BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG PHẠM BÌNH NGUYÊN PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA SINH BỞI CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC Chuyên ngành : PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số : 60. 46. 40 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU ĐÀ NẴNG - NĂM 2010 www.VNMATH.com 2 Mục lục Lời nói đầu 4 Các đơn vị kiến thức liên quan 5 1 Các kiến thức cơ bản về phương trình bậc ba 24 1.1 Phương pháp giải phương trình bậc ba . . . . . . . . . . . . 24 1.2 Các tính chất nghiệm của phương trình bậc ba . . . . . . . 25 2 Phương trình bậc ba của các yếu tố trong tam giác 36 2.1 Phương trình bậc ba với nghiệm là các yếu tố độ dài trong tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.2 Phương trình bậc ba sinh bởi các biểu thức lượng giác trong tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.3 Phương trình bậc ba của các cung và góc đặc biệt . . . . . 58 3 Bất đẳng thức trong tam giác và nhận dạng tam giác 65 3.1 Nhận dạng tam giác đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.2 Nhận dạng tam giác vuông . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3.3 Nhận dạng tam giác cân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4 Một số dạng bất đẳng thức liên quan 103 4.1 Một số dạng bất đẳng thức khác trong tam giác . . . . . . 103 4.2 Một số bài toán cực trị trong tam giác . . . . . . . . . . . . 108 Kết luận 113 Tài liệu tham khảo 114 5 Sáng tạo các bất đẳng thức trong tam giác 115 5.1 Bất đẳng thức Schur và ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . 115 5.2 Các bất đẳng thức đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 www.VNMATH.com 3 5.3 Bất đẳng thức Vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 5.3.1 Các bất đẳng thức liên quan đến đường trung tuyến 123 5.3.2 Các bất đẳng thức liên quan đến đường tròn ngoại tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 5.3.3 Các bất đẳng thức liên quan đến đường tròn nội tiếp 128 6 Các đẳng thức trong tam giác 129 6.1 Các đẳng thức liên quan đến yếu tố độ dài trong tam giác . 129 6.2 Các đẳng thức liên quan đến các biểu thức lượng giác trong tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 6.3 Các đẳng thức liên quan đến các cung và góc đặc biệt . . . 143 www.VNMATH.com 4 Lời nói đầu Trong chương trình toán học bậc Trung học Phổ thông, các bài toán về Lượng giác chiếm một vị trí rất quan trọng. Việc chứng minh các hệ thức đã biết theo một cách khác không theo cách biến đổi thông thường và tìm ra các hệ thức mới là rất cần thiết. Điều này giúp chúng ta rèn luyện tư duy và có hệ thống bài tập cho việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi cũng như trong các kỳ thi. Dựa trên nhận xét: Một tam giác hoàn toàn được xác định bởi ba yếu tố độc lập, ba yếu tố đó có thể được coi là ba nghiệm của một phương trình bậc ba tương ứng. Các yếu tố độc lập đó đều có thể biểu diễn qua p, R, r, tức phương trình bậc ba tìm được sẽ có hệ số chứa p, R, r. Luận văn nhằm hiểu về các phương trình bậc ba sinh bởi các yếu tố trong tam giác và nêu cách giải quyết các vấn đề liên quan. Trên cơ sở đó xây dựng một số hệ thức lượng giác mới dựa vào tính chất của phương trình bậc ba và các bất đẳng thức quen biết. Luận văn được chia làm ba chương: Chương 1 trình bày về phương trình bậc ba, nêu cách giải và các tính chất của chúng. Chương 2 xây dựng các phương trình bậc ba với hệ số là ba yếu tố cơ bản p, R, r và nhận các yếu tố trong tam giác là các nghiệm của chúng. Sau đó, dựa vào các tính chất nghiệm của phương trình bậc ba để đưa ra một số hệ thức lượng giác mới. Chương 3 khảo sát các bất đẳng thức trong tam giác và nhận dạng tam giác (vuông, đều, cân). www.VNMATH.com 5 Các đơn vị kiến thức liên quan I. Một số định lý quan trọng Định lí 1 (Định lý Thales). Các đường thẳng song song định ra trên hai cát tuyến những đoạn thẳng tỉ lệ. Hệ quả 1. Đường thẳng song song với một cạnh của tam giác tạo với hai cạnh kia một tam giác có các cạnh tương ứng tỉ lệ với các cạnh của tam giác đã cho. Hình 1: Định lí 2 (Định lý về đường phân giác trong của tam giác). Đường phân giác trong của một tam giác chia cạnh đối diện thành hai phần tỉ lệ với hai cạnh bên tương ứng. Chứng minh. Giả sử AD là phân giác trong kẻ từ A, nghĩa là  BAD =  CAD. Kẻ BE song song với AD cắt AC tại E. Khi ấy do  EBA =  BAD (so le trong) và  BEA =  CAD (đồng vị) nên các góc  EBA =  BEA, do đó tam giác BAE cân, suy ra AB = AE. Từ định lý Thales ta có DC DB = AC AE , suy ra DC DB = AC AB .  Định lí 3 (Hệ thức lượng trong tam giác vuông và định lý Pythagoras). Trong một tam giác vuông bất kì ta luôn có: 1. Cạnh góc vuông là trung bình nhân của cạnh huyền và hình chiếu của nó trên cạnh huyền; 2. Đường cao là trung bình nhân của hai hình chiếu hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền; 3. Bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông. Chứng minh. Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH, ta ký hiệu: a = BC, b = AC, c = AB, h = AH, b  = CH, c  = BH. www.VNMATH.com 6 Hình 2: Khi ấy định lý trên được phát biểu dưới dạng ký hiệu là: 1. b 2 = ab  , c 2 = ac  ; 2. h 2 = b  c  ; 3. a 2 = b 2 + c 2 . Thật vậy, hai tam giác vuông BAH và BCA đồng dạng vì có góc B chung, do đó AB BH = CB BA hay AB 2 = CB.BH, tức là c 2 = ac  . Tương tự, hai tam giác vuông ACH và BCA đồng dạng nên AC CH = BC CA hay AC 2 = CH.BC, tức là b 2 = ab  . Hai tam giác vuông ABH và CAH cũng đồng dạng nên BH AH = AH CH hay AH 2 = BH.CH, tức là h 2 = b  c  . Từ hai hệ thức b 2 = ab  , c 2 = ac  , cho ta b 2 + c 2 = ab  + ac  = a(b  + c  ) = a.a = a 2 . Định lý được chứng minh.  Định lí 4 (Hệ thức lượng trong tam giác thường). Cho tam giác ABC, gọi c  = AH và a  = CH là hình chiếu của các cạnh AB = c, BC = a trên cạnh AC = b. Khi ấy: 1. Nếu góc A nhọn thì a 2 = b 2 + c 2 − 2bc  ; 2. Nếu góc A tù thì a 2 = b 2 + c 2 + 2bc  . Chứng minh. Theo định lý Pythagoras, ta có Hình 3: 1. Khi góc A nhọn thì (Hình 3a) a 2 = a 2 + h b 2 = a 2 + c 2 − c 2 = c 2 + (b − c  ) 2 − c 2 = c 2 + b 2 − 2bc  . www.VNMATH.com 7 2. Khi góc A tù thì (Hình 3b) a 2 = a 2 + h b 2 = a 2 + c 2 − c 2 = c 2 + (b + c  ) 2 − c 2 = c 2 + b 2 + 2bc  . Vậy định lý được chứng minh.  Định lí 5 (Đường thẳng Euler). Gọi G, H, O lần lượt là trọng tâm, trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác thì khi đó ta có −−→ HO = 3 −→ GO. Chứng minh. Hình 4: Gọi A  , B  , C  lần lượt là trung điểm BC, CA, AB thì khi đó dễ thấy tam giác ABC là ảnh của tam giác A  B  C  qua phép vị tự tâm G tỉ số bằng −2 (Hình 4). Mặt khác ba đường cao của tam giác A  B  C  lại là ba đường trung trực của tam giác ABC, nên tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là ảnh của H qua phép vị tự tâm G tỉ số bằng −2, nghĩa là −−→ GH = −2 −→ GO, chứng tỏ H, G và O thẳng hàng và −−→ HO = 3 −→ GO.  Định lí 6 (Định lý Stewart). Nếu đường thẳng AD = d thuộc tam giác ABC chia cạnh BC thành những đoạn BD = m và CD = n thì d 2 a = b 2 m + c 2 n −amn. Chứng minh. Hình 5: Giả sử AH là đường cao của tam giác ABC, theo định lí về hệ thức lượng trong tam giác thường (Định lí 4), từ các tam giác BDA và ADC ta có (Hình 5) c 2 = d 2 + m 2 − 2mDH. b 2 = d 2 + n 2 + 2nDH. Nhân đẳng thức thứ nhất với n, đẳng thức thứ hai với m rồi cộng lại ta được c 2 n + b 2 m = d 2 (m + n) + mn(m + n) hay d 2 a = b 2 m + c 2 n −amn. Định lí Stewart được chứng minh.  www.VNMATH.com 8 Hệ quả 2. Nếu BD DC = m n = k q thì d 2 = b 2 k k + q + c 2 q k + q − a 2 kq (k + q) 2 . Chứng minh. Vì BD DC = m n = k q nên BD DC + BD = m n + m = m a = k k + q . Tương tự ta cũng có n a = q k + q , thay vào định lý Stewart ta được d 2 a = b 2 ak k + q + c 2 aq k + q − a 3 kq (k + q) 2 hay d 2 = b 2 k k + q + c 2 q k + q − a 2 kq (k + q) 2 .  Hệ quả 3. Đường trung tuyến của tam giác được tính bởi công thức m a =  2(b 2 + c 2 ) −a 2 2 . Chứng minh. Được suy ra từ hệ quả trên với BD = DC (k = q = 1) và ký hiệu d = m a .  Hệ quả 4. m a 2 + m b 2 + m c 2 = 3 4 (a 2 + b 2 + c 2 ). Chứng minh. Từ hệ quả trên ta có m a 2 = 2(b 2 + c 2 ) −a 2 4 Tương tự m b 2 = 2(a 2 + c 2 ) −b 2 4 ; m c 2 = 2(a 2 + b 2 ) −c 2 4 . Cộng các vế đẳng thức trên, ta được điều phải chứng minh.  Hình 6: Hệ quả 5. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, khi ấy ta có GA 2 + GB 2 + GC 2 = 1 3 (a 2 + b 2 + c 2 ). Chứng minh. Vì G là trọng tâm tam giác nên GA = 2 3 m a . Kết hợp với công thức đường trung tuyến, ta được GA 2 = 4 9 m a 2 = 2(b 2 + c 2 ) −a 2 9 . www.VNMATH.com 9 Tương tự GB 2 = 4 9 m b 2 = 2(a 2 + c 2 ) −b 2 9 ; GC 2 = 4 9 m c 2 = 2(a 2 + b 2 ) −c 2 9 . Cộng các vế đẳng thức trên, ta được điều phải chứng minh.  Hệ quả 6. Đường phân giác của góc A được tính bởi công thức l a = 2  bcp(p −a) b + c . Chứng minh. Theo định lý về đường phân giác (Định lí 2), ta có Hình 7: DB DC = AB AC = c b = k q .(Hình 7) Suy ra c b + c = k k + q và b b + c = q k + q . Thay vào công thức trong Hệ quả 2 (của định lý Stewart) ta được d 2 = b 2 k k + q + c 2 q k + q − akq (k + q) 2 = b 2 c b + c + c 2 b b + c − a 2 bc (b + c) 2 = bc (b + c) 2 − a 2 (b + c) 2 = bc (b + c + a)(b + c − a) (b + c) 2 = 4bc p(p −a) (b + c) 2 . Với ký hiệu đường phân giác l a = d, ta có l a = 2  bcp(p −a) b + c .  Định lí 7 (Bổ đề về các hệ thức vectơ trong tam giác). Gọi G là trọng tâm, H là trực tâm, I là tâm đường tròn nội tiếp, O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, khi ấy ta có: 1. −→ GA + −−→ GB + −→ GC = −→ 0 2. −→ OA + −−→ OB + −→ OC = 3 −→ OG 3. a −→ IA + b −→ IB + c −→ IC = −→ 0 4. a −→ OA + b −−→ OB + c −→ OC = (a + b + c) −→ OI 5. a −−→ HA + b −−→ HB + c −−→ HC = (a + b + c) −→ HI. Chứng minh. www.VNMATH.com 10 Hình 8: 1. Do G là trọng tâm tam giác (Hình 8) nên −→ GA+ −−→ GB + −→ GC = −−→ GC  + −→ GC = − −→ GC + −→ GC = −→ 0 . 2. Ta có −→ OA + −−→ OB + −→ OC = −→ OG + −→ GA + −→ OG + −−→ GB + −→ OG + −→ GC = 3 −→ OG + −→ GA + −−→ GB + −→ GC = 3 −→ OG. 3. Theo Định lí về đường phân giác (Định lý 2), ta có DB DC = c b hay −−→ DB = − c b −−→ DC. Điều này chứng tỏ −→ IB − −→ ID = −−→ DB = − c b −−→ DC = − c b ( −→ IC − −→ ID) (Hình 9) hay b −→ IB + c −→ IC = (b + c) −→ ID (∗). Do DB DC = c b nên DB DC + DB = c b + c hay DB = ac b + c . Và ta lại có BI là phân giác trong của góc B nên áp dụng định lí về đường phân giác (Định lý 2) cho tam giác ADB, ta được Hình 9: ID IA = BD BA = ac b + c c = a b + c vậy −→ ID = − a b + c −→ IA. (∗∗) Thay (**) vào (*) ta đi đến b −→ IB + c −→ IC = (b + c) −→ ID = −a −→ IA hay a −→ IA + b −→ IB + c −→ IC = −→ 0 . 4. Theo phần 3, ta có (a + b + c) −→ OI = a( −→ OA − −→ IA) + b( −−→ OB − −→ IB) + c( −→ OC − −→ IC). = a −→ OA + b −−→ OB + c −→ OC − (a −→ IA + b −→ IB + c −→ IC) = a −→ OA + b −−→ OB + c −→ OC. www.VNMATH.com [...]... phương trình bậc ba, ta có đpcm www.VNMATH.com 36 Chương 2 Phương trình bậc ba của các yếu tố trong tam giác Trong chương này ta xây dựng phương trình bậc ba của các yếu tố độc lập trong tam giác với hệ số chứa ba yếu tố cơ bản là p, R, r Để xây dựng các phương trình bậc ba ấy ta dựa vào nhận xét ở chương 1 và làm như sau: Trước hết ta phải sử dụng biến đổi lượng giác thiết lập các hệ thức lượng giác. .. phân giác Do 1 + cosA = 2cos2 A 2 = 2 bcp(p − a) b+c b+c 2bc.cos la = p(p − a) bc www.VNMATH.com 24 Chương 1 Các kiến thức cơ bản về phương trình bậc ba 1.1 Phương pháp giải phương trình bậc ba Các sách hiện nay chủ yếu trình bày cách giải phương trình bậc ba theo cách cổ điển là công thức Cardano Tuy nhiên tôi xin lựa chọn cách giải phương trình bậc ba theo cách của GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu đã trình. .. T3 Cách làm này giúp ta dễ nhận biết phương trình bậc ba, quen thuộc và thuận tiện với học sinh phổ thông, vì học sinh phổ thông đã rất quen cách làm như vậy cho phương trình bậc hai Cách làm này là tổng quát và phát huy được kiến thức lượng giác cơ bản của học sinh Sau khi đã có các phương trình bậc ba về các yếu tố độc lập, ta sử dụng các tính chất về nghiệm của phương trình bậc ba để xây dựng các. .. các hệ thức lượng giác và chứng minh các hệ thức lượng giác đó Cách làm này khá ngắn gọn và tổng quát, số lượng hệ thức đưa ra cũng rất nhiều góp phần quan trọng trong việc giảng dạy và học tập ở trường phổ thông 2.1 Phương trình bậc ba với nghiệm là các yếu tố độ dài trong tam giác Bài toán 2.1 Độ dài ba cạnh của tam giác ABC (giả sử lần lượt là a, b, c) là các nghiệm của phương trình t3 − 2pt2 +... Điều này chứng tỏ ba nghiệm dương thỏa mãn (1.5) thì thỏa mãn bất đẳng thức tam giác nên chúng là ba cạnh của một tam giác Nhận xét 1.1 Nếu x1 , x2 , x3 là ba nghiệm của phương trình (1.1) thì 1 1 1 , , x1 x2 x3 là nghiệm của phương trình b a 1 t3 + t2 + t + = 0 c c c Chứng minh Thay x = (1.6) 1 vào phương trình (1.1) ta được đpcm t Nhận xét 1.2 Nếu x1 , x2 , x3 là ba nghiệm của phương trình (1.1) thì... đặt y = 2 t Khi đó ta được phương trình 3 √ 3 3q 4t3 + 3t = m với m = √ 2p p √ 1 1 Đặt m = (d3 − 3 ), trong đó d3 = m ± m2 + 1 2 d Khi đó phương trình có nghiệm duy nhất 1 1 3 1 t = (d − ) = ( m + 2 d 2 1.2 m2 + 1 + 3 m− m2 + 1) Các tính chất nghiệm của phương trình bậc ba Phương trình bậc ba x3 + ax2 + bx + c = 0 (1.1) có ba nghiệm x1 , x2 , x3 (kể cả nghiệm phức) thỏa mãn các tính chất sau: Tính chất... giải phương trình bậc ba theo cách của GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu đã trình bày trong quyển "Phương pháp giải phương trình và bất phương trình" Đầu tiên chúng ta nhận xét rằng mọi phương trình bậc ba tổng quát a1 x3 + b1 x2 + c1 x + d1 = 0(a1 = 0) đều đưa được về dạng x3 + ax2 + bx + c = 0 a Khi đó bằng cách đặt x = y − 3 Phương trình đã cho có thể viết lại dưới dạng a a a (y − )3 + a(y − )2 + b(y − ) +... AB.CD (∗∗) Cộng các đẳng thức (*) và (**) ta được AC(F D + BF ) = BC.AD + AB.CD AC.BD = BC.AD + AB.CD hay II Các định lý cơ bản trong tam giác Định lí 9 (Định lý hàm số sin) Trong tam giác ABC ta luôn có a b c = = = 2R sinA sinB sinC Chứng minh Vẽ đường tròn tâm O bán kính R ngoại tiếp tam giác ABC Hình 13: Trường hợp 1 Nếu A = 900 Khi đó a = BC = 2R và sinA = 1 (Hình 13a) và khi đó do tam giác ABC vuông... phương trình trên cho x1 − x2 ta được hay a1 (x2 + x1 x2 + x2 ) + b1 (x1 + x2 ) + c1 = 0 1 2 2 a1 (x1 + x2 ) + b1 (x1 + x2 ) + c1 − a1 x1 x2 = 0 Theo giả thiết ban đầu x1 , x2 là tồn tại nên ta có = b2 − 4a1 (c1 − a1 x1 x2 ) 1 x1 x2 hay 0 4a1 c1 − b2 1 2 4a1 Hệ quả 1.1 Nếu phương trình bậc ba (1.2) có ba nghiệm thực thì x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 4a1 c1 − b2 1 3 2 4a1 Hệ quả 1.2 Nếu phương trình bậc ba. .. Bán kính đường tròn bàng tiếp tam giác) Trong tam giác ABC ta luôn có = ra = p.tan S A = = 2 p−a p(p − b)(p − c) p−a A (Hình 18) nhưng 2 a + b + c AB + AC + BP + CP AB + BM + AC + CN p= = = = AM 2 2 2 A A Vậy p = ra cot hay ra = p.tan 2 2 p(p − b)(p − c) S Từ công thức tính diện tích ta có ra = = p−a p−a Định lí 18 ( Công thức đường phân giác của tam giác) Trong tam giác ABC ta luôn có A 2bc.cos . 25 2 Phương trình bậc ba của các yếu tố trong tam giác 36 2.1 Phương trình bậc ba với nghiệm là các yếu tố độ dài trong tam giác . . . . . . . . . . . có hệ số chứa p, R, r. Luận văn nhằm hiểu về các phương trình bậc ba sinh bởi các yếu tố trong tam giác và nêu cách giải quyết các vấn đề liên quan. Trên