Chương III DAO ĐỘNG MẠNG TINH THỂ 1.8 MẠNG ĐẢO (MẠNG NGƯC) a ĐỊNH NGHĨA    Cho mặt thuận có ba vectơ sở a1 , a2 , a3 Ta biểu diễn họ mặt mạng song song mặt (a , a 3) tức họ mặt  (100) vectơ a1* vuông góc mặt phẳng ( a , a ) a1* = 2π/d100 Gọi Oa 1là hình chiếu a1 pháp tuyến mặt (100) tức Oa1’ = d100, ta có: a1* Oa1 = 2π a1 * a1 O (100)  a1 θ  a3  a2 Tất điều kiện cho phép ta có : * a1 a1 = 2π; * a1 a Tương tự ta thành lập vectơ * a3 a1 =0 * a a1 =0 * a a * a = 2π a = a*2 a3 =0 * a i a j * a3 a3 = 2πδ ij i = j δij = = 0; * * a2 ; a3 a1 * a1 =0 cho:  a1 = 2π O i ≠ j * a1 a3  a3 * θ a3 * a2  a2 * * * a1 , a , a3 Mạng xây dựng ba vectơ gọi mạng ngược mạng thuận cho Các nút mạng ngược xác đònh véctơ: G hkl = * h.a1 + * k.a + * l.a3 ; h, k , l ∈ Z 1.9 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MẠNG ĐẢO (MẠNG NGƯC) Gọi V thể tích ô mạng thuận; V* thể tích ô mạng ngược, ta có:    V = a1 (a ∧ a3 ) * * * V = a1 (a ∧ a3 ) * Suy ra: V.V* = (2π)3    * * * 2.Nếu a1 ⊥ a ⊥ a3 a1 ⊥ a ⊥ a3 *  *  *  Và a1 // a1; a // a ; a3 // a3 Ích lợi mạng ngược : nối gốc tọa độ với nút (h k l) mạng ngược biểu diễn vectơ tức : *  * * G hkl = h.a + k.b + l.c  ⇒ G hkl phải vuông góc mặt mạng (h k l) mạng thuận có độ dài : G hkl 2π = d hkl ⇒ biểu diễn họ mạng thuận nút mạng ngược ⇒ nút mạng ngược biểu diễn cho họ mạng thuận (tức mạng tinh thể) hướng thông số mặt mạng Vùng Brillouin    Cũng giống với mạng thuận, mạng đảo, xây dựng sơ cấp dạng đối xứng trung tâm (kiểu WIGNER – SEITZ mạng thuận) Trong mạng đảo, gọi vùng Brillouin thứ Nó giới hạn mặt phẳng trung trực vectơ mạng đảo nối nút chọn với nút lân cận Khái niệm mạng đảo vùng Brillouin sử dụng thuận tiện để nghiên cứu vấn đề có liên quan đến trình sóng vật rắn lý thuyết cung lượng, lý thuyết dao động mạng tinh thể, tượng nhiễu xạ tinh thể v.v… Ô WIGNER – SEITZ Ô Wigner – Seitz ô nguyên tố vẽ cho nút mạng nằm tâm ô  Cách vẽ ô Wigner – Seitz chiều:  Chọn nút mạng làm gốc O  Nối O với nút lân cận gần ta số đoạn thẳng  Vẽ mặt phẳng trung trực đoạn thẳng ta thu họ mặt thứ ⇒ tạo miền không gian kín bao quanh O  Tương tự, từ O nối với nút lân cận vẽ mặt phẳng trung trực đoạn thẳng ta thu h ọ mặt thứ hai  Nếu họ mặt thứ hai nằm miền không gian bao họ thứ nhất, tức họ thứ xác đònh miền thể tích nhỏ ô Wigner – Seitz  Ngược lại ô Wigner – Seitz xác đònh đồng thời hai loại mặt cho ô tích nhỏ CÁCH VẼ Ô WIGNER – SEITZ CHO MẠNG CHIỀU Dao động mạng chiều  Trong tinh thể, ngun tử, phân tử khơng nằm cố định nút mạng vị trí xác định, mà ln thực dao động nhỏ quanh vị trí cân  Bài tốn hệ hạt có tương tác với dao động với biên độ nhỏ quanh vị trí cân dạng tốn Cơ học cổ điển  Trong trường hợp xét, mạng thuận có chu kỳ a mạng đảo có chu kỳ 2π/a Mạng đảo mạng chiều mạng chiều Khoảng giá trị: mạng đảo (ở trường hợp chiều) gọi vùng Brillouin thứ   Nếu xét thời điểm, trạng thái dao động tinh thể lặp lại cách tuần hồn khơng gian, với chu kỳ bước sóng λ Ở tâm vùng Brillouin thứ nhất, tức với qa Nếu tinh thể hữu hạn, tính chất tinh thể hữu hạn, chẳng hạn tính đối xứng tịnh tiến khơng Ta phải xét ảnh hưởng biên tinh thể Trong trường hợp mạng chiều đầu cuối dãy ngun tử Tuy nhiên mạng tinh thể đủ lớn, ảnh hưởng biên nhỏ, tính chất tinh thể gần giống mạng vơ hạn q=π/a tương ứng với λ=2a q > π/a khơng có ý nghĩa vật lý khơng có ngun tử dao động chu kỳ Như vector sóng cho dao động mạng nằm vùng Brillouin thứ Ở hình trên:  Do đó, có tất N giá trị phép vector sóng (và bước sóng) nằm khoảng: -π/a > Nếu tinh thể hữu hạn,