Đang tải... (xem toàn văn)
Bài tập lớn môn quá trình ngẫu nhiên và ứng dụng. Tên đề tài: Tìm hiểu về chuyển động Brown (bước ngu nhiên, quá trình Wiener)
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI VIỆN CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG BÁO CÁO BÀI T P LỚN Quá trình ng u nhiên ứng dụng – IT3061 Đề tài 6: tìm hiểu chuyển động Brown (bước ng u nhiên, trình Wiener) áp d ng làm tập thử nghiệm dùng phần mềm Matlab Nhóm sinh viên: Nguyễn Việt Anh – 20121230 Vũ Quang Đại – 20121475 Nguyễn Thế Hà – 20121622 Nguyễn Anh Quân – 20122276 Nguyễn Mạnh Tuấn – 20122695 Đào Đ c Tùng – 20122731 Hà Nội, ngày 04 tháng 11 năm 2014 Đề tài M CL C PHÂN CÔNG CÔNG VI C 3 Định nghĩa tính chất c a chuyển động Brown 1.1 Định nghĩa c a chuyển động Brown 1.2 Tính bất bi n c a chuyển động Brown 1.3 Tính liên t c c a chuyển động Brown 1.4 Tính không kh vi c a chuyển động Brown Quá trình Wiener 2.1 Khái ni m 2.2 Các tính chất b n Bước ng u nhiên chuyển động Brown 3.1 Khái ni m 3.2 Bước nh y ng u nhiên không gian nhiều chiều 3.3 Bước nh y ng u nhiên với trình Wiener 10 3.4 Một số ng d ng c a bước nh y ng u nhiên 11 Một ng d ng c a trình ng u nhiên ậ chuyển động Brown 12 4.1 Mở đầu 13 4.2 Nội dung 13 4.3 K t lu n 17 Minh họa chuyển động Brown Matlab 17 5.1 Sử d ng thư vi n c a Matlab 17 5.2 Đồ thị c a chuy n động Brown 18 5.2.1 Chuyển động Brown chiều 18 5.2.2 Chuyển động Brown hai chiều 20 5.2.3 Đồ thị chuyển động Brown 20 Gi i t p chương III 22 6.1 Bài tờ t p 22 6.2 Bài tờ t p 23 6.3 Bài tờ t p 24 6.4 Bài b ng 24 6.5 Bài b ng 25 K T LU N 26 TÀI LI U THAM KH O 26 QUÁ TRÌNH NG U NHIÊN NG D NG Đề tài PHÂN CÔNG CÔNG VIỆC Định nghĩa tính chất chuyển động Brown: Vũ Quang Đ i Quá trình Wiener: Nguy n Vi t Anh Bước ng u nhiên chuyển động Brown: Nguy n Th Hà ng d ng chuyển động Brown thực ti n: Đào Đ c Tùng Minh họa Matlab: Nguy n Anh Quân, Nguy n M nh Tuấn Gi i t p: Nguy n Anh Quân, Nguy n M nh Tuấn * Mỗi thành viên tự tìm tài li u tham kh o, làm báo cáo, slide nội dung thành viên ph trách * Tổng h p báo cáo: Nguy n Anh Quân QUÁ TRÌNH NG U NHIÊN NG D NG Đề tài Định nghĩa tính chất c a chuyển động Brown 1.1 Định nghĩa c a chuyển động Brown Chuyển động Brown liên kết chặt chẽ đến phân bố bình thư ng Nhớ lại biến ngẫu nhiên X phân bố chuẩn với trung bình µ phương sai � P X x 2 e u 2 2 du , với x R x Định nghĩa 1: Một trình ngẫu nhiên giá trị thực B t : t 0 gọi ( tuyến tính) Chuyển động Brown với bắt đầu x R điều sau đây: B(0) x Quá trình có tính tăng cư ng độc lập Ví dụ với t1 t2 tn số gia B tn B tn1 , B tn1 B tn2 , , B t2 B t1 biến ngẫu nhiên độc lập Với t h > 0, số gia B t h B t phân phối bình thư ng với kì vọng phương sai h B t liên tục Gần chắn hàm số t Chúng ta nói B t : t 0 chuyển động Brown chuẩn x = Chúng ta quay lại nhìn vào số điểm kỹ thuật Chúng ta định nghĩa chuyển động Brown trình ngẫu nghiên B t : t 0 mà họ c a biến ngẫu nhiên B t , xác định khoảng không gian xác suất đơn , , P Đồng th i, trình ngẫu nhiên hiểu hàm ngẫu nhiên với hàm mẫu xác định b i t B t, Nhận xét 1.2: Khi xem xét trình ngẫu nhiên hàm ngẫu nhiên có ích để giả định ánh xạ t , B t , đo không gian tích số 0, b i phân phối biên c a trình ngẫu nhiên B t : t 0 hiểu luật c a tất vecto ngẫu nhiên hữu hạn nhiều chiều B t , B t , , B t với t n t2 tn Định nghĩa 2: QUÁ TRÌNH NG U NHIÊN NG D NG Đề tài Chuyển động Brown chuẩn không gian d chiều B(t): R Rd tập hợp c a d chuyển động Brown độc lập B t B1 t , , Bd t Bi t với i = 1, , d, chuyển động Brown chiều độc lập Chuyển động Brown thư ng dùng tham chiếu trình Wiener 1.2 Tính bất bi n c a chuyển động Brown Bổ đề: ( Mở rộng quy mô bất bi n ) B t : t 0 chuyển động Brown tiêu chuẩn giả sử a > Vậy X t : t 0 xác định b i X t 1a B a t chuyển động Brown tiêu Giả sử chuẩn Định lý: ( Sự đ o ngư c thời gian ) Giả sử B t : t 0 chuyển động Brown tiêu chuẩn Vậy trình X t : t 0 đinh nghĩa b i: { ớ = > chuyển động Brown tiêu chuẩn 1.3 Tính liên t c c a chuyển động Brown Định nghĩa c a chuyển động Brown đòi hỏi hàm mẫu liên tục gần chắn Điều có nghĩa khoảng [0,1] (hoặc khoảng nhỏ khác) hàm mẫu liên tục t c có tồn số (ngẫu nhiên ) hàm với limh0 h gọi modun liên tục c a hàm B : [0, 1] → R vậy: limsup sup h0 0t 1 h B t h B t h Đinh lý Tồn số C > mà với h đ nhỏ h > t h QUÁ TRÌNH NG U NHIÊN NG D NG Đề tài h B t h B t C h log Định lý: Với số c < √ , chắn, với � > t 0,1 h với tồn h h B t h B t c h log Đinh lý: δ´evy’s modulus of continuity (1937): chắn rằng: limsup sup h0 0t 1 h B t h B t 2h log 1 h 1 1.4 Tính không kh vi c a chuyển động Brown Mệnh đề 1: Với < a < b < ∞ Chuyển động Brown đơn điệu đoạn [a, b] Mệnh đề 2: limsup n B n n B n liminf n n Định nghĩa Với X1,X2,… chuỗi biến ngẫu nhiên không gian xác suất , , xem xét tập A c a trình tự mà X1, X , A Sự kiện X1 , X , A gọi đổi đư c X1 , X , A X , X , A cho tất phép hoán vị hữu hạn : N → N song ánh với n n cho tất n đ lớn phép hoán vị hữu hạn có nghĩa σ Bổ đề (Hewitt-Savage 0-1 law): Nếu A kiện trao đổi cho dãy phân phối độc lập giống P(A) QUÁ TRÌNH NG U NHIÊN NG D NG Đề tài Quá trình Wiener 2.1 Khái ni m Quá trình Wiener trình ngẫu nhiên liên tục đặt tên theo Norbert Wiener, thư ng gọi chuyển động Brown tiêu chuẩn Nó trình Lévy (quá trình ngẫu nhiên liên tục bên phải, giới hạn bên trái với lượng gia độc lập không ) tiếng thư ng dùng toán học, kinh tế vật lý Quá trình Wiener đóng vai trò quan trọng toán học túy ng dụng Nó thích hợp để mô tả thay đổi có tính liên tục c a biến ngẫu nhiên s W(t), với khoảng th i gian quan sát dù nhỏ quan sát thay đổi c a W(t), điều thích hợp với tính chất c a biến cố thư ng Ta nghĩ trình Wiener tổng quát chuyển động Brown không xét đến quy luật phân phối thực chất theo định lý Lévy hai trình khác biệt Định lý sau: “mọi trình Wiener W(t) liên quan đến tập thông tin I(t) chuyển động Brown” Như hai khái niệm tương đương 2.2 Các tính chất b n Vì trình Wiener chuyển động Brownian giống chuyển động Brownian có tính chất : nên có tính chất = Hàm → liên tục tăng độc lập Với − ℎ tuân theo luật phân phối chuẩn với kì vọng phương sai t-h W(t) ~ � , − ℎ Quá trình Wiener xây dựng độ co giới hạn (scaling limit) c a bước ngẫu nhiên Hoặc trình r i rạc khác có tính chất tăng độc lập a) Tính chất c a trình Wiener chiều - Hàm mật độ xác suất không điều kiện thời điểm t cố định � �( = − / √ -Kì vọng = -Phương sai t )−� = -Hiệp phương sai (covariance): , = , QUÁ TRÌNH NG U NHIÊN NG D NG Đề tài Ch ng minh Giả sử < ta có ] ] ] = �[ , = �[ − �[ − �[ ] Vì = − + nên ta có: ] = �[ ] + �[ �[ ( − + )] = �[ − Theo tính chất c a ta có = − − độc lập nên: ] = �[ ] �[ ] = �[ ]= �[ − − Từ suy ra: , = �[ ]= Tương tự ta có: -Hệ số tương quan (correlation): corr( , = � , = i √ , =√ b) Một số tính chất khác -Tính co dãn c a chuyển động Brownian Với c>0 ta có √� i ] , ax , trình Wiener � -Tính chất phục hồi theo th i gian Quá trình ′ = − − ≤ ≤ có phân phối giống -Tính chất đảo ngược theo th i gian Quá trình ′ = / trình Wiener c) Các tính chất suy từ tính chất (giống tính chất c a chuyển động Brownian) *Tính chất định tính (Qualitative properties) -Với � > , vừa có giá trị âm vừa có giá trị dương khoảng ,� -Hàm luôn liên tục không khả vi trường hợp -Điểm cực đại w một tập điểm dày đặc đếm được, giá trị cực đại khác đôi một, khoảng cực đại tuân theo đặc điểm sau: w có khoảng cực đại t | − | − | | → ∞ → Tính chất tương tự với cực tiểu giá trị -Không tồn điểm tăng -Hàm W hàm biên với tất khoảng -Luôn tồn điểm W(t) *Tính chất định lượng (Quantitative properties) -Luật logarit lặp (Law of the iterated logarithm): | | = →∞ √ -Mô đun liên tục cục (Local modulus of continuity): | � | = → + √ � � QUÁ TRÌNH NG U NHIÊN NG D NG Đề tài -Mô đun liên tục toàn cục (Global modulus of continuity) : | � | = → + ≤ ≤ ≤ , − ≤ √ � � Bước ng u nhiên chuyển động Brown 3.1 Khái ni m Bước nhảy ngẫu nhiên hình th c toán học c a đư ng bao gồm chuỗi bước ngẫu nhiên Ví dụ đư ng vẽ phân tử di chuyển chất lỏng khí, đư ng tìm kiếm th c ăn c a vật, giá cổ phiếu biến động tình hình tài c a nhà đầu tư ch ng khoán mô hình hóa bước nhảy ngẫu nhiên, chúng không ngẫu nhiên thực tế Tên gọi bước nhảy ngẫu nhiên lần đưa b i Karl Pearson vào năm 1905 Bước nhảy ngẫu nhiên sử dụng nhiều lĩnh vực như: Sinh thái, kinh tế, tâm lý học, khoa học máy tính, vật lý, hóa học sinh học Bước nhảy ngẫu nhiên giải thích hành vi quan sát c a nhiều trình lĩnh vực này, phục vụ mô hình cho hoạt động ngẫu nhiên ghi lại Các hình th c khác c a bước nhảy ngẫu nhiên quan tâm Thông thư ng, bước nhảy ngẫu nhiên giả định chuỗi Markov trình εarkov, bước nhảy ngẫu nhiên khác có độ ph c tạp cao quan tâm Một số bước nhảy ngẫu nhiên đồ thị, đư ng dây, máy bay, không gian nhiều chiều, chí bề mặt cong, số bước nhảy ngẫu nhiên nằm nhóm Bước nhảy ngẫu nhiên khác liên quan đến thông số th i gian Thông thư ng, bước nhảy ngẫu nhiên th i điểm r i rạc, thống kê b i số tự nhiên, ví dụ X0, X1, X2, X3, Tuy nhiên, số bước nhảy ngẫu nhiên thực th i điểm ngẫu nhiên, trư ng hợp X(t) vị trí xác định cho liên tục c a th i gian t ≥ Các trư ng hợp cụ thể giới hạn c a bước nhảy ngẫu nhiên bao gồm “δevy flight” Bước nhảy ngẫu nhiên liên quan đến mô hình phổ biến ch đề thảo luận trình Markov Một số tính chất c a bước nhảy ngẫu nhiên bao gồm phân phối phân tán 3.2 Bước nh y ng u nhiên không gian nhiều chiều Hãy tư ng tượng có ngư i say ngẫu nhiên thành phố lý tư ng Thành phố có hiệu vô hạn xếp ô vuông, ngã tư, ngư i chọn bốn tuyến đư ng (bao gồm đư ng mà ngư i QUÁ TRÌNH NG U NHIÊN NG D NG Đề tài trước đó) với xác suất Rõ ràng, bước nhảy ngẫu nhiên thiết lập c a tất điểm mặt phẳng tọa độ với số nguyên Liệu ngư i say rượu có bao gi tr nhà c a từ quán bar không? Điều tương đương với chiều c a vấn đề thảo luận Nó gần chắn ngư i thực bước nhảy ngẫu nhiên chiều, chiều nhiều hơn, khả tr lại điểm bắt đầu giảm kích thước tăng lên Trong chiều, xác suất giảm xuống 34% Quỹ đạo c a bước nhảy ngẫu nhiên tập hợp vị trí qua Trong chiều, quỹ đạo đơn giản tất điểm chiều cao tối thiểu tối đa bước nhảy ngẫu nhiên đạt 3.3 Bước nh y ng u nhiên với trình Wiener Một trình Wiener trình ngẫu nhiên với hành vi tương tự chuyển động Brown, tượng vật lý c a hạt khuếch tán chất lỏng Một trình Wiener giới hạn rộng c a bước nhảy ngẫu nhiên không gian chiều Điều có nghĩa bạn tạo bước nhảy ngẫu nhiên với bước nhỏ, bạn nhận xấp xỉ với trình Wiener Để xác hơn, kích thước bước ł, cần bước nhảy có chiều dài δ / ł2 xấp xỉ chiều dài Wiener c a L Khi kích thước bước tiến tới (và số lượng bước tăng tương ng), bước nhảy ngẫu nhiên hội tụ thành trình Wiener điều kiện thích hợp Chính th c, B không gian c a tất đư ng có chiều dài L với cấu trúc liên kết tối đa, ε không gian đo lư ng B với cấu trúc liên kết tiêu chuẩn, sau hội tụ không gian ε Tương tự vậy, trình Wiener số không gian giới hạn rộng c a bước nhảy ngẫu nhiên không gian Một bước nhảy ngẫu nhiên phân đoạn riêng biệt (một hàm với kích thước nguyên, 1, 2, ), trình Wiener quỹ đạo fractal thật, có liên kết bước nhảy ngẫu nhiên trình Wiener Ví dụ,lấy bước nhảy ngẫu nhiên chạm vòng tròn bán kính r lần chiều dài bước Số lượng trung bình bước thực r2 Trong không gian hai chiều, số lượng trung bình c a điểm bước ngẫu nhiên giống có ranh giới c a quỹ đạo c a r 4/3 Điều tương ng với thực tế ranh giới c a quỹ đạo c a trình Wiener fractal c a không gian 4/3 chiều, thực tế dự đoán b i Mandelbrot sử dụng mô ch ng minh vào năm 2000 b i Lawler, Schramm Werner Một trình Wiener có nhiều tính chất đối x ng mà bước nhảy ngẫu nhiên Ví dụ, trình Wiener bất biến để quay, bước nhảy ngẫu nhiên không (bước nhảy ngẫu nhiên bất biến phép quay 90 độ, trình Wiener bất biến để quay, ví dụ, 17 độ) Điều có nghĩa nhiều trư ng hợp, vấn đề bước nhảy ngẫu nhiên dễ dàng để giải QUÁ TRÌNH NG U NHIÊN NG D NG 10 Đề tài Trong khoa học đ i sống hàng ngày thư ng gặp tượng “biến cố ” ngẫu nhiên Thị trư ng ch ng khóan (TTCK) minh họa rõ cho ngự trị c a ngẫu nhiên Tính không chắn, r i ro, tính biến động lên xuống cách ngẫu nhiên thuộc tính cố hữu c a thị trư ng ch ng khóan Các nhà kinh tế với nhà toán học cố gắng sử dụng công cụ c a toán học, đặc biệt công cụ c a lý thuyết xác suất để thống kê để mô hình hóa thị trư ng ch ng khóan Việc áp dụng mô hình giúp nhà đầu tư tối đa hóa hội đạt lợi nhuận tối thiểu hóa nguy r i ro 4.1 Mở đầu Ngày nay, lý thuyết xác suất & thống kẻ sử dụng để nghiên c u tìm quy luật chi phối đưa phương pháp tính toán xác suất c a tượng ngẫu nhiên Quá trình ngẫu nhiên mô hình toán học c a tượng ngẫu nhiên theo phát triển c a th i gian như: vị trí c a hạt hệ Vật lý, giá c a cổ phiếu thị trư ng tài chính, lãi suất, .Nhiều ng dụng c a ninh ngẫu nhiên xuất vật lý, kỹ thuật, sinh thái học, y khoa lĩnh vực khác c a “giải tích toán học.Việc ng dụng trình ngẫu nhiên vào lĩnh vực tài thành công lớn c a toán học nói chung lý thuyết xác suất & thống kê nói riêng Phái sinh tài đối tượng nghiên c u c a toán học tài Các quyền chọn, hợp đồng kỳ hạn thí dụ điển hình phái sinh tài Sau giới thiệu ng dụng mô hình định giá quyền chọn dựa vào trình ngẫu nhiên 4.2 Nội dung Vào năm 1827, nhà thực vật học Robert Brown quan sát thấy tượng kỳ lạ c a hạt phấn hoa lơ lửng cốc nước Chúng liên tục lắc lư, chuyển động cách ngẫu nhiên dư ng không bao gi dùng lại cốc nước giữ yên gần tuyệt đối εãi đến năm 1905, tượng Einstein giải thích đến nơi đến chốn tính toán xác suất thống kê Sử dụng thuyết động học phân tử Thuyết giải thích rằng, nhảy nhót c a hạt phấn hoa gây b i chuyển động hỗn độn không ngừng c a phân từ nước chuyển động gọi chuyển động Brown Và Einstein thành lập định luật toán học chi phối chuyển động c a chúng QUÁ TRÌNH NG U NHIÊN NG D NG 13 Đề tài Vào giai đoạn mà Einstein giải thích chuyển động Brown, nhà toán học Pháp δouis Bachelier lần đề xuất rằng, thị trư ng tài tuân theo “chuyển động ngẫu nhiên” mô hình hóa phép tính xác suất thông thư ng Nói chung, “chuyển động ngẫu nhiên” c a Bachelier kiểu chuyển động Brown Đối với chuyển động này, xu hướng thay đổi giá trị c a biến không liên hệ với thay đổi c a kh đây, phương pháp thống kê áp dụng với độ xác cao đem lại giải thích coi hoàn hảo Chính vậy, gặp phải hình đa chiều kiểu vận động c a thị trư ng ch ng khóan nhà phân tích có xu hướng chuyển thành toán tương tự chuyển động Brown δý thuyết chuyển động Brown c a Einstein mô hình “chuyển động ngẫu nhiên” c a Bachelier thực tế tương đương Chúng áp dụng rộng rãi cho việc tính toán vận động c a thị trư ng Hình Chỉ số UK FTA, 1962-1992 Hình Chuyển động Brown Vào năm 1900, δouis Bachelier giới thiệu mô hình giá c a cổ phiếu chuyển động Brown: St = S0 + µ.Bt QUÁ TRÌNH NG U NHIÊN NG D NG 14 Đề tài Bt chuyển động Brown chuẩn (là chuyển động Brown có kỳ vọng phương sai t), gọi trình Winner, St giá cổ phiếu th i điểm t Vì giá cổ phiếu chịu tác động ngẫu nhiên c a thị trư ng nên ta coi S t trình ngẫu nhiên với th i gian liên tục St = S(t,Ω), So giá cổ phiếu quan sát th i điểm t = (µ số) εặt hạn chê c a mô hình cho phép giá tr nên âm Osborne (1959) làm mịn mô hình c a Bachelier cách đề nghị số mũ exp (Bt ) c a chuyển động Brown mô hình giá c a cổ phiếu Năm 1965, trình exp (Bt ) Samuelson trình bày cách có hệ thống để mô tả giá c a cổ phiếu đây, logarit giá cổ phiếu làm mô trình Winner εô hình gọi chuyển động Brown hình học Sau đó, mô hình tán c a mô hình Black-Scholes: = exp [ � − � + � ] với µ số Vào năm 1973, báo từ Fisher Black εyron Scholes làm thay đổi giới c a thị trư ng tài xem điểm bắt đầu c a tăng trư ng mũ c a thị trư ng phái sinh Ý tư ng c a mô hình định giá tài sản không r i ro thị trư ng với th i gian liên tục, Sử dụng công cụ giải tích ngẫu nhiên Ngư i ta nhận thấy rõ đơn giản mà hiệu c a mô hình để định giá ch ng khóan định giá hợp đồng Quyền Chọn có kể đến yếu tố ngẫu nhiên tác động lên thị trư ng εô hình nhiều thị trư ng ch ng khóan giới Sử dụng Cho tới nay, mô hình tiếng phổ biến thể giới tài mô hình định giá quyền chọn Black-Scholes Nhà kinh tế học Steve Ross (không phải bạn Stephen Ross, ngư i kh i xướng Arbitrage pricing theory) từ điền kinh tế Palgrave viết “ lý thuyết định giá quyền chọn lý thuyết thành công không ngành tài chính, mà tất ngành kinh tế” Trong công trình này, tác giả đưa công th c tiếng: mang tên BlackScholes, để tính số tiền mà ngư i mua cần phải trả cho ngư i để có quyền mua loại cổ phiếu với giá trị định trước điều kiện bất định s tính toán ngẫu nhiên (stochastic calculus), giá c a loại cổ phiếu tuân theo mô hình khuếch tán Các tác giả phương pháp hoạt động c a ngư i bản, theo chiến lược đảm báo tài (hedging strategy) để đảm bảo chi trả cho ngư i mua hợp đồng thực Mô hình Black-Scholes cho phép xác định giá trị tương đối c a option (quyền chọn) εô hình Black-Scholes cho biết, theo cách diệu kỳ, làm để sản xuất quyền chọn đưa cổ phiếu gốc cung cấp chi phí ước tính để làm việc Theo Black Scholes, việc xây dựng option giống việc làm hoa dầm, cổ phiếu đóng vai trò giống hoa Giả sử bạn muốn bán hoa dầm đóng hộp gồm táo cam, bạn đặt giá bán bao nhiều cho hộp lít? Theo lẽ thư ng, bạn cần phải tham khảo giá thị QUÁ TRÌNH NG U NHIÊN NG D NG 15 Đề tài trư ng c a hoa tươi chưa chế biển, chi phí c a việc đóng hộp chi phí phân phối Sau bạn tính tổng chi phí c a việc sản xuất hỗn hợp từ thành phần đơn giản Năm 1973, Black Scholes chi cho thấy sản xuất option c a IBε việc trộn số cổ phiếu c a IBε với tiền mặt, mặt nguyên lý tương tự việc bạn làm hoa đầm táo cam Dĩ nhiên, việc sản xuất option ph c tạp nhiều so với việc làm hoa đầm, khám phá từ trước đẩy Trong tỷ lệ c a hoa ổn định suốt th i gian sản xuất (ví dụ 50% táo, 50% cam), tỷ lệ c a quyền chọn lại thay đổi không ngừng Quyền chọn yêu cầu việc điều liên tiếp lượng cổ phiếu tiền mặt thành phẩm tương ng với m c hay đổi giá c a cổ phiếu Nói theo thuật ngữ hoa dầm Tô Tịch, bạn bắt đầu với 50% táo 50% cam, sau đó, giá táo tăng lên, cốc hoa đầm c a bạn 40% táo 60% cam; ngược lại giá táo giám đưa tới cốc hoa dầm gồm 70% táo 30% cam Nói tóm gọn, bạn cố gắng giữ m c giá c a cốc hoa đầm cố định, 7000 VND chẳng hạn, giá hoa thay đổi theo th i điểm khác Công th c pha chế xác bạn cần áp dụng theo mô hình Black-Scholes tạo Giải pháp c a công th c Black-Scholes cho bạn biết chi phí c a việc thực công th c pha chế Trước Black Scholes, không đoán bạn tạo lập lên option từ nguyên liệu đơn giản, cách để xác định giá hợp lý c a option Khám phá đem đến cách mạng tài đại Với sáng suốt c a mình, Black & Scholes đưa thị trư ng option lộn xộn trước vào khuôn khổ chuẩn mực εột ví dụ quyền chọn kiểu εỹ sau : Quyền chọn mua 100 cổ phiếu IBε với giá thực 50 USD, ngày đáo hạn 1/5/200X Ngư i mua quyền chọn có quyền mua 100 cổ phiếu IBε với giá 50 USD vào bất c th i điểm hết ngày 1/5/200X Gọi T th i điểm đáo hạn, ST giá trị thị trư ng c a tài sản s vào lúc đáo hạn, X giá thực VT giá trị nhận c a quyền chọn vào lúc đáo hạn + Trong quyền chọn mua cổ phiếu IBε trên, giá thực X = 50 USD Nếu vào ngày đáo hạn 1/5/01, giá cổ phiếu IBε ST = 60 USD, ngư i mua quyền chọn lợi Anh ta thực quyền mua cổ phiếu IBε với giá 50 USD Nếu quyền, phải mua thị trư ng với giá 60 USD Khoản lợi mà thu ST- X = 10 USD cổ phiếu IBε Ngược lại, giả sử vào ngày đáo hạn 1/5/01, giá cổ phiếu IBε ST= 40 USD Nếu thực quyền, ngư i nắm giữ quyền mua cổ phiếu IBε với giá 50 USD, mua thị trư ng chi phí phải trả 40 USD Như vậy, ngư i giữ quyền không thực quyền giá trị nhận Ngược lại, ngư i quyền bị thiệt 10 USD/cổ phiếu, phải bán cho ngư i mua với giá x =50 USD bán thị trư ng với giá 60 USD Còn vào ngày đáo hạn 1/5/01, giá cổ phiếu IBε ST = 40 USD, ngư i mua không thực quyền Ngư i quyền nhận giá trị QUÁ TRÌNH NG U NHIÊN NG D NG 16 Đề tài + Trong quyền chọn bán cổ phiếu IBε có giá thực X = 50 USD Nếu vào ngày đáo hạn 1/5/01, giá cổ phiếu IBε ST = 60 USD, ngư i mua quyền chọn không lợi gì, thực quyền, cổ phiếu IBε với giá 50 USD, thị trư ng để bán với giá 60 USD Như vậy, quyền không thực giá trị nhận Ngược lại, giả sử vào ngày đáo hạn 1/5/01, giá cổ phiếu IBε ST= 40 USD Nếu thực quyền, ngư i mua quyền chọn cổ phiếu IBε với giá 50 USD, bán thị trư ng bán với giá 40 USD Như vậy, ngư i có quyền chọn thực quyền khoản lợi nhận 10 USD Ngày nay, có nhiều chương trình nghiên c u thị trư ng cổ phiếu thực phát triển xoay quanh mô hình chuyển động Brown Chẳng hạn, theo phân tích thống kê thị trư ng cổ phiếu New York thực b i R N Mantegna, biến động hàng ngày c a số giá phân bố theo phân bố bền Levy mật độ phố c a số giá gần với mật độ phố chuyển động Brown Một nghiên c u khác công trình c a William Smith, ngư i sử dụng phương pháp chuyển động Brown để phân tích hiệu ng ổn định giá đầu tu nhu cầu bất định Ông khảo sát đặc điểm c a đầu tư giá ngẫu nhiên, phụ thuộc vào giá trần ngoại sinh Với phương trình toán học c a chuyển động Brown, ông tính rằng, điều khiến giá làm giảm nhẹ phản ng c a việc đầu tư thay đổi giá, chí điều khiển không bắt buộc Những kết luận rút áp dụng cho bất c trạng thái kinh tế liên quan đến chi phí cho việc điều chỉnh cổ phiếu giá bất định phụ thuộc vào điều khiển c a ph 4.3 K t lu n Những áp dụng c a lý thuyết ngẫu nhiên thực sâu rộng Trong lĩnh vực kinh tế, biến cố ngẫu nhiên có tác dụng thúc đẩy đổi Đã có nhiều công trình nghiên c u định giá quyền chọn, định giá quyền chọn lĩnh vực Việt Nam Nếu mà biết xác điều đến chẳng cần phải học hành hay nghiên c u đảm bảo thắng lớn vụ buôn cổ phiếu nh vào hiểu biết chuyển động Brown, b i đơn giản đem lại cho cách tiếp cận để hiểu vận động c a thị trư ng cổ phiếu Tuy nhiên, dù lý thuyết chuyển động Brown giúp có khả tốt việc phát triển chiến thuật đầu tư đánh giá r i ro Minh họa chuyển động Brown Matlab (tham khảo http://www.mathworks.com/) QUÁ TRÌNH NG U NHIÊN NG D NG 17 Đề tài 5.1 Sử d ng thư vi n c a Matlab Hàm hỗ trợ chuyển động Brownian Matlab bm Cú pháp BM = bm(Mu, Sigma) BM = bm(Mu, Sigma, 'Name1', Value1, 'Name2', Value2, ) Hàm có ch c kh i tạo chuyển động Brownian (hoặc trình Wiener) Nó cho phép giả lập trình ngẫu nhiên theo mẫu sau: =� + Với trình ngẫu nhiên tuyến tính trôi Với Mu : đại lượng � , Sigma đại lượng V Với chuyển động Brownian ta kh i tạo μ = Ví dụ: Kh i tạo chuyển động Brownian đơn biến = Code Matlab BM = bm(0, 0.5) Ta có kết : 5.2 Đồ thị c a chuy n động Brown QUÁ TRÌNH NG U NHIÊN NG D NG 18 Đề tài 5.2.1 Chuyển động Brown chiều Chuyển động Brownian chiều mô tả vị trí c a hạt chuyển động ngẫu nhiên, th i gian giới hạn chiều Ta sử dụng hàm randn, hàm trả ma trận ngâu nhiên với phân phối chuẩn độ lệch chuẩn 1, tham số N kích thước c a ma trận 1xN Code Matlab : N = 500; displacement = randn(1,N); plot(displacement); Trong hình độ d i c a hạt so với vị trí trước đó: Sử dựng lệnh hist(displacement, 50); ta có biểu đồ histogram cho hàm phân phối c a chuyển động QUÁ TRÌNH NG U NHIÊN NG D NG 19 Đề tài 5.2.2 Chuyển động Brown hai chiều Tương tự chuyển động chiều tổng chập c a vector ngẫu nhiên: sử dụng hàm cumsum trả N = 1000; particle = struct(); particle.x = cumsum( randn(N, 1) ); particle.y = cumsum( randn(N, 1) ); plot(particle.x, particle.y); Kết : QUÁ TRÌNH NG U NHIÊN NG D NG 20 Đề tài 5.2.3 Đồ thị chuyển động Brown Đồ thị đơn chuyển động Code Matlab: randn('state',200) % đặt lại trạng thái hàm randn T = 1; N = 500; dt = T/N; dW = sqrt(dt)*randn(1,N); W = cumsum(dW); plot([0:dt:T],[0,W],'r-') xlabel('t','FontSize',16) ylabel('W(t)','FontSize',16,'Rotation',0) Kết quả: QUÁ TRÌNH NG U NHIÊN NG D NG 21 Đề tài Vẽ đồ thị thể chuyển động Brown: Code Matlab : m = 5; n = 300; t = linspace(0,1,n+1); h = diff(t(1:2)); dw = sqrt(h)*randn(n,m); w = cumsum([zeros(1,m);dw]); plot(t,w) Kết QUÁ TRÌNH NG U NHIÊN NG D NG 22 Đề tài 6 Gi i t p chương III 6.1 Bài t tập Cho luật phân phối c a biến X, Y bảng sau: X\Y 0.2 0.15 0.15 0.1 0.1 0.25 0.05 a Tìm luật phân phối xác suất c a hàm Z c a biến ngẫu nhiên sau: Z = X + Y W = X.Y b Tính đặc trưng thông kê c a Z W Gi i b Với Z = X + Y, Z thuộc tập {3, 4, 5, 6, 7, 8} P(Z=3) = P(X=1,Y=2) = P(Z=4) = P(X=1,P(X=2,Y=2) = 0,35 P(Z=5) = P(X=2,Y=3) + P(X=3,Y=2) = 0,25 P(Z=6) = P(X=1,Y=5) + P(X=3,Y=3) = 0,1 P(Z=7) = P(X=2,Y=5) = 0,25 P(Z=8) = P(X=3,Y=5) = 0,05 Bảng phân phối xác suất c a Z: QUÁ TRÌNH NG U NHIÊN NG D NG 23 Đề tài Z = zi p(zi) 0,35 0,25 0,1 0,25 0,05 Với W = X.Y, làm tương tự, ta có bảng phân phối xác suất c a W: W = wi 10 p(zi) 0,15 0,2 0,1 0,25 0,25 15 0,05 c Với Z = X + Y: Kỳ vọng: E(Z) = ∑� � � = 5,4 Phương sai: V(Z) = E(Z ) – E2(Z) = 1,74 Moment bậc k: E(Zk) = 3k.0 + 4k.0,35 + … + 8k.0,051 Với W = X.Y: Kỳ vọng E(W) = ∑� � � = 6,5 Phương sai: V(Z) = 10,05 Moment bậc k: E(Wk) = 2k.0 + 3k.0,15 + + 15k.0,05 6.2 Bài t tập Tính hệ số tương quan c a X, Y biết hàm mật độ đồng th i: f(x,y) = + Gi i: + Áp dụng công th c tính hệ số tương quan: �[ ] − � � = = � � √ Ta có: +∞ � = ∬ , −∞ � = �[ = +∞ ∬ −∞ (tương tự) +∞ ]= ∬ −∞ , Hàm mật độ biên: QUÁ TRÌNH NG U NHIÊN NG D NG + = + +∞ = ∫ +∞ ∬ −∞ +∞ ∫ ∫ −∞ + + −∞ = + −∞ = +∞ + + = 24 Đề tài +∞ Đặt = √ +∞ = ∫ Vậy: + −∞ = ∫ −∞ ⇒ − � , = = = = √ − − +∞ + + = ∫ −∞ ∫− ⁄ ⁄ = + + = √ + + − 6.3 Bài t tập Cho X Y biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn đồng th i, biết tham số c a phân phổi chuẩn X Y sau: � = ;� = ;� = ;� = ; = , Hãy tìm tham số phân phối chuẩn biến ngẫu nhiên theo quan hệ sau: Z = X + Y; W = X – Y Gi i: Với Z = X + Y, ta có: � =� =� + =� +� =� +� = � = = �[ − � ] = � + − = �[ − +� − + − = �[ − � ] + �[ − � ] + �[ − � =� +� + � � = + + , =7 ] −� ] Vậy Z ~ N(� ; � ) ~ N(10;7) Với W = X – Y, tương tự ta có W ~ N(� ; � ) ~ N(10;3) 6.4 Bài bảng Cho biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn đồng th i, không tương quan Chúng có độc lập không? Gi i: Gọi biến cho X, Y với Xét hàm mật độ biên: QUÁ TRÌNH NG U NHIÊN NG D NG , ~ � � ,� ,� ,� , 25 Đề tài = − � √ −� � Hai biến X, Y độc lập , = � � √ − [ − , −� � = = � √ −� � − + − −� � : −� −� � � ] Theo giả thiết, X, Y không tương quan: Cxy = ⇒ ρ = ⇒ f(x,y) = fX(x).fY(y) Vậy X, Y độc lập 6.5 Bài bảng Xét biến vector ngẫu nhiên n chiều: a Tìm mối quan hệ ma trận hiệp phương sai ma trận tương quan b Nếu ma trận hiệp phương sai c a biến vector ngẫu nhiên n chiều ma trận chéo biến vector bao gồm thành phần nào? Gi i: a Áp dụng công th c ma trận hiệp phương sai: ∑= = � [ � � = [�{ Vậy ∑ = � ⋱ � }− � � �{ �{ = �{ � }−� �{ [�{ � } } �{ − � � � �{ }− � � �{ }− � � �{ } �{ �{ ] }− � � } } } ⋱ }−� �{ �{ �{ } } } ] ⋱ − }− � � }− � � �{ �{ � � � [� � �{ }−� � � � � � ⋱ ] � � � � � ] − � �� b Theo giả thiết, ma trận hiệp phương sai c a biến vector ngẫu nhiên n chiều ma trận chéo ⇒ = ≠ ⇒ xi xj (i ≠ j) không tương quan Vậy biến vector ngẫu nhiên gồm thành phần không tương quan QUÁ TRÌNH NG U NHIÊN NG D NG 26 Đề tài KẾT LUẬN Trên nhóm chúng em trình bày xong đề tài 6: “tìm hiểu chuyển động Brown (bước ngẫu nhiên, trình Wiener) áp dụng làm tập thử nghiệm dùng phần mềm Matlab” Bao gồm lý thuyết vấn đề: chuyển động Brown, trình Wiener, bước ngẫu nhiên, ng dụng c a chuyển động Brown, minh họa ví dụ Matlab giải số tập liên quan Mặc dù cố gắng, th i gian kiến th c hạn chế nên đề tài c a nhóm chúng em không tránh khỏi sai sót Chúng em mong nhận ý kiến từ cô giáo bạn Chúng em xin chân thành cảm ơn! TÀI LIỆU THAM KHẢO Chúng em xin chân thành cảm ơn PGS TS Nguyễn Thị Hoàng δan tận tình truyền đạt kiến th c cho chúng em hoàn thành đề tài Sau nguồn tài liệu tham khảo khác: Brownian Motion - Draft version of May 25, 2008 - Peter M¨orters and Yuval Peres Quá Trình Ngẫu Nhiên ng Dụng – PGS.TS Nguyễn Thị Hoàng Lan – Bộ môn: Truyền thông Mạng máy tính – Viện CNTT&TT – ĐHBKHN Probability Random Variable & Stochastic Processes – Papoulis – Chap & 11 Trần Hùng Thao (2003), Nhập môn toán học tài chính, NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội Dương Tôn Đàm (2006), Quá trình ngẫu nhiên, phần m đầu, NXB ĐHQG TP.Hồ Chí Minh Alan Bain (1998), StochaStic Calculus, the University Press, Cambridge Masaaki Kijima(2003), Stochastic Processes with Appliactions to Finance, Chapman&Hall, Florida Andreas E.Kyprianou (2006), Introductory Lectures on Fluctuations of Lévy Processes with Applications, Springer-Verlag, Germany http://www.mathworks.com/ -H T- QUÁ TRÌNH NG U NHIÊN NG D NG 27 [...]... thành phần không tương quan QUÁ TRÌNH NG U NHIÊN NG D NG 26 Đề tài 6 KẾT LUẬN Trên đây nhóm chúng em đã trình bày xong về đề tài 6: tìm hiểu về chuyển ộng Brown (bước ngẫu nhiên, quá trình Wiener) và áp dụng làm các bài tập và thử nghiệm dùng phần mềm Matlab” Bao gồm lý thuyết về các vấn đề: chuyển ộng Brown, quá trình Wiener, bước ngẫu nhiên, ng dụng c a chuyển ộng Brown, minh họa ví dụ trên Matlab... i tạo chuyển ộng Brownian (hoặc quá trình Wiener) Nó cho phép chúng ta giả lập một quá trình ngẫu nhiên theo mẫu sau: =� + Với là một quá trình ngẫu nhiên tuyến tính trôi Với Mu : là đại lượng � , Sigma là đại lượng V Với chuyển ộng Brownian ta kh i tạo μ = 0 Ví dụ: Kh i tạo một chuyển ộng Brownian đơn biến = Code Matlab BM = bm(0, 0.5) Ta có kết quả : 5.2 Đồ thị c a chuy n ộng Brown QUÁ TRÌNH... FTA, 1962-1992 Hình 2 Chuyển ộng Brown Vào năm 1900, δouis Bachelier đã giới thiệu mô hình giá c a các cổ phiếu như chuyển ộng Brown: St = S0 + µ.Bt QUÁ TRÌNH NG U NHIÊN NG D NG 14 Đề tài 6 đây Bt là một chuyển ộng Brown chuẩn (là chuyển ộng Brown có kỳ vọng bằng 0 và phương sai bằng t), còn gọi là quá trình Winner, St là giá cổ phiếu tại th i điểm t Vì giá cổ phiếu chịu tác ộng ngẫu nhiên c a thị... cận để hiểu về sự vận ộng c a các thị trư ng cổ phiếu Tuy nhiên, dù sao thì lý thuyết về chuyển ộng Brown cũng giúp chúng ta có khả năng tốt hơn trong việc phát triển các chiến thuật đầu tư cũng như đánh giá r i ro 5 Minh họa chuyển ộng Brown trên Matlab (tham khảo tại http://www.mathworks.com/) QUÁ TRÌNH NG U NHIÊN NG D NG 17 Đề tài 6 5.1 Sử d ng thư vi n c a Matlab Hàm hỗ trợ chuyển ộng Brownian... b i chuyển ộng hỗn độn không ngừng c a các phân từ nước và chuyển ộng này gọi là chuyển ộng Brown Và Einstein đã thành lập được những định luật toán học chi phối chuyển ộng c a chúng QUÁ TRÌNH NG U NHIÊN NG D NG 13 Đề tài 6 Vào giai đoạn mà Einstein giải thích chuyển ộng Brown, nhà toán học Pháp δouis Bachelier cũng đã lần đầu tiên đề xuất rằng, các thị trư ng tài chính cũng tuân theo một chuyển. .. chuyển ộng QUÁ TRÌNH NG U NHIÊN NG D NG 19 Đề tài 6 5.2.2 Chuyển ộng Brown hai chiều Tương tự như chuyển ộng một chiều tổng chập c a các vector ngẫu nhiên: đây sử dụng hàm cumsum trả về một N = 1000; particle = struct(); particle.x = cumsum( randn(N, 1) ); particle.y = cumsum( randn(N, 1) ); plot(particle.x, particle.y); Kết quả : QUÁ TRÌNH NG U NHIÊN NG D NG 20 Đề tài 6 5.2.3 Đồ thị chuyển ộng. .. vì vậy, khi gặp phải một quá hình đa chiều kiểu như sự vận ộng c a một thị trư ng ch ng khóan thì các nhà phân tích vẫn có xu hướng chuyển nó thành một bài toán tương tự như chuyển ộng Brown δý thuyết chuyển ộng Brown c a Einstein và mô hình chuyển ộng ngẫu nhiên” c a Bachelier trên thực tế là tương đương nhau Chúng đã được áp dụng rộng rãi cho việc tính toán sự vận ộng c a các thị trư ng Hình... Matlab BM = bm(0, 0.5) Ta có kết quả : 5.2 Đồ thị c a chuy n ộng Brown QUÁ TRÌNH NG U NHIÊN NG D NG 18 Đề tài 6 5.2.1 Chuyển ộng Brown một chiều Chuyển ộng Brownian 1 chiều mô tả một vị trí c a hạt chuyển ộng ngẫu nhiên, th i gian cũng giới hạn 1 chiều Ta sử dụng hàm randn, hàm này trả về một ma trận ngâu nhiên với phân phối chuẩn và độ lệch chuẩn 1, tham số N là kích thước c a ma trận 1xN Code Matlab... rằng, các thị trư ng tài chính cũng tuân theo một chuyển ộng ngẫu nhiên” có thể được mô hình hóa bằng các phép tính xác suất thông thư ng Nói chung, cái chuyển ộng ngẫu nhiên” c a Bachelier cũng chính là một kiểu chuyển ộng Brown Đối với sự chuyển ộng này, xu hướng thay đổi giá trị c a một biến không liên hệ gì với những thay đổi c a nó trong quá kh đây, các phương pháp thống kê có thể được áp dụng... rất nhiều chương trình nghiên c u về thị trư ng cổ phiếu đã được thực hiện và phát triển xoay quanh mô hình chuyển ộng Brown Chẳng hạn, theo một phân tích thống kê đối với thị trư ng cổ phiếu New York được thực hiện b i R N Mantegna, những biến ộng hàng ngày c a chỉ số giá được phân bố theo một phân bố bền Levy và mật độ phố c a chỉ số giá là gần với mật độ phố trong chuyển ộng Brown Một nghiên ... nghĩa tính chất c a chuyển ộng Brown 1.1 Định nghĩa c a chuyển ộng Brown 1.2 Tính bất bi n c a chuyển ộng Brown 1.3 Tính liên t c c a chuyển ộng Brown 1.4... 26 QUÁ TRÌNH NG U NHIÊN NG D NG Đề tài PHÂN CÔNG CÔNG VIỆC Định nghĩa tính chất chuyển ộng Brown: Vũ Quang Đ i Quá trình Wiener: Nguy n Vi t Anh Bước ng u nhiên chuyển ộng Brown: Nguy n... trách * Tổng h p báo cáo: Nguy n Anh Quân QUÁ TRÌNH NG U NHIÊN NG D NG Đề tài Định nghĩa tính chất c a chuyển ộng Brown 1.1 Định nghĩa c a chuyển ộng Brown Chuyển ộng Brown liên kết chặt chẽ