Nguyn Mnh Tho Giỏo viờn trng THCS Khỏnh Thng Yờn Mụ Ninh Bỡnh MT S BI TP HèNH C BN Bài 1. Cho đoạn thẳng AB và C là một điểm nằm giữa A và B. Ngời ta kẻ trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB hai tia Ax và By vuông góc với AB. Trên tia Ax lấy một điểm I. Tia Cz vuông góc với tia CI tại C và cắt By tại K. Đờng tròn đờng kính IC cắt IK tại P. Chứng minh: a. Tứ giác CPKB nội tiếp. b. AI.BK=AC.CB. c. APB vuông. d. Giả sử A, B, I cố định. Hãy xác định vị trí điểm C sao cho diện tích hình thang vuông ABKI lớn nhất. Bài 2. Cho (O) và một điểm A nằm ngoài (O). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến AMN với (O). (B, C, M, N cùng thuộc (O); AM<AN). Gọi E là trung điểm của dây MN, I là giao điểm thứ hai của đờng thẳng CE với (O). a. Chứng minh bốn điểm A, O, E, C cùng nằm trên một đờng tròn. b. Chứng minh góc AOC=góc BIC c. Chứng minh BI//MN. d. Xác định ví trí cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN lớn nhất. Bài 3. Cho (O) có đờng kính BC. Gọi A là một điểm thuộc cung BC (cung AB < cung AC). D là điểm thuộc bán kính OC. Đờng vuông góc với BC tại D cắt AC ở E, cắt tia BA ở F. a. Chứng minh tứ giác ADCF nội tiếp. b. Gọi M là trung điểm của EF. Chứng minh: góc AME=2 góc ACB. c. Chứng minh AM là tiếp tuyến của (O). d. Tính diện tích hình giới hạn bởi các đoạn thẳng BC, BA và cung nhỏ AC của (O) biết BC=8cm; góc ABC = 60 o . Bài 4. Cho đờng tròn (O) đờng kính AB=2R và một điểm M di chuyển trên nửa đ- ờng tròn. Ngời ta vẽ đờng tròn tâm E tiếp xúc với (O) tại M và tiếp xúc với AB tại N. Đờng tròn này cắt MA, MB lần lợt tại các điểm thứ hai C, D. a. Chứng minh CD//AB. b. Chứng minh MN là tia phân giác của góc AMB và đờng thẳng MN đi qua một điểm K cố định. 1 Nguyễn Mạnh Thảo – Giáo viên trường THCS Khánh Thượng – n Mơ – Ninh Bình c. Chøng minh tÝch KM.KN khơng đổi. d. Gäi giao ®iĨm cđa c¸c tia CN, DN víi KB, KA lÇn lỵt lµ C', D'. T×m vÞ trÝ cđa M ®Ĩ chu vi tam gi¸c NC'D' ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt cã thĨ ®ỵc. Bài 5 Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Từ một điểm M trên tia đối của tia AB, kẽ hai tia tiếp tuyến MC và MD của đường tròn đó ( C và D ở trên đường tròn ), dây CD cắt đường kính AB tại I. Chứng minh a ) Tứ giác OCMD nội tiếp b ) CA là tia phân giác của góc MCD c ) 2 2 2 2 4IA IB IC ID R+ + + = 2 d ) Giả sử tam giác MCD đều, tính diện tích của phần tam giác MCD ở ngoài đường tròn ( O ) theo R Bài 6: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Dựng đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB tại E và cắt AC tại F. Gọi I là giao điểm của CE và BF. Chứng minh rằng: a ) AEIF là tứ giác nội tiếp b ) AI vuông góc với BC c ) · · OEC BAI= . Suy ra OE là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEIF Bài 7 : Cho tam giác ABC vuông cân tại A . Trên cạnh AC ta lấy một điểm M bất kỳ . Từ C kẽ đường vuông góc với BM đường thẳng này cắt các đường thẳng BM và BA theo thứ tự ở D và E a) Chứng minh rằng ABCD là tứ giác nội tiếp b) Chứng minh EA . EB = ED . EC c) Chứng minh AE = AM d) Khi M di chuyển trên cạnh AC Thì điểm D di chuyển trên đường nào ? tại sao ? Bài 8 : Cho đường tròn ( O ; R ) có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau . Trên đoạn thẳng AB lấy một điểm M ( khác O) . Đường thẳng CM cắt đường tròn ( O ) tại điểm thứ hai N . Đường thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến tại N của đường tròn ở điểm P . Chứng minh rằng a) Tứ giác OMNP nội tiếp được b) Tứ giác CMPO là hình bình hành c) Tích CM . CN không phụ thuộc vò trí của điểm M d) Khi M di động trên đoạn thẳng AB thì P chạy trên một đoạn thẳng cố đònh Bài 9 : Cho một đường tròn (O) và một điểm M cố đònh bên ngoài đường tròn . Từ M kẽ hai tiếp tuyến MA và MB tới đường tròn ( A , B là tiếp điểm ) và 2 Nguyễn Mạnh Thảo – Giáo viên trường THCS Khánh Thượng – n Mơ – Ninh Bình một cát tuyến di động MCD . Kẽ dây cung AE song song với cát tuyến MCD . Dây EB cắt dây CD tại I . Tia OI cắt đường thẳng AB tại N a) Chứng minh : · · BIM BOM= b) Chứng minh 5 điểm A , I , O , B , M cùng nằm trên một đường tròn c)Chứng minh I là trung điểm của CD d) Khi cát tuyến MCD di động . Chứng minh tích số OI .ON không đổi Bài 10 : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong một đường tròn tâm O bán kính R . Kẽ các đường cao AD, BE , CF a) chứng minh EF song song với tiếp tuyến của đường tròn tâm O tai A b) Chứng minh AB . AC = AD . 2R c) Giả sử BC cố đònh và A di động trên đường tròn O chứng minh rằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF không đổi Bài 11: Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong một đường tròn và P là điểm chính giữa của cung AB không chứa C và D . Hai dây PC và PD lần lượt cắt dây AB tại E và F . Các dây AD và PC kéo dài cắt nhau tại I các dây BC và PD kéo dài cắt nhau tại K. chứng minh rằng a) · · CID CKD= b) Tứ giác CDFE nội tiếp c) IK song song AB d) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AFD tiếp xúc với PA tại A e) Tìm điều kiện của tứ giác ABCD để có FA = EB B µi 12 : Cho h×nh thang c©n ABCD ( AB // CD vµ AB > CD ) néi tiÕp trong mét ®êng trßn (O) . TiÕp tun víi ®êng trßn (O) t¹i A vµ t¹i D c¾t nhau t¹i E . Gäi I lµ giao ®iĨm cđa c¸c ®êng chÐo AC vµ BD . 1) Chøng minh tø gi¸c AEDI néi tiÕp trong mét ®êng trßn . 2) Chøng minh c¸c ®êng th¼ng EI , AB song song víi nhau. 3) §êng th¼ng EI c¾t c¸c c¹nh bªn AD vµ BC cđa h×nh thang t¬ng øng ë R vµ S . CMR : a) I lµ trung ®iĨm cđa ®o¹n RS . b) 1 1 2 AB CD RS + = B µi 13 : Cho ®êng trßn (O) cã t©m lµ ®iĨm O vµ mét ®iĨm A cè ®Þnh n»m ngoµi ®êng trßn . Tõ A kỴ c¸c tiÕp tun AP , AQ víi ®êng trßn (O) , P vµ Q lµ c¸c tiÕp ®iĨm . §êng th¼ng ®i qua O vµ vu«ng gãc víi OP c¾t ®êng th¼ng AQ t¹i M . a) CMR : MO = MA . b) LÊy ®iĨm N trªn cung lín PQ cđa ®êng trßn (O) sao cho tiÕp tun t¹i N cđa ®- êng trßn (O) c¾t c¸c tia AP vµ AQ t¬ng øng t¹i B vµ C . 1) CMR : AB + AC – BC kh«ng phơ thc vµo vÞ trÝ ®iĨm N . 2) CMR nÕu tø gi¸c BCQP néi tiÕp ®êng trßn th× PQ // BC. 3 Nguyn Mnh Tho Giỏo viờn trng THCS Khỏnh Thng Yờn Mụ Ninh Bỡnh B ài 14 : Cho đờng tròn (O) đờng kính AB = 2R . Đờng thẳng (d) tiếp xúc với đờng tròn (O) tại A . M và Q là hai điểm phân biệt , chuyển động trên (d) sao cho M khác A và Q khác A . Các đờng thẳng BM và BQ lần lợt cắt đờng tròn (O) tại các điểm thứ hai là N và P . Chứng minh : 1) Tích BM . BN không đổi . 2) Tứ giác MNPQ nội tiếp đợc trong đờng tròn . 3) Bất đẳng thức : BN + BP + BM + BQ > 8R B ài 15 : Cho tam giác ABC ( AB AC ) nội tiếp đờng tròn (O) . Đờng phân giác trong AD và đờng trung tuyến AM của tam giác ( D ; )BC M BC tơng ứng cắt đờng tròn (O) tại P và Q ( P ,Q khác A ) . Gọi I là điểm đối xứng với D qua M . 1) Kẻ đờng cao AH của tam giác ABC . Chứng minh AD là phân giác của góc OAH . 2) Chứng minh tứ giác PMIQ nội tiếp . 3) So sánh DP và MQ. 4 . CE và BF. Chứng minh rằng: a ) AEIF là tứ giác nội tiếp b ) AI vuông góc với BC c ) · · OEC BAI= . Suy ra OE là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEIF Bài 7 : Cho tam giác ABC. I là trung điểm của CD d) Khi cát tuyến MCD di động . Chứng minh tích số OI .ON không đổi Bài 10 : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong một đường tròn tâm O bán kính R . Kẽ các đường