Bài tập vận dụng vận dụng cao bài toán thực tế toán 10 năm học 2023 2024 (có đáp án và lời giải) file PDF

Thông tin tài liệu

Bài tập vận dụng vận dụng cao bài toán thực tế toán 10 năm học 2023 2024 (có đáp án và lời giải) file PDF Bài tập vận dụng vận dụng cao bài toán thực tế toán 10 năm học 2023 2024 (có đáp án và lời giải) file PDF Bài tập vận dụng vận dụng cao bài toán thực tế toán 10 năm học 2023 2024 (có đáp án và lời giải) file PDF Bài tập vận dụng vận dụng cao bài toán thực tế toán 10 năm học 2023 2024 (có đáp án và lời giải) file PDF Bài tập vận dụng vận dụng cao bài toán thực tế toán 10 năm học 2023 2024 (có đáp án và lời giải) file PDF Bài tập vận dụng vận dụng cao bài toán thực tế toán 10 năm học 2023 2024 (có đáp án và lời giải) file PDF Bài tập vận dụng vận dụng cao bài toán thực tế toán 10 năm học 2023 2024 (có đáp án và lời giải) file PDF Bài tập vận dụng vận dụng cao bài toán thực tế toán 10 năm học 2023 2024 (có đáp án và lời giải) file PDF Bài tập vận dụng vận dụng cao bài toán thực tế toán 10 năm học 2023 2024 (có đáp án và lời giải) file PDF Bài tập vận dụng vận dụng cao bài toán thực tế toán 10 năm học 2023 2024 (có đáp án và lời giải) file PDF

CHUYÊN ĐỀ I TẬP HỢP BÀI TẬP VẬN DỤNG VẬN DỤNG CAO – BÀI TOÁN THỰC TẾ LÝ THUYẾT VỀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP a Giao hai tập hợp Tập hợp gồm phần tử thuộc hai tập hợp S T gọi giao hai tập hợp S T , ký hiệu S  T S  T  x | x  S  x  T  BÀI TẬP VẬN DỤNG - VẬN DỤNG CAO BÀI TOÁN THỰC TẾ MƠN TỐN LỚP 10 NĂM HỌC 2023 - 2024 b Hợp hai tập hợp: Tập hợp gồm phần tử thuộc tập hợp S T tập hợp gọi hợp hai tập hợp S T , ký hiệu S  T S  T  x | x  S  x T c Hiệu hai tập hợp: Hiệu hai tập hợp S T tập hợp gồm phần tử thuộc tập hợp S mà không thuộc tập hợp T , ký hiệu S \ T S \ T  x | x  S  x T Nếu T tập tập hợp S , S \ T cịn gọi Phần bù T S Ký hiệu CsT BÀI TẬP VẬN DỤNG VẬN DỤNG CAO - BÀI TOÁN THỰC TẾ TOÁN 10 - NĂM HỌC 2023 - 2024  2m   m  Ta có A  B      m  3   2 2  m  Vậy A  B      2  m  m  3 Câu 4: giá trị thực tham số m để B  A Lời giải Để hai tập hợp A , B khác rỗng  m   18  m  14  m  14  4  m  14 1    2  2m  10 2m  8  m  4 d Công thức liên hệ số phần tử: n  A  B   n  A  n  B   n  A  B   m4 m  2 Ta có B  A     m  2   m  10  18   m4 n  A  B  C   n  A  n  B   n  C   n  A  B   n  A  C   n  B  C   n  A  B  C  Câu 1: Từ 1   , suy 4  m  2 thỏa mãn đề Cho hai tập hợp M   2m  1; 2m  5 N   m  1; m   (với m tham số thực) Tổng tất giá trị m để hợp hai tập hợp M N đoạn có độ dài 10 Lời giải Nhận thấy M , N hai đoạn có độ dài 6, nên để M  N đoạn có độ dài 10 ta có trường hợp sau: * m   m   m   m   4;  Câu 5: Lời giải Xét bất phương trình x  m 1 1 Trường hợp 1: m  Bất phương trình (1) có tập nghiệm T    B    A \ B     A \ B       m     2m  1  10  m  2 (thỏa mãn 1 ) * m   m   2m   m   2;8   Khi M  N   m  1; 2m  5 , nên M  N đoạn có độ dài 10 khi:  2m     m  1  10  m  (thỏa mãn   ) Suy m  thoả mãn yêu cầu toán Trường hợp 2: m   x  m x  x  m   B   ; m    m;   Bất phương trình (1)     x  m x   x  m Vậy tổng tất giá trị m để hợp hai tập hợp M N đoạn có độ dài 10 2   Cho hai tập hợp A  ( m  ; 5] , B  (3 ; 2020  5m) A, B khác rỗng Có giá trị Suy  m  thoả mãn yêu cầu toán +) Với m   A  B  A \ B     A \ B      +) Với m  , A \ B   3; m nguyên m để A \ B   ? Tập hợp  A \ B    có khơng 10 phần tử tập hợp A \ B có khơng q 10 Lời giải Vì A, B hai tập hợp khác rỗng, nên ta có điều kiện: m  m      2017  m  m 3  2020  5m  Kết hợp điều kiện,  m  Vậy có giá trị nguyên m thỏa mãn Cho hai tập khác rỗng A   m –1; 4 , B   –2; 2m   với m   Xác định m để A  B   Lời giải m   Điều kiện:   2  m   2  m  phần tử số nguyên  m  14 Kết hợp điều kiện suy   m  14 thoả mãn yêu cầu toán Kết hợp trường hợp suy m  14 Mặt khác, m  , 20  m  20 nên có 34 giá trị tham số m thỏa mãn toán Câu 6:   m 1  4m    m  403 Để A \ B   A  B ta có điều kiện:  5  2020  5m m  403 Câu 3: Cho tập A   3;   , B   x  , x  m Có giá trị nguyên tham số m   20; 20 để tập hợp  A \ B    có khơng q 10 phần tử? Khi M  N   2m  1; m   , nên M  N đoạn có độ dài 10 khi: Câu 2: Cho hai tập hợp A   m  4;18 B   2;2m  10 khác tập hợp rỗng ( m tham số) Tìm tất Cho tập hợp khác rỗng A   m  18; 2m   , B   m  12;21 C   15;15 Có giá trị nguyên tham số m để A \ B  C Lời giải m  18  2m  m  25   25  m  33 +) Để A, B tập hợp khác rỗng   m  12  21 m  33 +) TH1: 2m   m  12  m  19 m  18  15 m     m  (Loại) Ta có A \ B   m  18; 2m   A \ B  C   2m   15 m  +) TH2: m  12  2m   21  19  m  BÀI TẬP VẬN DỤNG VẬN DỤNG CAO - BÀI TOÁN THỰC TẾ TOÁN 10 - NĂM HỌC 2023 - 2024 m  18  15 m     m  27 Ta có A \ B   m  18; m  12 A \ B  C   m  12  15 m  27 Kết hợp điều kiện suy  m  +) TH3: 2m   21  m  Ta có A \ B   m  18; m  12   21; 2m   m  18  15 m  A\ B  C      m  (Loại) 2m   15 m  Với  m  A \ B  C nên có giá trị nguyên m thỏa mãn Câu 7: Cho tập A   1;5 , B   x   : x  2 , C   x   : x   0 D   m; 2m  1 Tính tổng giá trị m cho   A  B  \ C   D đoạn có độ dài Lời giải +) x   : x   2  x  Suy B   2; 2  A  B   2;5  x    x  x    +) x   : x     x  3 x  3     x    x  3    x   Suy C   ;  3   3;      A  B  \ C   2;3 +) Vì  A  B  \ C đoạn có độ dài nên để   A  B  \ C   D đoạn có độ dài xảy trường hợp sau: 2  m  1 m  TH1: 2  m   2m    m  Khi đó:   A  B  \ C   D   m;3 Đoạn có độ dài  m   m  (Thoả mãn)  m  2   m  TH2: m  2  2m       m  m  2  1  m  TH3: 2  m  2m     1  m  Khi đó: Câu 8:   A  B  \ C   D   m; 2m  1 Lời giải  Câu 10: Cho m tham số thực hai tập hợp A  1  2m; m  3 , B   x   | x   5m Tất giá trị m để A  B   Lời giải Ta có A  1  2m; m  3 , B  8  5m;     m  m    5m 6 m  5 A B           m 1  2m  m  3m  2 m    Câu 11: Cho hai tập A   1;3  ; B   a; a  3 Với giá trị a A  B   Lời giải a  a  Ta có A  B       a   1  a  4 Không nắm rõ ý nghĩa dấu ngoặc chọn B, C, D Câu 12: Cho hai tập A   0;5 ; B   2a;3a  1 , a  1 Với giá trị a A  B   Lời giải  5  a    2a  a      A B      a  Ta tìm A  B     3a      1 a  1   a    1  a       a  1  Lời giải m   m  Với tập khác rỗng A, B ta có điều kiện    2  m   m   2 m  2 m   2 m  1 m  1 A B      m  So với điều kiện  m   2m   2m   m   m   4  m    m 3 B  A    m  m        m0   m0   m    3  0m 2 3  Ta có: B \ A  B  B  A      m  m  2   m    m       2   m Câu 13: Cho tập khác rỗng A   m  1;  ; B   2; m   , m   Tìm m để A  B Đoạn có độ dài 2m   m   m  (Thoả mãn) Vậy tổng giá trị m thoả mãn Cho hai tập hợp A  4;3 B  m 7; m Tìm m để B  A Điều kiện: m   Câu 9:  x2 xB    x  2 Câu 14: Cho hai tập hợp A   x   \1  x  2 ; B   ; m  2   m;   Tìm tất giá trị m  Cho A  x   mx   mx  , B  x   x   Tìm m để B \ A  B để A  B Lời giải Ta có: x  A  mx   BÀI TẬP VẬN DỤNG VẬN DỤNG CAO - BÀI TOÁN THỰC TẾ TOÁN 10 - NĂM HỌC 2023 - 2024 Lời giải Lời giải  a3  a3 A B      a   a  2 Câu 17: Cho hai tập hợp A   x   |1  x  2 ; B  ; m  2   m;  Tìm tất giá trị m để A  B Giải bất phương trình:  x   x   2; 1  1;   A   2; 1  1; 2 Lời giải Ta có A  2; 1  1; 2 , B  ; m  2   m;  Để A  B ta có  m   m   1  Trường hợp 1:   m 1        m  m  Trường hợp 2: m  2 Trường hợp 3: m    m    m  m     m  2 Để A  B thì:  m  2   1  m   m   m   Câu 15: Cho tập hợp A   3; 1  1;  , B   m;   , C  ;2m  Tìm m để A  B  C   Lời giải m   Vậy  m  2 A  B  m  Câu 18: Cho hai tập hợp M   m  1; m   N   m  1; m   Tổng tất giá trị m để hợp hai tập hợp M N đoạn có độ dài 10 Lời giải Nhận thấy M , N hai đoạn có độ dài 6, nên để M  N đoạn có độ dài 10 ta có trường hợp sau: * m   m   m   m    ;  1 Khi M  N   m  1; m   , nên M  N đoạn có độ dài 10 khi: Ta tìm m để A  B  C   - TH1: Nếu m  m  m  B  C    A BC   - TH2: Nếu m  m  m   A BC    3   m   2m  3   m   m     1  m  1  m    2m     m     m  1  10  m   * m   m   m   m   ;8    Khi M  N   m  1; m   , nên M  N đoạn có độ dài 10 khi:  m     m  1  10  m  Vậy Tổng tất giá trị m để hợp hai tập hợp M N đoạn có độ dài 10 2   Câu 19: Cho hai tập hợp A  ( m  ; 5] , B  (3 ; 2020  5m) A, B khác rỗng Có giá trị nguyên m để A \ B   ? Lời giải Vì A, B hai tập hợp khác rỗng, nên ta có điều kiện:  0m Vì m  nên   m  m  m     2017  m   3  2020  5m m     m 1  4m    m  403 Để A \ B   A  B ta có điều kiện:  5  2020  5m m  403 1  A  B  C    m   ;    2;    A  B  C     m  2  Câu 16: Cho hai tập hợp A   0;3 B   a; a   , với giá trị a A  B   Kết hợp điều kiện,  m  Vậy có giá trị nguyên m thỏa mãn Câu 20: Cho hai tập hợp P  3m  ; 4 Q   2 ; m  1 , m   Tìm m để P \ Q   BÀI TẬP VẬN DỤNG VẬN DỤNG CAO - BÀI TOÁN THỰC TẾ TOÁN 10 - NĂM HỌC 2023 - 2024 Lời giải Vì P , Q hai tập hợp khác rỗng, nên ta có điều kiện:  Lời giải Câu 21: Cho tập hợp A   4;7 B   2a  3b  1;3a  b  5 với a , b   Khi A  B giá trị biểu thức M  a  b bằng? C 13 Lời giải D 25 Chọn A Ta có A   4;7 , B   2a  3b 1;3a  b  5 Khi đó: 2a  3b   2a  3b  a    AB   M  a2  b2  3a  b   3a  b  b  Câu 22: Cho hai tập hợp A  ( m  ; 5] , B  (3 ; 2020  5m) A, B khác rỗng Có giá trị nguyên m để A \ B   ? Lời giải Vì A, B hai tập hợp khác rỗng, nên ta có điều kiện: m  m     2017  m   3  2020  5m m    Câu 26: Cho tập hợp A  1; 2 tập hợp B  x   x   m   x  2m   Có giá trị nguyên tham số m cho B  A Lời giải x   B  2;  m  4 Ta có: x   m   x  2m     x   x  m       x  m   m    m  5  Giả thiết: B  A   (thỏa mãn)  m    m  6 Vậy có giá trị thỏa mãn Câu 27: Cho khoảng A  1; m   nửa khoảng B   2m  3;13 ( m tham số) Gọi S tập hợp tất Lời giải Câu 23: Cho tập hợp A   ;1 , B   m  3;   Có giá trị nguyên m để A  B   Lời giải Để A  B     m   m    2  m  m    6  m  * Điều kiện m để tồn khoảng A nửa khoảng B  2m   13 Khi  2m   m  1   A  B  1;13  2m   m   m   1  m  m   13 m    Kết hợp * , ta 1  m  Vì m   nên tập hợp số nguyên m thỏa mãn yêu cầu toán S  0;1;2;3; 4 Do m    m  2; 1;0;1; 2 Câu 24: Cho tập hợp khác rỗng A   ; m  , B  3m  1;3m  3 Tìm m   để C A  B   Lời giải C A  B    3m   m  m    x2 x2      B  2;2  x  2 m0   m0   m    3  0m 3 2 Ta có: B \ A  B  B  A      m   m  2   m    m       2    m số nguyên m cho A  B  1;13 Tổng phần tử tập hợp S   m 1  4m    m  403 Để A \ B   A  B ta có điều kiện:  5  2020  5m m  403 Kết hợp điều kiện,  m  Vậy có giá trị nguyên m thỏa mãn Ta có: C A   \  ; m   m;    Ta có: mx   mx   mx    3m   2 m    m3 m    m  10 Kết hợp với điều kiện ta có  m  B  B \ A  B 10  3m   m  10   3  m   m   2 m  3  Để P \ Q    P  Q A  Câu 25: Cho tập hợp A  x   mx   mx  , B  x   x   Tìm m   để Vậy tổng phần tử tập hợp S 10 Câu 28: Cho tập hợp khác rỗng A   m  18; 2m   , B   m  12; 21 C   15;15 Có giá trị nguyên tham số m để A \ B  C Lời giải m  18  2m  m  25   25  m  33 +) Để A, B tập hợp khác rỗng   m  12  21 m  33 +) TH1: 2m   m  12  m  19 BÀI TẬP VẬN DỤNG VẬN DỤNG CAO - BÀI TOÁN THỰC TẾ TOÁN 10 - NĂM HỌC 2023 - 2024 m  18  15 m     m  (Loại) Ta có A \ B   m  18; 2m   A \ B  C   2m   15 m  +) TH2: m  12  2m   21  19  m  m  18  15 m     m  27 Ta có A \ B   m  18; m  12 A \ B  C   m  12  15 m  27 Kết hợp điều kiện suy  m  +) TH3: 2m   21  m  +) Vì B    2m    m  Ta có A \ B   m  18; m  12   21; 2m   +) x   : x   3  x  Suy ra: C   3;3  C  D   3; 4 m  18  15 m  A\ B  C      m  (Loại) 2m   15 m  Với  m  A \ B  C nên có giá trị nguyên m thỏa mãn Câu 29: Cho tập A   1;5 , B   x   : x  2 , C   x   : x   0 D   m;2m  1 Tính tổng giá trị m cho   x  m  x  m    m  x  m  Suy ra: A   m; m  1  x  m    x  m   x  m    A  B  \ C   D đoạn có độ dài +) Với m  m   Do ta xét trường hợp: TH1: 2m   m  m  Khi đó: A  B   m; m  1 m  3 Ta có:  A  B    C  D    m; m  1   3; 4    3  m  m   Kết hợp m  1, m    m  2;  1;0;1 (1) Lời giải +) x   : x   2  x  Suy B   2; 2  A  B   2;5 TH2: 2m   m  m  Khi đó: A  B   2m  1; m  1  x    x  x    +) x   : x2     x  3 x  3     x    x  3    x   Kết hợp  m  2, m    m  2 (2) Suy C   ;  3   3;      A  B  \ C   2;3 +) Vì  A  B  \ C đoạn có độ dài nên để   A  B  \ C   D đoạn có độ dài xảy trường hợp sau: 2  m  1 m  TH1: 2  m   2m    m  Khi đó:   A  B  \ C   D   m;3 Đoạn có độ dài  m   m  (Thoả mãn)  m  2   m  TH2: m  2  2m       m  m  2  1  m  TH3: 2  m  2m     1  m  Khi đó: Từ (1) (2) suy m  2;  1;0;1;2 Vậy có giá trị m nguyên thoả mãn yêu cầu toán Câu 31: Cho tập A   3;   , B   x  , x  m Có giá trị nguyên tham số m   20; 20 để tập hợp  A \ B    có khơng 10 phần tử? Lời giải Xét bất phương trình x  m 1 Trường hợp 1: m  Bất phương trình (1) có tập nghiệm T    B    A \ B     A \ B      Suy m  thoả mãn yêu cầu toán Trường hợp 2: m   x  m x  x  m   B   ; m    m;   Bất phương trình (1)     x  m x   x  m +) Với m   A  B  A \ B     A \ B      Suy  m  thoả mãn yêu cầu tốn +) Với m  , A \ B   3; m   A  B  \ C   D   m; 2m  1 Đoạn có độ dài 2m   m   m  (Thoả mãn) Vậy tổng giá trị m thoả mãn   m   3 Ta có:  A  B    C  D    2m  1; m  1   3; 4    1  m  m    Câu 30: Cho tập A  x   : x   2m  1 x  m2  m  , B   2m  1;3 tập khác  tập C   x   : x  3 , D   0; 4 Số giá trị nguyên m cho  A  B    C  D  ? Lời giải +) x   : x   2m  1 x  m  m    x  m  x  m  1  Tập hợp  A \ B    có khơng 10 phần tử tập hợp A \ B có khơng q 10 phần tử số nguyên  m  14 Kết hợp điều kiện suy   m  14 thoả mãn yêu cầu toán Kết hợp trường hợp suy m  14 Mặt khác, m  , 20  m  20 nên có 34 giá trị tham số m thỏa mãn toán Câu 32: Cho tập hợp A   ; m  B   3m  1;3m   Tìm m để a) A  B   b) B  A BÀI TẬP VẬN DỤNG VẬN DỤNG CAO - BÀI TOÁN THỰC TẾ TOÁN 10 - NĂM HỌC 2023 - 2024 c) A  C B d) C A  B   Lời giải Ta có biểu diễn trục số tập A B hình vẽ a) Ta có A  B    m  3m   m  Vậy m  giá trị cần tìm b) Ta có B  A  3m   m  m   3 giá trị cần tìm c) Ta có C B   ;3m     3m  3;   Vậy m   Suy A  C B  m  3m   m  giá trị cần tìm d) Ta có C A   m;   ; B   3m  1;3m   Vậy m  Suy C A  B    m  3m   m   3 giá trị cần tìm Câu 33: Trong đợt văn nghệ chào mừng ngày 20/11, lớp 10 A đăng kí tham gia hai tiết mục, hát tốp ca múa Gọi A tập hợp học sinh tham gia hát tốp ca, B tập hợp học sinh tham gia múa, E tập hợp học sinh lớp Mô tả tập hợp sau đây: a) A  B b) A  B ; c) A \ B ; d) E \ A ; g) E \ ( A  B) Lời giải a) A  B tập hợp học sinh tham gia hai tiết mục hát tốp ca múa b) A  B tập hợp học sinh tham gia hai tiết mục hát tốp ca múa c) A \ B tập hợp học sinh tham gia hát tốp ca không tham gia múa d) E \ A tập hợp học sinh lớp 10 A không tham gia hát tốp ca g) E \ ( A  B) tập hợp học sinh lớp 10 A không tham gia tiết mục hai tiết mục hát tốp ca múa Vậy m   Câu 34: Giải Bóng đá vơ địch giới World Cup 2018 tổ chức Liên bang Nga gồm 32 đội Sau vòng thi đấu bảng, Ban tổ chức chọn 16 đội chia làm cặp đấu loại trực tiếp Sau vòng đấu loại trực tiếp đó, Ban tổ chức tiếp tục chọn đội chia làm cặp đấu loại trực tiếp vòng tứ kết Gọi A tập hợp 32 đội tham gia World Cup 2018, B tập hợp 16 đội sau vòng thi đấu bảng, C tập hợp đội thi đấu vòng tứ kết a) Sắp xếp tập hợp A, B, C theo quan hệ "  " b) So sánh hai tập hợp A  C B  C c) Tập hợp A \ B gồm đội bóng bị loại sau vịng đấu nào? Lời giải a) Ta có: A tập hợp 32 đội tham gia World Cup 2018 B tập hợp 16 đội sau vòng thi đấu bảng (chọn từ 32 đội tập hợp A sau thi thi đấu theo bảng) Rõ ràng phần tử (mỗi đội) tập hợp B phần tử (một đội) tập hợp A Do đó: B  A Tương tự: Từ 16 đội B , sau đấu loại trực tiếp, lại đội vào tứ kết kí hiệu tập hợp C Do đó: C  B Vậy C  B  A b) Tập hợp A  C gồm đội bóng vừa thuộc 32 đội tham gia World Cup 2018, vừa thuộc đội thi đấu vịng tứ kết, đội tập hợp C Tập hợp B  C gồm đội bóng vừa thuộc 16 đội sau vòng thi đấu bảng, vừa thuộc đội thi đấu vịng tứ kết, đội tập hợp C Vậy A  C  B  C  C c) Tập hợp A \ B gồm đội thuộc 32 đội tham gia World Cup 2018 như̛ng không thuộc 16 đội sau vịng thi đấu bảng Vậy 16 đội khơng vượt qua vịng thi đấu bảng Nói cách khác: Tập hợp A \ B gồm đội bóng bị loại sau vịng đấu bảng Câu 35: Một khảo sát khách du lịch thăm vịnh Hạ Long cho thấy 1410 khách du lịch vấn có 789 khách du lịch đến thăm động Thiên Cung, 690 khách du lịch đến đảo Titop Toàn khách vấn đến ỵt hai địa điểm Hỏi có khách du lịch vừa đến thăm động Thiên Cung vừa đến thăm đảo Titop vịnh Hạ Long? Lời giải Gọi A tập hợp khách du lịch đến thăm động Thiên Cung B tập hợp khách du lịch đến đảo Titop  n( A)  789; n( B )  690; n( A  B )  1410 Biểu đồ Ven Tổng số khách du lịch = Số khách đến động Thiên Cung + Số khách đến đảo Titop - Số khách du lịch đến hai địa điểm BÀI TẬP VẬN DỤNG VẬN DỤNG CAO - BÀI TOÁN THỰC TẾ TOÁN 10 - NĂM HỌC 2023 - 2024 Hay n( A  B )  n( A)  n( B )  n( A  B)  1410  789  690  n( A  B )  n( A  B)  69 Vậy có 69 khách du lịch vừa đến thăm động Thiên cung vừa đến thăm đảo Titop vịnh Hạ Long Câu 36: Trong khảo sát người tiêu dùng, 100 người uống cà phê khảo sát, có 55 người thêm đường, 65 người thêm sữa 30 người thêm đường sữa Trong số 100 người đó, a) có người thêm đường sữa? b) có người khơng thêm đường sữa? Lời giải Kí hiệu U tập hợp 100 người khảo sát, A tập hợp người thêm đường, B tập hợp người thêm sữa (trong số 100 người đó) Khi đó, A  B tập hợp người thêm đường sữa, A  B tập hợp người thêm đường sữa b) Trong số 35 học sinh lớp 10H, có 24 học sinh thích hai mơn Tốn Tiếng Anh, cịn lại số học sinh khơng thích hai mơn là: 35  24  11 (học sinh) Câu 38: Lớp 10 C có 45 học sinh, có 18 học sinh tham gia thi vẽ đồ họa máy tính, 24 học sinh tham gia thi tin học văn phòng cấp trường học sinh không tham gia hai thi Hỏi có học sinh lớp 10C tham gia đồng thời hai cuộ thị? Lời giải Gọi X tập hợp học sinh lớp 10C A tập hợp học sinh tham gia thi vẽ đồ họa máy tính, B tập hợp học sinh tham gia thi tin học văn phòng cấp trường Theo biểu đồ Ven ta có: n( A)  18, n( B )  24, n( X )  45 n( A  B ) số học sinh tham gia Theo giả thiết ta có n( A)  55, n( B)  65, n( A  B)  30 a) Số người thêm đường sữa n( A  B)  n( A)  n(B)  n( A  B)  55  65  30  90 b) Số người không thêm đường sữa n(U )  n( A  B)  100  90  10 Câu 37: Trong số 35 học sinh lớp 10H, có 20 học sinh thích mơn Tốn, 16 học sinh thích mơn Tiếng Anh 12 học sinh thích hai mơn Hỏi lớp 10H: a) Có học sinh thích hai mơn Tốn Tiếng Anh? b) Có học sinh khơng thích hai mơn này? Lời giải Gọi A, B tập hợp học sinh thích mơn Tốn Tiếng Anh, X tập hợp học sinh lớp 10H Theo giả thiết, n( A)  20, n(B)  16, n( A  B)  12, n( X )  35 hai thi, bằng: 45   36 (học sinh) Mà n( A  B )  n( A)  n( B )  n( A  B ) (do học sinh tham gia thi tính hai lần) Suy số học sinh tham gia thi là: n( A  B )  18  24  36  Vậy có học sinh lớp 10 C tham gia đồng thời hai thi Câu 39: Hội khỏe Phù Đổng trường, lớp 10A có 25 học sinh thi điền kinh, 20 học sinh thi nhảy xa 15 học sinh thi hai môn Hỏi lớp 10A có học sinh thi hai mơn điền kinh nhảy xa? Lời giải Kí hiệu A B tập hợp học sinh lớp 10A tham gia thi điền kinh nhảy xa Theo giả thiết, n  A  25, n  B   20, n  A  B   15 Ta thấy, tổng n  A  n  B  cho ta số học sinh thi điền kinh nhảy xa, đồng thời số bạn thi hai mơn tính hai lần Do đó, số bạn thi hai mơn n  A  B   n  A  n  B   n  A  B   25  20 15  30 a) Nhận thấy rằng, tính tổng n( A)  n( B) ta số học sinh thích hai mơn Tốn Tiếng Anh, nhựng số học sinh thích hai mơn Tốn Tiếng Anh tính hai lần Do đó, số học sinh thích hai mơn Tốn Tiếng Anh là: n( A  B)  n( A)  n( B)  n( A  B)  20  16  12  24 Vậy, lớp 10A có 30 em tham gia thi hai môn điền kinh nhảy xa Nhận xét: Nếu A B hai tập hợp hữu hạn n  A  B   n  A  n  B   n  A  B  Đặc biệt, A B khơng có phần tử chung, tức A  B   , n  A  B   n  A  n  B  BÀI TẬP VẬN DỤNG VẬN DỤNG CAO - BÀI TOÁN THỰC TẾ TOÁN 10 - NĂM HỌC 2023 - 2024 Câu 40: Một lớp có 40 học sinh, biết đăng kí thi hai mơn cờ vua cờ tướng Có 17 em đăng kí mơn cờ vua, 28 em đăng kí mơn cờ tướng Hỏi có em đăng kí hai mơn cờ? Lời giải Gọi A tập học sinh thi môn cờ vua B tập học sinh thi mơn cờ tướng Ta có sơ đồ Ven a) Nhận thấy, tính tổng n     n    ta số học sinh lớp 10H thích mơn Tốn Tiếng Anh, số bạn thích hai mơn tính hai lần Do đó, số bạn thích hai mơn Tốn Tiếng Anh là: n      n     n     n      20  16  12  24 Vậy lớp 10H có 24 học sinh thích hai mơn Tốn Tiếng Anh b) Số học sinh lớp 10H khơng thích hai mơn Tốn Tiếng Anh là: n     n      35  24 11 Từ sơ đồ Ven ta có số học sinh đăng kí hai mơn cờ n  A  B   n  A   n  B   n  A  B   x  n  A  B   n  A   n  B   n  A  B   17  28  40  học sinh Câu 41: Một lớp có 45 học sinh Mỗi em đăng ký chơi hai mơn: bóng đá bóng chuyền Có 35 em đăng ký mơn bóng đá, 15 em đăng ký mơn bóng chuyền Hỏi có em đăng ký chơi môn? Lời giải Gọi A tập hợp học sinh đăng ký chơi bóng đá, B tập hợp học sinh đăng ký chơi bóng chuyền Ta có số học sinh đăng ký môn n  A  B  n  A  n  B  n  A  B  35 15  45  Câu 42: Tại vòng chung kết trị chơi truyền hình, có 100 khán giả trường quay có quyền bình chọn cho hai thí sinh A B Biết có 85 khán giả bình chọn cho thí sinh A, 72 khán giả bình chọn cho thí sinh B 60 khán giả bình chọn cho hai thí sinh Có khán giả tham gia bình chọn? Có khán giả khơng tham gia bình chọn? Lời giải Kí hiệu E F tập hợp khán giả bình chọn cho thí sinh A B Theo giả thiết, n  E   85, n  F   72, n  E  F   60 Ta có: n  E  F  số khán giả tham gia bình chọn n  E  F   n  E   n  F   n  E  F   85  72  60  97 Số khán giả không tham gia bình chọn 100  n  E  F   100  97  Vậy, số khán giả tham gia bình chọn 97 có khán giả khơng tham gia bình chọn Câu 43: Trong số 35 học sinh lớp 10H, có 20 học sinh thích mơn Tốn, 16 học sinh thích mơn Tiếng Anh 12 học sinh thích hai mơn Hỏi lớp 10H: a) Có học sinh thích hai mơn Tốn Tiếng Anh? b) Có học sinh khơng thích hai mơn này? Lời giải Gọi  tập hợp học sinh lớp 10H,  tập hợp học sinh lớp 10H thích học mơn Tốn,  tập hợp học sinh lớp 10H thích học môn Tiếng Anh Theo giả thiết, n     35 , n     20 , n    16 , n     12 Vậy có 11 học sinh lớp 10H khơng thích hai mơn Tốn Tiếng Anh Câu 44: Trong lớp 10C1 có 16 học sinh giỏi mơn Tốn, 15 học sinh giỏi mơn Lý 11 học sinh giỏi mơn Hóa Biết có học sinh vừa giỏi Toán Lý, học sinh vừa giỏi Lý Hóa, học sinh vừa giỏi Hóa Tốn, có 11 học sinh giỏi hai mơn Hỏi có học sinh lớp a) Giỏi ba mơn Tốn, Lý, Hóa b) Giỏi mơn Tốn, Lý Hóa Lời giải Gọi T , L, H tập hợp học sinh giỏi mơn Tốn, Lý, Hóa B tập hợp học sinh giỏi hai môn Theo giả thiết ta có: n  T   16, n  L   15, n  H   11, n  B   11 16(T) 8(TH) 11(H) n  T  L   9, n  L  H   6, n  H  T   a) Xét tổng n(T  L)  n( L  H )  n( H  T ) phần tử tập hợp T  L  H tính ba lần ta có n(T  L)  n( L  H )  n( H  T )  3n  T  L  H   n  B  6(LH) 9(LT) 15(L) Hay n  T  L  H    n(T  L)  n( L  H )  n( H  T )  n  B    Suy có học sinh giỏi ba mơn Tốn, Lý, Hóa b) Xét n  T  L   n  H  T  phần tử tập hợp T  L  H tính hai lần số học sinh giỏi mơn tốn n  T    n  T  L   n  H  T   n  T  L  H    16       Tương tự ta có Số học sinh giỏi mơn Lý: n  L    n  T  L   n  L  H   n  T  L  H    15       Số học sinh giỏi mơn Hóa: n  H    n  H  T   n  L  H   n  T  L  H    11       Suy số học sinh giỏi mơn Tốn, Lý hóa    BÀI TẬP VẬN DỤNG VẬN DỤNG CAO - BÀI TOÁN THỰC TẾ TOÁN 10 - NĂM HỌC 2023 - 2024 Câu 45: Lớp 10A có học sinh giỏi Toán, học sinh giỏi Lý, học sinh giỏi Hóa, học sinh giỏi Tốn Lý, học sinh giỏi Tốn Hóa, học sinh giỏi Lý Hóa, học sinh giỏi ba mơn Tốn, Lý, Hóa Số học giỏi mơn (Tốn, Lý, Hóa) lớp 10A Lời giải Gọi A tập hợp học sinh giỏi Toán; B tập hợp học sinh giỏi Lý; C tập hợp học sinh giỏi Hóa Học sinh giỏi mơn tập hợp A  B  C Vậy có 19 học sinh giỏi ba mơn Tốn, Lý, Hóa Câu 48: Kết điểm trung bình mơn lớp 11B1 có 15 học sinh giỏi Văn, 22 học sinh giỏi Tốn Tìm số học sinh giỏi Văn Tốn biết lớp 11B1 có 40 học sinh, có 14 học sinh không đạt học sinh giỏi hai mơn Tốn Văn Lời giải Ta có n  A  B  C   n  A  n  B   n  C   n  A  B   n  A  C   n  B  C   n  A  B  C         10 Câu 46: Lớp 10A có học sinh giỏi Tốn, học sinh giỏi Lý, học sinh giỏi Hóa, học sinh giỏi Toán Lý, học sinh giỏi Toán Hóa, học sinh giỏi Lý Hóa, học sinh giỏi ba mơn Tốn, Lý, Hóa Số học giỏi mơn (Tốn, Lý, Hóa) lớp 10A Lời giải Gọi A tập hợp học sinh giỏi Toán; B tập hợp học sinh giỏi Lý; C tập hợp học sinh giỏi Hóa Học sinh giỏi môn tập hợp A  B  C Ta có n  A  B  C   n  A  n  B   n  C   n  A  B   n  A  C   n  B  C   n  A  B  C         10 Câu 47: Lớp 10A có 10 học sinh giỏi Tốn, 10 học sinh giỏi Lý, 11 học sinh giỏi Hóa, học sinh giỏi Toán Lý, học sinh giỏi Hóa Lý, học sinh giỏi Tốn Hóa, học sinh giỏi ba mơn Tốn, Lý, Hóa Số học sinh giỏi ba mơn Tốn, Lý, Hóa lớp 10A bao nhiêu? Lời giải Gọi T ; L; H tập hợp học sinh giỏi môn Tốn, Lý, Hóa Cách 1: Vẽ biểu đồ Ven tính số phần tử tập hợp ta hình vẽ Số học sinh học giỏi hai mơn Tốn Văn là: 40 14  26 Số học sinh giỏi Tốn mà khơng giỏi Văn (Phần Toán sau bỏ phần giao) là: 26 15  11 Vậy số học sinh giỏi hai mơn Tốn Văn (Phần giao nhau) là: 22  11  11 Cách 2: Số học sinh học giỏi hai mơn Tốn Văn là: 40 14  26 Số học sinh giỏi hai mơn Tốn Văn là: 22 15  26  11 Câu 49: Lớp 10B1 có học sinh giỏi Toán, học sinh giỏi Lý, học sinh giỏi Hóa, học sinh giỏi Tốn Lý, học sinh giỏi Tốn Hóa, học sinh giỏi Lý Hóa, học sinh giỏi mơn Tốn, Lý, Hóa Số học sinh giỏi mơn (Tốn, Lý, Hóa) lớp 10B1 Lời giải Ta dùng biểu đồ Ven để giải: Giỏi Toán + Lý Lý Toán 1 Giỏi Lý + Hóa Giỏi Tốn + Hóa Hóa Từ tính số phần tử tập hợp T  L  H 19 Cách 2: Giả sử A tập hợp, kí hiệu N  A số phần tử tập hợp A Từ công thức N  A  B   N  A  N  B   N  A  B  dễ dàng chứng minh N T  L  H   N T   N  L   N  H   N T  L   N T  H   N  L  H   N T  L  H  Nhìn vào biểu đồ, số học sinh giỏi môn là:        10 Câu 50: Hội khỏe Phù Đổng trường Trần Phú, lớp 10A có 45 học sinh, có 25 học sinh thi chạy, 20 học sinh thi nhảy xa, 15 học sinh thi nhảy cao, em không tham gia môn nào, em tham gia môn Hỏi số em tham gia môn ba môn bao nhiêu? Lời giải Thay số với kiện đề ta có N T  L  H   10  10  11      19 BÀI TẬP VẬN DỤNG VẬN DỤNG CAO - BÀI TOÁN THỰC TẾ TOÁN 10 - NĂM HỌC 2023 - 2024 Câu 11: Dọc theo bờ biển, người ta thiết lập hệ thống định vị vô tuyến dẫn đường tầm xa để truyền tín hiệu cho máy bay tàu thuỷ hoạt động biển Trong hệ thống có hai đài vơ tuyến đặt địa điểm A địa điểm B , khoảng cách AB  650 km Giả sử có tàu chuyển động biển với quỹ đạo hypebol nhận A B hai tiêu điểm Khi vị trí P , máy thu tín hiệu tàu chuyển đổi chênh lệch thời gian nhận tín hiệu từ A B thành hiệu khoảng cách PA  PB Giả sử thời gian tàu nhận tín hiệu từ B trước nhận tín hiệu từ A 0,0012 s Vận tốc di chuyển tín hiệu 3.108 m/s a) Lập phương trình hypebol mơ tả quỹ đạo chuyển động tàu b) Chứng tỏ thời điểm quỹ đạo chuyển động thời gian tàu nhận tín hiệu từ B trước nhận tín hiệu từ A A ln 0,0012s Lời giải Lời giải a) Vì thời gian tàu nhận tín hiệu từ B trước nhận tín hiệu từ A 0,0012 s nên thời điểm PB  PA   3.10  0,0012  360000 m=360 km Vì tàu chuyển động với quỹ đạo hypebol nhận A B hai tiêu điểm nên PA  PB  360 km với vị trí P Chọn hệ trục toạ độ cho gốc toạ độ trùng với trung điểm AB trục Ox trùng với AB Gọi hai điểm A, B hình vẽ Gọi khoảng cách từ tháp đến tâm đối xứng hypebol h Khi khoảng cách từ đáy tháp đến tâm đối xứng hypebol 2h , đơn vị hai trục km hypebol có dạng Vì PA  PB  360 nên 2a  360  a  180 h  2h  210  h  70  m  Tung độ điểm A khoảng cách từ tháp tới tâm đối xứng hypebol nên y A  70 x2 y2 Điểm A nằm hypebpol nên tọa độ điểm A thỏa mãn phương trình  1 64 35 x 70     x A  64 64 35 Vậy bán kính tháp 64  m  Tung độ điểm B khoảng cách từ đáy tháp tới tâm đối xứng hypebol nên yB  70.2  140  Theo đề bài, AB  650 , suy 2c  650 , suy c  325 b  c  a  325  180  73225 b2 = c2 – a2 = 3252 – 1802 = 73225 y2 x2  1 32400 73225 b) Vì tàu chuyển động nhánh bên phải trục Oy hypebol nên ta PB  PA với Vậy phương trình hypebol mơ tả quỹ đạo chuyển động tàu vị trí P Do tàu ln nhận tín hiệu từ B trước nhận tín hiệu từ A Gọi t1 thời gian để tàu nhận tín hiệu từ A , t2 thời gian để tàu nhận tín hiệu từ B t1  PA PB , t2  với v vận tốc di chuyển tín hiệu v v PA  PB 360000   0,0012 v 3.108 Vậy thời gian tàu nhận tín hiệu từ B trước nhận tín hiệu từ A ln 0,0012 s Khi đó, ta có: t1  t2  Điểm B nằm hypebpol nên tọa độ điểm B thỏa mãn phương trình x2 y    a  0, b   a b2 x2 y2  1 642 352 x 1402    xB  64 17 642 352 Vậy bán kính đáy tháp 64 17  m  BÀI TẬP VẬN DỤNG VẬN DỤNG CAO - BÀI TOÁN THỰC TẾ TOÁN 10 - NĂM HỌC 2023 - 2024 Câu 12: Đẻ nâng đỡ ống trượt cong có hình Parabol nhà thầu thi cơng gia cố trục đỡ vng góc với mặt đất Hình bên mô tả trục đỡ phần ống trượt với khoảng cách A đến mặt đất 6m, đến trục đỡ 3m Tính độ cao từ mặt đất tới điểm B hình Lời giải Vẽ lại hình thêm hệ trục tọa độ Oxy Lời giải x y2 Phương trình Hypebol có dạng   a; b  a b Đường cong Hypebol qua điểm A, B AB = 24 A  12;  B 12;    H  x y2  1 a b2 122 02 122      a  122  a  12  a   a b a Ta có b  c  a  132  12  25 Vây Hypebol có dạng Dễ thấy AH  Ox H trung điểm AC nên suy AH  CH  Điểm A  3;3    P  =>  2p32  p  x y2  1 144 25 AC  => A  3;3  Phương trình tắc y  x Ta thấy độ cao từ điểm B tới mặt đất khoảng cách từ B tới Ox đoạn CH 25 m * Khoảng cách từ B đến đoạn Ox tung độ y B   2,5  12 25 61 3 m => Khoảng cách từ B đến mặt đất 12 12 Câu 13: Các đường cong hình bên mơ tả tượng giao thoa hai sóng gặp nhau, với đường cong tạo thành gọi vân giao thoa có hình dạng đường Hypebol Hãy lập phương trình đường Hypebol vân giao thoa qua A B hình vẽ, biết AB = 24, đường Hypebol có tiêu cự 13 Câu 14: Ta biết Mặt Trăng chuyển động quanh trái đất theo quỹ đạo elip mà Trái Đất tiêu điểm Elip có chiều dài trục lớn trục nhỏ 769266 km 768106 km Tính khoảng cách lớn từ Trái Đất đến Mặt Trăng Lời giải Gọi phương trình elip x2 y2   a2 b2 Theo giả thiết, 2a  769266  a  384633 ; 2b  768106  b  384053 Vậy c  a  b2  21115 Khoảng cách lớn từ Trái Đất đến Mặt Trăng a  c  405748 BÀI TẬP VẬN DỤNG VẬN DỤNG CAO - BÀI TOÁN THỰC TẾ TOÁN 10 - NĂM HỌC 2023 - 2024 Câu 15: Mặt Trăng vệ tinh Trái Đất chuyển động theo quỹ đạo đường elip mà tâm Trái Đất tiêu điểm Biết độ dài trục lớn độ dài trục bé quỹ đạo Mặt Trăng 768796 km 767726 km Tính khoảng cách lớn khoảng cách bé tâm Trái Đất tâm Mặt Trăng Lời giải Khi phương trình qng đường vật di chuyển khoảng thời gian từ  t   s  S ( x )  x  x  11 Gọi d : y  mx  n  t  10  s  d qua điểm B  5; 21 C 10;0  nên: 2a  768796  Ta có 2b  767726 c  20274  21  5m  n  21 m     10m  n  n  42  Gọi M  x; y  thuộc elip suy MF1  a  ex Khi phương trình vật di chuyển khoảng thời gian từ  t  10  s  Do  a  x  a T ( x)    a  ea  MF1  a  ea 21 x  42 Câu 17: Một vật chuyển động với vận tốc v (km / h) phụ thuộc vào thời gian t (h) có đồ thị  384398  20274  MF1  384398  20274 vận tốc hình bên  364124  MF1  404672 Vậy khoảng cách lớn khoảng cách bé tâm Trái Đất tâm Mặt Trăng 404672 km 364124 km Câu 16: Chất điểm chuyển động theo quy luật vận tốc v  t  m / s  có dạng đường Parabol  t   s  v  t  có dạng đường thẳng  t  10  s  Cho đỉnh Parabol I  2;3 hình vẽ Viết phương trình quãng đường chất điểm thời gian  t  10  s  ? Trong thời gian kể từ bắt đầu chuyển động, đồ thị phần đường parabol có đỉnh I (2;9) trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian lại đồ thị Lời giải đoạn thẳng song song với trục hoành Viết phương trình vận tốc mà vật chuyển động Lời giải   c  b    Gọi phương trình parabol v  at  bt  c ta có hệ sau: 4a  2b  c   c   b   a   2   2a Gọi Parapol  P  : y  ax  bx  c  t   s  4a  2b  c  a     b  8 Do  P  : y  ax  bx  c qua I  2;3 , A  0;11 nên c  11 4a  b  c  11   Phương trình vận tốc mà vật chuyển động đầu là: v1   t  5t  Phương trình vận tốc mà vật chuyển động là: BÀI TẬP VẬN DỤNG VẬN DỤNG CAO - BÀI TOÁN THỰC TẾ TOÁN 10 - NĂM HỌC 2023 - 2024 Với t  , ta có v2  31 Gọi phương trình tắc quỹ đạo elip Câu 18: Một người chạy thời gian giờ, vận tốc v phụ thuộc vào thời gian t có đồ thị phần 1  parabol với đỉnh I  ;8  trục đối xứng song song với trục tung hình bên 2  x2 y    a  b  0 a2 b2 Gọi tọa độ chổi Halley M  x; y  Ta có MF1  a  c x Vì  a  x  a nên a  c  MF1  a  c a Do khoảng cách gần từ chổi Halley đến tâm mặt trời a  c Theo đề a  c  88 Và e  c 8000 7736 , c  0,967 Giải a  a 3 Khoảng cách xa từ chổi Halley đến tâm mặt trời a  c  15736 triệu km hay  5245333333 km Viết phương trình vận tốc mà người chạy khoảng thời gian 45 phút kể từ chạy Lời giải Câu 20: Một tàu vũ trụ nằm quỹ đạo tròn độ cao 148 km so với bề mặt Trái Đất Gọi parabol  P  : y  ax  bx  c Từ hình vẽ ta có  P  qua O  0;  , A 1;  điểm  c  a  32   1  I  ;8  , ta có hệ: a  b  c   b  32 2  a b c     c 8 4 Sau đạt vận tốc cần thiết để thoát khỏi lực hấp dẫn Trái Đất, tàu vũ trụ theo quỹ đạo parabol với tâm Trái Đất tiêu điểm; điểm khởi đầu quỹ đạo đỉnh parabol quỹ đạo Suy  P  : y  32 x  32 x a) Viết phương trình tắc parabol quỹ đạo Phương trình vận tốc mà người chạy khoảng thời gian 45 phút kể từ chạy: b) Giải thích sao, kể từ vào quỹ đạo parabol, ngày, tàu vũ trụ cách xa Trái Đất y  32 x  32 x Lời giải Câu 19: Quỹ đạo chuyển động chổi Halley elip, nhận tâm mặt trời tiêu điểm, có tâm sai 0,967 Biết khoảng cách gần từ chổi Halley đến tâm mặt trời khoảng 88.106 km, tính khoảng cách xa Lời giải Chọn hệ trục tọa độ Oxy cho tâm mặt trời trùng với tiêu điểm F1 elip, đơn vị a) Gọi phương trình tắc parabol quỹ đạo y  px  p   Nhìn hình vẽ ta thấy OF  148  6371  6519  p  6519  p  13038 trục triệu km Suy phương trình tắc parabol quỹ đạo y  26076 x BÀI TẬP VẬN DỤNG VẬN DỤNG CAO - BÀI TOÁN THỰC TẾ TOÁN 10 - NĂM HỌC 2023 - 2024 b) Giả sử tàu vũ trụ có tọa độ M  x; y  Khi theo cơng thức bán kính qua tiêu ta có MF  x  p Đây khoảng cách từ tàu vũ trụ đến tâm Trái Đất Kể từ vào quỹ đạo parabol, hoành độ x tàu vũ trụ ngày tăng, tàu ngày xa Trái Đất Câu 21: Để chụp tồn cảnh, ta sử dụng gương hypebol Máy ảnh hướng phía đỉnh gương tâm quang học máy ảnh đặt tiêu điểm gương Nửa bên đường trịn ơng trồng lâu năm, nửa bên ngồi đường trịn ơng trồng hoa màu Tính tỉ số diện tích T phần trồng lâu năm so với diện tích trồng hoa màu Biết diện tích hình Elip tính theo cơng thức S   ab với a, b nửa độ dài trục lớn nửa độ dài trục bé Biết độ rộng đường Elip không đáng kể Lời giải Xét hệ trục tọa độ Oxy hình vẽ x2 y   Tìm khoảng cách từ quang tâm máy 25 16 Phương trình cho mặt cắt gương ảnh đến đỉnh gương Lời giải Khi đường trịn có bán kính R  15 elip có nửa độ dài trục lớn a  30 , nửa độ dài trục bé b  15 x2 y2  1 Gọi  H  : 25 16 Diện tích đường trịn S C    R   152  225 Phương trình gương  H  có dạng x y   , với a  5, b  suy c  a  b  41 a b2 Diện tích Elip S E    ab   30.15  450 Diện tích nửa bên ngồi đường trịn trồng hoa màu là: S  S E   S C   450  225  225 Vậy tỉ số diện tích T  225 1 225 Câu 23: Một mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn 12m , độ dài trục bé 8m Người ta dự định trồng hoa hình chữ nhật nội tiếp elip hình vẽ Hỏi diện tích trồng hoa lớn bao nhiêu?   Ta tìm tiêu điểm gương F1  41; , F2   41;0 ; đỉnh gương A1  5;0  Vậy khoảng cách từ tâm máy ảnh tới đỉnh gương F2 A1  41  Câu 22: Ơng An có mảnh vườn hình Elip có chiều dài trục lớn trục nhỏ 60 m 30 m Ông chia mảnh vườn làm hai nửa đường tròn tiếp xúc với Elip để làm mục đích sử dụng khác BÀI TẬP VẬN DỤNG VẬN DỤNG CAO - BÀI TOÁN THỰC TẾ TOÁN 10 - NĂM HỌC 2023 - 2024 B Ta có:  a  x  a  c  c c x  c  a  c  a  x  a  c  a  c  MF1  a  c a a MF1 có giá trị nhỏ a  c có giá trị lớn a  c , nên theo giả thiết ta có hệ a  c  583  4000  4583 a  4962,5 phương trình:   a  c  1342  4000  5342 c  379, A A' Do đó: e  AA'=12 BB'=8 c 379,5   0, 0765 a 4962,5 Câu 25: Ơng A có mảnh vườn hình Elip có chiều dài trục 60m Ơng chia mảnh vườn làm hai nửa đường trịn tiếp xúc với Elip để làm mục đích sử dụng khác B' Lời giải Đặt phương trình tắc  E  : x2 y2   a2 b2 Ta có 2a  12  a  , 2b   b  Suy  E  : x2 y2   36 16 Gọi M  xM ; yM  đỉnh hình chữ nhật mà có xM  0, yM   M E  Nửa bên đường trịn ơng trồng lâu năm, nửa bên ngồi đường trịn ơng trồng hoa màu Biết chu vi đường tròn trồng lâu năm C  40 m Tính diện tích trồng hoa màu, biết diện tích hình Elip tính theo công thức S   ab , với a , b nửa độ dài trục lớn nửa độ dài trục nhỏ Biết độ rộng đường Elip không đáng kể Lời giải xM2 yM2   1; 36 16 Chu vi đường tròn C  40 m Suy bán kính đường trịn R  20m Khi đó, diện tích hình chữ nhật S  xM yM  48.2  x2 y2  xM y M  48  M  M   48  36 16   xM2 yM2   x     M Dấu "  " xảy  36 16  yM  2  xM  yM  Diện tích hình trịn  C  phần trồng lâu năm là: S C    R  202.  400  m  Theo đề ta có: diện tích hình Elip  E  là: S E    a.b   30.20  600  m  Suy diện tích phần trồng hoa màu là: S  S E   S C   600  400  200  m  Vậy diện tích trồng hoa lớn 48m , hình chữ nhật có chiều dài m chiều rộng m Câu 26: Ta biết tính chất quang học ba đường conic, Hypebol có tính chất quang học tương tự elip: Tia sáng hướng tới tiêu điểm F1 hypebol  H  gặp nhánh  H  cho tia phản xạ qua tiêu điểm F2 Một nhà nghiên cứu thiết kế kính thiên văn vơ tuyến chứa hai gương có mặt cắt hình parabol  P  hình nhánh hypebol  H  Parabol  P  Câu 24: Vệ tinh nhân tạo Liên Xơ phóng từ Trái đất năm 1957 Quỹ đạo vệ tinh đường elip nhận tâm Trái Đất tiêu điểm Người ta đo vệ tinh cách bề mặt Trái Đất gần 583 dặm xa 1342 dặm ( dặm  1, 609km ) Tìm tâm sai quỹ đạo có tiêu điểm F1 đỉnh S Hypebol  H  có đỉnh A , có chung tiêu điểm F1 với  P  có tiêu điểm thứ hai F2 biết bán kính Trái Đất xấp xỉ 4000 dặm Lời giải Giả sử tâm trái đất F1  c;0  , điểm M biểu thị cho vệ tinh đường elip Khoảng cách từ M đến tâm trái đất MF1  a  c x a BÀI TẬP VẬN DỤNG VẬN DỤNG CAO - BÀI TOÁN THỰC TẾ TOÁN 10 - NĂM HỌC 2023 - 2024 y 12 10 B C Nguyên tắc hoạt động kính thiên văn sau: tín hiệu đến từ vũ trụ xem song song với trục parabol  P  , đến điểm M  P  cho tia phản xạ theo hướng MF1 , tia gặp  H  điểm N cho tia phản xạ tới F2 nơi thu tín hiệu Cho biết SF1  14m , SF2  2m AF1  1m Hãy viết phương trình tắc  P   H  Lời giải x x2 y Gọi phương trình tắc  H     a  0, b   a b F1 , F2 hai tiêu điểm  H  nên 2c  F1 F2  SF1  SF2  14   12  c  AF2  F1 F2  AF1  12   11 Vì A thuộc  H  nên 2a  AF1  AF2   11  10  a   b  c  a  11 Vậy phương trình tắc  H  x2 y2  1 25 11 Gọi phương trình tắc y  px  p   S đỉnh F1 tiêu điểm parabol nên  P  A p  SF1  14  p  28 Suy phương trình tắc  P  y  56 x O Biết quỹ đạo bóng cung parabol nên phương trình có dạng y  ax  bx  c Theo ra, gắn vào hệ tọa độ tương ứng điểm A , B , C nên ta có: c  a  3    b  12 a  b  c  10 12, 25a  3,5b  c  6, 25 c    Suy phương trình parabol y  3 x  12 x  Parabol có đỉnh I (2;13) Khi bóng đạt vị trí cao đỉnh tức h  13 m Câu 28: Quỹ đạo Sao Hỏa elip có bán kính trục lớn 227, triệu km, tâm sai e  0, 0934 quay quanh Mặt trời vòng hết 687 ngày Định luật Kepler thứ hai khẳng định rằng: đường nối hành tinh với mặt trời quét qua diện tích khoảng thời gian Biết diện tích elip có bán trục a, b  ab , tính diện tích mà đường nối Sao Hỏa Mặt trời quét qua giây Lời giải Câu 27: Một bóng cầu thủ sút lên rơi xuống theo quỹ đạo parabol Biết ban đầu bóng sút lên từ độ cao m sau giây đạt độ cao 10 m 3,5 giây độ cao 6, 25 m Hỏi độ cao cao mà bóng đạt mét? Lời giải BÀI TẬP VẬN DỤNG VẬN DỤNG CAO - BÀI TOÁN THỰC TẾ TOÁN 10 - NĂM HỌC 2023 - 2024 c  c  ea  21, 28586.106 , b  a  c  226, 9.106 ; diện tích elip giới hạn a quỹ đạo hỏa: S   227,9.226, 9.1012  162453, 3583.1012 Ta có e  Diện tích qt giây Cỏ S  2737 trieäu km 687.24.3600  B  C Câu 29: Biết quỹ đạo Trái đất quay quanh Mặt trời elip Mặt trời hai tiêu điểm, khoảng cách lớn Trái đất Mặt trời 152 triệu km, khoảng cách nhỏ Trái đất Mặt trời 147 triệu km Hãy viết phương trình tắc  E  quỹ đạo Trái đất quay quanh Mặt trời Lời giải Ta có khoảng cách xa mặt trời trái đất a  c  152 triệu km khoảng cách ngắn a  c  147 triệu km Từ đó, ta dễ dàng tìm a  149,5 triệu km c  2,5 Phần tô đậm dùng để trồng cỏ, phần lại lát gạch Biết mét vng trồng cỏ chi phí 100 nghìn đồng, mét vng lát gạch chi phí 300 nghìn đồng Khi diện tích phần lát gạch nhỏ tổng chi phí thi cơng vườn hoa Hạnh Phúc Biết diện tích hình elip tính theo cơng thức S   ab , với a , b nửa độ dài trục lớn nửa độ dài trục nhỏ Lời giải triệu km Từ ta tính b  149, 48 triệu km Khi phương trình  E  : x2 y2   149,52 149, 482 Gọi x, y  m  bán kính phần lát gạch hình trịn  x, y   ta có x  y  Gọi S  m  phần diện tích lát gạch khu vườn  S   , ta có Câu 30: Hai tháp vô tuyến cách 200 km đặt dọc bờ biển với A nằm phía Tây B S  80  20   x   y  80  20    x  y   x  y  S  20  80 Các tín hiệu vơ tuyến gửi đồng thời từ tháp tới tàu tín hiệu B nhận sớm 500 micro giây trước tín hiệu A Giả sử tín hiệu vơ tuyến truyền với vận tốc 300 mét/micro giây tàu nằm phía Bắc tháp B tàu cách bờ biển bao xa? Lời giải Ta có:  C  : x  y  Theo đề tàu nhận tín hiệu từ B sớm từ A 500 micro giây thẳng  : x  y   Khi tốn trở thành: Tìm R nhỏ để  C   có Vì âm di chuyển với tốc độ 300 mét/micro giây nên hiệu số khoảng cách từ tàu tới A B 500  300 m  150000 m  150 km điểm chung, với hoành độ tung độ số dương? S  20  80  có tâm O  0;0  , bán kính R   S  20  80  y A Hiệu khoảng cách 2a  150  a  75 H Con tàu nằm nhánh hyperbol, với hai tháp vô tuyến A B hai tiêu điểm, A B cách 200km , nghĩa 2c  200  c  100 x Theo tính chất hyperbol, b  c  a  1002  752  4375 , phương trình chuẩn hyperbol O x2 y2   5625 4375 Vì tàu nằm phía Bắc tháp B , nghĩa có hồnh độ x  c  100 Thay x  100 vào phương trình ta có y  58, 33 Ta có  C   có điểm chung Vậy tàu cách bờ biển  58,33 km Câu 31: Thiết kế khu vườn Hạnh Phúc hình chữ nhật có chiều dài 10 m chiều rộng m hình vẽ R  d  O,    S  20  80   25 15  S  20  80   S  80  2 Vậy diện tích phần lát gạch nhỏ S  80  BÀI TẬP VẬN DỤNG VẬN DỤNG CAO - BÀI TOÁN THỰC TẾ TOÁN 10 - NĂM HỌC 2023 - 2024 15 đường Từ chi phí để thi cơng khu vườn Hạnh phúc 100  80  Smin   300.Smin  19288 nghìn đồng Câu 33: Ơng Thanh có mảnh vật liệu hình elip với trục lớn, trục nhỏ có độ dài 80cm 60cm Ơng Thanh muốn cắt hình chữ nhật có cạnh song song với trục elip đỉnh MN hình chữ nhật thuộc elip Tính tỉ số để hình chữ nhật có diện tích lớn nhất? MQ Một cách tính S khác Ta có: S  80  20   x   y  80  20    x  y   80  20    x  y 2  80  20   x  Ta có  x     nên A  4;0  , B  4;0  hay AB   x  4 25 15  80  2 Vậy diện tích phần lát gạch nhỏ S  80  15 Câu 32: Một cổng hình parabol bao gồm cửa hình chữ nhật hai cánh cửa phụ hai bên hình vẽ Biết chiều cao cổng parabol 4m cịn kích thước cửa 3m x 4m Lời giải Hãy tính khoảng cách hai điểm A B Lời giải Ta chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Khi phương trình  E  : thức Cosi ta có xy x2 y2 x2 y  1  Do S MNPQ  xy  2400 402 302 402.302 600 Dấu xảy Gắn hệ trục tọa độ Oxy hình vẽ, cổng phần parabol  P  : y  ax  bx  c với a  x 40  y 30  x y  Câu 34: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho x2 y2   điểm M 1;1 Viết phương trình đường thẳng  qua M cắt 25  E  hai điểm phân biệt A , B cho M trung điểm AB a) Elip  E  : Do parabol  P  đối xứng qua trục tung nên có trục đối xứng x    b   b  2a Chiều cao cổng parabol 4m nên G  0;   c    P  : y  ax  Lại có, kích thước cửa 3m x 4m nên E  2;3 , F  2;3   4a   a   Vậy  P  : y   x  x2 y2   Giả sử M  x, y  , SMNPQ  xy , theo bất đẳng 402 302 b) Elip  E  : x2 y 2 2   điểm M  ;  Viết phương trình đường thẳng qua M cắt 3 3  E  hai điểm phân biệt A , B cho MA  MB x y   đường thẳng d : x  y   Viết phương trình đường thẳng  vng góc d cắt  E  hai điểm A , B cho tam giác OAB có diện tích c) Elip  E  : BÀI TẬP VẬN DỤNG VẬN DỤNG CAO - BÀI TOÁN THỰC TẾ TOÁN 10 - NĂM HỌC 2023 - 2024 d) Elip  E  : x  y  có hai tiêu điểm F1 , F2 F1 có hồnh độ âm Gọi d đường thẳng qua F2 song song với  : y   x  đồng thời cắt  E  hai điểm A , B phân biệt Tính diện tích tam giác ABF1 Lời giải a) Thay tọa độ điểm M vào vế trái  E  ta 1   Suy M nằm miền 25  9     Ta có AB   x2  x1 ; y2  y1    x2  x1 ;   x1  x2     x1  x2   1;   25 25      Suy u   25; 9  vec-tơ phương  nên  : x  25 y  34  Bằng cách giải thứ ta giải tốn tổng quát thay giả thiết MA  MB giả thiết M chia đoạn AB theo tỉ số k Cụ thể ta xét tốn sau:  E  Do đường thẳng qua M cắt  E  hai điểm phân biệt Do M 1;1 trung điểm AB nên B   x;  y  Vì B   E  nên 2  x 25  2  y   2 Từ 1   , ta được: 2  2 x0     2 y0     2 x  4x  y  y  x y  4 x  4 y    1     1 25 25  25   2 2           20  Suy M nằm miền E   36   Mà MA  MB suy MA  2 MB nên A  2 x0  2; 2 y0   Mặt khác, A   E  nên x02 y02   1 Thay tọa độ điểm M vào vế trái  E  ta x2 y   1 25 Gọi A  x; y    E  nên b) Gọi A  x; y  , B  x0 ; y0  Vì B   E  nên 4 x  4 y     x  25 y  34  * 25 Do tọa độ hai điểm A , B thỏa mãn * nên phương trình * phương trình Từ 1   , ta có  x02 y02  1 5 y02  y0      x0   x0  4  2       x0 y0 2 1  y0    2 x0    2 y0     y       đường thẳng d cần tìm  Với  0;1 Đường thẳng cần tìm qua M B nên có phương trình: x  y   Cách 2: Ta có  E  : x2 y    x  25 y  225 Gọi A  x1 ; y1  , B  x2 ; y2  hai điểm thỏa yêu cầu 25 tốn Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn toán là: x  y   x  70 y  50  2 9 x  25 y1  225 Ta có A, B   E    12 9 x2  25 y2  225 c) Do  vng góc với d : x  y   nên  : x  y  m  Đường thẳng  cắt  E  hai điểm A , B nên tọa độ A , B nghiệm hệ Trừ vế theo vế ta  x1  x2  x1  x2   25  y1  y2  y1  y2    x1  x2  xM  Vì M trung điểm AB nên  Thay vào trên, ta  y1  y2  yM  18  x1  x2   50  y1  y2    y1  y2   8 3  Với B  ;  Đường thẳng cần tìm qua M B nên có phương trình: x  70 y  50  5 5  x1  x2  25  x2 y x  y  m 1    x  y  m   4 2 x  y   8 y  4my  m   x  y  m    * Để  cắt  E  hai điểm A , B phân biệt phương trình * phải có hai nghiệm phân biệt     32  4m2   2  m  2 BÀI TẬP VẬN DỤNG VẬN DỤNG CAO - BÀI TOÁN THỰC TẾ TOÁN 10 - NĂM HỌC 2023 - 2024 m   y1  y2  Gọi y1 , y2 hai nghiệm phương trình * , suy   y y  m   cho AB ngắn Ta tọa độ A  y1  m; y1  , B  y2  m; y2  Ta có Từ phương trình  P  có p  nên F  2;0  8  m2  2 AB   y2  y1    y1  y2   y1 y2     Mặt khác, d  O, AB   d  O,    S OAB   p  xM suy xM  , kết hợp với * ta có yM  2  m 8  m 2  d) Phương trình Elip  E  dạng tắc  E  : Ta có FM  Do     a2  b) Ta có M   P   M  ; a  với a      m  2 Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn  : x  y    : x  y   a) Giả sử M  xM ; yM    P   y  xM * Vậy có hai điểm thỏa mãn M 1; 2 , M 1;  2 m AB.d  O, AB    2 Lời giải M x2 y  1 SOMF   OF d  M ; OF    a  Vậy điểm M cần tìm M  8;8 c) Với điểm A   P  , B   ta ln có AB  d  A ;   Ta có a  , b  Suy c  a  b  Hai tiêu điểm có tọa độ là: F1  2;0  F2  2;0  Đường thẳng d qua F2  2;0  song song với  : y   x  nên có phương trình d : x y 2  Tọa độ điểm A , B nghiệm hệ phương trình   3 3 x  x  x  y   y  2 x  y   x   2         2 2 x  3y  2 x  x    y  1  y  1  x    x     2   1    1    1    1  Do A  ; ; ; ;  , B   A   , B           Khi AB  d  F1 , AB   d  F1 , d   2 Suy diện tích tam giác ABF1 SABF1  AB.d  F1 , d   Câu 35: Trong mặt phẳng Oxy , cho parabol  P  : y  x có tiêu điểm F a) Tìm  P  điểm M cách F khoảng b) Tìm điểm M  P  cho SOMF  a  A   P   A  ; a  với a  , d  A ;      a2  3a   a  3    10 10 9  Suy AB nhỏ A  ;3  B hình chiếu A lên  8   Đường thẳng qua A vng góc với  nhận u   3;  véc-tơ pháp tuyến nên có phương 9  trình  x     y  3   24 x  32 y  123  8  209  x 4 x  y    200 Do tọa độ điểm B nghiệm hệ   24 x  32 y  123   y  153  50 9   209 153  Vậy A  ;3  , B  ;  thỏa yêu cầu toán 8   200 50  Câu 36: Tìm điểm hypebol  H  : x  y   cho: a) Nhìn hai tiêu điểm góc vng b) Nhìn hai tiêu điểm góc 120 c) Có tọa độ nguyên Lời giải c) Tìm điểm A nằm parabol điểm B nằm đường thẳng  :4 x  y   BÀI TẬP VẬN DỤNG VẬN DỤNG CAO - BÀI TOÁN THỰC TẾ TOÁN 10 - NĂM HỌC 2023 - 2024 Viết lại phương trình  H   x2 y2   1 x  Giải hai hệ có nghiệm ngun  y  Suy a   a  ; b   b  , c  a  b   c  , e    Hypebol  H  có tiêu điểm F1  5;0 , F2  c  a       Ta có F1M  F2 M  F1M F2 M   x  x   y   x  y    conic  S  Hỏi  S  đường ba đường conic? Tìm a  Lời giải Đường conic  S  có tâm sai e   nên  S  đường elip Mà M   H   x  y  nên x  ; y 5 Từ ta x   , tiêu điểm F 1;1 đường chuẩn tương ứng với tiêu điểm  : x  y  12  Biết điểm M  a; 3 với hoành độ nguyên thuộc đường Câu 37: Cho đường conic  S  có tâm sai e   5;0   a) Gọi M  x; y  điểm cần tìm Ta có F1M  x  5; y , F2 M  x  5; y  Vậy điểm  H  có tọa độ nguyên 1;0  ,  1;0  Điểm M  a; 3 thuộc đường conic  S    Vậy có bốn điểm cần tìm  ; ,  5       ; ; ;  ,  ,   5  5  5   a  1  42 MF e  3a  12  12 d M ,  b) Gọi N  x; y  điểm cần tìm Ta có N   H   NF1  NF2  2a  6  a  1  16  3a  24 Xét tam giác F1 NF2 ta có  36  a  2a  17    3a  24   F1 F22  F1 N  F2 N  F1 N F2 N cos F NF2   F1 N  F2 N   F1 N F2 N  F1 N F2 N cos120  27a  72a  36    3F1 N F2 N   a  ex a  ex   a  e x  a  2 , a    a  2  a    Nên 4c    x  4.5    x   x  16 19 19  x2   x   15 15 19 Thay x   vào phương trình  H  ta tính y   15 15  19   19   19   19  Vậy có bốn điểm cần tìm  , , , ;    15 ;  15    15 ; 15   15 ;  15  15 15         c) Do  H  nhận Ox , Oy làm trục đối xứng nên ta cần xét điểm  x; y   H  mà x; y nguyên x  , y  , sau ta tìm điểm đối xứng với điểm qua trục Ox Oy Ta có x  y     x  y  x  y   Do 2x  y , 2x  y nguyên, x  y  x  y  x  y nên ta có trường hợp 2 x  y  2 x  y    x  y   2 x  y  Câu 38: Cho elip  E  có phương trình x2 y2 x2  y  , hypebol  H  có phương trình   Chứng 12 minh elip  E  hypebol  H  cắt bốn điểm phân biệt Viết phương trình đường trịn qua bốn điểm Lời giải  x2   y 1  42 Tọa độ giao điểm elip  E  hypebol  H  nghiệm hệ phương trình  x y2   12     68  68 x    x  21  21    y2  y     21 21 BÀI TẬP VẬN DỤNG VẬN DỤNG CAO - BÀI TOÁN THỰC TẾ TỐN 10 - NĂM HỌC 2023 - 2024 Vì hệ có nghiệm nên elip  E  hypebol  H  cắt bốn điểm phân biệt  x2   y 1  42 7 24 Từ hệ phương trình  x , cộng vế theo vế, ta x  y   x2  y2  y2 12 12   12    Vậy bốn giao điểm elip  E  hypebol  H  nằm đường tròn  C  : x  y  x2 y   Gọi  đường thẳng qua gốc tọa độ O có hệ số góc k ,   đường thẳng qua O vng góc với  a) Xác định tọa độ tiêu điểm, tâm sai, phương trình đường tiệm cận đường chuẩn  H  Câu 40: Cho hyperbol  H  : 24 b) Tìm điều kiện k để    cắt  H  c) Tứ giác với bốn đỉnh bốn giao điểm    với  H  hình gì? Tính diện tích tứ giác theo k Xác định k để diện tích tứ giác có giá trị nhỏ Câu 39: Viết phương trình đường thẳng qua điểm M  2; 1 biết M trung điểm AB hai điểm A, B thuộc elip có phương trình x2 y   16 Lời giải  2 a) Ta có a  4, b   c  b  a  13 , suy a  , b  c  13    13;0 ; tâm sai e  c 13 ; đường  a a b x   x đường chuẩn x     e a 13 b)  : y  kx ,  : y   x k Hoành độ giao điểm   H  nghiệm phương trình: tiệm cận y    xA  xB  xM  2.2  M trung điểm AB nên:   y A  yB  yM  2.(1)  2     nên M nằm Elip 16  x A2  16  Vì A, B thuộc elip    xB   16 Vậy  H  có tiêu điểm F1   13;0 , F2  Giả sử A  xA ; y A  , B  xB ; yB  Ta có Lời giải y A2 1  x2 y   x2 y    A  A  B  B   16   16  yB2 1  9 x  4k x  36    4k  x  36 3 k 2 Tung độ giao điểm    H  nghiệm phương trình:  cắt  H   4k    4 y  9k y  36   9k   y  36 x A2  xB2 y A2  yB2  0 16  xA  xB   xA  xB    y A  yB   y A  yB   16  x A  xB  2  y A  yB    0 16  y  yB   x x  A B A 9 x A  xB y A  y B    Mà BA có tọa độ  xA  xB ; y A  yB  nên u   8;9  VTCP AB   Suy véc-tơ pháp tuyến AB n   9; 8  Phương trình đường thẳng AB là:  x     y  1   x  y  26   k     cắt  H  9k     k   3    k  2     k    Vậy    cắt  H    k    2  k    2    k   c) Gọi A C giao điểm   H  Gọi B D giao điểm    H   xA    yB   Do  H  nhận O làm tâm đối xứng nên OA  OC , OB  OD Suy tứ giác ABCD hình bình hành Mặt khác, AC vng góc với BD nên ABCD hình thoi Vậy phương trình đường thẳng cần tìm x  y  26  BÀI TẬP VẬN DỤNG VẬN DỤNG CAO - BÀI TOÁN THỰC TẾ TOÁN 10 - NĂM HỌC 2023 - 2024  x2 y   6k 1   Giải hệ phương trình   H  :  ta A  ;  2  4k    4k  y  kx   x2 y 1    6k 6  Giải hệ phương trình   H  :  ta B  ;  2  k  9k   y   x  k Ta có OA2  x A2  y A2  36  k  1  4k 36  k  1  OA  OB  xB2  yB2  9k  k 1  4k x2 y   đường thẳng d : x  y  12  Biết đường thẳng d cắt  E  16 hai điểm phân biệt A, B Biết điểm C  a ; b    E  cho ABC có diện tích lớn Tính Câu 42: Cho elip  E  : giá trị biểu thức T  a  2b Lời giải Ta thấy đường thẳng d cắt  E  hai điểm phân biệt A, B điểm cố định  độ dài đoạn AB số ; Diện tích ABC : S  k 1  OB  9k  72  k  1 d  C ; d  AB Diện tích ABC lớn  d  C ; d  lớn S ABCD  SOAB  2OA.OB    4k  9k   Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có   4k  9k C  a; b    E    4   k  1 nên S ABCD  144 Và d  C , d   Vậy S ABCD nhỏ   4k  9k   k  1 Vậy diện tích ABCD nhỏ đường thẳng    đường phân giác góc phần tư thứ thứ hai Câu 41: Cho Parabol  P  : y  px  p   A điểm cố định  P  Một góc vng uAt quay a b2   16 3a  4b  12 Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki ta có:  a2 b2  b  a Xét:  3a  4b    12  12   122  122      288 3   16  quanh đỉnh A có cạnh cắt  P  B C Chứng minh đường thẳng BC qua  12  3a  4b  12 điểm cố định Lời giải 2  d C , d   3a  4b  12 a  b  c  Giả sử A  ;a , B ;b  , C  ;c  2p   2p   2p  Phương trình đường thẳng BC là: px   b  c  y  bc    b2  a   c  a  ba  ca ;b  a    b  a; p  , AC   ;c  a    c  a; p  Ta có: AB   p p    2p  2p     Do: AB  AC  AB AC    b  a  c  a   p   12  12 b a  48  36  a  2    d  C ; d  lớn khi: 3a  4b  12    a b2 b      1 16  2 Khi C  2 2;   a  2b  5   a  2 2, b     Câu 43: Cho parabol  P  có phương trình y  px  bc  a  b  c   a  p  Do đó: bc  a  b  c   a  p nên phương trình BC là:  p  0 cắt parabol  P  hai điểm phân biệt M , N Gọi I trung điểm MN Tìm quỹ tích I  thay đổi px  a  p   b  c  y  a   Lời giải  a2   p; a  Từ đường thẳng BC qua điểm cố định M   2p  gọi F tiêu điểm  P  Chứng minh đường thẳng d qua F tạo với chiều dương trục Ox góc   0    180  p  Ta có parabol  P  : y  px có tiêu điểm F  ;  2  BÀI TẬP VẬN DỤNG VẬN DỤNG CAO - BÀI TOÁN THỰC TẾ TOÁN 10 - NĂM HỌC 2023 - 2024 Đường thẳng d tạo với chiều dương trục Ox góc  nên đường thẳng d có hệ số góc k  tan  p p   Ta có phương trình đường thẳng d : y  tan    x    y   x    tan  2 2   Tọa độ giao điểm parabol  P  đường thẳng d nghiệm hệ phương trình  y  px p2 p   tan     x   tan   px  x tan   p  tan    x   p  y  x  tan       2   Lời giải Phương trình có   p  tan     p tan   p tan   p   p  Vậy phương trình ln có hai nghiệm phân biệt Suy đường thẳng d cắt parabol  P  hai điểm phân biệt M  xM ; yM  ; N  xN ; yN  với xM , xN nghiệm phương trình Theo định lý Viet ta có xM  xN  p  tan    tan   p  tan    xM  xN   xI   xI   tan   Do I trung điểm MN nên ta có  p     yI   xI   tan   y  x  p  tan    I  I  2   p  tan     p  tan     xI   xI  tan   p2  tan   yI2  pxI     p  tan    p  y   y  p   tan  I I    tan  2 tan     Vậy quỹ tích trung điểm I MN parabol có phương trình y  px  p2 Câu 44: Trên bờ biển có hai trạm thu phát tín hiệu A B cách km , người ta xây cảng biển cho tàu hàng neo đậu nửa hình elip nhận AB làm trục lớn có tiêu cự km Một tàu hàng M nhận tín hiệu vào cảng biển cho hiệu khoảng cách từ đến A B km Khi neo đậu cảng khoảng cách từ tàu đến bờ biển bao nhiêu? Chọn hệ trục toạ độ Oxy hình trên, km ứng với đơn vị x2 y2  MA  MB  Do  nên M thuộc hypebol  H  :  1  A  3;  , B  3;  Cảng biển xây theo hình elip có trục lớn AB  tiêu cự   E  : Khi tàu M neo đậu vị trí I  x2 y2 126     x2    17  Lúc toạ độ I thoả mãn hệ   12 x y   1 y   17  Khi khoảng cách từ tàu M đến bờ biển BÀI TẬP VẬN DỤNG VẬN DỤNG CAO - BÀI TOÁN THỰC TẾ TOÁN 10 - NĂM HỌC 2023 - 2024 12 km 17 x2 y  

Ngày đăng: 24/12/2023, 11:27

Xem thêm: