Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN HUYỆN NAM ĐÀN - NĂM 2020 Bài (4,0 điểm) Tính giá trị biểu thức: a) A   13   13   x  y  x2 x2 y2   xy x  x  y  x  y  y2 y  x  y B b) Bài (5,0 điểm) (Điều kiện: x  y  ) a) Tìm số tự nhiên n cho số 2n  2017 n  2019 số phương 2 b) Giải phương trình: x  3x  x  3x   33 c) Chứng minh rằng: A  n  3n  n  chia hết cho 48 với n số tự nhiên lẻ Bài (3,0 điểm) 1   a) Cho a , b số dương thoả mãn: a b 2019 Chứng minh: a  b  a  2019  b  2019 b) Cho a , b , c số dương thoả mãn: a  b  c  2 2 2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M  a  ab  b  b  bc  c  c  ca  a Bài (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có góc nhọn Các đường cao AD , BE , CF cắt H a) Chứng minh AEF # DBF AH k · · HD b) Tính: tan ABC.tan ACB theo k Biết S AEF S DBF S DEC   BH CH c) Chứng minh: AH Bài (2,0 điểm) o Tính tan 36 (khơng sử dụng bảng số máy tính) -HẾT - LỜI GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN HUYỆN NAM ĐÀN - NĂM 2020 Bài (4,0 điểm) Tính giá trị biểu thức: a) A   13   13   x  y  x2 x2 y2   xy x  x  y B b)  x  y  y2 y  x  y (Điều kiện: x  y  ) Lời giải a) A   13   13   A  14  13  14  13  Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com   2A   13     13    A  13   13    A b) Vì x  y  nên xy  x  y  Khi đó:  x  y  x2 x2 y2   xy x  x  y B  x  y  y2 y  x  y  xy  y  x    x   y  x    y    xy x  x  y y  x  y  1 1  Bài (5,0 điểm) a) Tìm số tự nhiên n cho số 2n  2017 n  2019 số phương 2 b) Giải phương trình: x  3x  x  3x   33 c) Chứng minh rằng: A  n  3n  n  chia hết cho 48 với n số tự nhiên lẻ Lời giải a) Cách 1: Với 2n  2017 n  2019 số phương 2 2n  2017  a 2n  2017  a   n  2019  b2  2n  4038  2b  2b2  a  2021   Đặt  2b  a   2b  a  2021 Ta xét trường hợp: 45   2b  a  43  b   2013  n  b  a  47 a    (loại) + TH1:  45   2b  a  47  b   2013   n   2b  a  43  a  2 (loại) + TH2:  1011   2b  a  2021  b   1018083   n   2b  a  a  1010 + TH3:  (loại) 1011  b   2b  a   1018083  n  b  a  2021 a  1011  + TH4:  (loại) Vậy không tồn số tự nhiên n thoả mãn yêu cầu toán  2n  2017  a  n  2019  b2  2b  a  2021 Cách 2: Đặt  (với a, b  ¥ ) Ta có a  2n  2017  a số lẻ Đặt a  2k  ( k  ¥ ) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 2b2   2k  1  2021  b2  2k  k  1  1011 Suy Ta thấy vế trái  1  1 số phương nên chia cho dư dư 1, vế phải  1 chia cho dư Do khơng tồn số tự nhiên n thoả mãn yêu cầu toán b) Ta thấy: x  3x   0, x 2 2 Phương trình x  3x  x  3x   33  x  3x   x  3x   42 t    t  0 Phương trình trở thành: t  t  42  t  7 , chọn t  Đặt t  x  x  2 x   9 x   Với t   x  3x   36  9  S  3;    Vậy phương trình cho có tập nghiệm là:  n  n  3   n  3   n  1  n  1  n  3 A  n  n  n  c) Ta có  n  1  n  1  n  3 tích số chẵn liên tiếp nên AM8 , AM3 ; AM2 Với n số tự nhiên lẻ Suy AM48 Bài (3,0 điểm) 1   a) Cho a , b số dương thoả mãn: a b 2019 Chứng minh: a  b  a  2019  b  2019 b) Cho a , b , c số dương thoả mãn: a  b  c  2 2 2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M  a  ab  b  b  bc  c  c  ca  a Lời giải a) Điều kiện: a  2019 , b  2019 1 ab     2019 ab Ta có: a b 2019 Khi đó:  a  2019  b  2019  a ab ab   b ab ab a b  ab ab ab  a b ab b) Ta có: Liên hệ tài 039.373.2038 a  ab  b2   a  b liệu mơn word tốn:  1 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com b2  bc  c   b  c  2 c  ca  a   c  a  3 Cộng vế theo vế  1 ,   ,  3 ta được: M   a  b  c  3 Dấu “  ” xảy a  b  c  Vậy GTNN M  3 đạt a  b  c  Bài (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có góc nhọn Các đường cao AD , BE , CF cắt H a) Chứng minh AEF # DBF · · b) Tính: tan ABC.tan ACB theo k Biết k AH HD S AEF S DBF S DEC   BH CH c) Chứng minh: AH Lời giải AE a) Xét AEF ABC có: µA chung; AB  AF AC (  cosA ) Suy AEF # ABC (c.g.c) Tương tự có: DBF # ABC (c.g.c) Do đó: AEF # DBF (đpcm) · · · b) Ta có: ACB  BHD (cùng phụ với HBD ) BD · · tan ACB  tanBHD  HD (vì BHD vng D ); Suy ra: AD BD (vì ABD vng D ) AD BD AD   · · Khi đó: tan ABC.tan ACB BD HD HD · tan ABC  Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn:  1 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Mặt khác: Từ  1 k AH AH  HD AD   k 1  k 1 HD HD hay HD  2 · · suy ra: tan ABC.tan ACB  k  c) Ta có: AEH # BDH (g.g)   2 AH AE AH AE    BH BD BH BD BH FB  CE Tương tự: CH AEF # DBF  Theo câu a) ta có: S AEF AE AH   SDBF BD BH DBF # DCE  Chứng minh tương tự câu a) ta được: S DBF BF BH   S DCE CE CH S AEF AH S DBF BH S AEF S DBF SDEC     2  S BH S CH AH BH CH (đpcm) Do đó: DBF ; DCE Bài (2,0 điểm) o Tính tan 36 (khơng sử dụng bảng số máy tính) Lời giải o µ o µ µ Vẽ ABC cân A , có BC  ; A  36 ; B  C  72 Vẽ phân giác CD góc C  ADC cân D DCB cân C  DA  DC  BC  Kẻ DE  AC E Đặt AE  x  EC  x; AC  AB  x; BD  x  Mặt khác CD phân giác góc C  DA AC   2x DB CB hay x  1   4x  2x     2x    2  Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn  * tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Nghiệm dương phương trình Mà sin 36  cos 36  o tan36o  Suy Liên hệ tài 039.373.2038 liệu o  * là:  sin 36o  x 1 x 1 cos 36o  x Ta có: AD 10  10   sin 36o  16 10   10  :  4 1 word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC ... 2n  201 7 n  201 9 số phương 2 b) Giải phương trình: x  3x  x  3x   33 c) Chứng minh rằng: A  n  3n  n  chia h? ??t cho 48 với n số tự nhiên lẻ Lời giải a) Cách 1: Với 2n  201 7 n  201 9... TỐN H? ??C Website:tailieumontoan.com Mặt khác: Từ  1 k AH AH  HD AD   k 1  k 1 HD HD hay HD  2 · · suy ra: tan ABC.tan ACB  k  c) Ta có: AEH # BDH (g.g)   2 AH AE AH AE    BH...  BHD (cùng phụ với HBD ) BD · · tan ACB  tanBHD  HD (vì BHD vng D ); Suy ra: AD BD (vì ABD vuông D ) AD BD AD   · · Khi đó: tan ABC.tan ACB BD HD HD · tan ABC  Liên h? ?? tài 039. 373 .203 8