Đang tải... (xem toàn văn)
PowerPoint Presentation Câu 2 (2 điểm) Cho Hãy tìm GTNN của biểu thức B = Dùng BĐT Cauchi cho 4 số dương Kết quả Bmin=3 Câu 3 (2 điểm) Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác Chứng minh Xem bài.
Câu (2 điểm): Cho Hãy tìm GTNN biểu thức: B= x = x − y + ( y + 1) − = x− y+ y +1 y +1 + −1 2 Dùng BĐT Cauchi cho số dương x − y, y +1 y +1 , , 2 ( x − y )( y + 1) Kết Bmin=3 Câu (2 điểm): Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh: Xem giải Nguyễn Quang Huy zalo nhóm Câu (2 điểm): Cho số thực a, b, c a + b + c = Chứng minh: Dự đoán điểm rơi: a=b=c=1 a = ⇒ 4a + = 7 4a + ≤ + 4a + = 2a + Câu (2 điểm): Cho a, b, c số thực dương thoả mãn: Tìm GTNN biểu thức: P = P khơng phải biểu thức hốn vị vịng quanh biến, đổi biến biểu thức hoán vị biến hay không? a = x > 0; 2b = y > 0;3c = z > ⇒ xyz = P= 1 + + x ( y + 1)( z + 1) y ( z + 1)( x + 1) z ( x + 1)( y + 1) Vẫn khó khăn biến nằm hoàn toàn mẫu, dạng lạ, đưa lên tử không? x= 1 > 0, y = > 0, z = > ⇒ mnp = m n p m3 n3 p3 P= + + (n + 1)( p + 1) (m + 1)( p + 1) ( m + 1)( n + 1) Không có lạ điểm rơi m=n=p=1 m3 n +1 p +1 m Các BĐT tương tự, cộng BĐT chiều + + ≥3 (n + 1)( p + 1) 8 KQ : P = ⇔ m = n = p = ⇔ x = y = z = ⇔ II Phương pháp tiếp tuyến f ( x) ≥ f '( x0 )( x − x0 ) + f ( x0 ) a, b, c, d ≥ a + b + c + d = Bài 2: a b c d + + + ≤ a + b3 + c + d + Chứng minh: Nháp: dự đoán điểm rơi: a=b=c=d=1 Viết PTTT với đồ thị hàm số: a 2a − ( + ) a + 27 27 f (a ) = a a3 + Tại a0 = KQ : y = 2a + 27 27 (a − 1)2 (2a + 5a + 8) a 2a + KQ : − ≤ ⇔ ≤ 27.(a + 8) a3 + 27 Trình bày:… Bài 3: a, b, c > a + b + c = Chứng minh rằng: a + b + c ≥ ab + bc + ca BDT ⇔ a + a + b + b + c + c ≥ 2(ab + bc + ca ) + a + b + c = (a + b + c ) = f (a ) = a + a Viết PTTT với đồ thị hàm số điểm rơi a=1, tự giải 15’ đưa lên zalo nhóm Bài 4: Cho số thực : a, b, c > 0; ab + bc + ca = Tìm GTNN của: P = 5(a + b3 + c ) + 2(a 2b + b 2c + c a ) f ( a ) = 5a + a b Chú ý điểm rơi: a=b=c=1 tự làm 15 phút III Phương pháp Cauchy ngược dấu Bài 1: Cho a, b, c > P = a + b + c ≥ 2 + b + c + a a + b + c = Điểm rơi a=b=c=1 Nếu sử dụng Với ý tưởng a a ≤ + b 2b Ngược chiều nên không khả thi A ≥ B ⇔ − A ≤ −B a a(1 + b ) − ab ab = =a− 2 1+ b 1+ b + b2 ab ab bc ca bc ca P = (a + b + c) − + + ≥ 3− + + ÷ 2 ÷ + b + c + a b c a = − (ab + bc + ca) (1) = (a + b + c) = a + b + c + 2(ab + bc + ca ) = (a + b ) + (b + c ) + (c + a ) + 2(ab + bc + ca) ≥ 3(ab + bc + ca) ⇔ ab + bc + ca ≤ ⇔ − (ab + bc + ca ) ≥ − (2) 2 Cộng vế (1) (2) ta có GTNN biểu thức 3/2 Bài 3: Tìm GTLN P= yz x + yz + xy xz + y + xy z + xy ( x, y , z > 0) Dựa vào gợi ý sau tự giải 10 phút nộp vào nhóm zalo yz x + yz = 1− x x ≤ 1− x+ y+ z x + yz Tự giải tập trang 11 tài liệu phát, nộp Qua zalo nhóm 4: Phương pháp hàm số: Bài 1 : Cho x, y Î ¡ y £ 0, x2 + x = y + 12 P = xy + x + 2y + 17 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức: y = x2 + x - 12 x2 + x - 12 £ Û - £ x £ P = x3 + 3x2 - 9x - Bài 2: Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn: 2x + 4y + 7z = 2xyz Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x + y +z Từ giả thiết cố gắng đánh giá P theo chiều giảm theo biến chẳng hạn theo x Hãy rút z từ gt z= 2x + y xy − 2xy-7>0 sao? Trước hết z vào P làm giảm biến, nhiên biến y Cauchy giúp phải làm xuất đại lượng chứa Thành phần nghịch đảo nhằm khử biến y Hãy tách ghép, thêm bớt hợp lý để sử dụng Cauchy, phụ thuộc vào kỹ tư nhạy bén người, mắc dùng hệ số bất định để đồng hệ số! P = x+ y+ 2x + 4y 11 2x + 4y = x+ + y − ÷+ − ÷= 2xy − 2x 2x 2xy − x 11 2xy − 2x2 + 14 = x+ + + 2x 2x x( 2xy − 7) 11 x2 + ≥ x+ + ÷ ÷ 2x x 11 x2 + f ( x) = x + + ,x ∈ ( 0;+∞ ) 2x x Làm tiếp xem dấu xảy KL k xy − y+ = ⇒ k = −7 2x 2x 2x + 4y m 2x2 + nx + p + = ⇒ m= −2,n = 0,p = 14 2xy − x x(2xy − 7) x, y , z Bài 3: Cho số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= ( 1+ x) + ( 1+ y) + y + z = x ( y2 + z2 ) (1+ z) + ( 1+ x) ( 1+ y) ( 1+ z ) Biểu thức P có chứa biến vai trò hai biến y z Do ta quy biểu thức P biến x cách sử dụng sử dụng bất đẳng thức Cauchy Bunhiacopsky ( y + z) = (1.x + y ) ≤ (12 + 12 ) ( y + z ) = 2( y + z ) ⇒ x( y + z ) ≤ x ( y + z ) ⇔ x( y + z ) ≤ 2( y + z ) ⇔ y + z ≤ x 2 + y + z ≤ + y + z ⇔ ( ) ( ) ( ) Theo bất đẳng thức cơsi ta có: 2 ( + y ) ( + z ) ≤ + ÷ ⇒ ( + y ) ( + z ) ≤ ( + 2x ) 4 x x P≥ Lại theo BĐT côsi ta có : ⇔P≥ ( 1+ x) + x2 ( 1+ x) + x2 ( 1+ x) ( 1+ x) ⇔ P ≥ + ( 1+ y) ( 1+ z ) + x3 + x + x + ( 1+ x) ( 1+ x) ( 1+ y) ( 1+ z ) f ( x) = x3 + x + x + ( 1+ x) x, y, z Câu 10: é1;4ù x ³ y, x ³ z ë û x y z P = + + 2x + 3y y + z z + x ba số thực thuộc đoạn Tìm giá trị nhỏ biểu thức: +) Biểu thức P có dạng đẳng cấp có chứa biến để quy ẩn ta sử dụng bất đẳng thức phụ để đánh giá P sau đặt ẩn phụ để quy biến (tham khảo tài liệu) +) Tuy cách giải tài liệu ko thật tự nhiên, sau thầy đề xuất cách giải khác tự nhiên với tư Hãy coi z biến số x, y tham số ( Cũng x y biến, nhiên biểu thức biến z đơn giản hơn) f ( z) = x y z + + 2x + 3y y + z z + x ( x, y, z ∈ [ 1; ] , x ≥ y, x ≥ z ) x = y ⇒ P = y x f '( z ) = − + = ⇔ 2 ( y + z) ( x + z) z = xy Bài 2: Cho x, y, z số thực dương thoả mãn: xy + yz + zx Chứng minh: Giả thiết cho tương quan ràng buộc dạng bậc 2, điểm rơi x=y=z=1, không nên dùng Cauchy số mà nên số Cộng theo vế BĐT chiều suy ra: = Mặt khác ta ln có: Suy ra: Đừng quên KL cho biết dấu = xảy a>b>c>0 Bài 3: Cho Tìm giá trị nhỏ biểu thức b c a2 P= + + a − b b − c 8c( ac − c) Không biết điểm rơi, chưa biết biến đổi kiểu gì! Để ý thấy P gồm phân thức có tử mẫu đồng bậc số a,b,c >0 Đổi biến sau thực phép chia P= a −1 b + 1 + b − c c − c ÷ c a a a Chọn cách chia khác tùy bạn cần đảm Bảo hốn vị vịng quanh để tích biến a = x, b b = y, c c = z ⇒ xyz = 1& x, y > 1, z < a P= 1 + + x − y −1 8z ( z −z ) Vai trò x,y nên đánh giá để đưa toán biến z Đến bạn hình dung cách làm, phút 1 + ≥ = x −1 y −1 ( x − 1)( y − 1) = ≥ xy − ( x + y ) + xy − xy + 2 2z = = = xy − xy − 1 − 1 − z z P≥ 2z + − z 8z( z − z) 2t = + 2 1− t 8t (t − t ) t= z ,0 < z 0∀y ∈ [ 0; 2] , y ≠ 2 y − 10 y + 12 ≥ 0∀y ∈ [ 0; ] , y ≠ ⇒ f ( x) ≥ ∀x ∈ [ 0;1] , y ∈ [ 0; ] ⇒ dpcm Bài 10: Cho số thực dương a, b, c tìm GTNN biểu thức: P= + a + ab + abc a +b+c P= + a + ab + abc a+b+c Phân tích: +) a, b, c vai trị khơng biểu thức +) Tìm GTNN cần đánh giá trội mẫu giảm tử +) chọn biến a+b+c = t a + xb +) a + xb ≥ a.xb ⇔ ab ≤ x hay a+b+c t>0 ( x > 1) Chọn x phương ưu tiên nhỏ khác 1, thử x=4 ⇒ xy ≤ a + 4b a + 4b + yc +) a + 4b + yc ≥ a.4b yc ⇔ abc ≤ 33 y Chọn y=16 kiểm tra nếu: ( y > 4) a + ab + abc = m(a + b + c) ⇒ OK Thử thấy a + ab + abc = (a + b + c) Phần trình bày Cauchy cho : a > 0, 4b > 0,16c > ⇒ a + 4b + 16c ≥ 3 a.4b 16c a + 4b + 16c ⇔ abc ≤ (1) 12 Cauchy cho : a > & 4b > ⇒ a + 4b ≥ a.4b ⇔ ab ≤ (1) & (2) ⇒ a + ab + abc ≤ ( a + b + c) a + 4b (2) Đặt a+b+c =t >0 ⇒ P ≥ t − 6t = f (t ) (t > 0) f '(t ) = t − = ⇔ t = Vậy Pmin=-12 t=4 a = a = 4b = 16c ⇔ ⇔ b = a + b + c = c = ... y + z z + x ba số thực thuộc đoạn Tìm giá trị nhỏ biểu thức: +) Biểu thức P có dạng đẳng cấp có chứa biến để quy ẩn ta sử dụng bất đẳng thức phụ để đánh giá P sau đặt ẩn phụ để quy biến (tham... biểu thức P= ( 1+ x) + ( 1+ y) + y + z = x ( y2 + z2 ) (1+ z) + ( 1+ x) ( 1+ y) ( 1+ z ) Biểu thức P có chứa biến vai trò hai biến y z Do ta quy biểu thức P biến x cách sử dụng sử dụng bất đẳng. .. xy + x + y Biểu thức P có chứa biến vai trò hai biến x y Do ta quy biểu thức P biến z cách sử dụng sử dụng bất đẳng thức Cauchy + xy + x + y = ( + x ) ( + y ) x + y + 2) ( ≤ z + 1) ( = Cả hai