Trên con đ ờng thành công không có dấu chân của kẻ l ời biếng Khoảng cách và góc trong hình học phẳng I. Kiến thức cơ bản: 1. Khoảng cách từ một điểm đến một đ ờng thẳng: Khoảng cách từ điểm M đến đờng thẳng :ax+by+c=0 là: d( ;M)= 0 0 2 2 ax by c a b + + + Chú ý: Nếu bài toán cho phơng trình đờng thẳng d dới dạng ptts thì ta chuyển sang pttq rồi tính khoảng cách theo công thức 2. Điều kiện cần và đủ để hai điểm cùng phía, khác phía đối với một đ ờng thẳng Bài toán: Cho đờng thẳng và hai điểm M ( ; ) M M x y và N ( ; ) N N x y không nằm trên . Hãy xét vị trí tơng đối của hai điểm M,N đối với đờng thẳng Kết luận: +) Hai điểm M, N nằm về cùng phía đối với đờng thẳng ( ).( ) M M N N ax by c ax by c + + + + >0 +) Hai điểm M, N nằm khác phía đối với đờng thẳng ( ).( ) M M N N ax by c ax by c + + + + <0 3. Ph ơng trình đ ờng phân giác của góc tạo bởi hai đ ờng thẳng : Bài toán: Cho hai đờng thẳng cắt nhau 1 1 1 1 : 0a x b y c + + = 2 2 2 2 : 0a x b y c + + = Viết pt các đờng phân giác của các góc tạo bởi hai hai đờng thẳng 1 ; 2 Kết luận: Phơng trình hai đờng phân giác 1 d ; 2 d của các góc tạo bởi hai đờng thẳng 1 ; 2 có dạng: 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 a x b y c a x b y c a b a b + + + + = + + Chú ý: 1.Đờng phân giác có tính chất: Mỗi điểm nằm trên đờng phân giác của góc tạo bởi hai đờng thẳng cắt nhau 1 ; 2 đều cách đều hai đờng thẳng 1 ; 2 2. Lấy một điểm bất kì M thuộc 1 . Từ M kẻ đờng thẳng vuông góc với đ- ờng phân giác 1 d cắt 2 tại điểm M. Khi đó ta có: M và M đối xứng với nhau qua 1 d 4. PT đ ờng phân giác trong của góc A của ABC Để viết PT đờng phân giác trong của góc A của ABC ta có các cách sau: C1) Gọi D là chân đờng phân giác của góc A Tính toạ độ điểm D theo hệ thức véc tơ: AB DB DC AC = uuur uuur Sau đó viết pt đờng phân giác đi qua hai điểm A, D Nguyễn Thị Băng Trên con đ ờng thành công không có dấu chân của kẻ l ời biếng C2, 1) Viết pt đờng phân giác 1 d ; 2 d trong và ngoài của góc A trong tam giác ABC 2)+ Nếu B và C nằm khác phía đối với đờng thẳng 1 d thì 1 d là đờng phân giác trong của góc A + Nếu B và C nằm cùng phía đối với đờng thẳng 1 d thì 2 d là đờng phân giác trong của góc A 5. Góc giữa hai đ ờng thẳng: Góc giữa hai đờng thẳng : 1 1 1 1 : 0a x b y c + + = 2 2 2 2 : 0a x b y c + + = Kí hiệu là: ( 1 ; 2 ) hoặc ã 1 2 ( ; ) Khi đó: 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 cos( ; ) . a a b b a b a b + = + + Chú ý: 1. Nếu 1 1 1 : O O x x a t y y b t = + = + và 2 1 2 ' : ' O O x x a t y y b t = + = + thì 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 cos( ; ) . a a b b a b a b + = + + (Vì 1 2 cos( ; ) = 1 2 1 2 cos( ; ) cos( ; )n n u u= ur uur ur uur 2. Nếu 1 : 1 1 y k x b= + và 2 : 2 2 y k x b= + thì ta có thêm công thức: 1 2 1 2 1 2 tan( ; ) 1 k k k k = + II. Các dạng toán th ờng gặp: Dạng 1: Các bài toán liên quan đến khoảng cách Bài 1: Tính d(M; ) biết: a. M(1;1) và : x-y-2=0 b. M(2;1) và : 1 1 1 1 x y + = c. M(1;5) và : 2 4 x t y t = = + Bài 2: Cho hai điểm A(1;1) và B(3;6). Viết phơng trình đờng thẳng đi qua A và cách B một khoảng bằng 2 Bài 3: Cho đờng thẳng d: 8x-6y-5=0. Viết pt đờng thẳng song song với d và cách d một khoảng bằng 5 Bài4: Cho 3 điểm A(1;1), B(2;0), C(3;4). Viết pt đờng thẳng đi qua A và cách đều hai điểm B,C Dạng 2: Các bài toán liên quan ĐK để hai điểm cùng phía, khác phía đối với một đ ờng thẳng Bài 5: Cho tam giác ABC với A(-1;0), B(2;3),C(3;-6) và đờng thẳng : x-2y-3=0 Nguyễn Thị Băng Trên con đ ờng thành công không có dấu chân của kẻ l ời biếng a. Xét xem đờng thẳng cắt cạnh nào của tam giác b. Tìm điểm M trên sao cho MA MB MC+ + uuur uuur uuuur nhỏ nhất Bài 6: Cho hai điểm P(1;6) , Q(-3;-4) và đờng thẳng : 2x-y-1=0 a. Tìm toạ độ điểm M trên sao cho MP+MQ nhỏ nhất b. Tìm toạ độ điểm N trên sao cho NP NQ lớn nhất Bài7: Cho đờng thẳng m : (m-2)x+(m-1)y+2m-1=0 và hai điểm A(2;3), B(1;0) a. CMR: m luôn đi qua một điểm cố định với mọi m b. Xác định m để m có ít nhất một điểm chung với đoạn thẳng AB c. Tìm m để khoảng cách từ điểm A đến đờng thẳng m là lớn nhất Dạng 3: Các bài toán liên quan đến góc giữa hai đ ờng thẳng Bài 8: Tìm các góc của một tam giác biết pt các cạnh tam giác đó là: x+2y=0; 2x+y=0; x+y=1 Bài 9: Viết pt đờng thẳng : a. Qua A(-2;0) và tạo với đờng thẳng d: x+3y-3=0 một góc 0 45 b. Qua B(-1;2) và tạo với đờng thẳng d: 2 3 2 x t y t = + = một góc 0 60 Bài 10: Xác định các giá trị của a để góc tạo bởi hai đờn thẳng 2 1 2 x at y t = + = và 3x+4y+12=0 bằng 0 45 Bài 11: Cho tam giác ABC cân tại A, biết pt các đờng thẳng AB, BC lần lợt là: x+2y-1=0 và 3x-y+5=0. Viết pt đờng thẳng AC biết rằng đờng thẳng AC đi qua điểm M(1;-3) (Nêu các cách giải) Bài 12: Cho hai đờng thẳng 1 : 2x-y+5=0 và 2 : 3x+6y-1=0 và điểm M(2;-1). Viết pt đờng thẳng đi qua M và tạo với hai đờng thẳng 1 ; 2 một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của 1 và 2 (Nêu các cách giải) Dạng 4: Các bài toán liên quan đến đ ờng phân giác của góc Bài 13: Cho hai đờng thẳng 1 : 2x+3y+1=0 và 2 : 3x+2y-3=0 a. Viết pt đờng phân giác của góc tạo bởi 1 và 2 b. Viết pt đờng phân giác của góc nhọn tạo bởi 1 và 2 c. Viết pt đờng phân giác của góc tạo bởi 1 và 2 chứa điểm M(0;1) hoặc góc đối đỉnh với nó Bài 14: Cho ba điểm A(2;0); B(4;1); C(1;2) a. CMR: A,B,C là 3 đỉnh của một tam giác b. Viết pt đờng phân giác trong của góc A c. Tìm toạ độ tâm I của đờng tròn nội tiếp tam giác ABC Bài 15: Biết các cạnh của tam giác ABC có pt : AB: x-y+4-0; BC: 3x+5y+4=0; AC: 7x+y-12=0 a. Viết pt đờng phân giác trong của góc A Nguyễn Thị Băng Trên con đ ờng thành công không có dấu chân của kẻ l ời biếng b. Không dùng hình vẽ, hãy cho biết gốc toạ độ O nằm trong hay nằm ngoài tam giác ABC Bài 16: Viết pt các cạnh của tam giác ABC biết B(2;-1), đờng cao và đờng phân giác trong qua đỉnh A và C lần lợt là 1 : 3x-4y+27=0 và 2 : x+2y-5=0 III. Bài tập về nhà: Bài 17: Lập pt đờng thẳng qua điểm A(2;1) tạo với 1 : 2x+3y+4=0 một góc bằng 0 45 Bài 18: Cho hai đờng thẳng 1 : 2x-y+1=0 và 2 : x+2y-7=0. Lập pt đờng thẳng d đi qua gốc toạ độ sao cho đờng thẳng d tạo với 1 và 2 một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của 1 và 2 . Tính diện tích tam giác cân đó Bài 19: Cho hình vuông có đỉnh A(-4;5) và một đờng chéo nằm trên đờng thẳng có pt 7x- y+8=0. Lập pt các cạnh và đờng chéo thứ hai của hình vuông Bài 20 : Cho tam giác ABC có đỉnh A( 4 5 ; 7 5 ). Hai đờng phân giác trong của góc B và C lần l- ợt có pt x-2y-1=0 và x+3y-1=0. Viết pt cạnh BC của tam giác. Bài 21: Cạnh bên và cạnh đáy của một tam giác cân có pt theo thứ tự là: x+2y-1=0 và 3x-y+5=0. Tìm pt cạnh bên còn lại biết rằng nó đi qua điểm M(1;-3) Bài 22: Cho tam giác ABC có đỉnh C(-3;1), pt đờng cao và đờng phân giác trong kẻ từ A theo thứ tự có pt là: x+3y+12=0 và x+7y+32=0. Lập pt các cạnh của tam giác ABC Bài 23: Cho hai điểm P(2;5) và Q(5;1). Lập pt đờng thẳng qua P sao cho khoảng cách từ Q tới đờng thẳng đó bằng 3 Bài 24: Cho P(3;0) và hai đờng thẳng 1 : 2x-y-2=0 và 2 : x+y+3=0. Gọi d là đờng thẳng qua P cắt 1 và 2 lần lợt tại A và B. Viết pt của d biết PA=PB Bài 25: Cho hai điểm A(1;3) và B(3;2). Lập pt đờng thẳng qua A sao cho khoảng cách từ B tới đờng thẳng đó bằng 1 Bài 26: (B-05) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai điểm A(1;1); B(4;-3). Tìm điểm C thuộc đờng thẳng x-2y-1=0 sao cho khoảng cách từ C đến đờng thẳng AB bằng 6 Bài 27: (A-06) Cho các đờng thẳng 1 d : x+y+3=0; 2 d : x-y-4=0; 3 d : x-2y=0 Tìm toạ độ điểm M nằm trên đờng thẳng 3 d sao cho: d(M; 1 d )=d(M; 2 d ) Bài 28: (B-07) Cho điểm A(2;2) và các đờng thẳng 1 d : x+y-2=0; 2 d : x+y-8=0 Tìm toạ độ các điểm B và C lần lợt thuộc 1 d và 2 d sao cho tam giác ABC vuông cân tại A Bài 29: (B-08) Hãy xác định toạ độ đỉnh C của tam giác ABC biết rằng hình chiếu vuông góc của C trên đờng thẳng AB là điểm H(-1;1), đờng phân giác trong của góc A có pt x-y+2=0 và đờng cao kẻ từ B có pt 4x+3y-1=0 Bài 30: (Thử ĐH HH4-CTC) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC biết A(5;2). Phơng trình đờng trung trực cạnh BC, đờng trung tuyến CC lần lợt là 1 d : x+y-6=0 và 2 d : 2x-y+3=0. Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác ABC Nguyễn Thị Băng Trªn con ® êng thµnh c«ng kh«ng cã dÊu ch©n cña kÎ l êi biÕng NguyÔn ThÞ B¨ng . của kẻ l ời biếng Khoảng cách và góc trong hình học phẳng I. Kiến thức cơ bản: 1. Khoảng cách từ một điểm đến một đ ờng thẳng: Khoảng cách từ điểm M đến. trong và ngoài của góc A trong tam giác ABC 2)+ Nếu B và C nằm khác phía đối với đờng thẳng 1 d thì 1 d là đờng phân giác trong của góc A + Nếu B và C nằm