ĐỊNH LÝ STOKES

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN GIẢI TÍCH 2 ĐỀ TÀI 23: ĐỊNH LÝ STOKES Giáo viên hướng dẫn: Đoàn Thị Thanh Xuân Nhóm thực hiện: L07 – Nhóm 10 Họ và tên MSSV Công việc Mức độ Trần Quốc Bảo 2110802 Bài 2 100% Tạ Gia Bảo 2110795 Bài 3; Soạn báo cáo 100% Đỗ Sơn Bảo 2110779 Bài 1; Soạn báo cáo 100% Nguyễn Đặng Cao Bằng 2110047 Bài 4; Bài 6, Bài 7; Soạn báo cáo 100% Trần Lê Gia Bảo 2110043 Bài 5 100% Tp. HCM, 5 2022MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN................................................................................................................................... 3 PHẦN 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT ....................................................................................................... 4 1. Mối quan hệ với định lý Green ..................................................................................................... 4 2. Định nghĩa .................................................................................................................................... 4 3. Tính chất ....................................................................................................................................... 6 PHẦN 2: BÀI TẬP ........................................................................................................................... 7 Bài 1: ................................................................................................................................................ 7 Bài 2: ................................................................................................................................................ 8 Bài 3: .............................................................................................................................................. 11 Bài 4: .............................................................................................................................................. 13 Bài 5: .............................................................................................................................................. 16 PHẦN 3: BÀI TẬP LÀM THÊM .................................................................................................. 18 Bài 6: .............................................................................................................................................. 18 Bài 7: .............................................................................................................................................. 19 Tài liệu Tham Khảo ........................................................................................................................ 213 LỜI CẢM ƠN Trong suốt quá trình thực hiện đề tài, nhóm chúng em đã nhận được nhiều sự quan tâm, hướng dẫn và sự giúp đỡ của các thầy cô, anh chị và bè bạn. Ngoài ra, nhóm cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến cô Đoàn Thị Thanh Xuân giảng viên bộ môn “Giải tích 2”. Nhờ sự hướng dẫn của cô, nhóm đã hoàn thành đề tài đúng tiến độ và giải quyết được những khó khăn trong quá trình thực hiện. Sự hướng dẫn của cô đã là kim chỉ nam cho mọi hành động của nhóm và phát huy tối đa được mối quan hệ hỗ trợ giữa thầy và trò trong môi trường giáo dục. Lời cuối, xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến các cá nhân, các thầy cô đã dành thời gian chỉ dẫn cho nhóm. Đây chính là niềm tin, nguồn động lực to lớn để nhóm có thể hoàn thành tốt đề tài này. Nhóm thực hiện4 PHẦN 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1. Mối quan hệ với định lý Green Định lý stokes có thể được xem như là định lý Green trong không gian có số chiều cao hơn. Nếu như định lý Green nói lên mối quan hệ giữa tích phân hai lớp trên một miền phẳng D với tích phân đường theo đường cong thẳng là biên của D, thì định lý Stokes nói lên mối quan hệ giữa tích phân mặt trên một mặt S với tích phân đường theo đường cong là biên của mặt S ( đường cong trong không gian ). 2. Định nghĩa Cho S là một mặt trơn từng mảnh được định hướng sao cho nó bị bao bởi một cường cong C trơn từng mảnh, đơn đóng với chiều dương được định hướng. Cho F là một trường vectơ mà các thành phần của nó có các đạo hàm riêng liên tục trên một miền mở trong R3 chứa S. Khi đó ta có: Công thức: . ur . C S   F dr c lF dS  Chứng minh định lý Stokes: Giả sử phương trình của S cho bởi: z=g(x,y), (x,y) D, trong đó g là một hàm có các đạo hầm riêng cấp hai liên tục, còn D là một miền phẳng đơn và có biên là đường cong phẳng C1tương ứng với biên C của S Nếu S là mặt được định hướng lên trên thì hướng dương cuuar C sẽ trùng với hướng dương của C1.5 Giả sử trường vectơ xác định bởi: F Pi Qj Rk        trong đó các hàm P, Q và R có các đạo hàm riêng liên tục. Vì S là đồ thị của một hàm nên ta có: ur . S c lF dS = D R Q z P R z Q P dA y z x z x z x y                                               Măṭ khác nếu đường cong C1 xác định bởi công thức: ( ) ( ) ( ) ( ( ), ( )) X x t Y y t a t b Z g x t y t           Do đó: . C F dr ( ) b a dx dy dz P Q R dt dt dt dt     = ( ) b a dx dy dx z z dy P Q R dt dt dt dt x y dt         = b a z dx z dy P R Q R dt x dt y dt                          = C1 z dx z dy P R Q R dt x dt y dt                           = D z z Q R P R dA x y y x                         Suy ra ta có : 2 2 . C D Q Q z R z R z z z P P z R z R z z z F dr R R dA x z x x y z x y x y y z y y x z y x x y                                                                   Vâỵ ta có đươc đẳng thức của điṇh lý Stokes: ̣6 . . . C C   F dr F T ds  ur . ur . S S   c lF dS c lF ndS  3. Tính chất 1. Với mọi đường cong kín, trơn từng khúc nằm trọn trong V, đẳng thức sau nghiệm đúng 0 C  fdx gdy hdz    2.Tích phân C  fdx gdy hdz   không phụ thuộc vào đường cong C nối hai điểm A,B trong V; 3. Biểu thức C  fdx gdy hdz   là vi phân toàn phần của một hàm nào trong đó V; 4. f g h g f h , , y x y z z x               7 PHẦN 2: BÀI TẬP Bài 1: Cho nửa mặt cầu H và phần P của mặt paraboloid. Giả sử F là trường vector trong R3mà các thành phần của nó có các đạo hàm riêng liên tục. Giải thích tại sao . . H P   curlF ds curlF ds  Trả lời Từ tích phân mặt sử dụng công thức stokes biến đổi về tích phân vòng: ( , , ) ( , , ) ( , , ) S P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy   Vì 2 mặt đều có cùng biên là cùng 1 đường cong khép kín và hàm dưới dấu tích phân đều giống nhau.  . . H P   curlF ds curlF ds 8 Bài 2: Sử dụng Định lý Stokes để tính cur . S  l dS F 1) F x y z y z e z xe ( , , ) 2 cos sin    i j k x y , S là nửa mặt cầu x y z 2 2 2    9 , z  0 , định hướng lên. S có mặt biên C: x y 2 2   9 là một đường cong kín 2) F x y z x z y z xyz ( , , )    2 2 2 2 i j k , S là phần mặt paraboloid z x y   2 2 nằm bên trong mặt trụ x y 2 2   4 , định hướng lên. S có mặt biên C: x y z 2 2    9, 2 là một đường cong kín 3) F x y z x yz x y z x z ( , , ) tan ( ) sin    1 2 2 2 2 2 i j k , S là mặt nón x y z   2 2 , 0 2   x , định hướng theo hướng của trục x dương. S có mặt biên C: y z x 2 2    4, 2 là một đường cong kín 4) F x y z xyz xy z x yz ( , , ) sin    i j k 2 , S chứa mặt đỉnh và bốn mặt bên (nhưng không chứa mặt đáy) của hình lập phương có các đỉnh ( 1, 1, 1)    , định hướng bên ngoài. S có mặt biên C là một hình chữ nhật kín 5) F x y z e e z x z ( , , ) sin    xy yz i j k 2 , S là nửa mặt ellipsoid 4 4 4 x y z 2 2 2    , nằm bên ngoài của mặt phẳng xz, định hướng theo hướng của trục y dương. S có mặt biên C: x z y 2 2    1, 0 là một đường cong kín, định hướng lên. Trả lời: 1) Áp dụng định lý Stokes: cur . S C   l dS Fd r F     C: r t t t ( ) 3cos . 3sin . 0.    i j k , 0 2   t  dr t t    3sin . 3cos . i j F r t t e t e t t e ( ( )) 2.3sin .cos 0 .sin 0. 3cos . . 6sin . 3cos . .      i j k i k x t t 3sin 3sin 2 2 0 ( ( )). ( ). ( 18sin 0 0) 18 C c Fd r F r t r t dt t dt                 2) Áp dụng định lý Stokes: cur . S C   l dS Fd r F     C: r t t t ( ) 2cos . 2sin . 2.    i j k , 0 2   t  dr t t     2sin . 2cos . 0 i j k F r t t t t t ( ( )) (2 cos ) .2 . (2sin ) .2 . 2.2 cos .2sin .    2 2 2 2 i j k 2 5 2 5 2 0 cur . 2 cot sin 2 sin cos 0 S C l dS Fd r t t t t     F        9 3) Áp dụng định lý Stokes: cur . S C   l dS Fd r F     C: r t t t ( ) 2 2 cos . 2.sin .    i j k , 0 2   t  dr t t    0. 2sin . 2cos . i j k F r t t t t t t t ( ( )) tan (2 .2 cos .4sin ) (2 .2 cos .sin(sin )) (4c    1 2 2 2 2 2 i j k os .4sin ) 2 3 2 0 cur . ( ( )). ( ). ( 16sin .cos .sin(sin ) 32cos .sin ) 0 S C c l dS Fd r F r t r t dt t t t t t dt            F      4) Áp dụng định lý Stokes: cur . S C   l dS Fd r F     1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 3 : ( ) . 1. 1. 1. 0 0 : ( ) 1. . 1. 0 1 0 : ( ) . 1. 1. 1. 0 0 : ( ) 1. . 1. 0 1 0 1 1 C r t t dr C r t t dr C r t t dr C r t t dr t                                   i j k i j k i j k i j k i j k i j k i j k i j k 2 1 2 2 3 4 ( ( )) . .sin( 1). ( ( )) . sin( 1) . ( ( )) . sin( 1) ( ( )) . sin( 1) . F r t t t t F r t t t t F r t t t t F r t t t                   i j k i j k i j k i j k cur . S C   l dS Fd r F     1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ( )). ( ) ( ( )). ( ) ( ( )). ( ) ( ( )). ( ) sin( 1) sin( 1) 0 F r t r t dt F r t r t dt F r t r t dt F r t r t dt tdt t dt tdt t dt                             10 5) Áp dụng định lý Stokes: cur . S C   l dS Fd r F     C: r t t t t ( ) cos . 0. sin . ,0 2      i j k  dr t t     sin . 0. cos . i j k F r t e e t t t t ( ( )) . . cos .sin . cos sin .       0cos 0sin 2 2 t t i j k i j k 2 3 0 cur . sin cos sin 0 S C l dS Fdr t t t     F        11 Bài 3: Sử dụng định lý Stokes để tính C Fdr 1) F x y z x y i y z j z x k ( , , ) ( ) ( ) ( )       2 2 2 , C là các cạnh của hình tam giác có các đỉnh (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1). 2) F x y z i x yz j xy z k ( , , ) ( ) ( )      , C là biên của mặt phẳng 3x + 2y + z = 1 trong góc phần tám thứ nhất. 3) F x y z yzi xzj e k ( , , ) 2    xy , C là đường tròn x y 2 2  16, z  5 . 4) F x y z xyi zj yk ( , , ) 2 3    , C là đường cong giao của mặt phẳng x z   5 và mặt trụ x y 2 2   9. Trả lời: 1) Sử dụng định lý Stokes: ( , , ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) C C S I F x y z dr x y dx y z dy z x dz z dydz x dy y dxdy                  Vector pháp tuyến: