Dạy học Giải tích ở trường trung học phổ thông theo tiếp cận Giáo dục Toán thực (Realistic mathematics education)

Dạy học Giải tích ở trường trung học phổ thông theo tiếp cận Giáo dục Toán thực (Realistic mathematics education)Dạy học Giải tích ở trường trung học phổ thông theo tiếp cận Giáo dục Toán thực (Realistic mathematics education)Dạy học Giải tích ở trường trung học phổ thông theo tiếp cận Giáo dục Toán thực (Realistic mathematics education)Dạy học Giải tích ở trường trung học phổ thông theo tiếp cận Giáo dục Toán thực (Realistic mathematics education)Dạy học Giải tích ở trường trung học phổ thông theo tiếp cận Giáo dục Toán thực (Realistic mathematics education)Dạy học Giải tích ở trường trung học phổ thông theo tiếp cận Giáo dục Toán thực (Realistic mathematics education)Dạy học Giải tích ở trường trung học phổ thông theo tiếp cận Giáo dục Toán thực (Realistic mathematics education)Dạy học Giải tích ở trường trung học phổ thông theo tiếp cận Giáo dục Toán thực (Realistic mathematics education)Dạy học Giải tích ở trường trung học phổ thông theo tiếp cận Giáo dục Toán thực (Realistic mathematics education)Dạy học Giải tích ở trường trung học phổ thông theo tiếp cận Giáo dục Toán thực (Realistic mathematics education)Dạy học Giải tích ở trường trung học phổ thông theo tiếp cận Giáo dục Toán thực (Realistic mathematics education)Dạy học Giải tích ở trường trung học phổ thông theo tiếp cận Giáo dục Toán thực (Realistic mathematics education)Dạy học Giải tích ở trường trung học phổ thông theo tiếp cận Giáo dục Toán thực (Realistic mathematics education)Dạy học Giải tích ở trường trung học phổ thông theo tiếp cận Giáo dục Toán thực (Realistic mathematics education)Dạy học Giải tích ở trường trung học phổ thông theo tiếp cận Giáo dục Toán thực (Realistic mathematics education)Dạy học Giải tích ở trường trung học phổ thông theo tiếp cận Giáo dục Toán thực (Realistic mathematics education)Dạy học Giải tích ở trường trung học phổ thông theo tiếp cận Giáo dục Toán thực (Realistic mathematics education)Dạy học Giải tích ở trường trung học phổ thông theo tiếp cận Giáo dục Toán thực (Realistic mathematics education)Dạy học Giải tích ở trường trung học phổ thông theo tiếp cận Giáo dục Toán thực (Realistic mathematics education)Dạy học Giải tích ở trường trung học phổ thông theo tiếp cận Giáo dục Toán thực (Realistic mathematics education)Dạy học Giải tích ở trường trung học phổ thông theo tiếp cận Giáo dục Toán thực (Realistic mathematics education)Dạy học Giải tích ở trường trung học phổ thông theo tiếp cận Giáo dục Toán thực (Realistic mathematics education)Dạy học Giải tích ở trường trung học phổ thông theo tiếp cận Giáo dục Toán thực (Realistic mathematics education)Dạy học Giải tích ở trường trung học phổ thông theo tiếp cận Giáo dục Toán thực (Realistic mathematics education)Dạy học Giải tích ở trường trung học phổ thông theo tiếp cận Giáo dục Toán thực (Realistic mathematics education)Dạy học Giải tích ở trường trung học phổ thông theo tiếp cận Giáo dục Toán thực (Realistic mathematics education)Dạy học Giải tích ở trường trung học phổ thông theo tiếp cận Giáo dục Toán thực (Realistic mathematics education)Dạy học Giải tích ở trường trung học phổ thông theo tiếp cận Giáo dục Toán thực (Realistic mathematics education)Dạy học Giải tích ở trường trung học phổ thông theo tiếp cận Giáo dục Toán thực (Realistic mathematics education)Dạy học Giải tích ở trường trung học phổ thông theo tiếp cận Giáo dục Toán thực (Realistic mathematics education)Dạy học Giải tích ở trường trung học phổ thông theo tiếp cận Giáo dục Toán thực (Realistic mathematics education)Dạy học Giải tích ở trường trung học phổ thông theo tiếp cận Giáo dục Toán thực (Realistic mathematics education)Dạy học Giải tích ở trường trung học phổ thông theo tiếp cận Giáo dục Toán thực (Realistic mathematics education)Dạy học Giải tích ở trường trung học phổ thông theo tiếp cận Giáo dục Toán thực (Realistic mathematics education)Dạy học Giải tích ở trường trung học phổ thông theo tiếp cận Giáo dục Toán thực (Realistic mathematics education)Dạy học Giải tích ở trường trung học phổ thông theo tiếp cận Giáo dục Toán thực (Realistic mathematics education)Dạy học Giải tích ở trường trung học phổ thông theo tiếp cận Giáo dục Toán thực (Realistic mathematics education)Dạy học Giải tích ở trường trung học phổ thông theo tiếp cận Giáo dục Toán thực (Realistic mathematics education)Dạy học Giải tích ở trường trung học phổ thông theo tiếp cận Giáo dục Toán thực (Realistic mathematics education)Dạy học Giải tích ở trường trung học phổ thông theo tiếp cận Giáo dục Toán thực (Realistic mathematics education)Dạy học Giải tích ở trường trung học phổ thông theo tiếp cận Giáo dục Toán thực (Realistic mathematics education)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VIỆN KHOA HỌC GIÁO DỤC VIỆT NAM

NGUYỄN TIẾN ĐÀ

DẠY HỌC GIẢI TÍCH Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG THEO TIẾP CẬN GIÁO DỤC TOÁN THỰC

(REALISTIC MATHEMATICS EDUCATION)

LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Hà Nội, tháng 03 năm 2024

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VIỆN KHOA HỌC GIÁO DỤC VIỆT NAM

NGUYỄN TIẾN ĐÀ

DẠY HỌC GIẢI TÍCH Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG THEO TIẾP CẬN GIÁO DỤC TOÁN THỰC

(REALISTIC MATHEMATICS EDUCATION)

CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, được hoàn thành dưới sự hướng dẫn và giúp đỡ tận tình của nhiều nhà khoa học Các kết quả nêu trong luận án là trung thực Những kết luận khoa học của luận án chưa từng được ai công bố trong bất kì công trình nào khác

Tác giả luận án

Nguyễn Tiến Đà

LỜI CẢM ƠN

Luận án “Dạy học Giải tích ở trường trung học phổ thông theo tiếp cận Giáo dục Toán thực (Realistic mathematics education)” hoàn thành là kết quả của quá trình học tập, nghiên cứu của người thực hiện cùng với sự hướng dẫn tận tình của quý thầy, cô và sự giúp đỡ của gia đình, bạn bè, đồng nghiệp Trước tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Chu Cẩm Thơ, PGS.TS Nguyễn Tiến Trung - những người đã tận tình hướng dẫn và hết lòng giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận án Tôi xin trân trọng cảm ơn các Thầy, Cô trong và ngoài Viện Khoa học Giáo dục Việt Nam đã hết lòng dạy bảo và đóng góp những ý kiến quý báu để tôi hoàn thành Luận án Đặc biệt, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các Thầy: GS.TS Nguyễn Hữu Châu, PGS.TS Trần Kiều, PGS.TS Đào Thái Lai, TS Lê Tuấn Anh, TS Đặng Thị Thu Huệ đã luôn giúp đỡ, đóng góp những ý kiến quý báu và chân thành để tôi sớm hoàn thành luận án Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban lãnh đạo, các nhà khoa học và đồng nghiệp thuộc Viện Khoa học Giáo dục Việt Nam đã quan tâm, tạo mọi điều kiện cho tôi học tập và nghiên cứu Đồng thời tôi xin tỏ lòng biết ơn tới các tác giả của những công trình khoa học mà tôi đã dùng làm tài liệu tham khảo và các nhà khoa học đã có những ý kiến quý báu góp ý cho luận án của tôi Trân trọng cảm ơn các thầy, cô giáo, các em học sinh của các trường: trường THPT Nông Cống 1, trường THPT Nông Cống 2, huyện Nông Cống, tỉnh Thanh Hóa; trường THPT Nguyễn Văn Cừ, Bắc Ninh; trường THPT Kim Bảng B, Hà Nam; trường THPT Bắc Đông Quan, Thái Bình; trường THPT chuyên Amsterdam, Hà Nội; trường THPT chuyên Sư Phạm, Hà Nội; trường THPT Trần Phú, Hà Nội; trường THPT Lê Quý Đôn, Hà Nội; trường THCS-THPT Lê Lợi, Bình Thuận đã giúp đỡ tôi trong việc triển khai thực nghiệm sư phạm những kết quả của luận án Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn những người thân trong gia đình, bạn bè đã luôn động viên, tạo điều kiện tốt nhất để tôi có thể hoàn

0.4 Khách thể, đối tượng nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu 9

0.5 Giả thuyết khoa học 9

0.6 Nhiệm vụ nghiên cứu 10

0.7 Phương pháp nghiên cứu 10

0.8 Những đóng góp mới của luận án 11

0.9 Nội dung đưa ra bảo vệ 11

0.10 Cấu trúc của luận án 11

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 13

1.1 Các khái niệm, thuật ngữ được dùng trong luận án 13

1.1.1 Cách hiểu về nghĩa của từ “Realistic” và thuật ngữ “Realistic Mathematics Education” 13

1.1.2 Vấn đề gắn với bối cảnh, bài toán gắn với bối cảnh 14

1.2 Một số quan niệm về RME 14

1.3 Đặc trưng cơ bản của RME 15

1.3.1 Khám phá có hướng dẫn (Guided-reinvention) 15

1.3.2 Mô hình tự phát triển (Self-developed model) 17

1.4 Toán học hóa trong RME 22

1.4.1 Quan niệm về toán học hóa 22

1.4.2 THH theo chiều ngang và THH theo chiều dọc 23

1.4.3 Phân biệt bốn loại tiếp cận Giáo dục toán học liên quan đến toán học hóa 25

1.5 Vấn đề dạy và học theo RME 27

1.5.1 Sáu nguyên tắc dạy và học theo RME 27

1.5.2 Một số đặc điểm từ lớp học RME 29

1.5.3 Cách tiếp cận RME được hiểu trong luận án 31

1.5.4 Một số ví dụ về dạy học theo RME 34

1.6 Sử dụng CNTT trong dạy học môn Toán theo tiếp cận RME 40

1.6.1 Quan niệm về việc sử dụng CNTT trong dạy học toán theo RME 40

1.6.2 Vấn đề sử dụng phần mềm động GeoGebra trong dạy học môn Toán theo tiếp cận RME 41

1.7 Vài nét về lịch sử hình thành và vai trò của Giải tích 42

1.8 Quan điểm về Giải tích và vị trí của Giải tích ở trường THPT 44

1.8.1 Quan điểm về Giải tích ở trường THPT 44

1.8.2 Vị trí và mối quan hệ giữa các tri thức Giải tích ở trường THPT 49

1.8.3 Cách tiếp cận các khái niệm Giải tích trong SGK (xét cả CT 2006 và CT 2018) 50

1.9 Một số vấn đề về dạy học Giải tích ở trường THPT 54

1.9.1 Khảo sát thực trạng của việc dạy học Giải tích của GV tại một số trường THPT hiện nay 54

1.9.2 Thực trạng về những khó khăn của HS THPT trong việc học Giải tích 68

KẾT LUẬN CỦA CHƯƠNG 1 72

CHƯƠNG 2 ĐỀ XUẤT CÁC BIỆN PHÁP DẠY HỌC GIẢI TÍCH Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG THEO TIẾP CẬN GIÁO DỤC TOÁN THỰC 74

2.1 Định hướng xây dựng biện pháp 74

2.2 Biện pháp 1: Sử dụng các vấn đề gắn với bối cảnh theo tiếp cận Giáo dục Toán thực để HS khám phá tri thức Giải tích 74

2.2.1 Cơ sở đề xuất biện pháp 74

2.2.2 Mục đích của biện pháp 76

2.2.3 Định hướng thực hiện biện pháp 76

2.3 Biện pháp 2 Sử dụng các bài toán gắn với bối cảnh trong dạy học Giải tích theo tiếp cận Giáo dục Toán thực nhằm nâng cao sự hiểu biết toán học, đồng thời phát triển năng lực THH theo chiều ngang và THH theo chiều dọc cho HS THPT 91

2.3.1 Cơ sở đề xuất biện pháp 91

2.3.2 Mục đích của biện pháp 92

2.3.3 Định hướng thực hiện biện pháp 92

2.3.4 Ví dụ minh họa 96

2.4 Biện pháp 3: Sử dụng phần mềm động GeoGebra vào dạy học các khái niệm trong Giải tích theo tiếp cận Giáo dục Toán thực nhằm nâng cao hiểu biết toán học và hứng

KẾT LUẬN CỦA CHƯƠNG 2 144

CHƯƠNG 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 146

3.1 Mục đích thực nghiệm và nhiệm vụ thực nghiệm 146

3.1.1 Mục đích thực nghiệm 146

3.1.2 Nhiệm vụ thực nghiệm 146

3.2 Đối tượng thực nghiệm 148

3.3 Nội dung thực nghiệm 149

CÁC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN 194

TÀI LIỆU THAM KHẢO 195

PHỤ LỤC 1 Phiếu khảo sát ý kiến GV (lần 1) 188

PHỤ LỤC 2 Phiếu khảo sát ý kiến HS THPT-Số 1 193

PHỤ LỤC 3 Phiếu tham khảo ý kiến HS THPT-Số 2 199

PHỤ LỤC 4 Phiếu tham khảo ý kiến HS THPT-SỐ 3 201

PHỤ LỤC 5 Phiếu tham khảo ý kiến HS THPT-SỐ 4 204

PHỤ LỤC 6 Phiếu tham khảo ý kiến HS THPT-Số 5 206

PHỤ LỤC 7 Phiếu khảo sát dành cho HS THPT- Số 6 208

PHỤ LỤC 8a Giáo án bài dạy: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 211

PHỤ LỤC 8b Giáo án bài dạy: Tích phân 221

PHỤ LỤC 8c Giáo án bài dạy: Ứng dụng của tích phân trong hình học 228

PHỤ LỤC 9 Các sản phẩm của HS lớp thực nghiệm 230

PHỤ LỤC 10a Một số hình ảnh thảo luận và trao đổi nhóm 236

PHỤ LỤC 10b Một số sản phẩm trên PHT của HS 237

PHỤ LỤC 11a Danh sách GV tham gia khảo sát đợt 1 242

PHỤ LỤC 11b Danh sách GV tham gia khảo sát đợt 2 244

PHỤ LỤC 12a Danh sách HS tham gia khảo sát về những khó khăn khi giải quyết các bài toán gắn với bối cảnh 248

PHỤ LỤC 12b Danh sách số lượng HS lớp 12 tham gia khảo sát về: cảm nhận, hứng thú, mức độ hiểu bài, sự ủng hộ, nhu cầu học tập đối với các tình huống được thiết kế theo RME 249

PHỤ LỤC 12c Danh sách HS tham gia khảo sát về những khó khăn khi học về Giải tích 250

PHỤ LỤC 13 Danh sách GV tham gia đánh giá 251

PHỤ LỤC 14a Phiếu khảo sát ý kiến GV (lần 2) 254

PHỤ LỤC 14b Phiếu khảo sát ý kiến GV (lần 2) 256

PHỤ LỤC 14c Phiếu khảo sát ý kiến GV (lần 2) 258

PHỤ LỤC 15 Nội dung các bài kiểm tra 260

PHỤ LỤC 16 Một số đường link có thể truy cập 265

DANH MỤC CÁC CỤM TỪ VIẾT TẮT STT VIẾT TẮT VIẾT ĐẦY ĐỦ

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 1.1 Bốn loại hình Giáo dục Toán học (Freudenthal, H., 1991) 25

Bảng 1.2 Mô tả một số đặc điểm của lớp học RME 29

Bảng 1.3 Các phương pháp/kĩ thuật được GV sử dụng khi dạy học nội dung Giới hạn 56 Bảng 1.4 Các phương pháp/kĩ thuật dạy học khái niệm đạo hàm của GV THPT 60

Bảng 1.5 Một số khó khăn của GV trong dạy học nội dung Giới hạn 63

Bảng 1.6 Một số khó khăn của GV trong dạy học khái niệm Đạo hàm 65

Bảng 1.7 Một số khó khăn của HS THPT trong học tập khái niệm liên quan đến Giải tích 69

Bảng 1.8 Một số khó khăn của HS THPT trong quá trình giải quyết bài toán gắn với bối cảnh 70

Bảng 1.9 Thống kê một số nguyên nhân dẫn đến khó khăn của HS trong giải quyết các bài toán gắn với bối cảnh 71

Bảng 3.1 Danh sách lớp TN và lớp ĐC 149

Bảng 3.2 Các nội dung được lựa chọn cho dạy học TN 149

Bảng 3.3 Bảng tổng hợp kết quả khảo sát thái độ của HS về THHT được thiết kế theo RME 152

Bảng 3.4 Thống kê số HS tham gia các hoạt động thành phần 157

Bảng 3.5 Số GV tham gia khảo sát theo số năm kinh nghiệm 159

Bảng 3.6 Tổng hợp kết quả đánh giá của GV về tính khả thi của vấn đề gắn với bối cảnh 160

Bảng 3.7 Tổng hợp kết quả đánh giá của GV về tính hiệu quả của các vấn đề gắn với bối cảnh 162

Bảng 3.8 Kết quả đánh giá của GV về tính khả thi của các bài toán gắn với bối cảnh 165 Bảng 3.9 Kết quả đánh giá của GV về tính hiệu quả của các bài toán gắn với bối cảnh được thiết kế theo RME 166

Bảng 3.10 Kết quả đánh giá của GV về tính khả thi của các THHT theo mô hình RME-SBG 170

Bảng 3.11 Tổng hợp kết quả đánh giá của GV về tính hiệu quả của tình huống học tập theo mô hình RME-SBG 172

Bảng 3.12 Kết quả bài kiểm tra của HS trước TN lần 1 180

Bảng 3.13 Kiểm định U trước thực nghiệm lần 1 của cặp ĐC và TN 181

Bảng 3.14 Kết quả từng bài của HS lớp TN và ĐC sau TN lần 1 182

Bảng 3.15 Kết quả tổng hợp 3 lần kiểm tra của HS lớp TN và ĐC sau TN lần 1 182

Bảng 3.16 Kiểm định U sau TN lần 1 của cặp ĐC và TN 182

Bảng 3.17 Kết quả bài kiểm tra của HS trước TN lần 2 183

Bảng 3.18 Kết quả thống kê mô tả điểm bài kiểm tra của HS trước TN lần 2 183

Bảng 3.19 Kết quả kiểm định U của các cặp ĐC và TN trước thực TN lần 2 184

Bảng 3.20 Kết quả bài kiểm tra của HS lớp ĐC và lớp TN sau TN lần 2 185

Bảng 3.21 Kết quả bài từng kiểm tra của HS sau TN lần 2 của cặp TN1 và ĐC1 186

Bảng 3.22 Kết quả 3 bài kiểm tra đánh giá chất lượng học tập của HS lớp TN1 và ĐC1 sau TN lần 2 187

Bảng 3.23 Kiểm định U sau TN lần 2 của cặp ĐC1 và TN1 187

Bảng 3.24 Kết quả từng bài kiểm tra của cặp TN2 và ĐC2 sau TN lần 2 188

Bảng 3.25 Kết quả tổng hợp sau 3 lần kiểm tra của cặp TN2 và ĐC2 sau TN lần 2 188

Bảng 3.26 Kiểm định U sau thực nghiệm của cặp ĐC2 và TN2 188

DANH MỤC CÁC BIỂU ĐỒ Biểu đồ 3.1 Mô tả cảm nhận của HS về tình huống RME 152

Biểu đồ 3.2 Mô tả mức độ tiếp thu bài của HS về tình huống RME 153

Biểu đồ 3.3 Mô tả mức độ hứng thú của HS với các tình huống RME 154

Biểu đồ 3.4 Nhu cầu học tập với các tình huống RME tương tự 154

Biểu đồ 3.5 Mô tả kết quả đánh giá của GV về tính khả thi của các vấn đề gắn với bối cảnh 161

Biểu đồ 3.6 Mức độ trung bình của các tiêu chí đánh giá của GV về tính khả thi của vấn đề gắn với bối cảnh 162

Biểu đồ 3.7 Mô tả kết quả đánh giá của GV về tính hiệu quả của các vấn đề gắn với bối cảnh trong dạy học Giải tích 163

Biểu đồ 3.8 Mức độ trung bình các tiêu chí đánh giá của GV về tính hiệu quả của các vấn đề gắn với bối cảnh trong dạy học Giải tích 164

Biểu đồ 3.9 Mô tả kết quả đánh giá của GV về tính khả thi của các bài toán gắn với bối cảnh trong dạy học Giải tích 165

Biểu đồ 3.10 Mức độ trung bình của các tiêu chí đánh giá của GV về tính khả thi của bài toán gắn với bối cảnh 166

Biểu đồ 3.11 Mô tả kết quả đánh giá của GV về tính hiệu quả của bài toán gắn với bối cảnh được thiết kế theo RME 167

Biểu đồ 3.12 Mức độ trung bình các TCĐG của GV về tính hiệu quả của các bài toán gắn với bối cảnh được thiết kế theo RME 168

Biểu đồ 3.13 Mô tả kết quả đánh giá của GV về tính khả thi của các THHT theo mô hình RME-SBG 170

Biểu đồ 3.14 Mức độ trung bình của các tiêu chí đánh giá của GV về tính khả thi của các tình huống học tập theo mô hình RME-SBG 171

Biểu đồ 3.15 Mô tả các mức đánh giá của GV về tính hiệu quả của tình huống học tập theo mô hình RME-SBG 172

Biểu đồ 3.16 Mức độ trung bình các tiêu chí đánh giá của GV về tính hiệu quả của các tình huống học tập theo mô hình RME-SBG 173

Biểu đồ 3.17 Mô tả kết quả bài kiểm tra số 1 của HS lớp ĐC và lớp TN sau TN lần 2 185 Biểu đồ 3.18 Mô tả kết quả bài kiểm tra số 2 của HS lớp ĐC và lớp TN sau TN lần 2 185 Biểu đồ 3.19 Mô tả kết quả bài kiểm tra số 3 của HS lớp ĐC và lớp TN sau TN lần 2 186 DANH MỤC CÁC SƠ ĐỒ Sơ đồ 1.1 Toán học hóa khái niệm và ứng dụng (De Lange, J., 1996) 23

Sơ đồ 1.2 Mô tả lại quá THH theo chiều ngang và THH theo chiều dọc (Gravemeijer, K.P.E., 1994) 24

Sơ đồ 1.3 Tiến trình hình thành các kiến thức Giải tích ở trường THPT 50

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ Hình 1.1 Bốn cấp độ của mô hình tự phát triển 18

Hình 1.2 Các con đường THH (Jupri & Paul Drijvers, 2016, tr 4) 25

Hình 1.3 Mô tả một số hoạt động trong lớp học RME (nguồn https://rme.org.uk) 30

Hình 1.4 Mô tả tính diện tích của đa giác thông qua diện tích của các tam giác 43

Hình 1.5 Mô phỏng tính diện tích hình tròn bằng phương pháp “vét cạn” 43

Hình 1.6 Định nghĩa “dãy số có giới hạn là 0” (SGK Đại số và Giải tích 11, tr.112) 50

Hình 1.7 Định nghĩa dãy số có giới hạn là a (SGK Đại số và Giải tích 11, tr.113) 51

Hình 1.8 Định nghĩa hàm số có giới hạn là số L khi x→x0 51

Hình 1.9 Mô tả giới hạn của hàm số dựa trên tiếp cận đồ thị và bằng phương pháp số 52 Hình 1.10 Định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm (SGK Đại số và Giải tích 11) 53 Hình 1.11 Định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm (Kết nối tri thức với cuộc sống) 53

Hình 1.12 Định nghĩa tích phân xác định (Nguồn: SGK Giải tích 12) 54

Hình 1.13 Cầu quay sông Hàn,Việt Nam (nguồn Internet) 57

Hình 1.14 Hố tử thần xuất hiện ở thành phố Fukuoka-Nhật Bản (nguồn Internet) 58

Hình 1.15 Mô tả sự liên tục của hàm số tại một điểm dựa trên đồ thị 58

Hình 2.1 Frans Moerlands (Webb và cộng sự, 2011) 75

Hình 2.2 Đường biểu diễn sự phụ thuộc của số tiền đi taxi vào quãng đường di chuyển86 Hình 2.3 Mô hình toán học mô phỏng động tác ném bóng rổ 99

Hình 2.4 Mô tả quá trình thao tác trên phần mềm GeoGebra 109

Hình 2.5 Một số kết quả từ MHTH ứng với các giá trị khác nhau của r 117

Hình 2.6 Mô hình mô phỏng về các dãy số 120

Hình 2.7 MHTH mô phỏng hình ảnh người cảnh sát giao thông đang làm nhiệm vụ 121

Hình 2.8 Mô hình RME-SBG mô phỏng chuyển động của ô tô trên một đường thẳng 122 Hình 2.9 Các kết quả mô tả vận tốc trung bình của ô tô từ mô hình RME-SBG 124

Hình 2.10 Mô hình toán học mô phỏng vận tốc của ô tô tại thời điểm t =0 5 126

Hình 2.11 Mô phỏng cát tuyến và tiếp tuyến của đường cong 128

Hình 2.12 Mô hình RME-SBG mô phỏng một hình thang cong 131

Hình 2.13 Mô hình toán học mô phỏng hình thang cong MNEQ 133

Hình 2.14 Mô hình RME-GSB mô phỏng mối quan hệ giữa diện tích hình thang cong và nguyên hàm của hàm số 134

Hình 2.15 Mô phỏng phân hoạch diện tích theo các hình chữ nhật trên và dưới 139

Hình 2.16 Phân hoạch trên và phân hoạch dưới theo GeoGebra 140

Hình 2.17 Mô phỏng tổng trên và tổng dưới ứng với số phân hoạch là 1000 và 10000 140 Hình 2.18 Mô tả kết quả tích phân

0 MỞ ĐẦU 0.1 Lí do chọn đề tài

Nâng cao sự hiểu biết của người học là một mục đích của dạy và học toán Khi hiểu, HS có thể ghi nhớ, chuyển kiến thức sang bối cảnh mới, áp dụng khái niệm vào các tình huống mới, xem xét vấn đề từ nhiều góc độ khác nhau và giải thích theo cách có ý nghĩa cho người khác Ngoài việc lĩnh hội được những kiến thức cơ bản, HS cần được trang bị những hiểu biết nhất định về toán học giúp các em thấy được ý nghĩa của toán học không chỉ trong nội bộ môn Toán mà ngay cả phạm vi ngoài toán học Điều này cần HS có khả năng phân tích dữ liệu, nhận dạng các mô hình, xác định được các mối quan hệ, và áp dụng kiến thức của họ vào những tình huống mới lạ và đầy thử thách Bên cạnh đó, GV được kỳ vọng sẽ thúc đẩy tư duy sáng tạo và phản biện cho HS của họ, không chỉ trong các môn Toán mà còn trong một số lĩnh vực khác, đặc biệt liên quan đến môn học của GD STEM Trong khi đó, phương pháp giảng dạy truyền thống dường như không phù hợp cho những vấn đề như vậy Theo cách tiếp cận này, GV giữ vai trò trung tâm và tập trung nhiều vào việc trang bị công thức và cách giải mẫu cho HS HS thường tiếp nhận những kiến thức sẵn có từ GV thay vì chủ động, tìm tòi và khám phá tri thức mới Ngoài ra, với cách dạy học truyền thống, HS được rèn luyện kĩ năng giải toán dựa trên những công thức có sẵn trong SGK hoặc các thuật toán do GV cung cấp mà đôi khi HS chưa thực sự hiểu về nó Điều này dẫn đến việc học trở nên máy móc, thụ động, hơn nữa cách tiếp cận này không phù hợp để cải thiện sự hiểu biết toán học cũng như kĩ năng giải quyết vấn đề của HS HS thường lúng túng, thiếu tự tin khi gặp những tình huống có vấn đề nảy sinh trong cuộc sống hoặc chính trong nội bộ môn Toán

Một trong những vấn đề mà GD toán học phải đối mặt là vấn đề yếu kém trong quá trình học tập của HS, vì HS ít được khuyến khích phát triển khả năng tư duy GV có trách nhiệm quan trọng là phải bồi dưỡng tư duy phản biện của người học và giúp họ tham gia vào quá trình học tập tích cực Cuộc sống của HS ở trường học phải được liên kết với trải nghiệm cuộc sống hàng ngày của các em bên ngoài trường học Điều này sẽ đánh dấu sự rời bỏ lối học sách vở đang tiếp tục định hình nhiều hệ thống GD và tạo ra khoảng cách giữa đi học, đi làm và sống trong xã hội hiện đại Việc coi SGK được quy định là cơ sở duy nhất của kiến thức và hướng dẫn kiểm tra là một trong những lý do chính khiến các nguồn tài liệu khác bị bỏ qua Vì vậy, điều quan trọng là HS phải được phát triển toàn diện cả về kiến thức lẫn kĩ năng Có bốn kĩ năng bậc cao cần thiết: (a) tư duy phản biện và giải

quyết vấn đề, (b) giao tiếp, (c) hợp tác và (d) sáng tạo và đổi mới, còn được gọi là kĩ năng của thế kỷ XXI (xem http:// www.p21.org/); cả bốn đều cần thiết như một phần của một nền GD toàn diện và đầy đủ Tuy nhiên, các lớp học được dạy bằng phương pháp giáo dục truyền thống có thể không phải lúc nào cũng nhấn mạnh những năng lực này Để chuẩn bị cho HS trong tương lai, các trường học nên cho họ cơ hội tham gia vào các hoạt động giải quyết vấn đề trong “thế giới thực” và xây dựng kĩ năng tư duy thông qua các cơ hội học tập thực hành Ngoài ra, các trường học phải nuôi dưỡng một môi trường kích thích sáng tạo, độc lập suy nghĩ và làm việc nhóm để HS sẵn sàng đương đầu với những khó khăn phức tạp họ sẽ đối đầu trong cuộc sống cá nhân và nghề nghiệp của họ

Trước thực tế đó, tại Việt Nam, luật GD 2019 cũng đã xác định rõ, GD phải được

thực hiện theo nguyên lí học đi đôi với hành, lí luận phải gắn liền với thực tiễn, GD nhà trường kết hợp với GD gia đình và GD xã hội” (Mục 2, điều 3, Chương I, luật GD 2019), từ đó phương pháp GD phải “phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của HS phù hợp với đặc trưng từng môn học, lớp học và đặc điểm đối tượng HS; bồi dưỡng phương pháp tự học, hứng thú học tập, kĩ năng hợp tác, khả năng tư duy độc lập; phát triển toàn diện phẩm chất và năng lực của người học; tăng cường ứng dụng công nghệ thông tin và truyền thông vào quá trình GD” (Mục 3, điều 30-Luật GD, 2019) Để thực hiện mục tiêu này, CT GDPT 2018 môn Toán cũng đã nêu ra các yêu cầu cơ bản đối với phương pháp dạy học như sau: (1) Phù hợp với tiến trình nhận thức của HS (đi từ cụ thể đến trừu tượng, từ dễ đến khó); không chỉ coi trọng tính logic của khoa học toán học mà cần chú ý cách tiếp cận dựa trên vốn kinh nghiệm và sự trải nghiệm của HS; (2) Quán triệt tinh thần “lấy người học làm trung tâm”, phát huy tính tích cực, tự giác, chú ý nhu cầu, năng lực nhận thức, cách thức học tập khác nhau của từng cá nhân HS; tổ chức quá trình dạy học theo hướng kiến tạo, trong đó HS được tham gia tìm tòi, phát hiện, suy luận giải quyết vấn đề; (3) Linh hoạt trong việc vận dụng các phương pháp, kĩ thuật dạy học tích cực; khai thác có hiệu quả các phương tiện, thiết bị dạy học nhằm định hướng hình thành và phát triển các năng lực chung (năng lực tự chủ và tự học, năng lực giao tiếp và hợp tác, năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo), các năng lực đặc thù (năng lực tính toán, năng lực ngôn ngữ, năng lực tin học, năng lực thẩm mĩ) (Bộ giáo dục và đào tạo, 2018b)

Qua thực tế giảng dạy toán học nói chung và dạy học Giải tích nói riêng, chúng tôi nhận thấy có ba vấn đề lớn còn tồn tại: (1) GV thường cung cấp các khái niệm, định lí một cách trực tiếp thay vì cho HS được trải nghiệm, khám phá lại con đường hình thành nên

các tri thức đó Điều này dẫn đến một bộ phận HS rất mơ hồ trong việc hiểu bản chất của khái niệm và định lí, đồng thời việc vận dụng các khái niệm và định lí còn mang tính máy móc, thậm chí có những hạn chế trong hiểu biết toán học Với những cách tiếp cận như vậy GV có thể tiết kiệm và rút ngắn được thời gian dạy học, tuy nhiên nó không mang lại nhiều ý nghĩa trong việc hình thành và phát triển một số kĩ năng bậc cao cho người học; (2) Nhiều HS tỏ ra ít quan tâm và hứng thú với việc học các khái niệm trong Giải tích, bởi lẽ các em ít có cơ hội tham gia và thực hiện các hoạt động để khám phá lại toán học Rõ ràng điều này chưa thực sự phù hợp với tuyên ngôn của CT GDPT 2018 môn Toán: “Quán triệt tinh thần “lấy người học làm trung tâm”, phát huy tính tích cực, tự giác, chú ý nhu cầu, năng lực nhận thức, cách thức học tập khác nhau của từng cá nhân HS; tổ chức quá trình dạy học theo hướng kiến tạo, trong đó HS được tham gia tìm tòi, phát hiện, suy luận giải quyết vấn đề”; (3) Khi giải quyết nhiều bài toán thực tế ở cấp THPT, đại đa số HS đều gặp khó khăn và tỏ ra lúng túng Các em có tâm lý e ngại và né tránh khi gặp những bài toán nằm ngoài phạm vi SGK Khi gặp các bài toán hoặc vấn đề gắn với bối cảnh, các em thường có những khó khăn: (i) Đọc hiểu bối cảnh của bài toán; (ii) Chuyển hóa vấn đề trong “thế giới thực” thành bài toán thuần túy toán học và (iii) Giải quyết bài toán toán học đó

Trong khi đó, realistic mathematics education (RME) được nhắc đến như là một lí thuyết Giáo dục, được áp dụng cho giảng dạy toán học Nó được xem một cách tiếp cận lí thuyết để hiểu các khái niệm toán học thông qua kinh nghiệm hằng ngày của HS Trọng tâm của RME là HS có thể khám phá toán học nhưng vẫn dưới sự hướng dẫn của người lớn (giáo viên/giảng viên) Theo đó, việc thực hiện các hoạt động giải quyết “vấn đề gắn với bối cảnh” khiến HS có thể khám phá lại toán học Toán học không nên được coi là một sản phẩm hoàn chỉnh mà là một hoạt động hoặc quá trình Như vậy toán học được trao cho HS không phải ở dạng thành phẩm mà là sẵn sàng để sử dụng như một hình thức hoạt động trong việc xây dựng các khái niệm trong toán học RME bao gồm quan điểm về toán học, HS nên học toán như thế nào và toán học nên được dạy như thế nào Thay vì để HS là người tiếp nhận toán học làm sẵn, HS nên là một người tham gia tích cực, người được định hướng sử dụng các tình huống để khám phá lại toán học bằng cách sử dụng các chiến lược khác nhau mà họ có

Lớp học với RME biến việc học toán thành một trải nghiệm thú vị và có ý nghĩa cho HS bằng cách cung cấp các vấn đề gắn với bối cảnh RME bắt đầu với việc lựa chọn các

vấn đề phù hợp với kinh nghiệm và kiến thức của HS (Laurens, T., Batlolona, F A., Batlolona, J R., & Leasa, M., 2018) Sau đó, GV đóng vai trò là người hướng dẫn để giúp HS giải quyết các vấn đề gắn với bối cảnh Hoạt động này mang lại tác động tích cực đến việc biểu diễn toán học của HS, có liên quan kĩ năng giải quyết vấn đề mà họ có Cách tốt nhất để dạy toán là cung cấp cho HS những kiến thức có ý nghĩa bằng cách giải quyết các vấn đề họ gặp phải hằng ngày hoặc bằng cách giải quyết các vấn đề gắn với bối cảnh RME thay đổi văn hóa học tập theo hướng năng động, thúc đẩy sự tích cực của người học nhưng vẫn nằm trong hành lang của quá trình GD

Tại Việt Nam, lí thuyết RME cũng đã được xem xét, nghiên cứu, triển khai và áp dụng ở nhiều cấp học khác nhau với các môn học khác nhau, từ Hình học, Đại số đến Thống kê và Xác suất Một số kết quả nghiên cứu trong nước về RME của Nguyễn Danh Nam (2020), Trần Cường và Nguyễn Thùy Duyên (2018), Lê Tuấn Anh và Trần Cường (2021), Nguyễn Tiến Trung và cộng sự (2022) mới chỉ dừng lại ở việc xem xét lí thuyết RME theo quan điểm vận dụng kiến thức toán học vào giải quyết các bài toán gắn với thực tiễn Tuy nhiên, đó không phải là mục tiêu chính và đặc trưng cốt lõi của lí thuyết này Hơn nữa, theo hiểu biết của tác giả, tính đến thời điểm hiện tại, ở Việt Nam chưa có một nghiên cứu nào thực sự đầy đủ và rõ ràng về dạy học Giải tích ở trường THPT theo tiếp cận RME

Với mong muốn tiếp tục mở rộng và bổ sung vào các nghiên cứu trước đó, đồng thời hy vọng có thể tìm ra được một cách tiếp cận hiệu quả trong dạy học Giải tích cho HS THPT đã thúc đẩy chúng tôi quyết định lựa chọn đề tài: Dạy học Giải tích ở trường trung học phổ thông theo tiếp cận Giáo dục Toán thực (Realistic mathematics education) làm chủ đề nghiên cứu trọng tâm của luận án

0.2 Tổng quan về vấn đề nghiên cứu

RME được biết đến là một lí thuyết hướng dẫn được phát triển trong và cho GD toán học (Treffers, A., 1987; De Lange, J., 1987; Streefland, 1991, Gravemeijer, K.P.E., 1994; Van den Heuvel-Panhuizen, M., 1996; Da, N.T., 2022, 2023) Nó cung cấp một triết lí giáo khoa về giảng dạy, học tập và thiết kế tài liệu giảng dạy môn Toán Lí thuyết này được phát triển vào năm 1971 bởi một nhóm các nhà toán học từ Viện Freudenthal-Đại học Utrecht của Hà Lan Đại học Utrecht có một cơ quan nghiên cứu đã luôn cố gắng đổi mới việc học toán từ những năm 1970 Nguồn cảm hứng cho công việc này nằm ở niềm tin sâu sắc rằng cộng đồng toàn cầu gồm các nhà nghiên cứu và phát triển GD toán học-bao gồm

cả nhân viên của Viện Freudenthal-có trách nhiệm cung cấp cho HS ở mọi lứa tuổi-bắt đầu từ trẻ nhỏ trong môi trường mầm non-với môi trường học tập tốt nhất có thể để phát triển các kĩ năng và khái niệm toán học Có thể nói RME bắt nguồn từ quan điểm của Freudenthal, H (1991) về toán học Quan điểm ủng hộ của ông trong RME là việc học toán nên bắt đầu với các tình huống thực tế mà HS cần giải quyết Phần lớn trong các công trình nghiên cứu của mình, Freudenthal, H (1991) cho rằng “việc dạy toán cần kết nối với các tình huống liên quan đến cuộc sống hằng ngày, đến xã hội nói chung để có giá trị với người học” Mục tiêu đầy tham vọng và tinh túy của Freudenthal là “toán học cho tất cả” luôn là kim chỉ nam của Viện trong nghiên cứu và phát triển GD toán học

Sau thành công của RME ở Hà Lan, lí thuyết dạy học này đã được áp dụng trong những năm 1990 ở Wisconsin, Hoa Kỳ trong một dự án có tên là Toán học trong ngữ cảnh (Mathematics in Context-MiC) Năm 2003, các nhà nghiên cứu từ Đại học Manchester Metropolitan (MMU) đã mua một bộ tài liệu MiC, với mục đích đào tạo GV sử dụng chúng trong một dự án có trụ sở tại một số trường học địa phương Điều cần thiết cho sự thành công của dự án là GV phải hiểu triết lí của lí thuyết RME và cơ sở nền tảng của nó về cách trẻ em học toán

Sự phát triển của RME và việc triển khai nó là công việc của nhiều người Do sự tham gia cá nhân của họ, RME đã trở thành một địa chỉ có uy tín trong GD toán học, về lí thuyết và thực hành cũng như nghiên cứu và phát triển Hơn nữa, điều này không chỉ áp dụng ở cấp quốc gia mà còn được triển khai trên phạm vi quốc tế (Van den Heuvel-Panhuizen, M., 2020) Lí thuyết RME không phải là mới, nhưng điều mới là các kết quả nghiên cứu cho thấy RME không phải là cách tiếp cận “địa phương” đối với GD toán học-mà thực tế, RME đã xuất hiện ở một số quốc gia khác ngoài Hà Lan

Qua thời gian cùng với sự phát triển và hoàn thiện của mình, lí thuyết RME đã có những ảnh hưởng nhất định đối với sự phát triển của nhiều nền GD toán học trên thế giới Nhiều nhà nghiên cứu đã tham gia tranh luận về những khía cạnh của RME đã hấp dẫn họ và giải thích cách RME đã ảnh hưởng đến suy nghĩ của họ về GD toán học, các dự án dựa trên RME mà họ đang thực hiện và đôi khi, RME thậm chí đã thay đổi các khía cạnh truyền thống của việc dạy và học toán của quốc gia họ như thế nào Các nghiên cứu xoay quanh các chủ đề sau: (1) Làm quen với RME, mô tả về những trải nghiệm đầu tiên với RME; (2) Tập trung làm rõ các đặc trưng nổi bật của RME; (3) Quá trình triển khai RME và

những thách thức của chúng; (4) Các điều chỉnh của RME; (5) Những quan điểm không ủng hộ RME

Mặc dù phần lớn nghiên cứu về RME đến từ Hà Lan, nhưng có một số bằng chứng về tác động của nó từ các quốc gia khác Khi nghiên cứu một số công bố quốc tế về RME, người ta thấy rằng RME nhằm mục đích cải thiện kĩ năng giao tiếp toán học của HS (Trisnawati, Pratiwib, R., & Waziana, W., 2018; Hirza, B., & Kusumah, Y S., 2014), năng lực toán học (Sumirattana, S., Makanong, A & Thipkong, S., 2017) và kĩ năng tư duy phản biện (Cahyaningsih, U., & Nahdi, D S., 2021)

Một nghiên cứu ở Thổ Nhĩ Kỳ cho thấy RME có thể làm tăng sự quan tâm và đánh giá của HS đối với toán học (Papadakis, S., Kalogiannakis, M., & Zaranis, N., 2017) Nghiên cứu ở Hy Lạp chỉ ra rằng RME có thể góp phần phát triển năng lực toán học ở HS 4 và 6 tuổi (Papadakis và cộng sự, 2017) Các GV tham gia vào một dự án khám phá RME của Vương quốc Anh nhìn chung đồng ý rằng HS tích cực hơn về môn Toán khi được dạy bằng RME so với những HS được dạy bằng các phương pháp truyền thống (Searle, J., & Barmby, P., 2012)

Một số bằng chứng khác đã chỉ ra rằng, RME có thể nâng cao tư duy logic, phản biện và sáng tạo của HS (Usdiyana, D., Purniati, T., Yulianti, K., & Harningsih, E., 2013; Saefudin, A A., 2012; Sembiring, R K., Hadi, S., & Dolk, M., 2008) Nó giúp xây dựng nhận thức của người học ở mọi giai đoạn của tư duy sáng tạo Dựa trên một số tài liệu và nghiên cứu, quá trình tư duy sáng tạo thực sự được định hướng nhiều hơn và tập trung vào các chức năng nhận thức và trí tuệ của cá nhân, đặc biệt là trong các giải quyết vấn đề sáng tạo (Almeida, L.S., Prieto, L.P., Ferrando, M., Oliveira, E., & Ferrándiz, C., 2008) Kuiper và Knuver (được trích dẫn trong Suherman & Erman, 2003) đã chỉ ra rằng việc học sử dụng phương pháp RME có thể: (1) Làm cho việc học toán trở nên thú vị hơn, phù hợp hơn, có ý nghĩa, ít hình thức và ít trừu tượng hơn; (2) Chú trọng mức độ năng lực của HS; (3) Nhấn mạnh việc học toán bằng làm toán; (4) Tạo điều kiện giải quyết các vấn đề mà không sử dụng các giải pháp có tính thuật toán, hay phải theo quy trình tiêu chuẩn và (5) lấy “bối cảnh thực” làm xuất phát điểm của học toán

Trong cách tiếp cận RME, HS được khuyến khích trao đổi ý kiến, phản biện ý tưởng của HS khác và việc học hỏi từ ý kiến của HS khác được cho là một việc làm cần thiết Tình huống này sẽ rèn luyện tính độc lập trong học tập của HS Nói cách khác, cách tiếp cận RME đòi hỏi sự tham gia của tính độc lập trong học tập của HS (Fauzan, A., Plomp,

T., & Gravemeijer, K.P.E., 2013) Những kết quả mới đây đã nhấn mạnh đến một số ảnh hưởng của RME trong học tập toán học Một số trong đó đã báo cáo hiệu quả của RME trong việc cải thiện khả năng giải quyết vấn đề và thành tích nhận thức của HS (Laurens và cộng sự, 2018; Da, N.T., 2023) Bên cạnh đó, Nurhayati, D M và Hartono (2017) cũng điều tra sự khác biệt về quan niệm hiểu biết của HS trung học cơ sở tham gia vào học tập dựa trên mô hình STAD (Student Teams Achievement Division) kết hợp với RME và những HS đã đăng ký vào một lớp học truyền thống

Đáng chú ý hơn, theo một số nghiên cứu gần đây, việc học theo tiếp cận RME có thể cải thiện: kĩ năng đọc viết của HS (Sumirattana và cộng sự, 2017); kĩ năng giao tiếp toán học của HS (Habsah, F., 2017; Sa’id, I A., Pambudi, D S., Hobri, Safik, M., & Insani, K., 2021); kĩ năng tư duy bậc cao (Fadlila, N., & Sagala, P N., 2021), và cả kĩ năng giải quyết vấn đề và sự tự tin toán học (Yuanita, P., Zulnaidi, H & Zakaria, E., 2018; Da, N.T., 2023) Nghiên cứu của Muchlis chỉ ra rằng khả năng giải quyết vấn đề toán học của những HS học theo cách tiếp cận RME tốt hơn đáng kể so với những HS học theo cách tiếp cận thông thường (Efrida, E., Halaman, M., & Muchlis, E E., 2012)

Trong dạy học thống kê, kết quả trong Duong Huu Tong và cộng sự (2021) cho thấy rằng các giai đoạn dạy học được thiết kế theo định hướng RME kích thích tính chủ động chiếm lĩnh tri thức, tính hợp tác trong học tập của HS, giao tiếp toán học, kĩ năng tư duy phê phán, cũng như tăng cường sự tương tác giữa chủ thể GV-HS và HS-HS trong lớp học Qua đó cho thấy THH theo chiều ngang và THH theo chiều dọc của HS diễn ra trong các khâu dạy học và đạt hiệu quả rõ rệt Kết quả nghiên cứu có sự tương đồng với một số nghiên cứu của các tác giả Sumirattana và cộng sự (2017); Yuanita và cộng sự (2018); Deniz, O và Kabael, T (2017); Andriani, L và Fauzan, A (2019); Lộc và Hảo (2016); Lộc và Tiên (2020); Laurens và cộng sự (2018); Aggraini, R S và Fuzan, A (2018); Trisnawati và cộng sự (2018); Widada, W., Herawaty, D., Yanti, D và Izzawati, D (2018)

Ngoài ra, một số nghiên cứu về RME trong dạy học Toán ở Việt Nam cũng đã được đề cập trong các công trình, bài viết của các tác giả tiêu biểu khác như Nguyễn Danh Nam

(2020): Một số vấn đề về GD Toán học gắn với thực tiễn; Trần Cường và Nguyễn Thùy Duyên (2018): Tìm hiểu lí thuyết GD Toán học gắn với thực tiễn và vận dựng xây dựng Bài tập thực tiễn trong dạy học môn Toán; Lê Thùy Trang, Phạm Anh Giang và Nguyễn Tiến Trung (2021) với nghiên cứu: Vận dụng lí thuyết GD Toán thực (RME) trong dạy

học- một số nguyên tắc, thách thức và khuyến nghị; Lê Tuấn Anh và Trần Cường (2020): Bàn về tiếp cận và một số biện pháp vận dụng lí thuyết RME trong dạy học môn toán ở Việt Nam Nhìn chung các nghiên cứu đều tập trung làm rõ cách thức vận dụng RME vào

thực tiễn dạy học môn Toán, đồng thời cũng đưa ra một số gợi ý về khả năng vận dụng lí thuyết này vào thực tiễn dạy học môn Toán tại Việt Nam

Trên thế giới đã có một số nghiên cứu về dạy học một số nội dung của Giải tích theo tiếp cận RME, có thể kể đến như Gravemeijer, K.P.E (1999): Sử dụng vấn đề theo bối cảnh (context problem) để xây dựng sự hiểu biết về khái niệm trong Giải tích; Arnellis, A Fauzan, IM Arnawa (2020): Xác định sự ảnh hưởng của RME đến kết quả học tập môn toán của HS về môn Giải tích theo định hướng phát triển tư duy bậc cao; Raweerote Suparatulatorn, Nipa Jun-on, Ye-Yoon Hong, Pimpaka Intaros và Sarawut Suwannaut (2023): Nghiên cứu cách giải quyết vấn đề của GV dạy toán trong việc kết hợp công nghệ

và RME thông qua dạy học Định lí giá trị trung bình; Khairudin, Ahmad Fauzan, Armiati

(2022): Chỉ ra một tiếp cận mới trong dạy học giới hạn và đạo hàm dựa trên sự kết hợp của RME và GeoGebra Các nghiên cứu này đều chỉ ra rằng việc dạy học theo RME đã có những tác động tích cực đến sự hiểu biết toán học của HS, ít nhất là trong việc hỗ trợ HS học các khái niệm trừu tượng của Giải tích như giới hạn, đạo hàm và tích phân

Tại Việt Nam đã có một số công trình (bài báo, luận án) nghiên cứu về dạy học Giải tích ở trường trung học phổ thông của một số tác giả tiêu biểu như Nguyễn Mạnh Chung (2001); Nguyễn Phú Lộc (2010); Phạm Sỹ Nam (2013); Thịnh Thị Bạch Tuyết (2016) Cụ thể:

Nguyễn Mạnh Chung (2001) đã xây dựng hệ thống các biện pháp sư phạm cùng với một quy trình dạy học khái niệm hàm số và giới hạn nhằm nâng cao hiệu quả dạy học khái niệm toán học ở trường trung học phổ thông, trong đó nhấn mạnh các bước: (1) Làm nảy sinh nhu cầu nhận thức khái niệm toán học; (2) Phát hiện dấu hiệu bản chất của khái niệm; (3) Định nghĩa khái niệm dưới nhiều hình thức khác nhau; (4) Phân chia khái niệm, hệ thống hóa khái niệm vừa được hình thành vào hệ thống khái niệm được học; (5) Luyện tập vận dụng khái niệm vào các tình huống cụ thể

Nguyễn Phú Lộc (2010) đã phát triển các mô hình dạy học môn Giải tích như: dạy học môn Giải tích với mối liên hệ giữa cái chung và cái riêng; dạy học môn Giải tích với các mô hình quy nạp; dạy học môn Giải tích với giả thuyết khoa học; Mô hình phát hiện dạng – mẫu

Phạm Sỹ Nam (2013) với đề tài: Nâng cao hiệu quả dạy học một số khái niệm Giải tích cho HS trung học phổ thông chuyên toán trên cơ sở vận dụng lí thuyết kiến tạo” đã đề xuất 4 biện pháp dạy học các khái niệm Giải tích theo lí thuyết kiến tạo Bao gồm: (1) Sử dụng các nghịch lí liên quan đến khái niệm nhằm tạo động cơ học tập cho HS; (2) Tổ chức các hoạt động nhằm giúp HS thấy được sự tồn tại của khái niệm trong toán học hoặc trong thực tiễn cuộc sống thông qua việc tìm hiểu lịch sử phát triển của khái niệm; (3) Sử dụng các biểu diễn trực quan, trực quan động nhằm thu hút sự chú ý của HS, từ đó tạo động cơ để HS tham gia tìm hiểu, giải thích hiện tượng, kết quả

Luận án tiến sĩ của Trần Anh Dũng (2013), “Dạy học hàm số liên tục ở trường trung học phổ thông”, là một nghiên cứu chuyên biệt về hàm liên tục trên cơ cở vận dụng

một số công cụ lí thuyết Didactic trong sự kết nối với quan điểm của lí thuyết kiến tạo

Luận án của Thịnh Thị Bạch Tuyết (2016) đã đề xuất 03 biện pháp sư phạm nhằm phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho HS THPT thông qua dạy học Giải tích dựa trên việc trang bị một số thủ pháp hoạt động nhận thức cho HS

Các công trình nghiên cứu nói trên về Giải tích đã khai thác về quy trình dạy học khái niệm Giải tích, mô hình dạy học Giải tích nhưng chưa có một công trình nào đề cập đến dạy học Giải tích theo tiếp cận Giáo dục Toán thực (RME)

0.3 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu đề xuất các biện pháp dạy học Giải tích theo tiếp cận Giáo dục toán thực

(Realistic Mathematics Education) nhằm nâng cao sự hứng thú học tập và nâng cao hiểu

biết toán học cho học sinh THPT, qua đó góp phần nâng cao hiệu quả dạy học Giải tích

trong nhà trường THPT

0.4 Khách thể, đối tượng nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu

4.1 Khách thể nghiên cứu

Hoạt động dạy học Giải tích ở trường THPT 4.2 Đối tượng nghiên cứu

Lí thuyết RME trong dạy học Giải tích cho HS THPT

4.3 Phạm vi nghiên cứu

Nội dung Giải tích trong chương trình và sách giáo khoa toán cấp THPT

0.5 Giả thuyết khoa học

Tiếp cận Giáo dục Toán thực giúp học sinh học tập nội dung Giải tích thông qua các vấn đề thực tế, từ đó giúp các em hiểu rõ ý nghĩa của kiến thức và tăng hứng thú với môn học Đồng thời góp phần nâng cao hiệu quả dạy học Giải tích ở trường THPT

0.6 Nhiệm vụ nghiên cứu

Luận án có nhiệm vụ sau:

- Nghiên cứu về nội dung Giải tích trong SGK Toán ở cả hai chương trình 2006 và 2018

- Tổng hợp một số nghiên cứu trong và ngoài nước liên quan đến lí thuyết RME - Tổng hợp một số nghiên cứu trong và ngoài nước liên quan đến dạy học Giải tích cho HS THPT

- Làm rõ các đặc trưng cốt lõi của lí thuyết RME và nguyên tắc dạy học theo lí thuyết này

- Làm rõ cách hiểu về RME và tiếp cận RME trong thực tiễn dạy học Giải tích cho HS THPT tại Việt Nam

- Đề xuất các biện pháp dạy học Giải tích theo tiếp cận RME nhằm nâng cao sự hứng thú học tập, hiểu biết toán học cho HS THPT

- Thực nghiệm sư phạm để bước đầu kiểm tra tính khả thi và tính hiệu quả của các biện pháp sư phạm đã đề xuất

0.7 Phương pháp nghiên cứu

0.7.1 Phương pháp nghiên cứu lí luận:

- Nghiên cứu các tài liệu về tâm lí học, giáo dục học và lí luận dạy học bộ môn Toán

có liên quan đến đề tài

- Nghiên cứu nội dung Giải tích trong SGK Toán ở cả hai CT 2006 và CT 2018 - Tìm hiểu và nghiên cứu các quan điểm của các nhà nghiên cứu trong nước về tiếp cận RME và cách thức vận dụng lí thuyết này vào thực tiễn dạy học môn Toán tại Việt Nam

- Tìm hiểu và nghiên cứu các công trình khoa học ở trong và ngoài nước có liên quan đến lí thuyết RME

- Tìm hiểu và nghiên cứu các công trình khoa học ở trong và ngoài nước có liên quan đến dạy học Giải tích cho HS THPT

0.7.2 Phương pháp điều tra và quan sát:

Sử dụng phiếu điều tra nhằm mục đích:

(1) Tìm hiểu về thực trạng của việc sử dụng các phương pháp và kĩ thuật dạy học của GV Toán trong hoạt động dạy học Giải tích ở trường THPT

(2) Tìm hiểu về những khó khăn của GV trong việc dạy và khó khăn của HS trong

việc học Giải tích tại một số trường THPT của Việt Nam hiện nay

0.7.3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm

Tổ chức thực nghiệm sư phạm để xem xét tính khả thi và tính hiệu quả của các biện

pháp sư phạm được đề xuất

0.7.4 Phương pháp thống kê toán học trong khoa học giáo dục

Phân tích định lượng các kết quả thực nghiệm sư phạm, làm cơ sở để minh chứng

cho tính hiệu quả của đề tài

0.8 Những đóng góp mới của luận án

0.8.1 Về mặt lí luận

- Làm rõ những vấn đề về lí thuyết RME:

(1) Bối cảnh lịch sử của việc hình thành lí thuyết RME

(2) Các đặc trưng cơ bản của RME, nguyên tắc dạy và học theo lí thuyết RME trong GD Toán học

(3) Làm rõ cách tiếp cận RME trong dạy học Giải tích

0.8.2 Về mặt thực tiễn

- Đề xuất 03 biện pháp góp phần hỗ trợ GV trong việc thiết kế bài học trong dạy học Giải tích theo tiếp cận RME

- Đưa ra các hướng dẫn sư phạm cụ thể cho việc dạy học Giải tích theo tiếp cận RME - Cung cấp tài liệu tham khảo cho GV, góp phần nâng cao hiệu quả dạy học môn Toán ở trường THPT

- Góp phần đổi mới phương pháp dạy học môn Toán, chứng minh cho tính khả thi của dạy học Giải tích theo tiếp cận RME vào việc nâng cao sự hứng thú học tập và nâng cao hiểu biết toán học của HS THPT

0.9 Nội dung đưa ra bảo vệ

- Cách thức dạy học Giải tích cho HS THPT theo tiếp cận Giáo dục toán thực (RME) - Các biện pháp sư phạm trong dạy học Giải tích theo tiếp cận RME góp phần nâng cao sự hứng thú học tập, nâng cao hiểu biết toán học của HS THPT là khả thi và hiệu quả

0.10 Cấu trúc của luận án

Ngoài Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo và các phụ lục, nội dung chính của luận án gồm 03 Chương:

Chương 1 Cơ sở lí luận và thực tiễn

Chương 2 Đề xuất các biện pháp dạy học Giải tích ở trường trung học phổ thông theo

tiếp cận Giáo dục toán thực

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 Các khái niệm, thuật ngữ được dùng trong luận án

1.1.1 Cách hiểu về nghĩa của từ “Realistic” và thuật ngữ “Realistic Mathematics Education”

Theo quan điểm của Niss (Van den Heuvel-Panhuizen, M., 2020), ông cho rằng có

sự khác biệt trong việc nhấn mạnh ý nghĩa của từ “Realistic” (thực, thực tế) ở Đan Mạch

và ở Hà Lan Theo cách giải thích của RME, “thực” và “thực tế” nghiêng về việc đề cập đến thế giới kinh nghiệm hoặc cảm xúc của HS và không nhất thiết phải là thực tế trong thế giới bên ngoài Hơn nữa, trong RME, những câu chuyện cổ tích hoặc trò chơi giả tưởng đều được coi là có thật và thực tế nếu chúng là như vậy đối với HS Điều này trái ngược với lập trường của Đan Mạch có xu hướng nhấn mạnh thực tế khách quan bên ngoài của môi trường xung quanh nơi HS sống như gia đình, bạn bè, trường học, cộng đồng địa phương, hoặc các lĩnh vực khoa học, lĩnh vực thực hành Trong khi đó với RME, từ “Realistic” bao gồm cả các bài toán dựa trên các tình huống trong thế giới thực và các bài toán mà HS có thể trải nghiệm như thật-liên quan đến “thực tế” theo nghĩa “hiện thực hóa”; tạo ra một tình huống “thật” cho chính HS

Vì thuật ngữ “realistic” nên RME thường được hiểu nhầm là xu hướng này tập trung vào thực tiễn và tính xác thực (authentic) của vấn đề Theo Van den Heuvel-Panhuizen, M (2003, 2014), “realistic” xuất phát từ một động từ trong Tiếng Hà Lan “zich realiseren” có nghĩa là “tưởng tượng” và từ “realistic” đề cập tới việc HS được đặt vào tình huống vấn đề mà họ có thể tưởng tượng hơn là việc đề cập tới tính thực tế hoặc thực tiễn của vấn đề Đồng quan điểm với Niss thì Lê Tuấn Anh (2020) cũng cho rằng ngay cả những câu chuyện cổ hoặc những bài toán thuần túy cũng có thể là bối cảnh phù hợp miễn là chúng có thực trong suy nghĩ của HS” Như vậy, từ “thực” mà tác giả sử dụng trong luận án này phải được hiểu theo nghĩa rộng, bao hàm cả những những vấn đề có thực trong cuộc sống và những vấn đề có thực trong suy nghĩ của HS để các em có thể tưởng tượng và tham gia vào quá trình học tập

Tại Việt Nam, trong các công trình khoa học (bài báo, luận văn, sách chuyên khảo) cụm từ “Realistic mathematics education” xuất hiện với nhiều tên gọi khác nhau (Lê Tuấn Anh, 2020): Giáo dục Toán thực tiễn; Giáo dục Toán học gắn với thực tiễn; Giáo dục Toán học gắn liền với thực tế; Giáo dục Toán học trong thế giới thực; Giáo dục Toán thực; Toán học thực tế; Toán học trong ngữ cảnh Mặc dù vẫn chưa có sự thống nhất chung trong

cách gọi tên, tuy nhiên trong luận án này, tác giả sẽ sử dụng thuật ngữ “Giáo dục toán thực” để thay thế cho thuật ngữ gốc “Realistic Mathematics Education” (gọi tắt là RME) Do vậy, từ bây giờ trong tất cả các nội dung diễn đạt của luận án, khi chúng tôi nói đến RME là ngụ ý đề cập đến tên gọi “Giáo dục toán thực”

1.1.2 Vấn đề gắn với bối cảnh, bài toán gắn với bối cảnh

Trong RME, các vấn đề gắn với bối cảnh nhằm mục đích hỗ trợ HS thực hiện quá

trình khám phá toán học để nắm bắt được toán học hình thức Những “vấn đề gắn với bối cảnh” là “những vấn đề mà tình huống của vấn đề có thực theo kinh nghiệm của HS”

(Gravemeijer, K.P.E., & Doorman, M., 1999, tr 111), có thể gắn với thực tiễn hoặc xuất hiện trong nội bộ môn Toán (Gravemeijer, K.P.E., & Doorman, M., 1999, tr 111; Van den Heuvel-Panhuizen, M., 2000, tr 4) Theo đó, tác giả sử dụng cách hiểu sau đây khi nói về

“bài toán gắn với bối cảnh”: Bài toán gắn với bối cảnh là “bài toán mà giả thiết và kết luận

của bài toán có thực theo kinh nghiệm hoặc hiểu biết của HS, có thể gắn với thực tiễn hoặc xuất hiện trong nội bộ môn Toán”

Có thể nói “bối cảnh” trong RME là khá quan trọng, bởi lẽ bối cảnh là nguồn gốc chứa đựng hoạt động của HS Bối cảnh được phân thành 4 loại, bao gồm: (1) Bối cảnh không bao giờ xảy ra, do con người nghĩ ra, tưởng tượng ra,… nhưng vẫn có những từ, thuật ngữ trong thực tiễn; (2) Bối cảnh có những yếu tố thực tiễn: có một số từ, thuật ngữ, nội dung có trong thực tiễn, rất hiếm khi xảy ra; (3) Bối cảnh có những yếu tố thực tiễn nhưng đã mô hình hóa, toán học hóa (lược đi hoặc đơn giản đi những nội dung thực tiễn) nhưng gần gũi với HS; (4) Bối cảnh được lấy từ thực tế, có xảy ra, HS nhận thức được và thiết thực với HS (dẫn theo Nguyễn Tiến Trung và cộng sự, 2022)

1.2 Một số quan niệm về RME

Hiện nay, theo nghiên cứu của chúng tôi, vẫn còn nhiều quan niệm khác nhau liên quan đến cách hiểu về RME Các nghiên cứu của Searle và Barmby (2012), Sumitro (2008) khẳng định RME được định nghĩa là học tập theo bối cảnh, có nghĩa là HS học toán thông qua việc tham gia giải quyết vấn đề thực tế trong bối cảnh có ý nghĩa Một số nghiên cứu

khác lại thừa nhận rằng RME là một lí thuyết học tập xuất phát từ những điều tự nhiên

hoặc trải nghiệm của HS (Laurens, T., Batlolona, F A., Batlolona, J R., & Leasa, M., 2017) Theo họ, lí thuyết này nhấn mạnh các kĩ năng tư duy, lập luận, xử lí, thảo luận và hợp tác để HS có thể tự giải quyết vấn đề Cuối cùng, HS có thể thực hiện các hoạt động toán học để giải quyết các vấn đề trong cuộc sống hằng ngày của họ, cả cá nhân và hoặc

của một nhóm (Herman, M., Arnawa, I M., & Ardipal, A., 2019) Có ý kiến khác lại quan niệm RME là một phương pháp học tập có thể xây dựng các khái niệm toán học trong cuộc sống hằng ngày (Putri Yuanita, Hutkemri Zulnaidi, Effandi Zakaria, 2020; Rahayu, W., Prahmana, R C I., & Istiandaru, A., 2021; Suwandayani, B I., Ekowati, D W., & Fadillah, A N., 2020) Đồng ý với quan điểm này, Usman Mulbar và Ahmad Zaki (2018) cho rằng RME là một phương pháp học tập sáng tạo, nhấn mạnh vào toán học với tư cách là một hoạt động của con người phải gắn liền với đời sống thực tế, sử dụng bối cảnh thế giới thực như điểm khởi đầu của việc học Ngoài ra, họ còn cho rằng việc học toán sẽ có ý nghĩa và hợp lí hơn khi sử dụng phương pháp RME (Heriyadi & Prahmana, 2020) Điều này là do RME luôn trình bày và kết nối mọi vấn đề toán học trong bối cảnh thực tế để quá trình học tập của HS gắn liền với trải nghiệm của các em trong cuộc sống hằng ngày (Hough, S., Gough, S., & Solomon, Y., 2019; Purwitaningrum, R., & Prahmana, R C I., 2021) Cũng đồng quan điểm như trên, Hutkemri Zulnaidi và cộng sự (2018) cho rằng RME là một phương pháp học tập sáng tạo nhấn mạnh toán học như một hoạt động của con người và phải gắn liền với cuộc sống thực, lấy bối cảnh thế giới thực làm xuất phát điểm của việc học

1.3 Đặc trưng cơ bản của RME

Năm 1987, Adri Treffers công bố khung lý thuyết về GD Toán học theo lĩnh vực cụ thể Khung này là được xây dựng dựa trên công trình của Wiskobas, được thành lập với sự cộng tác của Freudenthal, H (1968, 1973) và ý tưởng của ông về GD Toán học Sau đó, lí thuyết RME đã được đúc kết lại trong ba thuật ngữ: Khám phá có hướng dẫn (Guided reinvention), hiện tượng học trong dạy học (Didactical phenomenology) và mô hình tự phát triển (Self-developed model) (Gravemeijer, K.P.E., 1999) Tuy nhiên, trong luận án này chúng tôi chỉ tiếp cận RME với hai đặc trưng chính là “Khám phá có hướng dẫn” và “mô hình tự phát triển”

1.3.1 Khám phá có hướng dẫn (Guided-reinvention)

Khám phá có hướng dẫn phản ánh ý tưởng của Freudenthal, H (1973) rằng HS nên trải nghiệm toán học như một hoạt động của con người và khám phá toán học dưới sự hướng dẫn của GV Lịch sử toán học là một nguồn cảm hứng rõ ràng để thiết kế một lộ trình mà HS có thể khám phá toán học này Freudenthal dùng thuật ngữ “khám phá có hướng dẫn” bởi lẽ ông cho rằng HS được kỳ vọng sẽ tìm thấy thứ gì đó mới và chưa được biết đến với họ nhưng được GV biết đến

Điểm xuất phát cho tư tưởng của Freudenthal là trong bài phê bình của ông về GD Toán học truyền thống Freudenthal có niềm tin mãnh liệt rằng toán học là một hoạt động của con người, nghĩa là toán học là một tiến trình Ông ấy quyết liệt phản đối việc lấy kết quả hoạt động toán học của người khác làm điểm khởi đầu hơn là dạy chính hoạt động đó (Freudenthal, H.,1973) Ông giải thích rằng: “Toán học như một hoạt động là một quan điểm khá khác biệt so với toán học được in trong sách và in sâu vào tâm trí” Sản phẩm của hoạt động toán học được hiểu theo nghĩa rộng không chỉ bao gồm các mệnh đề và Định lí, mà còn bao gồm “các chứng minh, thậm chí cả các định nghĩa và ký hiệu, cũng như bố cục, trong bản in và suy nghĩ” (Freudenthal, H., 1991, tr 14-15) Theo đó, một giải pháp thay thế mà ông ủng hộ rằng GD Toán học nên áp dụng xuất phát điểm chủ yếu ở toán học như một hoạt động, chứ không phải toán học như một hệ thống làm sẵn (Freudenthal, H., 1973, 1991)

“Những gì con người phải học không phải là toán học như một hệ thống khép kín, mà là một hoạt động, quá trình toán học hóa thực tế và nếu có thể, thậm chí là của toán học hóa toán học.” (Freudenthal, H., 1968, tr 7)

Lí thuyết RME nhằm mục đích cho phép HS kết nối các đại diện không chính thức của họ với toán học hình thức, xây dựng từ sự hiểu biết chung về các bối cảnh có thể tưởng tượng để nhận ra sự giống nhau về mặt toán học của các vấn đề khác nhau và khả năng chọn một mô hình thích hợp để giải quyết một vấn đề (Van den Heuvel-Panhuizen, M., 2003) Đặc trưng “khám phá có hướng dẫn” này không chỉ đòi hỏi những thực hành cụ thể từ phía GV, nó còn đòi hỏi các phương thức tham gia tương ứng của HS Chúng bao gồm: các chuẩn mực xã hội trong giao tiếp (ví dụ: HS lắng nghe những đóng góp của người khác và đặt câu hỏi khi họ không đồng ý hoặc không hiểu; GV tránh nói nếu chiến lược/giải pháp là đúng hoặc sai); Việc sử dụng các bản phác thảo và sơ đồ giải quyết vấn đề của HS; Các phương thức phản hồi và điều phối của GV như yêu cầu giải thích/đồng ý, nêu bật các chiến lược và giải pháp khác nhau của HS

Freudenthal cũng nhấn mạnh tầm quan trọng của việc “khám phá có hướng dẫn” Quan điểm này nói rằng HS phải được tạo cơ hội để trải nghiệm việc học toán trong một quá trình tương tự như cách toán học được phát minh (Gravemeijer, K.P.E., 1994; Bakker, A., 2004) Các hoạt động hướng dẫn được sử dụng phải cung cấp HS với các tình huống thực tế theo kinh nghiệm mà từ đó các em có thể hình thành hoặc xây dựng kiến thức Ban đầu, các em cần huy động kiến thức, suy nghĩ tìm con đường giải quyết vấn đề và phỏng

đoán xem giải pháp đó có phù hợp hay không HS không học toán bằng cách đoán xem GV nghĩ gì, thay vào đó, HS nên bằng cách tự mình tìm ra mọi thứ (Gravemeijer, K P E., 2020) Quá trình tư duy này, theo RME, là quan trọng hơn việc đạt được khái niệm, định lí toán học thuần túy HS có thể không được mong đợi để “lặp lại quá trình học tập của nhân loại” (Freudenthal, H., 1991, tr 48), tuy nhiên, họ sẽ có cơ hội khám phá toán học dưới sự hướng dẫn của GV, tài liệu học tập hoặc sự trợ giúp đến từ một cá nhân hoặc một nhóm HS khác

Tuy nhiên, chúng ta cần hiểu thêm rằng, HS không được kỳ vọng sẽ tự khám phá lại mọi thứ Việc tổ chức cho HS khám phá lại tất cả những kiến thức liên quan đến môn học mà xã hội mong muốn họ lĩnh hội là không thể, điều này trước hết do không đủ quỹ thời gian làm việc đó I.Ia.Leùcne (1977) cũng nhấn mạnh:

“Do bản chất xã hội của nó, dạy học là truyền thụ kinh nghiệm do xã hội tích lũy cho thế hệ trẻ cho nên một tổ chức dạy học trong đó học sinh phải khám lại tất cả những điều mà loài người biết được trước đây và được quy định trong các chương trình học, là một điều ít nhất cũng là kì quái”

1.3.2 Mô hình tự phát triển (Self-developed model)

Một mô hình có thể “… liên quan đến việc tạo bản vẽ, sơ đồ hoặc bảng hoặc nó có thể liên quan đến việc phát triển các ký hiệu không chính thức hoặc sử dụng các ký hiệu toán học thông thường” (Gravemeijer, K P E.,1999; Gravemeijer, K P E., van Galen, F., & Keijzer, R., 2005, tr 3) Các mô hình RME được phát triển để hỗ trợ tiến đến THH và hỗ trợ HS tiến bộ từ hoạt động toán học phi hình thức đến hoạt động toán học hình thức (Bakker, A., 2004; Doorman, L.M., 2005)

RME bắt đầu bằng những vấn đề gắn với bối cảnh Đã có nhiều báo cáo cho thấy HS rất sáng tạo và thành công khi được yêu cầu giải các bài toán mới, hấp dẫn, theo bối cảnh Có thể kể đến công trình của Lesh, R và Harel, G (2003) về các hoạt động khơi gợi mô hình, trong đó hoạt động của HS không phải là áp dụng các ý tưởng toán học mà là phát triển các ý tưởng toán học mới Vấn đề được đặt trong bối cảnh đủ thực tế đối với HS để quá trình giải quyết vấn đề có ý nghĩa đối với họ Các mô hình bắt đầu theo bối cảnh cụ thể và sẽ phát triển thành các thực thể toán học trừu tượng hơn, hướng đến việc phát triển các lập luận của toán học hình thức Các mô hình này xuất hiện từ các hoạt động của HS kết hợp với lập luận toán học được nhắm mục tiêu trong việc phát triển các khái niệm có liên quan Cuối cùng, “mô hình của” hoạt động toán học phi hình thức phải phát triển thành

“mô hình cho” lập luận toán học hình thức Trong cách tiếp cận RME, các mô hình không được coi là các thực thể bên ngoài đối với HS Các mô hình được tạo ra một cách có nhận thức từ ý nghĩa mà HS thực hiện trong các tình huống nhất định

Phương pháp tiếp cận “mô hình tự phát triển” tập trung vào các quá trình học tập dài hạn, trong đó một mô hình phát triển từ một mô hình không chính thức, gắn liền với bối cảnh, thành một mô hình phức tạp hơn Những “mô hình tự phát triển” này được coi là bắt nguồn từ hoạt động trong và lí luận về các tình huống nhất định Mô hình và tình huống được mô hình hóa cùng phát triển và được cấu thành lẫn nhau trong quá trình hoạt động mô hình hóa

Gravemeijer, K P E (1994, tr 101) đã đề xuất “mô hình tự phát triển” (“Self-developed model”) bằng cách phân biệt 4 cấp độ của mô hình bao gồm: cấp độ tình huống, cấp độ “mô hình của”, cấp độ “mô hình cho” và cấp độ toán học hình thức:

Hình 1.1 Bốn cấp độ của mô hình tự phát triển

Theo Gravemeijer, K P E (1999) mô hình tự phát triển ban đầu được phát triển như một giải pháp thay thế cho việc sử dụng “mô hình trực quan” (didactical models) Mô hình trực quan nhằm giúp HS dễ tiếp cận toán học trừu tượng hơn Đặc biệt ở cấp tiểu học và trung học cơ sở, mô hình trực quan thường được sử dụng như là hiện thân của các khái niệm và đối tượng toán học trong GD toán học Tuy nhiên, vấn đề với loại mô hình này là các biểu diễn bên ngoài không đi kèm với ý nghĩa nội tại Từ quan điểm kiến tạo, có thể lập luận rằng ý nghĩa của các biểu diễn bên ngoài phụ thuộc vào kiến thức và sự hiểu biết của người phiên dịch Điều này ngụ ý rằng để diễn giải các mô hình này một cách chính xác, HS cần phải có sẵn kiến thức và sự hiểu biết được truyền đạt bởi các mô hình cụ thể

Ví dụ, trong RME, “mô hình thanh” (bar model) cho phép người học tự THH một loạt các vấn đề và tạo ra các kết nối trong toán học Mô hình thanh có lẽ là biểu diễn được biết đến nhiều nhất trong RME, xuất hiện ở một số dạng như thanh phân số, thanh phần trăm, thanh số kép và nhiều bối cảnh khác nhau Điều khác biệt giữa cách tiếp cận của

RME đối với mô hình thanh là nó không áp đặt cho một vấn đề cụ thể Thay vào đó, nó phát triển ngoài bối cảnh đã chọn Dưới đây là một ví dụ sử dụng “mô hình thanh” trong dạy học phân số cho HS trung học cơ sở dựa trên tiếp cận RME (các hình ảnh được lấy từ nguồn https://rme.org.uk)

Ví dụ 1.1 Sử dụng mô hình tự phát triển trong dạy học phân số (nguồn https://rme.org.uk)

Nhiệm vụ 1 Tại Học viện King Stephen, một nhóm HS lớp 7 đang có chuyến tham quan sở thú địa phương HS phải mang theo bữa trưa đóng hộp, nhưng các trợ giảng sẽ nhận được bữa trưa miễn phí là những chiếc bánh mì Sandwiches Trong mỗi nhóm trong hình, bánh mì được chia đều

a) Bạn hãy cho biết nhóm trợ giảng nào được ăn nhiều bánh mì Sandwiches nhất? Giải thích câu trả lời của bạn b) Nhóm trợ giảng nào được ăn ít nhất? Giải thích câu trả lời của bạn

Nhiệm vụ 2 Vẽ một bức tranh về những chiếc bánh mì sandwiches và chỉ ra cách

cắt chúng để mỗi trợ giảng trong mỗi nhóm có thể được phát một lượng bánh sandwich như nhau

a) Bôi đậm hoặc tô màu các bức vẽ của bạn để cho thấy mỗi người sẽ nhận được bao nhiêu

b) Sử dụng phân số để mô tả mỗi người sẽ nhận được bao nhiêu trong mỗi nhóm

Nhiệm vụ 3 Còn lại 3 chiếc bánh sandwiches được chia đều cho 5 thầy/cô trong

chuyến đi

a) Vẽ 3 chiếc bánh mì sandwich và chỉ ra cách bạn cắt chúng ra sao cho mỗi người có phần bằng nhau

b) Mỗi người sẽ nhận được bao nhiêu phần của chiếc bánh sandwich?

c) Tìm cách khác để chia 3 chiếc bánh sandwich cho 5 GV Mỗi GV nhận được bao nhiêu? d) Các GV có nhận được số bánh như nhau hay không, bạn chia sẻ chúng bằng cách nào? HS sẽ chia các “hình chữ nhật” theo nhiều cách khác nhau Hình ảnh của chúng có thể trông giống như bánh sandwich:

Giải thích cách làm của HS trong Nhiệm vụ 1 và Nhiệm vụ 2:

+) Với nhóm A

Cách 1: Đầu tiên chia đôi mỗi cái bánh mì, 3 cái bánh được chia đều thành 6 nửa bằng

nhau, mỗi người nhận được một nửa của một cái bánh, tức là 1

Cách 1: Lấy hai cái bánh chia mỗi cái làm hai phần bằng nhau (2 cái được chia thành 4

phần), mỗi người nhận được 1

2 trong số đó Tiếp theo, cái bánh mì còn lại được chia thành 4 phần, mỗi người nhận thêm 1

4 và như vậy sau hai lần chia mỗi người nhận được 113

2+ =44 cái bánh

Cách 2: Lấy mỗi cái bánh chia làm 4 phần, vì có 3 cái bánh nên mỗi người nhận được

4+ +44 hay 3 1 4

 cái bánh mì

Cách 3: Cắt mỗi cái bánh mì đi 1

4 , người thứ nhất, thứ 2 và thứ 3 mỗi người được 1 1

Cách 1: Chia mỗi cái bánh mì thành 3 phần (3 là số người của nhóm), vì có hai cái bánh

mì nên mỗi người nhận được 1 1

3+3 hay 2 1 3

 cái bánh mì

Cách 2: Trước hết chia cái bánh mì thứ nhất thành 2 phần bằng nhau và chia đều cho hai

người Tiếp theo cái bánh mì còn lại cũng chia thành 2 nửa, nửa thứ nhất dành cho người thứ 3 Sau đó chia nửa còn lại thành 3 phần và đem chia đều cho 3 người Sau hai lần chia, mỗi người nhận được 1 1

2+3 của 1

2, tức là 1 1

2+6cái bánh mì +) Với nhóm D

Cách 1: Trước hết, mỗi người sẽ nhận được 1 cái bánh mì, cái bánh mì còn lại chia thành

2 phần, mỗi người sẽ nhận được 1 1

Giải thích cách làm của HS ở nhiệm vụ 3:

Cách 1: Một số HS sẽ chia mỗi chiếc bánh mì thành 5 phần (5 là số người của nhóm)

Cách 2: Chia mỗi cái bánh mì thành 2 nửa Vì có 3 cái bánh nên được 6 nửa, lấy 5 nửa

trong 6 chia đều cho 5 người, nửa còn lại chia đều thành 5 phần đều nhau, mỗi người thêm 1 phần trong số đó Như vậy mỗi người sẽ nhận được 1 1

2+5của 1

2, tức là 1 1

cái bánh

Như vậy việc sử dụng các cấp độ của mô hình tự phát triển trong các tình huống trên được thể hiện như sau:

1

Bắt đầu từ bối cảnh (mô hình tình

1.4 Toán học hóa trong RME

1.4.1 Quan niệm về toán học hóa

Freudenthal quan niệm rằng: “toán học có quan hệ mật thiết với thực tiễn” và học toán không phải là tiếp nhận kiến thức có sẵn mà là quá trình thiết lập và giải quyết vấn đề từ thực tiễn hay trong nội tại toán học để xây dựng kiến thức mới, ông gọi quá trình đó là THH (mathematization)

THH trong RME đề cập đến hoạt động tổ chức và nghiên cứu bất kỳ loại thực tế nào với các phương tiện toán học, nghĩa là chuyển một vấn đề thực tế sang thế giới toán học, và ngược lại, cũng như tổ chức lại và (tái) xây dựng trong thế giới của toán học “Thực tế” như đã phân tích, có thể đề cập đến cuộc sống thực, thế giới tưởng tượng hoặc các tình huống toán học nếu chúng có ý nghĩa và có thể tưởng tượng được đối với HS, chẳng hạn vì các yếu tố thiết yếu của chúng đã được HS trải nghiệm và hiểu trước đó (Freudenthal,

H., 1991; Gravemeijer, K.P.E., 1994; Van den Heuvel-Panhuizen, M., 2000; Van den Heuvel-Panhuizen, M., & Drijvers, P., 2013)

Trong RME, điểm bắt đầu của quá trình giảng dạy phải là “thực tế” đối với HS; cho phép HS có thể ngay lập tức tham gia vào tình huống Điều này có nghĩa là việc hướng dẫn không nên bắt đầu với hệ thống khái niệm hình thức Các hiện tượng mà các khái niệm xuất hiện trong thực tế nên là nguồn gốc của sự hình thành khái niệm Quá trình rút ra khái niệm thích hợp từ một tình huống cụ thể được (De Lange, J., 1987) phát biểu là “toán học hóa khái niệm” Quá trình này sẽ buộc HS khám phá tình huống, tìm và xác định nội dung toán học liên quan, phát hiện ra các quy tắc, thực hiện hoạt động toán học và phát triển một “mô hình” dẫn đến một khái niệm toán học Bằng cách phản ánh và khái quát lại, HS sẽ phát triển được khái niệm đầy đủ hơn Sau đó, HS có thể và sẽ áp dụng các khái niệm toán học vào các lĩnh vực mới của thế giới thực và bằng cách đó, HS được củng cố khái niệm Quá trình này được gọi là THH trong ứng dụng (xem Sơ đồ 1.1)

Sơ đồ 1.1 Toán học hóa khái niệm và ứng dụng (De Lange, J., 1996) 1.4.2 THH theo chiều ngang và THH theo chiều dọc

Chính Treffers, A (1987) đã đặt hai cách THH dưới một góc nhìn mới khiến Freudenthal cũng phải thay đổi quan điểm Theo ông có hai loại THH, đó là THH theo chiều ngang (horizontal mathematization) và THH theo chiều dọc (vertical

Trong THH theo chiều ngang: HS đưa ra các công cụ toán học có thể giúp tổ chức

và giải quyết một vấn đề đặt trong một tình huống thực tế THH theo chiều ngang có thể bao gồm: (1) Xác định hoặc mô tả toán học cụ thể trong bối cảnh chung; (2) Xây dựng và hình dung một vấn đề theo những cách khác nhau; (3) Khám phá quan hệ, phát hiện quy luật, quy tắc; (4) Chuyển một bài toán trong thế giới thực thành một vấn đề toán học; (5) Chuyển từ kết quả toán học sang kết quả trong thực tế

THH theo chiều dọc: đòi hỏi cả việc tổ chức lại và tái tạo vấn đề trong toán học, tức

là việc vận dụng các mô hình toán học, sử dụng các thủ tục và khái niệm, nhận ra các mô hình và chiến lược giải quyết vấn đề Các hoạt động sau đây là ví dụ về THH theo chiều dọc: (1) Biểu diễn một quan hệ trong một công thức; (2) Chứng minh tính quy luật, tinh chỉnh và điều chỉnh mô hình; (3) Sử dụng các mô hình khác nhau; (4) Kết hợp và tích hợp các mô hình, xây dựng mô hình khái quát hóa và tổng quát hóa

Trong cuốn sách cuối cùng của mình, Freudenthal, H (1991) đã tiếp nhận sự phân biệt của Treffers, A (1987) về hai cách THH này và diễn đạt ý nghĩa của chúng như sau: THH theo chiều ngang có nghĩa là đi từ thế giới cuộc sống đến thế giới của các biểu tượng; và THH theo chiều dọc có nghĩa là di chuyển trong thế giới của các biểu tượng, qua đó HS khám phá các mối liên hệ giữa các khái niệm và chiến lược giải quyết vấn đề Tuy nhiên, Freudenthal nhấn mạnh rằng sự khác biệt giữa hai thế giới này chưa thực sự rõ ràng, và theo quan điểm của ông, trên thực tế, các thế giới không tách rời nhau Hơn nữa, ông nhận thấy hai hình thức toán học có giá trị ngang nhau và nhấn mạnh thực tế là cả hai hoạt động đều có thể diễn ra trên mọi cấp độ của hoạt động toán học

Sơ đồ 1.2 Mô tả lại quá THH theo chiều ngang và THH theo chiều dọc (Gravemeijer, K.P.E., 1994)

De Lange, J (1987) giải thích chi tiết về sự tương tác giữa hoạt động THH theo chiều ngang và THH theo chiều dọc Ông tuyên bố rằng quá trình THH do HS thực hiện trong quá trình học tập mang tính cá nhân và có thể đi theo các lộ trình khác nhau tùy thuộc vào nhận thức của HS về tình huống thực tế, kĩ năng và khả năng giải quyết vấn đề của họ Hình 1.2 mô tả các lộ trình khác nhau của các quá trình THH có thể Thay vì mong đợi tất cả HS đi cùng một tuyến đường từ 𝐴 đến 𝐵, các tuyến đường có thể khác nhau và có thể không kết thúc ở cùng một điểm Chúng có thể bao gồm nhiều bước ngang và một số bước dọc hoặc ngược lại

Hình 1.2 Các con đường THH (Jupri & Paul Drijvers, 2016, tr 4)

1.4.3 Phân biệt bốn loại tiếp cận Giáo dục toán học liên quan đến toán học hóa

Treffers, A (1991) phân loại GD toán học thành bốn loại liên quan đến THH theo chiều ngang và THH theo chiều dọc (xem Bảng 1.1) Các phân loại này được (Freudenthal, H., 1991) mô tả rõ ràng:

Loại hình tiếp cận THH theo chiều ngang THH theo chiều dọc

Bảng 1.1 Bốn loại hình Giáo dục Toán học (Freudenthal, H., 1991)

Cách tiếp cận cơ học được hiểu như là phương pháp truyền thống HS hoạt động chủ yếu ghi nhớ máy móc công thức hoặc quy tắc toán học Trong xu hướng cơ học, không có hiện tượng thực tế nào được sử dụng làm nguồn gốc của hoạt động toán học, người ta ít chú ý đến các ứng dụng và chỉ chú trọng đến việc học vẹt Điều này dẫn đến những điểm yếu trong cả THH theo chiều ngang lẫn THH theo chiều dọc Do đó, khi gặp một tình huống có vấn đề, HS thường khó giải quyết Trong cách tiếp cận này, THH theo chiều ngang và THH theo chiều dọc đều không được sử dụng

Xu hướng chủ nghĩa kinh nghiệm nhấn mạnh vào THH theo chiều ngang trong đó nhấn mạnh vào yếu tố môi trường hơn là các hoạt động trí óc Các mục tiêu toán học hình thức không được coi là ưu tiên hàng đầu và có rất ít áp lực để người học phải vượt qua để đạt trình độ cao hơn, do đó THH theo chiều dọc không thể hiện nhiều trong tiếp cận này Ngoài ra, theo cách tiếp cận theo kinh nghiệm, người học dựa vào sự hiểu biết, vốn sống, tích lũy kiến thức, kĩ năng từ thế giới cuộc sống Theo đó, HS phải giải quyết các tình huống liên quan đến việc thực hiện THH theo chiều ngang Tuy nhiên, người học chưa tiếp cận nhiều những tình huống mở rộng để tự đưa ra công thức hoặc mô hình giải quyết Tác giả Treffers nhận định đối với phương pháp này, đây là một kiểu tiếp cận chưa được dạy nhiều

Ngược lại với kiểu tiếp cận kinh nghiệm là kiểu tiếp cận theo cấu trúc Trong cách tiếp cận theo chủ nghĩa cấu trúc, nơi các cấu trúc toán học, thuật toán được nhấn mạnh, THH theo chiều dọc chiếm ưu thế và là phần chính của hoạt động THH trong hệ thống toán học Theo cách tiếp cận này, HS học khái niệm, xây dựng nguyên tắc, thông qua các hoạt động xác định công thức, khái quát hóa, sử dụng phối hợp với các mô hình đã học Theo cách tiếp cận này, các hiện tượng thực tế không được sử dụng như các mô hình hỗ trợ hoạt động trong hệ thống toán học

Cách tiếp cận thực tế với điểm khởi đầu là tình huống trong thế giới thực hoặc xuất phát từ một vấn đề gắn với bối cảnh Ban đầu, quá trình THH theo chiều ngang xảy ra với những hoạt động tổ chức vấn đề, khám phá các quy tắc, Sau đó, HS thực hiện các bước phát triển khái niệm toán học, đưa ra quy tắc, bằng cách thực hiện quá trình THH theo chiều dọc Sự đan xen giữa hai quá trình THH theo chiều ngang và THH theo chiều dọc đôi khi không rõ rệt

Nếu như tiếp cận theo kiểu cơ học, sự tương tác giữa GV và HS, HS và HS là rất ít hoặc không có Đối với tiếp cận theo kiểu cấu trúc, chỉ là sự ảnh hưởng qua lại của GV và HS, tuy nhiên sự tương tác giữa HS với HS không có hoặc có nhưng rất ít được thể hiện Tiếp cận kinh nghiệm cho thấy sự ảnh hưởng qua lại giữa HS với HS và khi HS thực hành trao đổi trong nhóm Nếu được điều chỉnh phù hợp, tiếp cận RME phù hợp với phát triển khái niệm khi HS tham gia vào các quá trình “THH hóa các vấn đề gắn với bối cảnh (THH theo chiều ngang) và giải pháp các thủ tục toán học (THH theo chiều dọc)” (Fauzan, A., 2002, tr 41) Như vậy, sự tương tác ảnh hưởng qua lại của THH theo chiều ngang và THH theo chiều dọc thể hiện rõ nhất qua tiếp cận RME

Có thể nói trong RME, cả THH theo chiều ngang và THH theo chiều dọc đều cần thiết vì chúng góp phần phát triển toán học chung của HS và khả năng áp dụng toán học của họ trong thế giới thực THH chiều ngang cung cấp cho HS nền tảng kiến thức và kĩ năng toán học trong một lĩnh vực hay chủ đề nhất định, nhưng THH theo chiều dọc cho phép HS nhận ra mối liên hệ giữa các lĩnh vực toán học đa dạng và áp dụng kiến thức của họ vào các tình huống mới và đầy thách thức Vì vậy, mục tiêu của GD toán học nên là thúc đẩy cả THH theo chiều ngang và THH theo chiều dọc, để HS có thể xây dựng khả năng nắm bắt toán học toàn diện và linh hoạt cũng như sử dụng toán học một cách hiệu quả trong nhiều bối cảnh khác nhau

Có một số ý kiến cho rằng RME tập trung quá nhiều trọng lượng vào THH theo chiều ngang Thể hiện ở việc RME coi thường các khía cạnh cơ học của việc học; thiếu hướng dẫn xây dựng kiến thức, dành ít sự chú ý cho những tình huống phi ngữ cảnh hóa (trong nội bộ môn Toán), và cuối cùng là sự thừa nhận không đầy đủ về giá trị của toán học với tư cách là một sản phẩm văn hóa Và như vậy việc bỏ qua các khía cạnh cơ học của việc học và không xem toán học như một sản phẩm văn hóa, RME có thể bị chỉ trích vì không coi chúng là nguyên tắc mũi nhọn Nói một cách khác, THH theo chiều dọc chưa được chú trọng nhiều Thông điệp chung của các nhà GD Toán học ở Đức và Bỉ là RME nên hướng tới toán học như một ngữ cảnh riêng của chính nó và cần quan tâm hơn đến việc sử dụng “bối cảnh thực” làm bàn đạp cho THH theo chiều dọc (Van den Heuvel-Panhuizen, M., 2020, tr 13) Theo tác giả, trong RME cần có sự cân bằng giữa THH theo chiều ngang và THH theo chiều dọc Tùy thuộc vào mỗi tình huống và bối cảnh dạy học mà các hoạt động toán học này sẽ được thể hiện ở mức độ khác nhau

1.5 Vấn đề dạy và học theo RME

1.5.1 Sáu nguyên tắc dạy và học theo RME

RME liên quan đến một số nguyên tắc cốt lõi cho việc giảng dạy toán học Hầu hết các nguyên tắc giảng dạy cốt lõi này ban đầu được trình bày rõ ràng bởi Treffers, A (1978) nhưng đã được điều chỉnh lại trong những năm qua, kể cả bởi chính Treffers

Dựa trên nghiên cứu của mình, Van den Heuvel-Panhuizen, M và Drijvers, P (2014) đã đưa ra 6 nguyên tắc cốt lõi của dạy học theo lí thuyết RME, bao gồm:

(1) Nguyên tắc hoạt động: Nguyên tắc hoạt động có nghĩa là trong RME, HS được

coi là những người tham gia tích cực trong quá trình học tập Nguyên tắc này nhấn mạnh toán học được học tốt nhất bằng cách làm toán, được phản ánh mạnh mẽ trong giải thích

toán học của Freudenthal như một hoạt động của con người, cũng như ý tưởng THH của Treffers Theo nguyên tắc này, HS học toán thông qua làm toán, HS có cơ hội thực hiện phép THH theo chiều ngang và THH theo chiều dọc

(2) Nguyên tắc thực tế: Nguyên tắc thực tế có thể được thừa nhận trong RME theo

hai cách Đầu tiên, nó thể hiện tầm quan trọng gắn liền với mục tiêu của Giáo dục toán học bao gồm cả năng lực vận dụng toán học của HS trong giải quyết những vấn đề “đời thực” Thứ hai, nó có nghĩa là GD toán học nên bắt đầu từ tình huống có vấn đề, có ý nghĩa đối với HS, tạo cơ hội cho HS tìm thấy ý nghĩa của các cấu trúc toán học trong khi giải quyết vấn đề Thay vì bắt đầu với việc giảng dạy trừu tượng hoặc các định nghĩa sẽ được áp dụng sau này, trong RME, việc giảng dạy bắt đầu với các vấn đề trong bối cảnh có tiềm năng tổ chức toán học, nói cách khác, có thể được THH và đưa HS vào con đường liên quan đến bối cảnh không chính thức

(3) Nguyên tắc cấp độ: Nguyên tắc này nhấn mạnh rằng, trong việc học toán, HS trải

qua nhiều cấp độ hiểu biết khác nhau: từ các giải pháp liên quan đến các bối cảnh không chính thức, thông qua việc thực hiện các phép toán như ký hiệu, sơ đồ và biểu diễn toán học để hiểu sâu hơn về các khái niệm liên quan và các chiến lược Các mô hình rất quan trọng để thu hẹp khoảng cách giữa “toán học không chính thức”, liên quan đến bối cảnh và “toán học hình thức”

(4) Nguyên tắc đan xen: Theo nguyên tắc này, các lĩnh vực có nội dung toán học

như số học, hình học, đo lường, xử lí số liệu không được coi là các chương trình riêng biệt mà được tích hợp với nhau, vì vậy HS cần huy động sự hiểu biết và kiến thức toán học đa dạng của mình

(5) Nguyên tắc tương tác: Học toán không chỉ là hoạt động của mỗi cá nhân người

học mà còn là hoạt động xã hội Vì vậy, RME khuyến khích thảo luận cả lớp hoặc làm việc nhóm, tạo cơ hội cho HS chia sẻ chiến lược và sản phẩm của mình với người khác

(6) Nguyên tắc hướng dẫn: Trong RME, nguyên tắc này đề cập đến ý tưởng “khám

phá có hướng dẫn” của Freudenthal về toán học Cụ thể, GV phải đóng vai trò tích cực trong việc học tập của HS và chương trình GD phải chứa đựng những tình huống có thể đóng vai trò là đòn bẩy để đạt được sự thay đổi trong sự hiểu biết của HS

Như vậy, theo tác giả, nguyên tắc dạy và học theo RME có thể phân thành 2 nhóm

Nhóm 1 (nguyên tắc dạy học theo RME), bao gồm: Nguyên tắc thực tế, nguyên tắc đan