, y, z tương ứng thể tích (cm3) phương án chứa A, B C Khi 1.5x khối lượng A trường hợp đầu, 3.6y khối lượng B 5.3z khối lượng C Cộng lại với nhau, ba khối lượng tạo 25.07 g Do 1,5 x 3,6 y 5,3z 25,07 Tương tự cho hai trường hợp lại, ta có hệ phương trình tuyến tính 1,5 x 3,6 y 5,3z 25,07 2,5 x 4,3 y 2,4 z 22,36 2,7 x 5,5 y 3,2 z 28,14 Ma trận bổ sung hệ 1,5 3,6 5,3 25,07 2,5 4,3 2,4 22,36 2,7 5,5 3,2 28,14 Biến đổi ma trận cho ta nghiệm x 1,5; y 3,1; z 2,2 Ứng dụng Một ứng dụng tiêu biểu khác hệ phương trình tuyến tính hóa học việc cân phương trình phản ứng hóa học Nguồn gốc Định luật bảo toàn khối lượng phát biểu sau: “Khối lượng không tạo không bị phá hủy phản ứng hóa học Do việc cân phương trình phản ứng hóa học đòi hỏi số lượng nguyên tử hai vế phản ứng hóa học Khối lượng tất chất phản ứng (các chất vào phản ứng) phải khối lượng sản phẩm (các chất sản xuất phản ứng).” Một ví dụ chẳng hạn việc xét phương trình hóa học sau đây: C2H6 + O2 → CO2 + H2O Cân phương trình phản ứng đồng nghĩa với việc tìm giá trị x, y, z t cho số lượng nguyên tử nguyên tố hai vế phương trình: xC2H6 + yO2 → zCO2 + tH2O Từ cho ta hệ phương trình tuyến tính sau: 2x z 6 x 2t y z t Nghiệm tổng quát hệ y x z 2x t x Do tìm giá trị biến x, y z, t, nên chọn x=2 ta thu y=7, z= t=6 Phương trình cân là: 2C2H6 + 7O2 → 4CO2 + 6H2O ỨNG DỤNG TRONG LÝ THUYẾT MÃ Giới thiệu Các thông điệp truyền đi, liệu từ vệ tinh, thông tin bị gây nhiễu Do đó, điều quan trọng khả để mã hóa tin nhắn theo cách mà sau tiếng ồn gây nhiễu nó, giải mã dạng thống ban đầu Điều thực cách lặp lại tin nhắn hai ba lần, điều phổ biến phát biểu người Tuy nhiên, việc chép liệu lưu trữ đĩa nhỏ gọn, đĩa mềm hai lần đòi hỏi thêm khơng gian để lưu trữ Trong ứng dụng ĐSTT này, xem xét cách thức giải mã thơng điệp sau bị bóp méo số loại tiếng ồn Quá trình gọi mã hóa Một mã phát lỗi tin nhắn bị gây nhiêu gọi phát lỗi Nếu, thêm vào đó, sửa lỗi gọi sửa lỗi Sẽ khó khăn nhiều để tìm cách sửa lỗi so với mã phát lỗi Một số kỹ thuật mã hóa Hầu hết tin nhắn gửi dạng dãy ký tự 1, chẳng hạn 10101 1010011, nên giả sử muốn gửi tin nhắn 1011 "Từ" nhị phân thay cho từ thực tế, chẳng hạn mua, câu mua cổ phiếu Một cách để mã hóa 1011 việc đính kèm "đi" nhị phân vào để cho bị bóp méo, chẳng hạn như, 0011, phát lỗi Một 0, tùy thuộc vào việc có lẻ số chẵn từ Bằng cách này, tất từ mã hóa có số chẵn Vì vậy, 1011 mã hóa 10111 Bây tin nhắn bị bóp méo đến 00.111 biết lỗi xảy ra, nhận số lẻ Mã phát lỗi gọi kiểm tra ngang hàng đơn giản để hữu ích Ví dụ, hai chữ số thay đổi, chương trình khơng phát lỗi, điều chắn mã sửa lỗi Một phương pháp khác việc mã hóa thơng điệp cách lặp lại hai lần, chẳng hạn 10111011 Sau đó, ta nhận 00.111.011, biết hai phần bị bóp méo Nếu có lỗi xảy ra, sau rõ ràng vị trí chương trình mã hóa cho kết thấp khơng thường sử dụng Chúng ta có kết tốt cách lặp lại thông điệp nhiều lần, không gian thời gian Một kỹ thuật mã hóa nâng cao: Mã Hamming Trong năm 1950, R.H Hamming giới thiệu mã sửa lỗi đơn thú vị mà trở thành mã biết đên với tên gọi mã Hamming Trước kiểm tra chi tiết kỹ thuật đó, cần vài kiến thức tảng từ đại số tuyến tính Khơng gian vectơ Trong khóa học đại số tuyến tính năm tiêu biểu, lúc sinh viên giới thiệu khái niệm không gian vectơ, từ “vơ hướng” có nghĩa số thực số phức Điều tổng quát tới phần tử trường cho trước Một trường tập F với hai phép toán, cộng nhân, thỏa mãn tiên đề sau đây: Phép cộng khép kín: x, y thuộc F, x+y thuộc F Phép nhân khép kín: x, y thuộc F, xy thuộc F Phép cộng có tính kết hợp: x, y, z thuộc F, (x+y)+z=x+(y+z) Phép nhân có tính kết hợp: x, y, z thuộc F, (xy)z=x(yz) Luật phân phối: x, y, z thuộc F, x(y+z)=xy+yz Tồn phần tử 0: phần tử F thỏa mãn x+0=x với x thuộc F Tồn phần tử 1: phần tử F thỏa mãn x.1=x với x thuộc F Tồn phần tử đối: Nếu x thuộc F, tồn y thuộc F cho x+y=0 Tồn phần tử nghịch đảo phần tử khác 0: Nếu x khác thuộc F tồn phần tử y thuộc F cho xy=1 10 Luật giao hoán phép cộng: Nếu x, y thuộc F, x+y=y+x 11 Luật giao hốn phép nhân: Nếu x, y thuộc F, xy=yx Ví dụ trường phức), p (tập số hữu tỷ), (tập số thực), (tập số p số nguyên tố (các số nguyên modulo số nguyên tố p): 0,1, ,( p 1) p Đặc biệt, trường hợp p=2, trường hai phần tử 1, tức ký hiệu Nó bao gồm 0,1 Trong Z2, phép cộng phép nhân định nghĩa sau: 0+0=0; 1+0=1; 0+1=1; 1+1=0; 0.0=0; 1.0=0; 0.1=0; 1.1=1 n Nhắc lại cấu trúc không gian vectơ xác định hai phép toán sau: (x1,…, xn)+ (y1,…, yn)= (x1+ y1,…, xn+yn) a(x1,…, xn)= (ax1,…,a xn) a số thực Cấu trúc tương tự định nghĩa n2 Chúng ta trang bị n2 với phép cộng phép nhân với vô hướng (nhân với 1) Chẳng hạn, 52 có: (1,0,1,1,0) + (0,1,1,1,1) = (1,1,0,0,1), 0.(1,1,0,1,0) = (0,0,0,0,0) n Khi đó, trở thành khơng gian vectơ trường (phép nhân với 1) Tất khái niệm khơng gian vectơ độc lập tuyến tính, tập tổ hợp tuyến tính, khơng gian con, chiều, khơng gian hàng, không gian không, … áp dụng trường hợp Điểm khác biệt lớn với không gian vectơ n n2 chứa số hữu hạn vectơ, cụ thể 2n vectơ Mã Hamming (7,4) Cho trước hai số nguyên k≤ n, không gian n2 với chiều k gọi (n,k) mã tuyến tính Các phần tử mã tuyến tính gọi từ mã Xét ma trận H gồm cột c1, …, c7 vectơ khác không 32 : 0 0 1 1 H 0 1 0 1 1 1 1 Khơng gian khơng, Null(H) (còn gọi hạt nhân), H gọi mã Hamming (7,4) Nhắc lại Null(H) khơng khác tập tất nghiệm hệ phương trình tuyến tính HX=0 tương ứng với H Ta nói H ma trận kiểm tra cho mã Null(H) Ta giải hệ phương trình HX=0 để xác định Null(H) Sử dụng phương pháp khử Gauss-Jordan (cùng với phép toán số học thu dạng bậc thang H sau: 1 1 1 H 0 1 0 1 0 0 1 1 ), Và từ hạng H 3, chiều Null(H) 7-3=4 Thực ra, ta dễ dàng B (1,0,0,0,0,1,1);(0,1,0,0,1,0,1);(0,0,1,0,1,1,0);(0,0,0,1,1,1,1) sở Null(H) Z2 Nhận xét Giả sử {e1,…,e7} sở chuẩn tắc 72 , Hei=ci với i=1,…,7, khơng có vectơ ei thuộc Null(H) Như hệ quả, ta có hai nhận xét sau: Nếu v vectơ Null(H), v+ ei khơng thuộc Null(H) với i=1,2,…,7 Nếu v vectơ 72 cho Hv=ci với i đó, v+ ei vectơ Null(H) Hơn nữa, v+ ej không thuộc Null(H) với j i Ma trận G gồm hàng phần tử sở B gọi ma trận phần tử sinh mã Hamming (7,4): 1 0 0 1 0 0 1 G 0 1 0 0 1 1 Bây giải thích q trình giải mã Hamming sửa lỗi: Thuật toán sửa lỗi với mã Hamming (7,4) Giả sử muốn gửi từ u bao gồm ký tự u1 u2 u3 u4, giả sử biết trước từ mã hóa bị làm nhiễu việc thay đổi thành phần Gọi w từ thu Để mã hóa u, tạo tổ hợp tuyến tính v phần tử sở B với ký tự u hệ số Chú ý v đạt từ từ gốc việc biểu diễn phép nhân ma trận v=[u1 u2 u3 u4]G, G ma trận Bởi xây dựng này, vectơ v thuộc Null(H) Chú ý [u1 u2 u3 u4]G cho ta vectơ ký tự ký tự đầu biểu diễn cho từ gốc Tính Hw, H ma trận mơ tả Nếu Hw=0, w nằm Null(H) Do đó, lỗi đơn có nghĩa w khơng thuộc Null(H) ý Chúng ta kết luận khơng có sai lệch u ký tự w Nếu Hw=ci với i đó, v+ ei vectơ Null(H), v+ ej không thuộc Null(H) với j i Điều gợi ý thay đổi thành phần thứ i w (từ thành từ thành 0) thu vectơ w’ Bốn ký tự đầu w’ biểu diễn cho từ u Ta minh họa bước hai ví dụ sau đây: Ví dụ Giả sử nhận tin nhắn w=1100011 mã hóa mã Hamming (4, 7) Giả sử có nhiều lỗi q trình chuyển phát thơng tin, tìm tin nhắn gốc Lời giải Ta có 1 1 0 0 H 0 1 0 0 1 1 Từ Hw cột thứ hai H, thay thành phần thứ hai w cho ta từ mã hóa 1000011 Chúng ta kết luận tin nhắn gốc 1000 Ví dụ Giả sử nhận tin nhắn w=0101010 mã hóa mã Hamming (4, 7) Giả sử có nhiều lỗi sai truyền tin, tìm tin nhắn gốc Lời giải 0 1 0 0 Ta có H 1 0 0 0 1 0 Từ Hw =0, khơng có lỗi q trình truyền tin nhắn này, từ gốc 0101 Trong kỹ thuật trên, từ gửi ngắn: ký tự Chỉ có 24 từ Trong thực tế, tin nhắn điện tử chứa đựng nhiều ký tự Một vấn đề khác với mã Hamming (4, 7) khơng thể nhận nhiều lỗi tin nhắn mã hóa Với cách mạng điện tử thời đại chúng ta, ta hình dung có nhiều kiểu mã hiệu nhiều thưa thớt chiếm nhớ để lưu trữ Do ta mong chờ ma trận biến đổi thưa thớt, ta quy định giá trị ngưỡng khơng âm ε, sau ta cho phần tử ma trận biến đổi có giá trị tuyệt đối nhỏ ε trở thành Điều cho ta loại ma trận thưa thớt Nếu ε 0, ta không sửa đổi phần tử ma trận Mỗi lần bạn nhấn chuột vào hình ảnh để tải từ Internet, máy tính nguồn nhớ lại ma trận chuyển Haar từ nhớ Đầu tiên gửi hệ số xấp xỉ tổng thể hệ số chi tiết lớn lúc sau hệ số chi tiết nhỏ Khi máy tính bạn nhận thơng tin, bắt đầu xây dựng lại cách chi tiết lớn dần lên hình ảnh ban đầu khơi phục lại hồn tồn Đại số tuyến tính làm cho trình nén nhanh hơn, hiệu Đầu tiên ta nhắc lại ma trận vuông A cấp n gọi trực giao cột tạo sở trực giao Rn, tức cột A đôi trực giao với độ dài cột Một cách tương đương, A trực giao nghịch đảo chuyển vị Tính chất giúp trình hồi phục ma trận chuyển đổi thực phương trình sau nhanh nhiều Một tính chất khác hữu dụng ma trận trực giao chúng bảo tồn độ lớn vectơ Nói cách khác, v vectơ Rn A ma trận trực giao, ||Av||=||v|| Giải thích chi tiết đẳng thức sau Do ||Av||=||v|| Tương tự vậy, góc bảo tồn lúc phép biến đổi định nghĩa ma trận trực giao: nhắc lại cosin góc hai vec tớ u v là: Nên A ma trận trực giao, ψ góc hai vectơ Au Av, 48 Do độ lớn góc bảo tồn nên giảm thiểu méo mó sai lệch lúc xây dựng lại ảnh ta sử dụng ma trận trực giao Từ ma trận chuyển đổi W tích ba ma trận khác, ta trực chuẩn hóa W việc trực chuẩn hóa ba ma trận Phiên trực chuẩn hóa W Nhận xét Nếu bạn xem kỹ trình ta mơ tả trên, bạn ý ma trận W khơng khác thay đổi sở R8 Nói cách khác, cột W tạo sở (một sở đẹp) R8 Nên lúc ta nhân vectơ v (tọa độ sở chuẩn tắc) R8 W, ta nhận tọa độ v sở Một vài tọa độ bị bỏ quên sử dụng ngưỡng ε điều cho phép ma trận chuyển lưu trữ dễ dàng truyền nhanh Tỉ lệ nén Nếu ta chọn ngưỡng giá trị ε dương, số phần tử ma trận chuyển bị đặt lại thành số chi tiết bị lúc ảnh giải nén Vấn đề quan trọng chọn ε đủ tốt cho việc nén thực hiệu với mức thiệt hại tối thiểu cho hình ảnh Chú ý tỉ lệ nén định nghĩa tỉ lệ phần tử khác ma trận chuyển (S=WTAW) với số phần tử khác ma trận nén đạt từ S việc áp dụng ngưỡng ε 49 ỨNG DỤNG TRONG MẠNG LƯỚI Giới thiệu Một mạng lưới bao gồm nhánh nút Một ví dụ điển hình mạng lưới đường phố, nơi nhánh đường phố nút nút giao thơng Một ví dụ khác mạng lưới điện Nhiều vấn đề mạng lưới mơ hình hóa hệ phương trình tuyến tính Các định luật giải thích 1) Mạng lưới điện Trong mạng lưới kiểu này, Định luật Ohm Định luật Kirchhoff chi phối dòng điện sau: Định luật Ohm: Hiệu điện hai đầu vật dẫn tích cường độ dòng điện điện trở: V=IR Định luật Kirchhoff thứ nhất: Tổng cường độ dòng điện vào nút tổng cường độ dòng điện từ Định luật Kirchhoff thứ hai: Tổng đại số hiệu điện mạch vòng kín tổng điện áp mạch vòng Ví dụ Xác định cường độ dòng điện I1, I2, I3 mạch điện sau: Áp dụng Định luật Kirchhoff thứ cho nút B C, ta có I1=I2+I3 Nói cách khác: I1-I2-I3 =0 Áp dụng Định luật Kirchhoff thứ hai cho mạch vòng BDCB BCAB, ta thu phương trình -10I1+10I2=10 20I1+10I2 =5 Từ ta có hệ phương trình tuyến tính 50 Ma trận bổ sung hệ Ta biến đổi ma trận Do đó, cường độ dòng điện cần tìm là: Do I3 âm, dòng điện từ C tới B từ B tới C, sơ đồ vẽ 2) Mạng lưới giao thông Sơ đồ bên biểu diễn lưu lượng giao thơng qua vị trí đường phố (Các số lưu lượng trung bình vào mạng giao thông cao điểm) Bởi Định luật Kirchhoff thứ nhất, lưu lượng vào giao điểm với lưu lượng từ đo Điều cho ta hệ phương trình tuyến tính sau Ma trận bổ sung hệ 51 Tính toán ma trận biến đổi dạng Do đó, nghiệm hệ Chẳng hạn, w=300 t=1300 (số lượng phương tiện giao thông giờ), x=100, y=700, u=1000 v=700 Giả sử tuyến đường từ A tới B từ B tới C bị đóng (do có cơng trình xây dựng chẳng hạn), từ x=0 y=0 Vậy lưu lượng giao thông phải định tuyến nào? Để trả lời câu hỏi này, cho x=y=0 nghiệm ta thu w=200, t=600, z = -600, u=400 v=800 Tất nhiên, giá trị âm z khơng bình thường Nhằm tránh lưu lượng âm, ta phải đảo ngược hướng tuyến đường kết nối từ C D, điều làm cho z=600 thay z=-600 52 ỨNG DỤNG TRONG XÃ HỘI HỌC Giới thiệu Các nhà xã hội quan tâm đến nhiều loại giao tiếp nhóm cá nhân thường sử dụng biểu đồ để biểu diễn phân tích mối quan hệ bên nhóm Đối với thuật ngữ số kết lý thuyết đồ thị mà sử dụng đây, ta lấy từ phần ứng dụng đại số tuyến tính lý thuyết đồ thị Ý tưởng biểu thị đỉnh cho cá nhân nhóm, cá nhân A ảnh hưởng chi phối cá nhân B, ta vẽ cạnh có hướng hai đỉnh phân biệt Ví dụ Xét nhóm gồm cá nhân I1,…, I8 Đồ thị định hướng sau biểu diễn mối quan hệ nội cá nhân nhóm: Ma trận liên thuộc đồ thị là: Hàng với nhiều phần tử ma trận tương ứng với cá nhân có ảnh hưởng nhóm, trường hợp I6 Trong đồ thị trên, bước có độ dài (một cạnh) tương ứng với ảnh hưởng trực tiếp nhóm, bước với độ dài lớn tương ứng với ảnh hưởng không trực tiếp Chẳng hạn I3 trực tiếp ảnh hưởng tới I5 I5 trực tiếp ảnh hưởng tới I4, I3 ảnh hưởng khơng trực tiếp tới I4 53 Bây bình phương M ta Ta thấy cá nhân I8 có tầng ảnh hưởng tới nửa nhóm, cá nhân có ảnh hưởng trực tiếp tới I6 54 NHẬN DIỆN KHN MẶT Bạn có biết · Đứa bé xác định mặt mẹ sau nửa sinh? · Rằng nhận ran gay (150 phút) 1000 khuôn mặt? · Rằng nửa vỏ nảo huy động trình nhận dạng hình ảnh (nhiều lúc làm tốn!)? Nói chung, hình ảnh chứa thông tin theo dạng dày đặc phức tạp Các máy móc phải dựa mơ hình (số hóa) phức tạp hình ảnh để hiểu nội dung Nhận diện khn mặt việc nhận người Nhận dạng khuôn mặt việc định vị khuôn mặt hình ảnh chuỗi video Chúng ta thường nhớ người dựa màu sắc khuôn mặt, đặc tính quan trọng họ, vv Hoạt động nhận dạng trở nên rõ ràng nhận diện cặp song sinh Trong ứng dụng này, ta giải thích cách sử dụng hiểu biết hình ảnh để nhận diện khn mặt Khi đến việc nhận dạng mơ hình 2D ta cần biết điều ta tìm kiếm Bên trái hình minh họa sau, vật nhào lộn bao gồm khung tự thám hình lục giác phẳng Phía bên phải, tương tự khung hình lập phương Từ hướng nhìn, chúng xuất đồng với nhau, không người quan sát hình ảnh giống lại nhận họ thấy khung kim tự tháp Khi nhận diện khuôn mặt 2D, nhiều nhân tố ảnh hưởng tới q trình nhận diện điều kiện ánh sáng khác nhau, biểu khác: 55 Như ví dụ, 70 ảnh sau chụp với nhiều góc độ θ Φ Mỗi tập trung vào mắt, sau hóa trang: (Ảnh *) Mỗi ảnh 70 ảnh biểu diễn vectơ không gian n số tỉ lệ màu xám điểm ảnh Chẳng hạn, ảnh Bogart sau: 56 biểu thị vectơ: v=( ,0.858824, 0.615686, 0.407843, 0.396078, 0.65098, 1, 0.905882, 0.878431, 0.917647, 0.901961, 0.917647, 0.870588, 0.882353, ) không gian 18300 (Ở N=122x150=18300) Nên đặt Là vectơ tương ứng với ảnh Ảnh (*) Đặt giá trị trung bình vectơ này, đặt Biểu thị điểm vi ' không gian 18300 (Ta lấy N=122x150=18300) cho ta siêu elip chiều 18300 Đưa phương trình siêu elip dạng tắc ta thu dạng chuẩn tắc Mỗi vectơ mặt riêng, 20 mặt riêng xếp giá trị riêng là: Nói cách khác, khn mặt 70 ảnh viết lại tổ hợp tuyến tính mặt riêng, xấp xỉ tốt đạt cách sử dụng 20 mặt riêng Bây cho ta ảnh (thơng thường), có phải ảnh khn mặt ta cố gắng nhận diện? Để trả lời câu hỏi này, ta cần số kiến thức sau: Thành phần vectơ u theo hướng vectơ đơn vị v cho từ 57 cho số thực a, xấp xỉ tốt tất vectơ có dạng av cho vectơ Nếu e1, e2, …, ek k mặt riêng đầu tiên, đặt vectơ closet Ek tới vectơ u cho bởi: (vectơ gọi “dựng lại” u Ek) Trong sơ đồ sau, ảnh n Một thu gọn đáng kể đạt được: từ 18300 tới 40! Câu hỏi làm mô tả điểm chiều 18300 tìm trục? Tất nhiên cần tiếp khác tới kết thúc Các bước sau cho ta cách đại số để tìm trục phải sử dụng lý thuyết việc số hóa ma trận Cho A ma trận 70x18300 sau: Tạo hai ma trận ATA (18300x18300) AAT (70x70) Rõ ràng hai ma trận đối xứng Đặc biệt, chúng ma trận chéo hóa Chéo hóa ma trận ATA: V ma trận 70x70 khả nghịch có cột vectơ riêng AAT ma trận chéo với Mặt riêng cột ma trận: 58 ỨNG DỤNG TRONG XÍCH MARKOV Giới thiệu Giả sử có hệ vật lý tốn học mà có n trạng thái thời điểm nào, hệ thống trạng thái n trạng thái Cũng vậy, giả sử chu kỳ gian quan sát đó, chẳng hạn chu kỳ thứ k, xác suất hệ thống trạng thái đặc biệt phụ thuộc vào trạng thái giai đoạn thứ k-1 Một hệ thống gọi xích Markov hay q trình Markov Chúng ta làm rõ định nghĩa ví dụ sau Ví dụ Giả sử đại lý cho thuê xe có ba địa điểm Ottawa: vị trí trung tâm thành phố (có nhãn A), vị trí phía Đơng (nhãn B) vị trí phía Tây (nhãn C) Đại lý có nhóm lái xe vận chuyển để phục vụ ba địa điểm Thống kê đại lý xác định sau: Trong số gọi đến vị trí Downtown, 30% giao khu vực trung tâm, 30% chuyển giao phía Đơng, 40% chuyển giao phía Tây Trong số gọi đến vị trí phía Đơng, 40% giao khu vực trung tâm, 40% chuyển giao phía Đơng, 20% chuyển giao phía Tây Trong số gọi đến vị trí phía Tây, 50% giao khu vực trung tâm, 30% giao phía Đơng, 20% giao phía Tây Sau làm chuyến giao hàng, lái xe tới địa điểm gần để tiếp tục giao tiếp chuyến hàng Bằng cách này, vị trí lái xe cụ thể xác định vị trí trước lái xe Ta mơ hình hóa vấn đề ma trận sau đây: T gọi ma trận vận chuyển hệ thống Trong ví dụ chúng ta, trạng thái (state) vị trí lái xe cụ thể hệ thống thời điểm 59 cụ thể Phần tử sji ma trận biểu thị xác suất di chuyển từ địa điểm i sang địa điểm j (ví dụ state ứng với B) Để làm cho vấn đề đơn giản, giả sử người giao hàng phải lượng thời gian (15 phút) để thực giao hàng, sau tới vị trí họ Theo số liệu thống kê, sau 15 phút, lái xe bắt đầu A, 30% trở lại A, 30% tới B, 40% tới C Vì tất lái xe tới ba địa điểm sau giao hàng, nên cột có tổng Bởi tính tốn xác suất, nên phần phải nằm Sự thật quan trọng mà cho phép mơ hình hóa tình xích Markov vị trí giao hàng phụ thuộc vào vị trí tại, khơng phải vị trí trước Một khẳng định ma trận xác suất không thay đổi suốt thời gian theo dõi Bây giờ, ta bắt đầu với câu hỏi đơn giản Nếu bạn bắt đầu địa điểm C, xác suất (P) để bạn B sau hai lần giao hàng? Để ý cách bạn tới B hai bước Ta từ C tới C, sau đo từ C tới B, ta từ C tới B sau từ B tới B, từ C tới A sau từ A B Để tìm xác suất P, ký hiệu P(XY) xác suất việc từ X tới Y lần giao hàng (trong X, Y A, B, C) Nếu hai (hoặc nhiều hơn) biến cố độc lập xảy ta phải nhân xác suất với Để tính xác suất biến cố xảy ra, ta cộng xác suất biến cố lại với Điều cho ta biểu thức P = P(CA)P(AB) + P(CB)P(BB) + P(CC)P(CB) xác suất mà người giao hàng từ C tới B lần giao hàng Thay vào công thức liệu xác suất có ta P = (0.5)(0.3) + (0.3)(0.4) + (0.2)(0.3) = 0.33 Điều cho ta biết ta bắt đầu C, ta có 33% hội tới B sau lần giao hàng Ta kiểm tra điều cho cặp địa điểm khác Nếu ta bắt đầu B, xác suất quay trở B sau lần giao hàng ? Câu trả lời tương tự P(BA)P(AB) + P(BB)P(BB) + P(BC)P(CB) = (0.4)(0.3)+(0.4)(0.4) + (0.2)(0.3) = 0.34 Đây khơng phải tính tốn phức tạp bạn qua tâm tới sau lần giao hàng Tuy nhiên sau lần 15 lần giao hàng, thời gian lâu để tính Nếu ta ý, ta thấy việc từ C tới B lần giao hàng giống lấy tích vơ hướng hàng cột 3; xác suất từ B tới B sau lần giao hàng tích vơ hướng hàng với cột Nên ta nhân T với T, phần tử vị trí (2,3) (2,2) tương ứng với xác suất ta nói Các phần tử lại T2 cho ta kết xác suất cho câu hỏi cặp địa điểm X Y khác 60 Chú ý tổng phần tử cột phần tử nằm Ma trận cho ta xác suất từ địa điểm X tới Y sau xác lần giao hàng Tính tốn hồn toàn tương tự cho xác suất sau lần giao hàng Ta ký hiệu p(AB) xác suất việc từ A tới B sau lần giao hàng Chẳng hạn, xác suất từ C tới B sau lần giao hàng p(CA)P(AB) + p(CB)P(BB) + p(CC)P(CB) = (.37)(.3) + (.33)(.4) + (.3)(.3) = 333 Đây tích vơ hướng hàng T2 với cột T Tổng quát, ma trận xác suất cho lần giao hàng là: Tương tự, ta có ma trận xác suất cho nhiều lần giao hàng hơn, ý tổng phần tử cột , , Có điều đặc biệt số hàng? Đó chúng hội tụ số cụ thể sau trình giao hàng đủ lâu Tức sau số đủ lớn lần giao hàng, không cần biết ta địa điểm nào, vào cuối tuần, ta có (xấp xỉ) 38.9% hội A, 33.3% hội B 27.8% hội C Sự hội tụ xảy với hầu hết ma trận chuyển đổi mà ta xét Nhận xét Nếu tất phần tử ma trận chuyển đổi nằm 1, ln có hội tụ Điều khơng xuất ma trận Chẳng hạn ma trận sau Đôi khi, ta nhận vectơ phân phối ban đầu để mơ tả có tỷ lệ kiện ứng với trạng thái ban đầu Sử dụng vector này, bạn tìm có (hoặc tỷ lệ bao nhiêu) kiện trạng thái thời điểm sau Nếu vector phân phối ban đầu bao gồm số 1, ta biết tỉ lệ tổng kiện ứng với trạng thái ban đầu, tổng phần tử cột ln bang Ngồi ra, vector phân phối ban đầu hàm chứa số lượng thực tế vật người, nên tất phần tử số dương phần tử hàng cộng vào tổng số đối tượng người toàn hệ thống Trong ví dụ trên, 61 vector phân phối ban đầu cho biết tỷ lệ lái xe với xuất phát gốc khu vực Ví dụ, bắt đầu với phân phối đều, có 1/3 số lái xe khu vực Do vectơ vectơ phân phối khởi đầu Sau lần giao hàng, phân phối (xấp xỉ) 40% lái xe A, 33.4% B 26.6% C Điều có bời phép nhân ma trận phân phối khởi đầu với ma trận chuyển đổi sau: Sau nhiều lần giao hàng, ta thấy số hội tụ xảy ra, khu vực mà từ ta xuất phát khơng vấn đề Điều có nghĩa ta đạt vế phải số (xấp xỉ) mà không phụ thuộc vào vectơ phân phối khởi đầu mà ta có Chẳng hạn Chú ý cột vế phải với cột ma trận chuyển đổi sau nhiều lần giao hàng Điều ta mong đợi ta biết 38.9% lái xe tới A sau số lớn lần giao hàng tỉ lệ phần trăm lái xe A phân phối khởi đầu Nếu phân phối khởi đầu cho biết số người thực tế hệ thống, sau lần giao hàng ta có số lượng là: Mặc dù số người vế phải khơng ngun, điều khơng thể xảy ra, cho ta biết xấp xỉ người giao hàng có khu vực Sau nhiều lần giao hàng, vế phải đẳng thức gần với vectơ cụ thể, Vec tơ cụ thể tích tổng số lái xe hệ thống (54 trường hợp này) nhân với cột ma trận hội tụ Ak (với k đủ lớn), 62 ... tượng 2 Ứng dụng Hóa học 3 Ứng dụng Lý thuyết mã Dao động điều hòa 10 Ứng dụng Mật mã 16 Ứng dụng mơ hình input-output Leonfief 18 Ứng dụng Lý thuyết khử 22 Ứng dụng Di truyền học 26 Ứng dụng Hình... khái niệm, tính chất Đại số tuyến tính có giải thích hình học tương ứng Trong khơng gian chiều thấp, người ta "hình học hóa" kết đại số tuyến tính, điều ngược lại đúng: đại số tuyến tính giúp... Hình học 28 10 Ứng dụng Lý thuyết đồ thị 32 11 Ứng dụng Phân bố nhiệt độ 38 12 Ứng dụng Nén ảnh 44 13 Ứng dụng Mạng lưới 50 14 Ứng dụng Xã hội học 53 15 Nhận diện khuôn mặt 55 16 Ứng dụng xích Markov