16 t t t t t t TTNN   lim;lim;lim  (**) Từ (*) và (**)  T N   Công thức được chứng minh 2.4. Các mô hình hàng đợi 2.4.1. Ký hiệu Kendall Bất kỳ hệ thống xếp hàng nào cũng được mô tả bởi : Tiến trình đến Nếu các khách hàng đến vào các thời điểm t1, t2 … tj thì các biến số ngẫu nhiên Pj=tj-tj-1 được gọi là các thời điểm giữa các lần đến. Các thời điểm này thường được giả thiết là các biến số ngẫu nhiên độc lập và được phân bố đồng nhất IID (Independent and Identycally distributed). Các tiến trình đến thông dụng nhất là : M: Tiến trình mũ (là tiến trình Markov hay tiến trình không nhớ) Er: Tiến trình Erlang bậc r Hr: Tiến trình siêu số mũ bậc r D: Tiến trình tất định (deterministic) G: Tiến trình chung Tiến trình phục vụ Thời gian mà mỗi công việc tiêu tốn cần thiết tại server gọi là thời gian phục vụ. Các thời gian phục vụ thường giả thiết là các biến số ngẫu nhiên IID. Các tiến trình phục vụ thông dụng nhất cũng giống như thời gian đến. Số lượng các bộ server: Số lượng các server phục vụ cho hàng đợi Dung lượng hệ thống Kích thước bộ nhớ đệm cực đại Qui mô mật độ Số lượng các công việc đến tại hàng đợi. Qui mô mật độ luôn là hữu hạn trong các hệ thống thực. Tuy nhiên phân tích hệ thống với qui mô mật độ lớn sẽ dễ dàng hơn nếu giả thiết rằng qui mô mật độ là vô hạn. Qui tắc phục vụ Thứ tự mà theo đó các công việc trong hàng xếp được phục vụ. Các qui tắc phổ biến nhất là đến trước phục vụ trước FCFS (First Come First Served), đến sau phục vụ trước LCFS (Last Come First Served), theo vòng tròn RR (Round Robin), thời gian xử lý ngắn nhất phục vụ trước SPT (Shortest Procesing Time First) và thời gian xử lý ngắn nhất được đề cử SRPT (Shortest Remaining Processing Time First) Ký hiệu Kendall A/S/m/B/K/SD được sử dụng rộng rãi để mô tả hệ thống xếp hàng 17 A: Phân bố thời gian giữa các lần đến S: Phân bố thời gian phục vụ m: Số lượng server B:Kích thước bộ đệm K: Quy mô mật độ SD: Quy tắc phục vụ Ví dụ hàng đợi M/D/1: M có nghĩa tiến trình đến là tiến trình Markov không nhớ (với thời gian giữa các lần đến theo hàm mũ); D thời gian phục vụ luôn như nhau (tất định); 1 có một server duy nhất phục vụ. Phần B/K/SD của ký hiệu bị loại trừ để cho thấy rằng dung lượng của hệ thống và qui mô mật độ là vô hạn và qui tắc phục vụ là FCFS. 2.4.2. Quá trình Sinh-Tử (Birth-Death) Trạng thái của hệ thống được biểu diễn bằng số các khách hàng n trong một hệ thống. Khi có một khách hàng mới đến thì trạng thái của hệ thống sẽ thay đổi sang n+1, khi có một khách hàng ra đi thì trạng thái hệ thống sẽ thay đổi sang n-1, ta có lược đồ chuyển tiếp trạng thái là quá trình sinh tử. Hình 2-9. Chuỗi Markov của một quá trình sinh-tử n  : Tốc độ của lần đến n n  : Tốc độ của lần đi P n : Xác suất ổn định trạng thái n của quá trình sinh – tử tại trạng thái n P n = n n   21 110  .P 0 (2-29) P0 - xác suất ở trạng thái 0, Pn - xác suất ở trạng thái n 2.4.3. Hàng đợi M/M/1 Lược đồ trạng thái 18 Hình 2-10 Chuỗi Markov của hàng đợi M/M/1 Tất cả các tốc độ đến đều là  ,   : Tốc độ của lần đến  : Tốc độ của lần đi P n =(   ) n P 0 = n  P 0 (2-30) Pn: Xác suất ổn định trạng thái n P0: Xác suất ổn định trạng thái 0  : Mật độ lưu lượng  =   Trong trường hợp này số kênh phục vụ bằng 1, chỉ có 1 server Các công thức tính toán:  Xác suất có n khách hàng trong hệ thống P n = (1-  ) n  ; n=1,2, (2-31) P 0 = (1-  ) (2-32)  Số lượng trung bình các khách hàng trong hệ thống L=E(n)=   1 (2-33) Phương sai: 2 n  = 2 )1(    (2-34) Tham số thời gian  Thời gian trung bình của 1 khách hàng trong hệ thống: W W =  L = )1(    =   1 (2-35)  Thời gian phục vụ trung bình cho một khách hàng : W S W S =  1 =   (2-36)  Thời gian trung bình của khách hàng trong hàng đợi 19 W q = W- W S = )1(    -   = )1( 2    (2-37) Chiều dài hàng đợi  Số lượng trung bình các khách hàng trong hệ thống L=   1 (2-38)  Số lượng trung bình các job trong server: L S L S = 1P(n>=1) =1- P(n=0) =1-(1-  ) =  (2-39)  Số lượng trung bình của các công việc trong hàng đợi L q L q = L- L S =    1 =   1 2 (2-40) Ví dụ: Cho Switch nhận các bản tin đến tốc độ 240bản tin/phút. Độ dài bản tin có phân bố hàm mũ với chiều dài trung bình là 100 ký tự. Tốc độ truyền bản tin đi khỏi hệ thống là 500 ký tự/giây. Tính các tham số sau :  Thời gian trung bình của bản một tin trong hệ thống  Số bản tin trung bình trong hệ thống  Tính chiều dài hàng đợi và thời gian đợi trung bình Bài giải: Xét hệ thống M/M/1: Tốc độ đến 4 60 240   bản tin/giây Tốc độ phục vụ 5 100 500   Mật độ lưu lượng 8.0 5 4      Số bản tin trong hệ thống L=E(n)= 4 8.01 8.0 1       bản tin  Thờigian trung bình của bản tin trong hệ thống W= 1 4 4   L (s)  Chiều dài hàng đợi L q 20 L q = 2,3 8,01 8,0.8,0 1 2       bản tin  Thời gian đợi trung bình W q W q = 8,0 4 2,3 )1( 2     q L (s) 2.4.4. Hàng đợi M/M/1/K Hình 2-11 Với số khách hàng là k P n = (   ) n .P 0 ; 0<=n<=k (2-41) P n = )1)(1( 12   k  (2-42) L = 1 1 1 )1( 1       k k k     (2-43) Xác suất khách hàng đến hệ thống bị từ chối là P K Tốc độ thực tế đến hệ thống '  = (1-P K )  (2-44) Mật độ lưu lượng     )1( ' ' K P (2-45) 2.4.5. Hàng đợi M/M/C Hình 2-12 21 Pn= Po n n )( ! 1   ; 0<=n<=C (2-46) Pn= Po CC n cn )( ! 1    với n>c (2-47) Po= [ )1(! )( ! 1 )( 1 0         c c n c c c n n ] 1 (2-48) Xác suất xuất hiện hàng đợi Pq = )1(! )(   c cPo c (công thức Erlang) (2-49) Độ dài hàng đợi: Lq = Pq.   1 (2-50) Thời gian đợi: Wq =  Lq (2-51) 2.5. Lý thuyết lưu lượng 2.5.1. Khái niệm về lưu lượng và đơn vị Erlang Định nghĩa Trong lý thuyết lưu lượng viễn thông chúng ta thường sử dụng thuật ngữ lưu lượng để biểu thị cường độ lưu lượng, tức là lưu lượng trong một đơn vị thời gian. Thuật ngữ về lưu lượng có nguồn gốc từ tiếng ý và có nghĩa là “độ bận rộn”. Theo (ITU-T,1993) định nghĩa như sau: Cường độ lưu lượng: Mật độ lưu lượng tức thời trong một nhóm tài nguyên dùng chung là số tài nguyên bận tại thời điểm đó. Nhóm tài nguyên dùng chung có thể là một nhóm phục vụ như đường trung kế. Tiến hành thống kê mật độ lưu lượng hiện tại có thể tính toán cho một chu kỳ T, ta có cường độ lưu lượng trung bình là:   T dttn T TY 0 )( 1 )( (2-52) Với n(t) là số thiết bị sử dụng tại thời điểm t 22 Lưu lượng mang Ac = Y = A’ được gọi là lưu lượng được thực hiện bởi một nhóm phục vụ trong khoảng thời gian T (hình 3.1). Trong thực tế, thuật ngữ cường độ lưu lượng thường có nghĩa là cường độ lưu lượng trung bình. Hình 2-13 Lưu lượng mang (mật độ)( bằng số thiết bị bận) là một hàm thời gian (đường cong C). Lưu lượng trung bình trong khoảng thời gian T (đường cong D) Đơn vị của cường độ lưu lượng là Erlang (kí hiệu là Erl), đây là đơn vị không có thứ nguyên. (Ra đời 1946 để ghi nhớ công ơn của nhà toán học người Đan mạch A.K Erlang (1878-1929), người đã tìm ra lý thuyết lưu lượng điện thoại). Khối lượng lưu lượng: là tổng lưu lượng mang trong chu kỳ T và được đo bằng đơn vị Erlang - giờ (Eh) (theo như tiêu chuẩn ISO những đơn vị tiêu chuẩn có thể là Erlang giây, nhưng thông thường đơn vị Erlang giờ thường sử dụng nhiều hơn). Lưu lượng mang không thể vượt quá số lượng của đường dây. Một đường dây chỉ có thể mang nhiều nhất một Erlang. Doanh thu của các nhà khai thác tỷ lệ với lưu lượng mang của mạng viễn thông.  Đối với điện thoại cố định thường thì có Ac =0,010,04 Erl  Đối với cơ quan : 0,04 0,06 Erl  Tổng đài cơ quan: 0,6 Erl  Điện thoại trả tiền : 0,7 Erl 23 Lưu lượng phát sinh A Lưu lượng phát sinh là lưu lượng được mang nếu không có cuộc gọi nào bị từ chối do thiếu tài nguyên, ví dụ như với số kênh không bị giới hạn. Lưu lượng phát sinh là một giá trị lý thuyết không đo lường được chỉ có thể ước lượng thông qua lưu lượng mang. Ta gọi mật độ cuộc gọi là  , là số cuộc gọi trung bình đến trong một đơn vị thời gian và gọi s là thời gian phục vụ trung bình. Khi đó lưu lượng phát sinh là: s A .   (2-53) Từ phương trình này ta thấy rằng đơn vị lưu lượng không có thứ nguyên. Định nghĩa này phù hợp với định nghĩa trên với điều kiện kênh phục vụ không bị giới hạn. Nếu sử dụng cho một hệ thống với năng lực giới hạn ta có sự xác định phụ thuộc vào hệ thống. Ngoài ra có thể được tính: A =  /  (  : tốc độ phục vụ) Lưu lượng tổn thất Ar Lưu lượng tổn thất là độ chênh lệch giữa lưu lượng phát sinh và lưu lượng mang. Giá trị này của hệ thống giảm khi năng lực của hệ thống tăng. A r = A – A c (2-54) Lưu lượng phát sinh là một tham số sử dụng trong tính toán lý thuyết định cỡ. Tuy nhiên, chỉ có lưu lượng mang thường phụ thuộc vào hệ thống thực mới là tham số đo lường được trong thực tế. Trong hệ thống truyền dẫn số ta không nói về thời gian phục vụ mà chỉ nói về các tốc độ truyền dẫn. Một cuộc giao dịch có thể là quá trình truyền s đơn vị (như bits hay bytes). Năng lực hệ thống là  , nghĩa là tốc độ báo hiệu số liệu, được tính bằng đơn vị trên giây (ví dụ bít/s). Như vậy thời gian phục vụ cho một giao dịch như thế tức là thời gian truyền sẽ là s/  đơn vị thời gian (ví dụ như giây-s); nghĩa là phụ thuộc vào  . Nếu trung bình có  cuộc giao dịch đến trong một đơn vị thời gian, thì độ sử dụng hệ thống sẽ là:    s.  (2-55) Với: 01    . 24 2.5.2. Hệ thống tổn thất (Loss System) và công thức Erlang B Công thức Erlang B Công thức Erlang được mô tả bằng ba thành phần: cấu trúc, chiến lược và lưu lượng: Cấu trúc: Ta xem xét một hệ thống có n kênh đồng nhất hoạt động song song và được gọi là nhóm đồng nhất (các server, kênh trung kế, khe slot). Chiến lược: Một cuộc gọi tới hệ thống được chấp nhận nếu còn ít nhất một kênh rỗi (mọi cuộc gọi chỉ cần một kênh rỗi). Nếu tất cả các kênh đều bận thì cuộc gọi sẽ bị huỷ bỏ và nó sẽ bị loại bỏ mà không gây một ảnh hưởng nào sau đó (cuộc gọi bị loại bỏ có thể được chấp nhận trên một tuyến khác). Chiến lược này được gọi là mô hình Loss (tổn thất) Erlang hay mô hình LCC (Lost Calls Cleared). Lưu lượng: Giả sử rằng trong khoảng thời gian dịch vụ được phân bố theo hàm mũ (số mũ  ), và tiến trình sử dụng là tiến trình Poisson với tốc độ  . Loại lưu lượng này được gọi là PCT -I (Pure Chance Traffic Type I). Tiến trình lưu lượng này sẽ trở thành tiến trình Mackov đơn giản xử lý bằng toán học. Công thức Erlang B biểu thị mối quan hệ giữa lưu lượng xuất hiện, lượng thiết bị, và xác suất tổn hao như một hàm số được sử dụng rộng rãi như là lý thuyết tiêu chuẩn cho việc lập kế hoạch trong hệ thống viễn thông, vì vậy công thức Erlang B chứa đựng những tiêu chuẩn sau: Các cuộc gọi xuất hiện một cách ngẫu nhiên:  Xác suất xảy ra sự cố cuộc gọi là luôn cố định bất chấp thời gian (xác suất cố định xảy ra sự cố của cuộc gọi).  Xác suất xảy ra sự cố của cuộc gọi không bị ảnh hưởng bởi các cuộc gọi trước (không còn sót lại những đặc điểm của cuộc gọi trước).  Trong thời gian rất ngắn, không có cuộc gọi nào xuất hiện hoặc chỉ có một cuộc gọi xuất hiện (các cuộc gọi rải rác). Dạng tổn hao trong khi vận hành khi tất cả các mạch đều bận:  Trong dạng tổn hao vận hành này, cuộc gọi không thể liên lạc được khi tất cả các mạch đều bận. Trong trường hợp đó tín hiệu được gửi ra ngoài và dù đường ra trở nên thông suốt sau khi tín hiệu bận được gửi ra thì cuộc gọi vẫn không được kết nối. Nhóm mạch ra là nhóm trung kế có khả năng sử dụng hết. Thời gian chiếm dụng của các cuộc gọi gần đúng với phân bố hàm mũ. Các mạch vào thì vô hạn, còn các mạch ra thì hữu hạn. Xác suất tổn hao cuộc gọi trong công thức Erlang B được trình bày trong công thức sau: 25 En(A)= E n,1 (A) = P(n) = ! !2 1 ! 2 n AA A n A n n  =   n i i n i A n A 0 ! ! (2-56) Với A -Lưu lượng phát sinh (A=.s) n - Số kênh Việc tính toán công thức trên không phù hợp cả khi cả An và n! tăng quá nhanh, khi đó máy tính sẽ bị tràn số do vậy người ta thường áp dụng một số kết quả tính toán và đưa ra công thức sau: )(. )(. )( 1 1 AEAx AEA AE x x x     với E0 (A) = 1 (2-57) Từ quan điểm toán ứng dụng, hàm tuyến tính có độ ổn định cao nhất ta có: )(1)( 1 AI A x AI xx   với I0 (A) = 1 (2-58) Ở đây I n (A) = 1/ E n (A) (2-59) Công thức này hoàn toàn chính xác, thậm chí với các giá trị (n.A) lớn vẫn không xuất hiện lỗi. Đây là công thức cơ bản cho rất nhiều bảng số của công thức Erlang B Ví dụ : Cho tốc độ gọi đến  bằng một cuộc gọi trên 1 phút, thời gian trung bình của 1 cuộc gọi là 3 phút, số kênh phục vụ bằng 4. Tính xác suất tổn thất P theo 2 công thức trên. Cách 1: Lưu lượng phát sinh A= Erlt 33.1.    P(n)= 206,0 !4 3 !3 3 2 3 31 !4 3 432 4   Ý nghĩa : có 1/5 các cuộc gọi tới số thuê bao bị tổn thất (bị bận) Cách 2: E )(.4 )(. )( 3 3 4 AEA AEA A   E 1)( 0 A E 4 3 31 3 )(.1 )(. )( 0 0 1      AEA AEA A [...]... vụ: Sn = 1- E 2, n ( A)  1  4 5  9 9 Cách 2: 1 1 1   E 2, 3 E1,3 ( A) E1, 2 ( A) E 1,0 ( A)  1 E 1,1 ( A)  E 1, 2 ( A)  E 1,3 ( A)   2. E1,0 ( A) 1  2. E1,0 ( A)  2. E1,1 ( A) 2  2. E1,1 ( A) A.E1, 2 ( A) 3  A.E1, 2 ( A) 2 1  1 2 3 2  2 3 2  2 2  2 3 2 5 3  2 2 5  4 2  10 5  4 19 1 1 1 19 5 9     E 2, 3 ( A) E1,3 ( A) E 1 ,2 ( A) 4 2 4  E 2, 3 ( A)  4 9 28 2. 6 Hệ thống hàng đợi... (A0) = A2 An 1 An n 1 A     2! ... B.N=P(n).N N= .T   A 1 T  60  20 cuộc gọi S 3 A 1  cuộc gọi/phút S 3 An 13 1 3! B=P(n)= n n! i   2 3 16 A  i! 1  1  12!  1 ! 3 i 0 26  N loss = 1 20  1 .25 cuộc gọi 16 Ý nghĩa : Trong 20 cuộc gọi dến có 1 .25 cuộc gọi bị nghẽn không được phục vụ  Lưu lượng tổn thất : Ar= A.C = 1  1 1  (Erl) 16 16 Lưu lượng mang Ac = Y= A(1-P(n)) = 1.(1- 1 )= 15/16 (Erl) 16 2. 5.3 Hệ thống trễ (Delay) và công... đến  =20 cuộc/giờ, thời gian chiếm kênh của cuộc gọi là 6 phút Tính lưu lượng mang, lưu lượng phát sinh Xác suất cuộc gọi bất kỳ phải vào hàng đợi, xác suất cuộc gọi đi được phục vụ ngay, cho n=3 (Tính theo hai cách) Bài giải:  Lưu lượng mang = lưu lượng phát sinh; A=Y A=  S  20 6  2 Erl 60 Cách 1:  Xác suất cuộc gọi vào hàng đợi 2 3 3! 3  2 E 2, n ( A)  = 4/9 32 33 3 1 3   2! 3! 3  2 ...E 2 ( A)  E 3 ( A)  A.E1 ( A)  2  A.E1 ( A) A.E 2 ( A)  3  A.E 2 ( A) A.E 3 ( A) E 4 ( A)   4  A.E 3 ( A) 3 4 3 3 2  3 4 3  9 17 9 3  3 17 3 9 17 9 4  3 17 9 17  27 78  81  0 .20 61 393 Các đặc tính lưu lượng của công thức Erlang B Biết được xác suất trạng thái ta có thể biết được các số đo hiệu năng... hàng có phân bố tiến trình đến riêng  Với mỗi mức ưu tiên, kích thước hay số khách hàng tạo ra lưu lượng  Phân bố thời gian phục vụ của Server hàng đợi (hành động của Server) Trong nhiều mạng truyền thông thường gọi là phân bố chiều dài  Các qui tắc của hàng đợi  Chiều dài tối đa của hàng đợi (phụ thuộc vào kích thước của Buffer)  Phản ứng của khách hàng khi bị trễ, tắc nghẽn, … 2. 6.1 Qui tắc và tổ... ưu tiên Các khách hàng sau khi đến hệ thống có thể phải đứng vào hàng đợi, do đó cần có các qui tắc nhất định để đảm bảo khách hàng được phục vụ một cách nhanh nhất Tuy nhiên kích thước của hàng đợi không phải là một giá trị vô hạn, chính nguyên nhân này là nguồn gốc của các thông số khác liên quan đến hàng đợi và tổ chức hàng đợi Hàng đợi là một quan điểm toán học về tình huống trong thế giới thực,... cuộc sống hàng ngày của chúng ta Nó được xem như là FIFO, chú ý là FIFO chỉ sử dụng trong hàng đợi không sử dụng cho toàn hệ thống  LCFS ( Last Come First sever) đó là chu trình ngăn xếp, như việc xếp hàng trên giá của cửa hàng.v.v … qui tắc này cũng xem như LIFO ( Last In First Out) 29 ... toán học về tình huống trong thế giới thực, nó đưa ra các phân tích có khả năng đánh giá hiệu suất lưu lượng của khách hàng (như các cuộc gọi, các tế bào ATM, hay các mạng LAN) khi đi qua hàng đợi Có ít nhất 7 tham số thường sử dụng trong hệ thống đó là:  Kết cấu các mức ưu tiên (các lớp) của khách hàng đến, nếu có hơn một mức ưu tiên trong hàng đợi (ví dụ trong cửa hàng thì nam giới và phụ nữ là . Cách 2: )( 1 )( 11 2, 13,13 ,2 AEAEE  E 1)( 0,1 A E 3 1 21 2 )( .21 )( .2 )( 0,1 0,1 1,1      AE AE A E 5 2 10 4 3 2 .22 3 2 .2 )( .22 )( .2 )( 1,1 1,1 2, 1      AE AE A E 19 4 5 2 .23 5 2 .2 )(.3 )(. )( 2, 1 2, 1 3,1      AEA AEA A . E 5 2 10 4 3 2 .22 3 2 .2 )( .22 )( .2 )( 1,1 1,1 2, 1      AE AE A E 19 4 5 2 .23 5 2 .2 )(.3 )(. )( 2, 1 2, 1 3,1      AEA AEA A  4 9 2 5 . 4 19 )( 1 )( 1 )( 1 2, 13,13 ,2  AEAEAE  E 9 4 )( 3 ,2 A 29 2. 6. Hệ thống hàng đợi có. lượng của hệ thống và qui mô mật độ là vô hạn và qui tắc phục vụ là FCFS. 2. 4 .2. Quá trình Sinh-Tử (Birth-Death) Trạng thái của hệ thống được biểu diễn bằng số các khách hàng n trong một hệ thống.